utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynômes, dans la simplification des fractions rationnelles et dans la résolution d équations,
|
|
- Angèle St-Arnaud
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d apprendre à effectuer des opérations dans l ensemble des polynômes, utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynômes, dans la simplification des fractions rationnelles et dans la résolution d équations, utiliser la méthode des coefficients indéterminés lors de la résolution de certaines applications. 3.2 Vocabulaire(Rappels) Monômes Monômes à une variable 1 a La forme générale d un monôme est ax m où x m 4x 3 2x 2 1 Par exemples, 2 x sont des monômes. 3x 0 81 est un coefficient réel (a IR); est la variable; est un naturel (m IN). On appelle valeur numérique d un monôme la valeur que celui-ci prend lorsque l on attribue à sa variable x une valeur réelle. Par exemple, la valeur numérique du monôme 3x 3 pour x = 2 est = 24. Monômes à plusieurs variables 5 est le coefficient, Par exemple, 5x 3 yz 2 est un monôme à plusieurs variables où x 3 yz 2 est la partie littérale de ce monôme. Ce monôme est de degré 3 en x, de degré 1 en y et de degré 2 en z. Le monôme est de degré 6 (= = la somme des degrés des variables) 1 variable = inconnue = indéterminée 27
2 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 28 Monômes semblables Par exemple, 5a 2 b 3 c et 7a 2 b 3 c sont des monômes semblables. Des monômes semblables ont la même partie littérale et le même degré par rapport à chacune d elles Polynômes Définition - Vocabulaire Un polynôme est une somme de monômes. Par exemple, p(x) = } 5x {{ 4 } 2x }{{ 3 } terme de degré 4 terme de degré 3 + } 7x {{ 2 } terme de degré }{{} terme indépendant est un polynôme. On appelle degré d un polynôme le plus grand exposant de la variable (ici x) d un des termes non nuls de ce polynôme. Dans l exemple précédent, on constate que le degré du polynôme est 4. Toujours dans cet exemple, on constate que ce polynôme est ordonné et incomplet. Il est toujours possible de compléter un polynôme incomplet en donnant au(x) terme(s) manquant(s) le coefficient 0: p(x) = 5x 4 2x 3 + 7x 2 + 0x + 1. On appelle valeur numérique d un polynôme la valeur que celui-ci prend lorsque l on attribue à sa variable x une valeur réelle. Par exemple, la valeur numérique du polynôme p(x) pour x = 2 est p( 2) = Notons R(x) l ensemble de tous les polynômes en x à coefficients réels. Egalité de polynômes Soient les polynômes de R(x) { P (x) = an x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 K(x) = b n x n + b n 1 x n b 1 x 1 + b 0. Nous dirons que ces deux polynômes sont égaux si, quelque soit la valeur que l on attribue à x, ils ont à chaque fois la même valeur numérique, c-à-d. P (x) = K(x) r IR : P (r) = K(r) Une égalité entre deux polynômes de degré n est équivalente à n égalités entre les coefficients des termes de même degré de ces polynômes. Mathématiquement, a n = b n a n 1 = b n 1 P (x) = Q(x).. a 1 = b 1 a 0 = b 0 Exercices 1. Calculer la valeur numérique de chacun des polynômes suivants pour les nombres indiqués. a)3x 3 5x 2 + 2x + 5 pour x = 1 et x = 2 b)x 4 + x 3 x 2 x + 1 pour x = 1 et x = 3 c)4x 5 5x 3 + 6x pour x = 2 et x = 3 d)16x 5 32x 4 + 8x pour x = 0, 5 et x = 1, 5
3 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES Calculer le nombre réel a de telle manière que la valeur numérique de 4x 2 (2a 1)x + 3a pour x = 3 soit Quelle valeur faut-il attribuer à a pour que la valeur numérique de (a + 1)x 3 + 4x 2 + (a 1)x + 3 soit 4 lorsque x vaut Calculer les nombres réels a et b sachant que les valeurs numériques du polynôme ax 2 bx 2 pour x = 1 et pour x = 1 sont respectivement 3 et Déterminer une condition entre a et b de telle manière que deux nombres opposés aient des images opposées par la fonction déterminée par f(x) = (a + b)x + a b. 6. Déterminer le réel a de telle manière que deux nombres opposés ont la même image par la fonction déterminée par f(x) = (a + 2)x 2 + (a + 1)x + a. 7. Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres a, b et c sachant que les polynômes A(x) et B(x) sont égaux. (a) A(x) = ax 2 + (b 3)x + 2c 1 B(x) = x 2 5x + 7 (b) A(x) = 3x 2 + (2b 1)7x B(x) = (a 3)x 2 + cx + b (c) A(x) = (a + b + c)x 2 + (a + b)x + a B(x) = 7x 2 2x + 4 (d) A(x) = (a + 3b)x 2 + (a 3b)x + 4 B(x) = 7x 2 5x + c (e) (f) A(x) = (a + b)x 2 + c 3a B(x) = (a b)x 2 + (a 2)x 9 A(x) = (2a b)x 2 + (a 2b + 1)x + a + b + c B(x) = 0 (g) A(x) = 3x + 2 B(x) = ax + b(x + 1) (h) A(x) = 2x 2 + 3x 5 B(x) = ax 2 + b(x 2 + x) + c(x 2 + x + 1) (i) A(x) = 2x 2 + 3x 5 B(x) = a(x 2 + x + 1) + b(x + 1) + c 3.3 Addition et soustraction de polynômes Définition 3.1 Soient P (x) et Q(x) deux polynômes de R(x). L addition de ces deux polynômes nous donne le polynôme-somme défini par 2 (P + Q)(x) = P (x) + Q(x) x IR 2 En français et en abrégé, la valeur numérique du polynôme-somme = la somme des valeurs numériques
4 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 30 Exemple 3 Propriété 3.2 A(x) = 4x 3 5x 2 + 7x 2 B(x) = x 2 5x + 3 A(x) + B(x) = 4x 3 4x 2 + 2x + 1 L ensemble R(x) des polynômes à coefficients réels en x muni de l addition est un groupe commutatif. Mathématiquement, (R(x), +) est un groupe commutatif. Démonstration. A faire... Conséquence Pour soustraire un polynôme en x, il suffit d ajouter son opposé, c est-à-dire le polynôme obtenu en changeant le signe de tous les termes du polynôme donné. Exercice 3.3 Effectuer et donner le degré du résultat dans chaque cas. 1. (12x x 25) (13x x) (25x x 2 7) 2. (ax 2 3ax 3 ) ( ax 2 2a) + (2x 2 2ax + 3a) Exercice 3.4 A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré La somme de ces polynômes peut-elle être un polynôme (a) de degré 5, (b) de degré 4, (c) de degré 3, (d) de degré 2? 2. Même question pour la différence de ces polynômes. Exercice 3.5 A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré La somme de ces polynômes peut-elle être un polynôme (a) de degré 4, (b) de degré 3, (c) de degré 2, (d) de degré 0? 2. Même question pour la différence de ces polynômes. Nous admettons la propriété suivante. 3 Il suffit d additionner les coefficients des termes semblables!
5 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 31 Propriété 3.6 Le degré de la somme ou de la différence de polynômes en x est au plus égal au degré du polynôme qui a le plus haut degré. Exercice 3.7 Vrai ou faux? Justifier 1. P (x) R(x) : P (x) = P ( x) 2. P (x) R(x) : P (x) = P ( x) 3.4 Multiplication des polynômes Définition 3.8 Soient les polynômes P (x) et Q(x) de R(x). La multiplication de ces deux polynômes nous donne le polynôme-produit défini par (P.Q)(x) = P (x). Q(x) x IR Exemple A(x) = 3x 2 2x + 7 B(x) = 5x + 6 A(x).B(x) = 15x x 2 47x + 42 Exercice 3.9 Effectuer les produits suivants et donner le degré du résultat dans chaque cas. 1. ( x2 3 5x x)( 3 2 x2 5x 7) 2. (2x 3)(3x + 4)(x 2 1) Exercice 3.10 A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 4. Le produit de ces polynômes peut-il être un polynôme 1. de degré 12, 2. de degré 8, 3. de degré 7, 4. de degré 6? Nous admettons la propriété suivante. Propriété 3.11 Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés des polynômes donnés. Remarques 3.12 Le terme de plus haut degré du produit est le produit des termes de plus haut degré des facteurs. Le terme indépendant, s il existe, est le produit des termes indépendants, s ils existent.
6 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES Division des polynômes Division d un monôme par un monôme Exemples 1. 6x 5 2x 3 = 2. 15x 3 5x 3 = 3. 8x 3 4x 5 = Division d un polynôme par un monôme Exemples 1. 2x 4 6x 3 +8x 2 2x = x3 3 5 x x 3 4 x = Division d un polynôme par un polynôme Rappel: division de 2 nombres Divisons 3658 par 3: Division de 2 polynômes Divisons le polynôme p(x) = 6x 4 2x 3 + 9x 2 2x 2) (dividende) par le polynôme d(x) = x (diviseur). On obtient DIVIDENDE 6x 4 2x 3 + 9x 2 2x 2 x (6x 4 +12x 2 ) 6x 2 2x 3 DIVISEUR 2x 3 3x 2 2x 2 QUOTIENT ( 2x 3 4x) ( 3x 2 6) 2x +4 RESTE
7 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 33 Conclusions 1. 6x 4 2x 3 + 9x 2 2x 2 = (x 2 + 2)(6x 2 2x 3) + (2x + 4); 2. 6x 4 2x 3 +9x 2 2x 2 x 2 +2 = (6x 2 2x 3) + 2x+4 x Définitions Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le polynôme B(x), c est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que { A(x) = B(x).Q(x) + R(x) Le polynôme A(x) est appelé dividende; le polynôme B(x) est appelé diviseur. Disposition pratique degré R(x) < degré B(x). Pour diviser un polynôme A(x) par un polynôme B(x), on réduit et on ordonne les polynômes; on complète éventuellement le polynôme A(x); on effectue la division comme en calcul écrit et on arrête lorsque le reste a un degré inférieur à celui de B(x). Exercices 1. Effectuer les divisions (a) 3x4 6x 3 +5x 2 x 2 (b) 6x7 +x 4 x 3 2x 2 2. Effectuer les divisions (a) 6x5 +2x 3 +3x 2 x 2 x (b) 2x7 +3x 6 5x 5 +3x 4 x 3 +1 (c) 3x5 y+x 4 y 2 6x 3 y 3 xy (d) 6x3 y 3 z 3 x 2 y 4 +3x 3 y 5 3x 2 y 2 (c) x6 +2x 5 +x 4 2x 3 2x 2 +x (d) 3x4 x 3 +x 2 2x 2 3x+1 (e) 2xp y p z 3x p+1 y p+1 z p+1 x p 1 y p 2 (f) x3n y 3p z 3q +2x n y 2p z 3q 5x n y p z q 1 (e) 5x5 2x 3 +x 2 4x 2 5x+6 (f) x9 x 6 +x 3 x 3 x 5 3. Démontrez la propriété suivante: Lors de la division du polynôme A(x) par le polynôme B(x), le degré de A(x) est égal à la somme des degrés de B(x) et du quotient Q(x) Division d un polynôme en x par (x a) Introduction Dans le cas où le diviseur est un polynôme de la forme x a, on peut reformuler ce qui a été dit en général. Définition Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le binôme (x a), c est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que { A(x) = (x a).q(x) + R(x) R(x) est constant. On note alors le reste par r.
8 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 34 Vocabulaire Le polynôme A(x) est divisible par x a lorsque le reste de la division est égal à 0, c est-àdire lorsque A(x) = (x a).q(x). Le polynôme A(x) se factorise alors en produit de (x a) et du quotient. Exemple Le polynôme x 4 5x 3 + 3x 2 + 9x 6 est divisible par x 2 puisque x 4 5x 3 + 3x 2 + 9x 6 = (x 2)(X 3 3x 2 3x + 3). Exemple introductif Soit à diviser p(x) = 5x 3 + 2x 4 + x + 1 par x 2 (rem. : a = 2). 2x 4 5x 3 + 0x 2 + x + 1 x 2 Disposition pratique : la grille de HORNER Cette règle est une disposition simplifiée de la méthode des coefficients indéterminés. Les coefficients du dividende {}}{ La valeur de a }{{} Les coefficients du quotient }{{} Le reste On obtient Q(x) = Le degré du quotient est le degré du dividende diminué de 1. Loi du reste Reprenons l exemple et remarquons que P (2) = Le reste de la division d un polynôme en x par x a est égal à la valeur numérique du polynôme pour x = a. En effet, par la division euclidienne on a obtenu P (x) = (x a)q(x) + r
9 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 35 Mais alors, en particulier, si x = a : Conséquence P (a) = (a a)q(a) + r = 0 Q(a) + r = r Le polynôme P (x) est divisible par (x a) P (a) = 0 Application Soit à factoriser le polynôme P (x) = x 2 + x 2. Les diviseurs entiers du terme indépendant sont :... P (1) = P ( 1) = Calculons P (2) = P ( 2) = On a donc P (x) = Exercices 1. Calculer le quotient et le reste de la division de A(x) par B(x) dans chaque cas 1 A(x) = x 2 + 5x + 6 Q(x) = x + 3 B(x) = x A(x) = 3x 3 8x 2 + 7x 2 Q(x) = x 2 2x + 1 B(x) = 3x 2 3 A(x) = 8x 4 2x 3 x 2 + 5x + 6 Q(x) = 2x 3 + x 2 x + 2 B(x) = 4x A(x) = 8x 4 23x + 15x x 2 Q(x) = 3x 3 + 4x 2 5x + 2 B(x) = 3 4x 5x 2 5 A(x) = x 3 + 6x 2 + 3x 7 Q(x) = x 2 + 4x 5 B(x) = x + 2 R(x) = 3 6 A(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x 4 Q(x) = 2x + 3 B(x) = x 2 1 R(x) = 3x 1 7 A(x) = x x 3 1 2x 2 Q(x) = 1 2 x B(x) = 4 + 2x R(x) = 3 8 A(x) = 4x 2 x x 5 6x Q(x) = x B(x) = 4 3x 2x 3 R(x) = 8x A(x) = x 5 x x + 5x 2 + 2x 4 + 7x 3 Q(x) = x 4 + 2x 2 1 B(x) = 3x x R(x) = x 2 3x A(x) = x 3 + 3x 2 7x + 3 Q(x) = x 2 + 4x 3 B(x) = x 1 11 A(x) = 6 4x + x 3 Q(x) = x 2 3x + 5 B(x) = x + 3 R(x) = 9 12 A(x) = 5x 2 2x x Q(x) = 2x 2 x + 1 B(x) = x 3 13 A(x) = 2x 3 4x 5 x 2 Q(x) = 2x 2 3x 1 B(x) = x + 1 R(x) = 4 14 A(x) = 6x 5 3x 4 2x x 2 Q(x) = 2x 3 x B(x) = 2 + 3x 2 3 x 4 R(x) = 2 3 x 2 15 A(x) = 0, 4x 2 0, 05x 4 Q(x) = 0, 5x + 1, 5 B(x) = 0, 8x 2, 5 R(x) = 0, 25
10 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES A(x) = x x5 5x x x x 1 B(x) = 2 3 x2 + 2x 3 17 A(x) = 6x 4m x 3m 82x 2m + 81x m + 36 B(x) = 2x m 3 Q(x) = 3 2 x4 1 4 x3 x Q(x) = 2. La division suivante se fait exactement. Déterminer le quotient après avoir ordonné le dividende et le diviseur selon les puissances décroissantes d une même variable. (Il y a donc deux calculs à faire) (4x 4 x 2 y 2 + 6xy 3 9y 4 ) : (3y 2 xy + 2x 2 ) 3. Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste. (a) x3 +x 2 +x 3 x+2 (b) 2a3 +a 2 9a+3 a 2 (c) x4 1 x+2 (d) x2 +2x+3x 4 2 x+1 (e) 6x3 x+x x 1 2 (f) 1 4x+3x3 +6x 4 x+ 1 2 (g) x4 2x 3 y+x 2 y 2 2xy 3 x 2y (h) x3 +(a b)x 2 2a 2 x 2ab(a+b) b (i) 3x3 +a 3x 2 9a 2 x 3a Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste (n IN). (a) x2 a 2 (b) x2 +a 2 (c) x3 a 3 (d) x5 +a 5 (e) xn a n (f) xn +a n (g) x3 +1 x+1 (h) x2 a 2 x+a (i) x2 +a 2 x+a (j) x3 a 3 x+a (k) x5 +a 5 x+a (l) xn a n (m) xn +a n (n) x3 1 x 1 5. Déterminer k pour que les divisions suivantes donnent comme reste r. Calculer le quotient après avoir remplacé k par la valeur trouvée 1) x 3 +x 2 x k x 1 r = 0 r = 5 2) 3x 3 4x 2 +kx+3 x 2 3) 3a 3 +a 2 ka+2 a+1 r = 2k 1 4) k 2 x 3 kx 2 10x x+3 r = 6 5) kx 4 +kx 3 y+kx 2 y 2 40xy 3 +3y 4 x 3y r = 0 6. Déterminer a et b pour que le polynôme p soit divisible à la fois par d 1 et d 2. Factoriser le polynôme obtenu. 7. Décomposer 1) p = ax 4 + bx 3 8x 2 4x + 5 d 1 = x 1 d 2 = x + 1 2) p = ax 4 + bx 3 ax 2 bx 2 d 1 = x + 1 d 2 = x + 2 3) p = ax 4 10x 2 y 2 bxy 3 + (b 1)y 4 d 1 = x + y d 2 = x 3y 1)p = x 2 + 2x 35 sachant que p(5) = 0 2)p = 2x 2 + 3x 3 sachant que p( 3) = 0 3)p = 2x 3 15x x 6 sachant que p(1) = p(6) = 0 4)p = x 3 + ( 3 2 6)x 2 ( )x + 6 sachant que p( 2) = p( 3) = 0 8. Factoriser les polynômes suivants: (a) x 3 4x 2 + x + 6 (b) 2x 3 + 3x 2 3x 2 (c) x 3 7x 6 (d) x 3 6x x 6 (e) x 3 + 6x x + 6 (f) 2x 3 5x 2 4x + 3
11 CHAPITRE 3. LES POLYNOMES Simplifier les fractions suivantes : (a) x3 3x 2 4x+12 x 3 6x 2 +11x 6 (b) 2x3 5x 2 4x+3 4x 2 4x+1 (c) x3 +x 2 9x 9 x 3 +3x 2 x 3 (d) x 3 7x 6 x 3 +2x 2 x (a) Les restes des divisions du polynômes p par (x 1) et par (x 2) sont respectivement 2 et 6. Calculer le reste de la division de p par (x 1)(x 2). (b) Les restes des divisions du polynômes p par (x + 1) et par (x 1) sont respectivement 3 et 1. Calculer le reste de la division de p par (x 2 1). 11. Déterminer les réels a et b pour que le polynôme ax 4 + bx soit divisible par (a) x 2 1 (b) (x 1) 2 (c) (x + 1) 2 Dans chacun des cas, précisez le quotient.
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailLa question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient
par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailFactorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détail2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables
MA 2 2011-2012 M2 Algèbre formelle 1 Introduction 1.1 Référence Ideals, varieties and algorithms, D. Cox, J. Little, D. O Shea, Undergraduate texts in Mathematics, Springer 1997. Using algebraic geometry,
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailTHEME : CLES DE CONTROLE. Division euclidienne
THEME : CLES DE CONTROLE Division euclidienne Soit à diviser 12 par 3. Nous pouvons écrire : 12 12 : 3 = 4 ou 12 3 = 4 ou = 4 3 Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailSub CalculAnnuite() Const TITRE As String = "Calcul d'annuité de remboursement d'un emprunt"
TD1 : traduction en Visual BASIC des exemples du cours sur les structures de contrôle de l'exécution page 1 'TRADUCTION EN VBA DES EXEMPLES ALGORITHMIQUES SUR LES STRUCTURES 'DE CONTROLE DE L'EXECUTION
Plus en détailCorrection du bac blanc CFE Mercatique
Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailReprésentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailTests de primalité et cryptographie
UNIVERSITE D EVRY VAL D ESSONNE Tests de primalité et cryptographie Latifa Elkhati Chargé de TER : Mr.Abdelmajid.BAYAD composé d une courbe de Weierstrass et la fonction (exp(x), cos (y), cos(z) ) Maîtrise
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailEI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES
EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1 Les coefficients du binôme sont notés ( n p 2 Un arrangement de n objets pris p à p est noté A p n 3 Si A est un ensemble fini, on notera A ou card
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailPrésentation du langage et premières fonctions
1 Présentation de l interface logicielle Si les langages de haut niveau sont nombreux, nous allons travaillé cette année avec le langage Python, un langage de programmation très en vue sur internet en
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailExercices sur les équations du premier degré
1 Exercices sur les équations du premier degré Application des règles 1 et Résoudre dans R les équations suivantes en essayant d appliquer une méthode systématique : 1 x + = x + 9 x + = x x 1 = x + x +
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détaila)390 + 520 + 150 b)702 + 159 +100
Ex 1 : Calcule un ordre de grandeur du résultat et indique s il sera supérieur à 1 000 L addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. On peut changer l ordre de ses
Plus en détailMathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal
III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détail