Cours de Topologie. Master 1. Année 2010/2011. Richard Zekri.

Transcription

1 Cours de Topologie. Master 1. Année 2010/2011. Richard Zekri. 9 septembre 2010

2 2

3 Table des matières 1 Rappels Topologies, ouverts, et voisinages Axiomes de séparation Axiomes de dénombrabilité Treillis des topologies Suites généralisées Produits d espaces topologiques Topologie produit Propriétés de la topologie produit Espaces compacts Nets et filtres Espaces compacts Propriétés des espaces compacts Topologies initiales Définition et exemples Propriétés Topologie finales Définition et exemple Relations d équivalence Saturé d une partie d un ensemble Espaces connexes Définition et propriétés Composantes connexes d un espace topologique Connexité par arcs Définitions Groupe fondamental. 37 3

4 8.1 Homotopie et chemins Le groupoïde fondamental de X Groupe fondamental et lacets Propriétés fonctorielles du groupe fondamental Produits et rétractes Calcul de π 1 (S 1 ) Indice d un lacet dans R Théorème de Van Kampenn

5 Chapitre 1 Rappels. 1.1 Topologies, ouverts, et voisinages. Définition [Topologie.] Une topologie τ, sur un ensemble X, est une famille de parties de X, qui contient {φ} et {X}, et qui est stable par réunions quelconques, et par intersections finies. Les éléments de τ sont appelés des ouverts de X. Le complémentaire d un ouvert de X est appelé un fermé. On dit que X, muni de τ, est un espace topologique. On le notera (X, τ). Définition [Base d une topologie.] On appelle base d une topologie τ, toute famille F d ouverts, telle que tout ouvert de X est réunion d éléments de F. Remarque Il est équivalent de dire que F est une base de la topologie τ, et que, pour tout point x X, et tout ouvert O x, contenant x, il existe un ouvert U F, tel que x U O x. Définition [Voisinage.] Soit x un point de l espace topologique (X, τ). On appelle voisinage de x toute partie V, de X, contenant un ouvert qui lui-même contient le point x. Définition [Base de voisinages.] Une famille F de sous ensembles d un espace topologique X est une base de voisinages en x X, si chaque N F est un voisinage de x, et si pour tout voisinage M, de x, il existe N F, tel que N M. Définition [Intérieur et adhérence.] Soit A une partie quelconque de X. On appelle intérieur de A, et l on note A, le plus grand ouvert de X, contenu dans A. On appelle adhérence de A, et l on note A, le plus petit fermé de X, contenant A. On a la relation : X A = (X A). Les points de A sont dits adhérents à A. Remarque Un point x X est adhérent à A si et seulement si tout ouvert contenant x contient également au moins un point de A. Définition [Densité.] Soit X un espace topologique. Un sous-ensemble A, de X, est dit dense dans X, si tout ouvert non vide de X contient au moins un point de A. (Ceci est équivalent à A = X.) Définition [Frontière.] Si A est un sous-ensemble de X, on appelle frontière de A, et l on note F r(a), l ensemble : F r(a) = A A. 1.2 Axiomes de séparation. Définition Un espace topologique X est : 5

6 Un espace T 1 si pour tous x, y, points distincts de X, il existe un ouvert O, tel que y O, mais x / O Un espace T 2 (ou Hausdorff) si pour tous x, y, points distincts de X, il existe deux ouverts, O x, et O y, tels que x O x, y O y, et O x O y = φ. on dit que X est régulier si pour tout x X, pour tout fermé C X, x / C, il existe deux ouverts O x, et O C, contenant x, et C respectivement, tels que O x O C = φ. Un espace T 3 si X est T 1, et régulier. (On dit également Hausdorff régulier.) Un espace T 4 (ou normal) si X est T 1, et si, étant donnés deux fermés disjoints de X, C 1 et C 2, il existe deux ouverts disjoints O 1, et O 2, tels que C 1 O 1, et C 2 O 2. Evidemment, T 4 T 3 T 2 T 1. Les caractérisations suivantes sont également utiles : Lemme Un espace X est T 1 si et seulement si les singletons {x} X sont des fermés. 2. Un espace est régulier si et seulement si les voisinages fermés de chaque point constituent une base de voisinages. Démonstration: 1- Soit {x} un singleton dans X. La propriété T 1 implique que chaque point du complémentaire de {x} est contenu dans un ouvert O, ne contenant pas x. Le complémentaire de {x} est donc ouvert. Inversement, si l on suppose que tout singleton est fermé, et x, y sont deux points distincts de X, alors le complémentaire de {x} est un ouvert contenant y, mais pas x. 2- Supposons que les voisinages fermés de chaque point constituent une base de voisinages dans X. Soient x, et C, comme dans (3). Le complémentaire X C, de C, est un ouvert contenant x, donc, d après l hypothèse, contient aussi un voisinage fermé, F, de x. On prend pour O C, le complémentaire de F, et pour O x, n importe quel voisinage ouvert de x, contenu dans F. Inversement, supposons que X est régulier. Soient x un point de X, et O un voisinage ouvert de X. La régularité de X implique qu il existe un ouvert U, contenant le complémentaire de O, et un ouvert V, contenant x, tels que U V = φ. Le complémentaire de U est un fermé contenant V, et contenu dans O Les axiomes le plus souvent utilisés en topologie sont T 2 et T 4. Par exemple R est un espace normal. Plus généralement, tout espace métrique est un espace normal. Habituellement, un espace de Hausdorff est appelé simplement un espace séparé (sans autres précisions.) 1.3 Axiomes de dénombrabilité. Définition Un espace topologique S 1. Est séparable si S contient un sous ensemble dénombrable dense. 2. Satisfait le premier axiome de dénombrabilité (D1), si chaque point de S admet une base de voisinages, qui est dénombrable. 3. Satisfait le second axiome de dénombrabilité (D2), si la topologie de S est à base dénombrable. Tout espace métrique satisfait D1. Un espace métrique satisfait D2 si et seulement si il est séparable. Tout espace qui satisfait D2 est séparable. La réciproque est fausse : voir R, avec la topologie engendrée par les {[a, b[, a, b R}. 1.4 Treillis des topologies Comparaison des topologies. Définition (Topologie plus fine.) Soient deux topologies τ 1, et τ 2 sur un ensemble X. On dit que τ 2 est plus fine que τ 1, si tout ouvert de τ 1 est aussi un ouvert pour τ 2. C est à dire, si τ 1 τ 2. Remarque Deux topologies τ 1 et τ 2 ne sont pas obligatoirement comparables. La topologie la plus fine sur un ensemble est la topologie discrète (dans laquelle toute partie de X est un ouvert.) La 6

7 topologie la moins fine est la topologie grossière (qui ne contient que deux ouverts, X et φ.) On reviendra plus en détail sur ces notions par la suite. Définition (Treillis des topologies.) Le treillis des topologies sur un ensemble X est la famille partiellement ordonnée des topologies de X. Dans ce treillis, deux topologies τ 1 et τ 2 admettent toujours un plus petit majorant, qui est la plus petite topologie contenant à la fois τ 1, et τ 2. Si X est un ensemble fini, ce treillis s explicite facilement (voir exercices.) 1.5 Suites généralisées. Dans un espace métrique X, l adhérence d une partie A, de X, peut se décrire comme l ensemble des limites des suites convergentes de points de A. Cela reste vrai, plus généralement, si l espace X satisfait l axiome D1. Dans le cas général, les suites ne sont plus suffisantes (voir exercices.) On utilise alors des suites généralisées, ou nets. La différence essentielle avec les suites étant que l ensemble des indices de la suite n est plus supposé dénombrable, ni totalement ordonné. Un ordre partiel reste cependant indispensable. Définition [Ordre partiel.] Soit I un ensemble. Un ordre (partiel) sur I est la donnée d un sous ensemble G, de I I, satisfaisant les conditions suivantes : Pour tous i, i 1, i 2, éléments de I : 1. Transitivité : si (i 1, i 2 ) G, et (i 2, i 3 ) G, alors : (i 1, i 3 ) G 2. Reflexivité : pour tout i I, (i, i) G. 3. Antisymétrie : si (i 1, i 2 ) G, et (i 2, i 1 ) G, alors i 1 = i 2. L ensemble G est appelé un graphe. On considére le plus souvent la relation sur I, associée au graphe G. On note cette relation, avec i 1 i 2 (i 1, i 2 ) G. Définition [Ordre filtrant croissant.] Soit (I, ) un ensemble partiellement ordonné. On dit que l ordre est filtrant croissant si pour toute paire (i 1, i 2 ), d éléments de I, il existe une élément i, de I, tel que i 1 i, et i 1 i. On dit que i est un majorant de {i 1, i 2 } Définition [Nets] Soit X un espace topologique. Un net (ou suite généralisée) dans X est la donnée d un couple (x, I), dans lequel I est un ensemble muni d un ordre filtrant croissant, et x est une application de I dns X. On notera souvent x i l élément x(i), et (x i ) i I le net x. Définition [Sous-net (définition simplifiée).] Soit (x i ) i I un net dans X. Un sous-net de (x i ) i I, est un net (y j ) j J dans X, dans lequel J I, avec l ordre hérité de I, et tel que pour tout i I, il existe j J, avec j i. On remarque que si I est l ensemble des entiers naturels, avec l ordre usuel, ces définitions coincident avec les définitions de suites et de sous-suites. Définition [Convergence.] Un net (x i ) i I dans un espace topologique X converge vers un point x X, si quel que soit le voisinage V x, de x, il existe i 0 I, tel que, pour tout i, avec i 0 i, x i V x. Un point x X est appelé point d accumulation (ou valeur d adhérence) d un net (x i ) i I, si, quel que soit le voisinage V x, de x, et quel que soit i 0 I, il existe i I, avec i 0 i, tel que x i V x. C est à dire, s il existe un sous-net de (x i ) i I, convergeant vers x. Proposition Soient X un espace topologique. Soit A une partie de X. Un point x est adhérent à A si et seulement si il existe un net dans A, convergeant vers x. 7

8 Démonstration: Supposons d abord que x est adhérent à A. Soit B x une base de voisinages en x. Soit V B x, un voisinage de x. Alors V contient (au moins) un point de A que l on notera a V. On ordonne B x par inclusion inverse. (C est à dire : V 1 V 2 V 2 V 1.) Le net (a V ) V Bx converge vers x. La réciproque est évidente. 8

9 Rappels - Exercices Exercice 1 Sur X = [0, 1[ R, on considére τ = {[0, α[, 0 < α 1} {φ}. Vérifier que τ est une topologie sur X. Décrire les fermés de (X, τ). Soit I = [a, b] X. Décrire l intérieur, l adhérence et la frontiére de I. X est-il un espace de Hausdorff?, un espace T 1? Exercice 2 Soit R = {(x, 0)/x R} R 2 la droite réelle, considérée comme le sous ensemble du plan, constituée des points dont l ordonnée est nulle. On définit X = R {a}, avec a = (0, 1), a R 2. On munit X de la topologie τ, dont les ouverts sont les parties de X qui sont contenues dans R, ou sont le complémentaire d un ensemble dénombrable : τ = {O P(X)/O R, ou : A dénombrable : O = X A} Montrer que a est dans l adhérence de R, mais qu aucune suite de points de R ne converge vers a. Quelles sont les suite de X qui admettent a comme valeur d adhérence? Quelle est la topologie induite par X sur R? Exercice 3 Une partie K, d un espace vectoriel E est dite convexe si quels que soient a 1 et a 2, éléments de K, et quels que soient les réels positifs λ 1, λ 2, avec λ 1 + λ 2 = 1, λ 1 a 1 + λ 2 a 2 K. Montrer l équivalence des propriétés suivantes : 1) K est convexe. 2) Pour tout ensembles fini {a 1, a 2,... a n } K, et pour toute famille finie {λ 1, λ 2,... λ n } de réels positifs, telle que n i=1 λ i = 1, on a : n i=1 λ ia i K. (On appelle ce type de some une combinaison convexe des a i.) Exercice 4 Trouver toutes les topologies d un ensemble à deux éléments (il en existe 4). Faire le treillis de ces topologies. Exercice 5 Soit X un ensemble ordonné. On définit, pour x X, les sous ensembles [x, ) = {y X/y x}, et (, x] = {y X, y x}. Les ensembles suivants de parties de X : A d = {[x, ), x X}, et : A g = {(, x], x X}, engendrent des topologies sur X notées τ d et τ g, et appelées respectivement topologie droite et topologie gauche. Montrer les assertions suivantes : 1) Les ensembles A d, et A g forment une base de τ d et τ g. 2) Pour les topologies τ d et τ g, toute intersection d ouverts est un ouvert. 3) Pour la topologie droite {x} = (, x]. Pour la topologie gauche {x} = [x, ). 4) Pour ces deux topologies, toute partie non vide finie possède un point isolé. 5) Si, pour τ d, la partie X est sans point isolé, alors tout ouvert est infini (de même pour τ g ). 6) Sup(τ d, τ g ) = U, la topologie discrète. Exercice 6 Pour a > 0 et b, c R, soit D a,b,c = {(x, y) R R/y ax + b, et y ax + c}. On note D l ensemble des D a,b,c, avec a > 0 et b, c R. 1) Représenter graphiquement les ensembles D a,b,c. Montrer que si A, B D, alors A B φ, et x A B, C x D tel que x C x A B 2) En déduire que A B est réunion d éléments de D. 3) Soit τ l ensemble des réunions quelconques ou vides d éléments de D. Montrer que (R 2, τ) est un espace topologique de base D. 4) Pour cette topologie τ montrer que tout ouvert non vide est partout dense. 5) Déterminer l intérieur et l adhérence de : A = {(0, 0)}; B = {(x, y), x 2 + y 2 < 1}; B = {(x, y), x 2 + y 2 1}; S = {(x, y), x 2 + y 2 = 1}; C = {(x, y), y > 0}; D = {(x, y), x > 0}; 9

10 E = {(0, y), y > 0}; R {0}; {0} R; Z Z. 6) Trouver les topologies induites sur R {0} ; et {0} R par τ. 7) Soit D = D E, où E = {E a,b, a, b R}, et E a,b = {(a, y), y b} a) Montrer que D est base d une topologie τ sur R 2. b) Démontrer que τ est strictement plus forte que τ. c) Quelles sont les topologies induites par τ sur {0} R et R {0}? d) Trouver les points isolés pour τ et τ de B, B et S. e) Est-ce que τ possède la propriété 4)? f) Calculer l intérieur et l adhérence de D, pour τ. Exercice 7 Soit (X, d) un espace métrique, et soit P X une partie de X. Soit x un point de X. 1) Montrer l équivalence des assertions a) et b) ci dessous : a) x est un point adhérent à P. b) Il existe une suite de points de P qui converge vers X. 2) En déduire que la topologie définie à l exercice 2 n est pas métrisable. Exercice 8 On reprend l espace X, de l exercice 2. Soit f : X {0, 1}, définie par f(x) = 0, si x R, et f(a) = 1. Montrer que f est séquentiellement continue, mais non continue sur X. (On dit qu une application f est séquentiellement continue sur X, si, pour tout x X, et pour toute suite (x n ) n N, convergeant vers x, dans X, la suite (f(x n )) n N converge vers f(x).) Exercice 9 Soit (X, τ) un espace topologique. On dit qu une partie A X est rare (ou nulle part dense) si A est d intérieur vide. Une réunion au plus dénombrable de parties rares est dite maigre. 1) Montrer que si A est rare, toute partie de A est rare. 2) Montrer que toute réunion dénombrable de parties maigres est maigre. 3) Montrer l équivalence de ii), et iii), et que i) implique ii) ci dessous : i) Toute partie maigre est rare. ii) Toute réunion dénombrable de fermés rares est d intérieur vide. iii) Toute intersection dénombrable d ouverts denses est dense. (Un espace qui satisfait ces propriétés est appelé espace de Baire.) 4) On munit R de la topologie τ, engendrée par les parties de R, dont le complémentaire est au plus dénombrable ; (R, τ) est il un espace de Baire? 5) Même question pour R muni de la topologie droite τ d ( ayant pour base les intervalles [x, + [). 10

11 Chapitre 2 Produits d espaces topologiques 2.1 Topologie produit. Définition [Application ouverte, application fermée.] Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application f : X Y est dite dite ouverte (resp.fermée) si l image par f d un ouvert (resp. d un fermé) de X est un ouvert (resp. un fermé) de Y. Définition [Espace produit.] Soit (X i ) i I une famille d espaces topologiques (pouvant être finie, dénombrable ou non dénombrable). L espace produit X = i I X i est le produit cartésien des espaces X i, muni de la topologie engendrée par les ouverts élémentaires : O = i I O i, pour lesquels chaque O i est un ouvert de X i, et O i = X i, sauf pour un nombre fini d indices. Ces ouverts élémentaires constituent une base de la topologie produit. Note Dans tout ce qui suit, nous supposerons que l espace produit X n est pas vide (i.e., aucun des X i est vide.) L exclusion de cas trivial permettra d alléger l énoncé des propositions et théorèmes. La topologie produit est donc constituée des réunions quelconques d ouverts élémentaires. Les ouverts élémentaires sont une base de la topologie produit, car i I O i i I U i = i I O i U i, pour tout couple ( i I O i, i I U i) d ouverts élémentaires. Notation Un élément x, du produit X = i I X i, est une application x : I i I X i, telle que, pour tout i, élément de I, x(i) X i. On notera également l application x comme la famille (x i ) i I. Définition (Projection canonique.) On note, pour chaque i I, la projection canonique p i : X X i, définie par p i ((x j ) j I ) = x i (ou encore : p i (x) = x(i).) Proposition Chacune des projections p i est une application surjective, continue et ouverte. Démonstration: La surjectivité est évidente. Soit p i une projection. Soit O i un ouvert de X i. On a p 1 i (O i ) = O i j i X j, qui est un ouvert élémentaire ; p i est donc continue. Soit U = j I U j un ouvert élementaire. p i (U) = U i est un ouvert de X i ; p i est donc une application ouverte. Note Les projections p i ne sont cependant en général pas fermées. Penser par exemple à R 2, avec le fermé F = {n>0, entier} [n, n + 1/2] [0, 1 1/n]. Proposition La topologie produit est la topologie la moins fine sur X rendant toutes les projections p i continues. 11

12 Démonstration: On a déjà vu que les projections sont continues, si X est muni de la topologie produit. Soit τ une topologie sur X rendant chacune des projections p i continues. Soit O i un ouvert de X i. Alors p 1 i (O i ) = O i j i X j est un ouvert de τ. Les ouverts élémentaires sont des intersections finies de ce type d ouverts, donc appartiennent aussi à τ. Il en résulte que τ contitent la topologie produit. Note On dit que la topologie produit est la topologie initiale de la famille d application (p i ) i I. Les topologies initiales seront étudiées de maniére plus systématique dans la suite du cours. 2.2 Propriétés de la topologie produit. Proposition Si chacun des espaces X i est un espace de Hausdorff, le produit X = i X i est également un espace de Hausdorff. Inversement, si X est un espace séparé (au sens de Hausdorff), chacun des X i est également un espace de Hausdorff. Démonstration: Soient x et y deux points distincts de X. Il existe un indice i I, tel que x i y i. Soient O x et O y deux ouverts disjoints de X i, contenant respectivement x i et y i. Alors p 1 i (O x ), et p 1 i (O y ) sont deux ouverts disjoints de X, contenant respectivement x et y. Proposition Soit (x ν ) ν J un net dans l espace produit X. Alors (x ν ) ν J converge vers x X si et seulement si pour chaque projection p i : X X i, le net (p i (x ν )) ν J converge vers vers p i (x). Démonstration: Il est clair que si (x ν ) ν J converge vers x, alors (p i (x ν )) ν J converge vers p i (x), par continuité des applications projections. Réciproquement, soit U x un ouvert élémentaire de X, contenant x. Ecrivons U x = j {j 1,j 2,...,j n} O j i/ {j 1,j 2,...,j n} X i. Il existe ν 0, tel que pour tout ν > ν 0, et pour tout j {j 1, j 2,..., j n }, p j (x ν ) O j. Alors, pour tout ν > ν 0, x n u U x. Théorème [Théorème de Tychonov.] Soit X = i I X i. Alors X est compact si chacun des espaces X i est compact. si et seulement Démonstration: Si X est compact, chacun des X i = p i (X) est compact, car les projections p i sont continues. Inversement, supposons que chacun des X i est compact. La réciproque peut se démontrer de maniére simple pour un produit dénombrable d espaces métriques (voir les exercices.) La démonstration dans le cas général sera donnée dans un chapitre ultérireur, consacré aux propriétés et caractérisations des espaces compacts. Théorème Si chacun des X i est connexe, l espace produit X = i I X i est également connexe. Démonstration: Voir le chapitre sur les espaces connexes. Note On rappelle qu un espace topologique Y est dit compact si, de tout recouvrement ouvert de Y, on peut extraire un sous-recouvrement fini. Si Y est un espace métrique, alors Y est compact si et seulement si de toute suite de points de Y, on peut extraire une sous suite convergente dans Y (théorème de Bolzano-Weierstrass). Un espace topologique Y est dit connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de Y sont l ensemble vide, et Y lui-même. On étudiera cette notion de connexité en détail dans un chapitre ultérieur. 12

13 Produits d espaces topologiques - Exercices Exercice 10 Soit (X, d) un espace métrique. Montrer que d, définie par d(x, y) = d(x, y)/(1 + d(x, y)) est également une distance sur X, et que les topologies définies par d et d sont identiques. Exercice 11 Soit (X n, d n ) n N une suite d espaces métriques. On suppose que pour tout entier n, et pour tout couple (x n, y n ), d éléments de X n, on a d n (x n, y n ) < Soit X le produit des (X n ) n N. Montrer que d(x, y) = n N 2 n d n (x n, y n ) définit une distance sur X. 2. Montrer que chacune des projection p n : X X n est une application continue, lorsque X est muni de la distance d. 3. En déduire que la topologie de X, associée à la distance d, est plus fine que la topologie produit sur X. 4. Soient x X, et B(x, ɛ) une boule ouverte, centrée en x de rayon ɛ > 0 relative à la distance d. Montrer qu il existe un voisinage V, de x, pour la topologie produit, tel que V B(x, ɛ). 5. En déduire que la topologie produit sur X est identique à la topologie associée à la distance d. Exercice 12 Soit X un produit dénombrable d espaces métriques (X(l), d l ) l N. On suppose que chacun des (X(l)) l N est compact. Soit (x n ) n N une suite dans X. 1. Construire par récurrence, pour chaque q N, une suite x (q), telle que x (0) est une sous-suite de la suite (x n ) n N x (q) est une sous-suite de x (q 1), pour tout q 1 p q (x (q) ) est une suite de Cauchy dans X(q). 2. Soit (y q ) q N une suite construite en choisissant, pour chaque q, un point, x n(q) arbitrairement, dans la suite x (q), de telle sorte que : n(q + 1) > n(q). Montrer que la suite (y q ) q N est une sous-suite convergente de la suite (x n ) n N, dans X. 3. En déduire que X est compact. Exercice 13 Soit X = j J X J. Soient Y un espace topologique, et f : Y X une application. 1. Montrer que si f est continue, chacune des applications p j f : Y X j est continue. 2. Inversement, on suppose maintenant que chacune des p j f : Y X j est continue. Soient y Y, et O un ouvert élémentaire de X contenant f(y). Montrer que, pour chaque j J, il existe un voisinage ouvert U j, de y dans Y, tel que p j f(u j ) p j (O) 3. Montrer que l on peut choisir les U j de la question précédente, de telle sorte que leur intersection soit encore un ouvert de Y. 4. En déduire que, sous l hypothése de la question (2), f est continue. Exercice 14 Soit f : R R R, définie par f(x, y) = xy/(x 2 + y 2 ), si x 2 + y 2 0, et f(0, 0) = 0. Montrer que pour tout x R, l application partielle f x : y f(x, y) est continue, de R, dans R. Montrer de même que, pour y R fixé, l application partielle f y : x f(x, y) est continue, mais que f n est pas continue, de R 2, dans R Exercice 15 Montrer que les applications de R dans R : x sin(x), et x x 2 ne sont pas ouvertes. Exercice Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue, ouverte, et fermée. 2. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue et ouverte, mais non fermée. 3. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue et fermée, mais non ouverte. 4. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue, mais ne soit ni ouverte, ni fermée. 13

14 Exercice 17 Soit f : X Y une application entre deux espaces topologiques. 1. Montrer que f est ouverte si et seulement si, pour toute partie P X, f(p ) (f(p )). 2. Montrer que f est fermée si et seulement si, pour toute partie P X, f(p ) f(p ). Exercice 18 Soit X = i I X i. 1. On se donne, pour chaque i I, un fermé F i X i. Montrer que i I F i est un fermé de X. 2. Soit (A i X i ) i I une famille de parties des X i. Soit x X. Montrer que si, pour tout i I, p i (x) est adhérent à A i, alors, x est adhérent à i I A i. 3. En déduire que pour toute famille (A i X i ) i I de parties des X i, on a i I A i = i I A i. Exercice 19 Soit X = X 1 X 2... X n un produit fini d espaces topologiques. Montrer pour toute famille {A 1 X 1, A 2 X 2,... A n X n } de parties des X i, ( n i=1 A i) = n i=1 (A i). Cela reste-t-il vrai pour un produit infini? Exercice 20 [Exercice de révisions.] Soit f : X Y une application entre deux espaces topologiques. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : 1. Pour tout ouvert O, de Y, f 1 (O) est un ouvert de X. 2. Pour tout fermé F, de Y, f 1 (F ) est un fermé de X. 3. f est continue en chaque point x X (i.e : pour tout voisinage ouvert, O f(x), fr f(x) dans Y, il existe un voisinage ouvert O x, de x dans X, tel que f(o x ) O f(x). Une application satisfaisant ces conditions est dite continue sur X. 14

15 Chapitre 3 Espaces compacts. 3.1 Nets et filtres. Définition [Eventuellement et finalement.] 1. Soient (x i ) i I un net dans un ensemble X, et A une partie de X. On dira que le net (x i ) i est fréquemment dans A si, quel que soit i 0 I, il existe i 1 I, i 0 i 1, tel que x i1 A. 2. Soient (x i ) i I un net dans un ensemble X, et A une partie de X. On dira que le net (x i ) i est finalement dans A s il xiste i 0 I, tel que pour tout i I, avec i 0 i, x i A. Note On peut réecrire avec cette terminologie les notions de convergence déjà vues au chapitre précédent : Soit (x i ) i I un net dans X. Le net (x i ) i I converge vers x X si et seulement si (x i ) i I est finalement dans chacun des voisinages ouverts de x. Un point x X est un point d accumulation du net (x i ) i I, si et seulement si (x i ) i I est fréquemment dans chacun des voisinages ouverts de x. Lemme Soit x : I X un net dans X. Soient A et B deux parties de X. Alors x est fréquemment dans A B si et seulement si x est fréquemment dans A, ou fréquemment dans B. Démonstration: Supposons que x est fréquemment dans A B, et que x n est fréquemment ni dans A, ni dans B. Il existe i A et i B, éléments de I, tels que pour tout i, élément de I, on ait : [i A i x i / A], et [i B i x i / B]. Il suffit alors de considérer un majorant de {i A, i B }, pour voir que x n est pas fréquemment dans A B. La réciproque est évidente. Définition [Sous-net : définition généralisée.] Soit x : I X un net dans un espace X. Un sous-net de (x i ) i I est la donnée d un net y : M X, et d une application h : M I, telle que y = x h (i.e : (y m = x h(m) ) m M ), et telle que pour tout i, élément de I, il existe m M, tel que i h(m ), pour chacun des m M, majorant m Dans la plupart des cas, l application h pourra être choisie monotone croissante. Il suffira alors de vérifier que pour chaque i I, il existe m M, tel que i h(m). On est alors ramenés à la définition simplifiée, donnée au chapitre précédent. Définition [Net universel.] Un net (x i ) i I, dans un espace X est dit universel si, pour toute partie A X, le net (x i ) i I est finalement dans A, ou est finalement dans X A. On remarque qu un net universel converge vers chacun de ses points d accumulation. Si X est un espace de Hausdorff, un net universel posséde au plus un point d accumulation, qui est alors sa limite. 15

16 Lemme [Lemme technique.] Soit B une famille de parties de X, qui est filtrante croissante pour l inclusion inverse. Soit (x i ) i I un net qui est fréquemment dans chacune des parties B B. Il existe un sous-net (x h(µ) ) µ M, de (x i ) i I, qui soit finalement dans chacun des b B. Démonstration: Soit M = {(i, B) I B, /x i B}. On munit M de l ordre produit sur I B, c est à dire : (i 1, B 1 ) (i 2, B 2 ) si et seulement si i 1 i 2, et B 2 B 1. On vérifie que M, muni de cete ordre, est filtrant croissant. On définit h : M I, par h(i, B) = i, alors le net (x h(µ) ) µ M est finalement dans chacune des parties B B. Définition [Filtre pour un net.] On appelle filtre pour le net (x i ) i I, une famille F, de parties non vides de X, telle que : 1. Si F 1 F, et F 2 F, alors F 1 F 2 F. (En particulier, F est une famille de parties de X qui est filtrante croissante pour l inclusion inverse.) 2. Si F F, et si G est une partie de X contenant F, alors G F. 3. Le net (x i ) i I est fréquemment dans chacun des F F. Les filtres pour un net (x i ) i I sont ordonnés partiellement par l inclusion. On dira que F 1 F 2, ou encore, que F 2 est plus fin que F 1, si F 1 F 2. L ensemble des filtres de (x i ) i I est non vide ({X} est toujours un filtre de (x i ) i I ). De plus, tout famille de filtres {F j, j J}, totalement ordonnée par l inclusion admet un majorant (la réunion des filtres {F j, j J} est encore un filtre pour (x i ) i I.) Par le lemme de Zorn, il existe donc un filtre maximal F, pour (x i ) i I. Lemme [Lemme technique.] Tout net (x i ) i I admet un sous-net universel. Démonstration: Soit F un filtre maximal pour (x i ) i I. Fixons une partie Y X. Soient E F et F F. Le net (x i ) i I est fréquemment dans E F, car E F F. Comme E F = (E F Y ) (E (F Y )), le net (x i ) i I, est fréquemment dans E F Y, ou fréquemment dans E (F Y ). A fortiori, le net (x i ) i I est fréquemment dans dans E Y, ou fréquemment dans F Y. Il en résulte que (x i ) i I est fréquemment dans E Y, pour tout E F, ou fréquemment dans F Y, pour tout F F. Dans le premier cas, F = {G X/E Y G, E F} est un filtre pour (x i ) i I, contenant F. Par maximalité, on a F = F, et donc Y F. Dans le second cas (en remplaçant E Y par F Y ), on conclut de la même maniére que F Y F, ce qui implique X Y F. Appliquant le lemme technique précédent, avec B = F, on obtient un sous net (x µ ) µ de (x i ) i I, qui est finalement dans Y (premier cas), ou finalement dans X Y (second cas.) 3.2 Espaces compacts. Théorème Soit (X, τ) un espace topologique. les conditions suivantes sont équivalentes : 1. Tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrememnt fini de X. 2. Si est une famille de fermés de X, telle que toute intersection finie d éléments de soit non vide, alors l intersection de tous les éléments de est non vide. 3. Tout net dans X posséde un point d accumulation. 4. Tout net universel dans X est convergent. 5. Tout net dans X admet un sous-net convergent. Démonstration: (1) (2). Soit comme dans (2), et supposons que F F = φ. Alors {X F, F } est un recouvrement ouvert de X. Par (1), on peut en extraire un sous recouvrement fini {X F 1, X F 2,..., X F n } de X. Alors, F 1 F 2... F n = φ, ce qui est une contradiction. 16

17 (2) (3). Soit (x i ) i I un net dans X. On définit, pour chaque i I, F i = {x j, i j}. Alors = {F i, i I} vérifie les conditions de (2). Soit x i I F i. Soit O x un voisinage ouvert x. Comme x est adhérent à chacun des sous ensembles {x j, i j}, lorsque i parcourt I, O x rencontre chacun de ces sous ensembles. Le net (x i ) i I est donc fréquemment dans O x. Comme cela est vrai quel que soit le voisinage ouvert de x, x est un point d accumulation de (x i ) i I. (3) (4). Un net universel converge vers chacun de ses points d accumulation. (4) (5). Utiliser le lemme technique (5) (3). Evident. (3) (1). Soit σ un recouvrement ouvert de X, dont on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini. Soit λ un sous ensemble fini de σ. Il existe un point x λ X, n appartenant pas à {O λ}. On ordonne les sous ensembles finis λ σ par l inclusion (λ 1 λ 2 si tout ouvert appartenant à λ 1 appartient aussi à λ 2.) Cet ordre est filtrant croissant. Utilisant l axiome du choix, on peut donc former le net (x λ ) λ, indéxé par les parties finies λ, de σ. Par (3) (qui est une conséquence de (1)), (x λ ) λ possède un point d accumulation x X. Soit U σ. Soit O x un voisinage ouvert quelconque de x. Il existe λ 0, partie finie de σ, telle que x λ O x, pour toute partie finie, λ σ, contenant λ 0. En particulier, x λ0 {U} O x. A fortiori, X U O x φ. Ceci étant vrai pour tout voisinage ouvert O x, de x, on en déduit x X U (car X U est fermé.) En répétant l argument pour chacun des U σ, on conclut que x n appartient à aucun des ouverts de σ, et que σ ne recouvre donc pas X, ce qui est contradictoire. Définition [Espace compact.] Un espace X satisfaisant les condition du théorème sera dit compact. Note On inclut parfois, dans la définition d un espace compact, la condition que X soit séparé (au sens de Hausdorff). Il existe cependant des exemples importants d espaces qui sont compacts (au sens ci-dessus), mais non séparés. De plus, l axiome de séparation ne simplifie pas substanttiellement les démonstrations. On adoptera donc la terminologie distinguant espace compact et espace compact séparé. 3.3 Propriétés des espaces compacts. Lemme Soit X un espace compact. Soit C X, un fermé de X. Alors C est compact (pour la topologie héritée de X.) Démonstration: C est une conséquence de 3.2.1, (2). Comme C est fermé dans X, les fermés de C pour la topologie relative sont également des fermés de X. Proposition Tout espace compact séparé est un espace T 3 (i.e. Hausdorff régulier.) Démonstration: Soit (X, τ) un espace compact séparé. Soit C un fermé dans X, soit x X C. Comme X est un espace de Hausdorff, on peut trouver, pour chacun des y C, deux voisinages ouverts U y, de y, et V y, de x, dont l intersection est vide. Comme C est compact, il existe un ensemble fini {y 1, y 2..., y n } de points de C, tel que {U y1, U y2..., U yn } recouvre C. Il suffit alors de prendre O C = {U y1, U y2..., U yn }, et O x = {V y1, V y2..., V yn }. Proposition Si X est Hausdorff, et si C X est compact, alors, pour tout x X C, il existe deux ouverts disjoints O x, et O C, contenant respectivement x et C Démonstration: Identique à la démonstration précédente. Corollaire Soit X un espace de Hausdorff. Soit C X. Si C est compact, alors C est fermé. 17

18 Démonstration: Soit x X, x C. La proposition précédente montre que x n est pas dans l adhérence de C. Corollaire Soit X un espace compact séparé. Soit C X. Alors C est compact si et seulement si C est fermé. Démonstration: Utiliser et Théorème Tout espace de Hausdorff compact est un espace normal. Démonstration: Soient C 1 et C 2 deux fermés disjoints dans X. Alors C 1 et C 2 sont compacts. Comme X est T 3, on peut trouver, pour chaque x C 2, deux ouverts disjoints O x et U x, contenant x, et C1 respectivement. Du recouvrement ouvert {O x, x C 2 }, on extrait un sous recouvrement fini {O x1, O x2,..., O xn }. On prend alors O C2 = {O x1, O x2,..., O xn }, et O C1 = {U x1, U x2,..., U xn }. Proposition Soit f : X Y une application continue entre deux espaces topologiques X et Y. Si X est compact, f(x) est compact. Démonstration: Soit σ un recouvrement ouvert de f(x). Alors f 1 (σ) est un recouvrement ouvert de X. On extrait de f 1 (σ) un sous-recouvrement fini {O 1, O 2,..., O n } de X. Alors {f(o 1 ), f(o 2 ),..., f(o n )} est un recouvrement fini de f(x), extrait de σ. Théorème [Théorème de Tychonov.] Soit X = j J X j. Si chacun des X j est compact, X est compact. Démonstration: Soit x un net universel dans X. Pour chaque j J, notons p j : X X j la projection. Alors, p j (x) est un net universel dans X j. Comme X j est compact, p j (x) est convergent. Il en résulte que x est convergent. 18

19 Espaces compacts - Exercices Exercice 21 On note K 3 l ensemble des réels de la forme x = n 1 α n3 n, avec, pour tout n, α n {0, 2}. La topologie de K 3 est la topologie héritée de la droite réelle (celle de la distance.) Montrer que K 3 est d intérieur vide, et que K 3 ne contient pas de point isolé. L espace K 3 s appelle l espace de Cantor. Exercice 22 Pour chaque entier n 0, on définit K 3 (n) par récurrence : K 3 (0) = [0, 1]. K 3 (n+1) est obtenu de K 3 (n) en enlevant le tiers central ouvert de chacun des intervalles composant K 3 (n). On note I(3) l intersection de tous les K 3 (n), n parcourant N. Montrer que I(3) est compact, non vide. Exercice 23 On reprend les espaces construits dans les exercices 21 et 22. Montrer que K 3 et I(3) sont les mêmes sous-ensembles de l intervalle [0, 1]. Exercice 24 Soit f : X Y une bijection continue entre deux espaces topologiques X et Y. Montrer que si X est compact, et Y est séparé, f est automatiquement une application ouverte. En déduire que la bijection réciproque f 1 est également continue. (Une bijection continue dont la réciproque est également continue s appelle un homéomorphisme.) Exercice 25 Soit f : X Y une application entre deux espaces de Hausdorff compacts. Montrer que si le graphe de f est fermé dans X Y, alors f est continue. Réciproque? Exercice 26 Montrer que si f : X Y est une bijection entre deux espaces compacts séparés, alors f est continue si et seulement si f est ouverte. Exercice 27 Montrer que K 3 est homéomorphe à n N E n, avec E n = {0, 2}, pour tout n. Exercice 28 [Plus difficile.] 1. Soit x K 3. Montrer qu il existe une base de voisinages de x, constituée de parties à la fois ouvertes et fermées de K Soit x K 3. Soit O x un ouvert de K 3 contenant x. Montrer que O x est la réunion de deux ouverts disjoints de K 3 Exercice 29 Soit X un espace métrique compact. Soit R un recouvrement ouvert de X. Montrer qu il existe un ɛ > 0 tel que toute boule ouverte de rayon ɛ soit contenue dans l un au moins des ouverts du recouvrement. (Le sup des ɛ satisfaisant cette condition est appelée le nombre de Lebesgue du recouvrement R.) Exercice 30 Soit X = ([ 1, 0] {0}) ([0, 1] {1}) [ 1, 1] {0, 1}. Vérifier que l application p : X R +, définie par p((x 1, i 1 ), (x 2, i 2 )) = x 1 x 2 satisfait l inégalité triangulaire. (On dit que p est une pseudo-distance sur X.) En déduire que l intersection de deux boules ouvertes (au sens de la pseudo-distance p) est une réunion de boules ouvertes (toujours au sens de la pseudo-distance.) En déduire que ces boules ouvertes constituent une base d une topologie τ, sur X. Montrer que la suite ((1/n, 1)) n>0 converge vers (0, 0), et vers (0, 1). Essayer de trouver une variante de cet exercice dans lequel X est T 1. Exercice 31 Soit (x i ) i I un net dans un espace X. Soit A X une partie de X. Montrer que le net (x i ) i I ne peut pas à la fois être finalement dans A, et finalement dans X A. 19

20 Exercice 32 1-Soit X un espace de Hausdorff. Soit (x i ) i I un net dans X, covergeant vers un point x 0 X. Soit y un point de X, distinct de x 0. Montrer qu il existe un voisinage ouvert, O y, de y, tel que (x i ) i I soit finalement dans X O y. En déduire qu un net universel dans X admet au plus un point d accumulation. 2-Réciproque : montrer que si X n est pas un espace de Hausdorff, on peut construire un net dans X convergeant vers deux points distincts x, et y, de X. (Choisir une base B x, de voisinages ouverts de x, une base B y, de voisinages ouverts de y. Indexer le net par les couples (O x B x, O y B y ), avec l ordre produit sur B x B y.) Exercice 33 [Lemme d Urysohn.] 1. Soit X un espace normal. Soient F O X deux parties de X, avec F fermée et O ouverte. Montrer qu il existe un ouvert U X, tel que F U U O. 2. Construire par induction une suite (U r ) r, indéxée par {r = m/2 n, avec : n 1, m < 2 n }, telle que pour tous r < r, on ait : F U r U r U r U r O. 3. Soit f : X [0, 1], définie par : f(x) = 1, si x / r U r, et f(x) = inf{r/x U r }, si x r U r. Soit t [0, 1]. Expliciter f 1 ([0, t[) et f 1 ([0, t]), pour t > 0. En déduire f 1 (]t, 1]), pour t < 1. Montrer que f est continue. 4. En déduire que si X est normal, et si E et F sont deux fermés disjoints de X, il existe une fonction f : X [0, 1], qui est continue, vaut 0 sur F, et vaut 1 sur E. (C est le lemme d Urysohn.) Exercice 34 [Tiré du livre de Georges Skandalis.] Soit X un espace topologique normal. Soit Φ = C(X, [0, 1]) l espace des applications continues, de X dans [0, 1]. On note Y = [0, 1] Φ, l ensemble des applications de Φ dans [0, 1], muni de la topologie produit. 1. Montrer que l application x X T x Y, avec T x (f) = f(x), pour toute fonction f Φ est continue. 2. Montrer que x T x est injective. (Utiliser le lemme d Urysohn.) 3. En déduire que pour tout espace compact séparé K, il existe un ensemble Φ, tel que K soit homéomorphe à une partie fermée de [0, 1] Φ Exercice 35 [Commentaires pour les curieux.] Soit K un compact de R. On dit que K est autosimilaire s il existe des similitudes de R, de rapport inférieur strictement à 1, s 1, s 2,..., s n, telles que K = n j=1 s j(k). Appelons r j le rapport de chaque similitude s j. L application D : R + R +, définie par D(t) = 1 i n rt i est strictement décroissante. Il existe donc un unique d H R, tel que D(d H ) = 1. On dit alors que la dimension fractale de K est plus petite ou égale à d H. Montrer que K 3 est auto-similaire, avec deux similitudes de rapport 1/3. En déduire que la dimension fractale de K 3 est ln(2)/ln(3). (Cette dimension fractale est ici un cas particulier de la dimension de Hausdorff, qui est en général difficile à calculer.) Soit E un espace métrisable séparable. On dit que la dimension topologique de E est 0 si E admet une base topologique constituée de parties à la fois ouvertes et fermées. On dit que E est de dimension au plus n si E admet une base topologique d ouverts dont la frontiére est de dimension au plus n 1. L espace K 3 est donc de dimension topologique 0. La définition originale d un fractal proposée par Benoit Mandelbrojt, est un espace métrique compact, dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure à la dimension topologique. L espace de Cantor K 3 satisfait bien cette condition. 20

21 Chapitre 4 Topologies initiales. 4.1 Définition et exemples. Définition Soit (X i ) i I une famille d espaces topologiques, soit X un ensemble. On suppose donnée, pour chaque i I, une application f i : X X i. La topologie initiale de (X, (f i ) i I ), est la topologie la moins fine sur X, qui rende continues chacune des applications appartenant à {f i, i I}. Exemples Soit X = i I X i. Notons, pour chaque i I, p i : X X i la projection. La topologie produit sur X est la topologie initiale de la famille (X, p i ) i I. 2. Soit X un espace topologique. Soit A X une partie de X. Notons j : A X l inclusion. La topologie induite par X sur A est la topologie initiale de (A, j). On appelle également cette topologie la topologie de A, héritée de X, ou encore, la trace (sur A) de la topologie de X. 3. Soient X un ensemble, et Y un espace topologique. Notons Y X l ensemble de toutes les applications de X dans Y. Pour chaque point x X, on définit l application d évaluation : ev x : Y X Y, par ev x (f) = f(x). La topologie de la convergence simple sur Y X est la topologie initiale de (Y X, (ev x ) x X ). 4. Soit B un espace de Banach. Soit B le dual topologique de B. On appelle topologie faible de B la topologie initiale de (B, B ). Cette topologie est aussi appelée topologie vague de B, et notée σ(b, B ). Cette topologie est en général strictement moins fine que la topologie de la norme sur B, et non métrisable (elle lui est identique si et seulement si B est de dimension finie). 5. Soit B un espace de Banach. Le dual topologique B, de B (muni de la norme usuelle sur les formes linéaires continues), est également un espace de Banach. Chaque x, élement de B définit une forme linéaire continue, notée aussi x, sur B, par x(ϕ) = ϕ(x), pour tout ϕ B. La topologie faible de B est la topologie initiale de (B, B). Elle est également notée σ(b, B). Cette topologie n est pas la topologie faible, σ(b, B ) de l espace de Banach B. Les topologies faible et faible de B coincident seulement si B est un espace réflexif (i.e, quand l inclusion de B dans son bidual est une isométrie surjective). 4.2 Propriétés. Proposition La topologie initiale de (X, (f i ) i I ) est la topologie engendrée par les ensembles {f 1 i (O i ) : i I, O i ouvert de X i }. Démonstration: Appelons τ la topologie initiale de (X, (f i ) i I ). Soit i I. Comme τ contient les préimages de chacun des ouverts de X i, l application f i est bien continue, lorsque X est muni de la topologie τ. Réciproquement, si τ est une topologie sur X, rendant continue chacune des applications f i, τ contient les préimages par f i de chacun des ouverts de X i, et contient donc τ. 21

22 Proposition Soient Y un espace topologique, et τ la topologie initiale d une famille (X, (f i ) i I ). Une application f : Y (X, τ) est continue si et seulement si chacune des compositions f i f : Y X i est continue. Démonstration: Supposons d abord f continue. Alors pour tout i I, f i f est continue. Inversement, supposons que chacune des applications f i f est continue. Soient y Y, et O un voisinage ouvert de f(y) dans X. On suppose que O = f 1 i 1 (O i1 ) f 1 i 2 (O i2 )... f 1 i n (O in ), avec O ij voisinage ouvert de f ij f(y), dans X ij, pour tout 1 j n. Comme chacune des f i f est continue, on peut trouver des voisinages ouverts U 1, U 2,... U n, de y dans Y, tels que f ij f(u j ) O ij, pour tout 1 j n. Alors, avec U = U 1 U 2... U n, on a : f(u) O. 22

23 Topologies initiales - Exercices Exercice 36 Soit H un espace hilbertien de dimension infinie ; notons (x y) le produit scalaire des vecteurs x et y, dans H. La topologie faible de H est la topologie initiale des applications (semi normes) : {p ξ, ξ H}, avec p ξ (x) = (x ξ). 1. Montrer que l adhérence faible de la sphére unité de H contient la boule unité fermée de H. (Elle est en fait égale à la boule unité fermée de H, d aprés le théorème de Hahn-Banach.) 2. Montrer que l intérieur faible de la boule unité ouverte de H est vide. 3. Montrer que tout ouvert faible contenant l origine dans H contient également une intersection finie d hyperplans (Un hyperplan est un sous espace de H, de codimension 1.) 4. (Question facultative.) Montrer qu il n existe aucun voisinage faible, faiblement borné de l origine dans H. 5. (Question facultative.) En déduire que la topologie faible de H n est pas normable (elle n est pas non plus métrisable). Ces résultats se généralisent sans difficulté à la topologie faible des espaces de Banach de dimension infinie en général. Exercice 37 Soit (α n ) n N une suite dans l 1, qui converge faiblement vers 0, c est à dire, pour la topologie σ(l 1, l ). On va montrer que (α n ) n N converge vers 0 fortement (i.e en. 1 ). (On dit que l 1 posséde la propriété de Schur.) On notera <.,. > le crochet de dualité, c est à dire : < x, y >= n x(n)y(n), pour tout x l, et tout y l Montrer que p N, α n (p) 0, n. 2. Soit X la boule unité fermée de l. On munit X de la topologie de la convergence simple (i.e, la topologie produit). Montrer que X est compacte. Montrer que cette topologie peut être décrite par la distance d(x, y) = i=0 x i y i /(1 + 2 i x i y i ). Il s ensuit que X, comme tout espace compact métrisable, est un espace de Baire (voir en analyse fonctionnelle). 3. Soit ɛ > 0. Pour n N, posons : Montrer que X est la réunion des F n. F n = {x X : k n, < x, α k > ɛ} 4. Montrer que si α l 1, et si (x n ) n converge vers x dans X, alors (α(x n )) n converge vers α(x). En déduire que chacun des F n est fermé (dans la topologie produit.) 5. Déduire de (2) et (4), que l un (au moins) des F n est d intérieur non vide (toujours pour la topologie de X). [Indication : la propriété de Baire implique que X n est pas une réunion dénombrable de fermés d intérieur vide.] 6. Soit N, tel que F N soit d intérieur non vide. Montrer qu il existe un entier M N, et δ > 0, tels que, quels que soit x X, ( i {1, 2... M}, x(i) δ) x F N. (Remarquer pour cela que F N est convexe et symétrique ; qu en est-il de son intérieur? Quel point remarquable contient-il?) 7. En choisissant, pour chaque k N, x(i) = 0, i M, et x(i) = phase(α k (i)), i > N, conclure que la suite ( α n 1 ) n converge vers 0. 23

24 24

25 Chapitre 5 Topologie finales. 5.1 Définition et exemple. Définition Soient X un ensemble, (Y i ) i I une famille d espaces topologiques. On suppose donnée, pour chaque i I, une application f i : Y i X. La topologie finale de (X, (f i ) i I ) est la topologie la plus fine de X, rendant continue chacune des applications appartenant à {f i, i I}. Exemple Soit (Y i ) i I une famille d espaces topologiques. La réunion disjointe i I Y i est l ensemble des couples (y, i), avec i I, y Y i. Pour chacun des i I, on définit l inclusion j i : Y i i I Y i, définie par j i (y) = (y, i), pour tout y, élément de Y i. La topologie de i I Y i est la topologie finale de ( i I Y i, (j i ) i I ). C est la topologie engendrée par les couples (O i, i), avec i I, et O i ouvert de Y i. Proposition Soient X, (f i ) i I, (Y i ) i I comme dans la définition La topologie finale de (X, (f i ) i I ) est constiutée des parties O X, telles que pour tout i I, f 1 i (O) soit un ouvert de Y i. Démonstration: Notons τ = {O X / pour tout i élément de I, f 1 i (O) est un ouvert de Y i }. Il est facile de vérifier que τ est bien une topologie de X, et que τ rend continue chacune des applications f i. Soit τ une topologie de X, strictement plus fine que τ. Il existe un τ ouvert U, qui n appartient pas à τ. Il existe donc i I, tel que f 1 i (U) ne soit pas un ouvert de Y i, ce qui montre que f i n est pas τ continue. Corollaire Soient X, (f i ) i I, (Y i ) i I comme dans la définition Soit Z un espace topologique. Une application h : X Z est continue pour la topologie finale de (X, (f i ) i I ), si et seulement si chacune des compositions h f i : Y i Z est continue. Démonstration: Si h est continue, chacune des compositions h f i est évidemment continue. Réciproquement, supposons chacune des compositions h f i continue. Soit O un ouvert de Z. Alors, pour tout i I, (h f i ) 1 (O) est un ouvert de Y i, ce qui montre que h 1 (O) est un ouvert de X. 5.2 Relations d équivalence. Définition Soit X un ensemble. On appelle relation d équivalence sur X, toute relation R, sur X, qui est reflexive (xrx, x X), symétrique (x 1 R x 2 x 2 R x 1, x 1, x 2 X), et transitive ([x 1 R x 2 et x 2 R x 3 ] x 1 R x 3, x 1, x 2, x 3 X). Le graphe de R est le sous espace de X X, constitué des couples (x 1, x 2 ), tels que x 1 R x 2. On le note G(R). La topologie de G(R) est la topologie héritée de la topologie produit de X X. 25