Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 2005/2006

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1 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 L usage de la calculatrice est autorisée. Le prêt de calculatrice entre les candidats n est pas autorisé. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront un élément important pour l appréciation des copies. Eercice Dans un atelier de réparation un technicien s occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent. Les composants à l origine de la panne peuvent uniquement être : l alimentation, la carte graphique ou le processeur. Une panne simultanée de deu ou trois composants est possible. Le technicien chargé de la détection des pannes établit le diagnostic d un ordinateur à l aide d un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d une barre en cas de panne. Par eemple : ( A; CG; P ) signifie que l alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.. Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne.. On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d être établis. Quelle est la probabilité pour qu un seul des composants soit en panne?. Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer Composant Alimentation Carte graphique Processeur Pri en e Le coût d une réparation est celui du remplacement des pièces auquel il faut ajouter un forfait de maind oeuvre de 5 e indépendant du nombre de composants à remplacer. a. Soit X la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation. Donner la liste des valeurs possibles de X. b. Donner dans un tableau la loi de probabilité de X. c. Calculer l espérance mathématique de X. Arrondir le résultat à l unité. d. Quel devrait être le coût du forfait de la main-d oeuvre, arrondi à l unité, pour que le pri moyen d une réparation soit de 00e? Eercice La figure sera construite sur la copie et complétée au fil de l eercice On note i le nombre complee de module et d argument π. Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) d unité graphique cm.. a. Résoudre dans l ensemble des nombres complees l équation : z + z + = 0. b. Déterminer le module et un argument de chacunes des solutions.. On considère les points A et B d affies respectives : z A = e 5iπ et z B = e 5iπ. a. Écrire les nombres complees z A et z B sous forme algèbrique. b. Dans le repère (O ; u, v ), construire les points A et B à la règle et au compas. On laissera apparents les traits de construction.. Soit r la rotation de centre O et d angle π. a. On désigne par A l image du point A par la rotation r. Eprimer l affie z A, en fonction de celle du point A puis en déduire la forme eponentielle et la forme algèbrique de z A. b. Soit C le point d affie z C = e iπ. Placer le point C dans le repère (O ; u, v ). Montrer que C est l image de B par la rotation r et écrire z C sous forme algèbrique. Que peut-on en déduire pour le triangle OBC.

2 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 Problème Ce problème a pour but de montrer un eemple de courbes représentatives de deu fonctions qui sont asymptotes puis de calculer une aire comprise entre deu courbes. Partie A Détermination d une fonction On considère la courbe représentative C, d une fonction g définie sur ]0; + [, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d unités graphiques cm sur l ae des abscisses et,5 cm sur l ae des ordonnées. Cette courbe est représentée en annee. Les points d intersection de C et de l ae des abscisses ont pour coordonnées respectives (; 0) et (; 0). Soient a et b deu nombres réels tels que pour tout ]0; + [, g() = + a + b. En utilisant les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec l ae des abscisses, déterminer les nombres a et b.. Montrer que g() peut s écrire : g() = +. Partie B Étude d une fonction auiliaire Soit la fonction h définie sur ]0; + [ par h() = + ln().. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variations.. Calculer h(). En déduire que h() est strictement positif pour tout nombre réel de ]0; + [. Partie C Étude de fonction On définit la fonction f par : f() = + + ln() sur l intervalle ]0; + [. On appellera Γ la courbe représentative de f dans le repère orthogonal de l annee.. Calculer la limite de f() lorsque tend vers zéro. En déduire que Γ admet une asymptote que l on précisera.. Calculer la limite de f en +.. Pour tout de ]0; + [, montrer que f () = h(). En déduire le tableau de variation de f.. Courbes asymptotes. On rappelle que g() = +. a. Calculer la limite en + de f() g(). Interpréter graphiquement ce résultat. b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d intersection des courbes Γ et C. c. Sur ]0; + [, déterminer la position de la courbe Γ par rapport à la courbe C. 5. Construire la courbe Γ sur le document joint, que l on rendra avec la copie. Partie D Calcul d une aire comprise entre deu courbes. Montrer que f() g() admet pour primitive sur ]0; + [, la fonction K définie par : K() = (ln() ).. Sur le document fourni en annee, hachurer l aire comprise entre les deu courbes et les droites d équations = e et = e.. Calculer la valeur de cette aire en cm.

3 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 5 j 0 ı 5 8 Fig. Graphique du problème

4 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 Corrigé de l eercice. Les sept diagnostics sont : (A; CG; P), (A; CG ; P), (A; CG ; P), (A ; CG; P), (A ; CG; P), (A ; CG ; P), (A ; CG ; P).. La probabilité qu un composant soit en panne est :.. a. On a le tableau suivant : b. Voir question précédente. X = i p i = P(X = i ) c. E(X) = = 80 8e. d. Soit le pri du forfait, on doit avoir : E(X) = (80 + ) + (0 + ) + (0 + ) + (0 + = 00, soit + 8 = 00, soit = e. Corrigé de l eercice (. = ) = = = (i). Les solutions sont donc deu nombres complees conjuguées : (. a. z A = cos ( 5π z B = i. b. Voir la figure. z = i = i et z = + i = + i. ) ( ) ) 5π + isin ) = + i = + i. Comme z B = z A, on a A j A O ı B B A C

5 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 (. a. z A = e i π za = e iπ = cos ( ) π + isin ( )) π = i. b. e i π zb = e i π + 5π = e π = zc. On en déduit que C est l image par r de B. On en déduit que OBC est un triangle rectangle isocèle en O. Problème Partie A. Les points de coordonnées (; 0) et (; 0) appartiennent à la courbe C. Leurs coordonnées vérifient donc l équation de cette courbe, d où : + a. + b = 0 { { a + b = a b = + a. + b a + b = 9 a + b = 9 = 0 D où, en additionnant les équations : a = 8 donc a = et + b = qui donne b =. On en conclut que g() = +.. g() = + ( ) = + = +. Partie B. h () = = variation. = ( ) qui est du signe de, car > 0. On en déduit le tableau de 0 + h () 0 + h() Fig. tableau de variation de la fonction h. h() =, Le minimum de h sur ]0; + [ est, donc, pour tout ]0; + [, h() > 0. Partie C + ln. lim ( ) = ; lim ( + ln ) = donc lim Γ admet la droite d équation = 0 comme asymptote verticale.. f() = + + ln. On sait que lim ( ) = +, lim + que f() = +. lim + + = et lim 0 + f() =. = 0 et lim ln = 0 ; On en déduit + ( + ln()). Pour tout de ]0; + [, f () = + = + ln = h(). Cette epression étant toujours strictement positive, d après la partie B on en déduit le tableau de variation de f, voir.. a. lim [f() g()] = lim + + [ + + ln() ( + ] [ ) = lim + en déduit que les courbes C et Γ sont asymptotes au voisinage de +. + ln ] = 0. On b. Les coordonnées des points d intersection de C et de Γ vérifient les équations des courbes, donc vérifient : y = f() et y = g(), donc f() = g() ln = 0 ln = = e et y = e + e. 5

6 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/ f () + f() + Fig. Tableau de variation de la fonction f (ln() ) c. f() g() = qui est du signe de ln() ) car > 0. ln() > 0 ln() > > e. Donc si > e, f() g() > 0 et Γ est au dessus de C et si < e alors Γ est au dessus de C. 5. Voir le graphique. Partie D. On dérive K(). K () = ln() (ln() ) =. Or f() g() = + + ln() ( + ) Donc K est une primitive de f g.. Voir le graphique.. A =.5 e e = ln(). f() g()d = ( K(e ) K(e) ) = ( ln ( e ) ) (ln (e) ) = cm.

7 Bac Blanc GE épreuve de mathématiques Année 005/00 5 j 0 O ı e 5 8 e Fig. Graphique du problème

8 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/00 L usage de la calculatrice est autorisée. Le prêt de calculatrice entre les candidats n est pas autorisé. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront un élément important pour l appréciation des copies. Eercice Le plan complee P est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ). On note i le nombre complee de module et d argument π. Pour tout nombre complee z, on pose : P(z) = z z.. Vérifier que pour tout nombre complee z, on a : P(z) = (z )(z + z + ).. Résoudre dans l ensemble C des nombres complees, l équation : P(z) = 0.. On appelle A, B, C et D les points de P d affies respectives : z A = i ; z B = ; z C = + i ; z D = i. a. Placer les points A, B, C et D dans le repère (O ; u, v ), unité graphique cm. b. Calculer z B z A ; z C z D ; z D z A. c. Justifier que AB = DC et que AD = AB. Eercice d. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.. Résoudre dans C l équation z z + = 0.. Le plan complee est muni d un repère orthonormal (O ; u, v ) d unité graphique l cm. Soit les points A, B et C du plan complee d affies respectives : z A = + i ; z B = i ; z C = e i π.. a. Calculer le module et un argument de z A et z B. b. Construire les points A, B et C. c. Calculer z A z B. d. Quelle est la nature du triangle OAB? (justifier la réponse).. a. Écrire z C sous forme algébrique. b. Montrer que C est le milieu du segment [OA]. c. Quelle est la nature du triangle ABC? (justifier la réponse).

9 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/00 Problème Ce problème a pour but de montrer un eemple de courbes représentatives de deu fonctions qui sont asymptotes puis de calculer une aire comprise entre deu courbes. Partie A Détermination d une fonction On considère la courbe représentative C, d une fonction g définie sur ]0; + [, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d unités graphiques cm sur l ae des abscisses et,5 cm sur l ae des ordonnées. Cette courbe est représentée en annee. Les points d intersection de C et de l ae des abscisses ont pour coordonnées respectives (; 0) et (; 0). Soient a et b deu nombres réels tels que pour tout ]0; + [, g() = + a + b. En utilisant les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec l ae des abscisses, déterminer les nombres a et b.. Montrer que g() peut s écrire : g() = +. Partie B Étude d une fonction auiliaire Soit la fonction h définie sur ]0; + [ par h() = + ln().. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variations.. Calculer h(). En déduire que h() est strictement positif pour tout nombre réel de ]0; + [. Partie C Étude de fonction On définit la fonction f par : f() = + + ln() sur l intervalle ]0; + [. On appellera Γ la courbe représentative de f dans le repère orthogonal de l annee.. Calculer la limite de f() lorsque tend vers zéro. En déduire que Γ admet une asymptote que l on précisera.. Calculer la limite de f en +.. Pour tout de ]0; + [, montrer que f () = h(). En déduire le tableau de variation de f.. Courbes asymptotes. On rappelle que g() = +. a. Calculer la limite en + de f() g(). Interpréter graphiquement ce résultat. b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d intersection des courbes Γ et C. c. Sur ]0; + [, déterminer la position de la courbe Γ par rapport à la courbe C. 5. Construire la courbe Γ sur le document joint, que l on rendra avec la copie. Partie D Calcul d une aire comprise entre deu courbes. Montrer que f() g() admet pour primitive sur ]0; + [, la fonction K définie par : K() = (ln() ).. Sur le document fourni en annee, hachurer l aire comprise entre les deu courbes et les droites d équations = e et = e.. Calculer la valeur de cette aire en cm.

10 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/00 5 j 0 ı 5 8 Fig. 5 Graphique du problème

11 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/00 Corrigé de l eercice. (z )(z + z + ) = z + z + z z z = z + z = P(z). z =. P(z) = 0 ou z + z + = 0 () Pour (), = i ( ) = donc z = = i et z = z = + i. Les solutions de l équation P(z) = 0 sont donc :, + i et i.. a. Voir figure. C D j O ı B A b. z B z A = ( i) = + i. z C z D = + i i = + i. z D z A = i ( i) = + i. c. z B z A = z C z D donc AB = DC. AD = zd z A = +i = + = 0. AB = z B z A = + i = + = 0, donc AD = AB. d. AB = DC donc ABCD est un parallélogramme. AB = AD, ABCD est un parallélogramme qui a côtés consécutifs égau, c est donc un losange. Corrigé de l eercice. z + = 0, = ( ) =, donc z = + i = +i et z = z = i.. a. Voir figure. b. z A = ( ) + = = cos θ A = = d où : sinθ A = = et donc θ A = π + kπ [ z A = ; π ] [, alors z B = z A = ; π ].

12 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/00 A j C 5 O ı 5 B c. z A z B = AB = + i ( i) = i =. d. z A = OA =, z B = OB =, AB =, OA = OB = AB, le triangle OAB qui a ses côtés égau est équilatéral. (. a. z C = cos π + isin π ) ( ) = + i = + i. b. z C = z A = (z O + z A ) donc C est le milieu du segment [OA]. Problème Partie A c. Le triangle OAB est équilatéral. La droite (BC) est la médiane issue de B, c est donc aussi la hauteur issue de B et alors la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (OA). Nous pouvons en conclure que le triangle ABC est un triangle rectangle en C.. Les points de coordonnées (; 0) et (; 0) appartiennent à la courbe C. Leurs coordonnées vérifient donc l équation de cette courbe, d où : + a. + b = 0 { { a + b = a b = + a. + b a + b = 9 a + b = 9 = 0 D où, en additionnant les équations : a = 8 donc a = et + b = qui donne b =. On en conclut que g() = +.. g() = Partie B + = ( ). h () = = variation. + = +. = ( ) qui est du signe de, car > 0. On en déduit le tableau de. h() =, Le minimum de h sur ]0; + [ est, donc, pour tout ]0; + [, h() > 0. Partie C + ln. lim 0 +( ) = ; lim 0 +( + ln ) = donc lim 0 + Γ admet la droite d équation = 0 comme asymptote verticale.. f() = + + ln. On sait que lim ( ) = +, lim + que f() = +. lim = et lim f() =. 0 + = 0 et lim ln = 0 ; On en déduit +

13 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/ h () 0 + h(). Pour tout de ]0; + [, f () = + Fig. tableau de variation de la fonction h ( + ln()) = + ln = h(). Cette epression étant toujours strictement positive, d après la partie B on en déduit le tableau de variation de f, voir. 0 + f () + f() + Fig. Tableau de variation de la fonction f [. a. lim [f() g()] = lim + + ln() + + en déduit que les courbes C et Γ sont asymptotes au voisinage de +. ( + ] [ ) = lim + + ln ] = 0. On b. Les coordonnées des points d intersection de C et de Γ vérifient les équations des courbes, donc vérifient : y = f() et y = g(), donc f() = g() ln = 0 ln = = e et y = e + e. (ln() ) c. f() g() = qui est du signe de ln() ) car > 0. ln() > 0 ln() > > e. Donc si > e, f() g() > 0 et Γ est au dessus de C et si < e alors Γ est au dessus de C. 5. Voir le graphique. Partie D. On dérive K(). K () = ln() (ln() ) =. Or f() g() = + + ln() ( + ) Donc K est une primitive de f g.. Voir le graphique.. A =.5 e e = ln(). f() g()d = ( K(e ) K(e) ) = ( ln ( e ) ) (ln (e) ) = cm.

14 Bac Blanc GM épreuve de mathématiques Année 005/00 5 j 0 O ı e 5 8 e Fig. 8 Graphique du problème