Correction: 1) SU = RT donc le quadrilatère RSUT est un parallélogramme. S U

Transcription

1 Exercice : (aen 96) 1) onstruire un triangle tel que : = 3,5 cm ; = 5 cm ; = 4 cm. 2) onstruire le point tel que =. 3) onstruire le point E symétrique de par rapport à. 4) Quelle est la nature du quadrilatère E? Justifier la réponse. 1) 2) = donne + = 0 donc milieu de []. 3) E symétrique de par rapport à donc milieu de [E]. 4) 'après 2) et 3), le point est le milieu des segments [E] et []. es segments sont les diagonales du quadrilatère E. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. onc E est un parallélogramme. E Exercice : (Scandinavie 95) RST est un triangle équilatéral de 4 cm de côté. U est le point tel que : SU = RT. l. Faire une figure en vraie grandeur. 2. Quelle est la nature exacte du quadrilatère RSUT? Justifier la réponse. 1) SU = RT donc le quadrilatère RSUT est un parallélogramme. S U R T 2) RSUT est un parallélogramme d'après 1). On RT = RS car le triangle RST est équilatéral. Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. onc le quadrilatère RSUT est un losange. Remarque: ce ne peut pas être un carré puisque l'angle au sommet R est de 60.

2 Exercice : (lermont 98) Sur la figure ci-après, on a mis en place un triangle S ainsi que le milieu I du segment [S]. Les constructions demandées dans cet exercice seront faites sur cette figure. l. a) onstruire le point H, symétrique du point par rapport à I. b) émontrer que H = S. 2. onstruire le point R, image du point dans la translation de vecteur S. 3. émontrer que le point est le milieu du segment [HR]. 1) a) S I H b) I est le milieu du segment [S]. H est le symétrique de par rapport à I donc le point I est aussi le milieu du segment [H]. es segments se coupent en leur milieu et ce sont les diagonales du quadrilatère SH. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. onc SH est un parallélogramme.

3 On a alors H = S. 2) Le point R est l'image de par la translation de vecteur S alors le quadrilatère SR est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de construction du point R. R S I H 3) 'après 2), on a R = S et d'après 1) b), on a H = S. es deux égalités donnent H = R. Par suite, le point est le milieu du segment [HR]. Exercice : (Polynésie 99) est un triangle isocèle en et [H] est la hauteur issue de. On donne H = 4, = onstruire le triangle en vraie grandeur. 2. onstruire le point 1, image de par la translation de vecteur. 3. onstruire le point 2, symétrique de par rapport à la droite (). 4. a) émontrer que 1 = 2. b) alculer l'angle ˆ 2 1. c) En déduire une double propriété du triangle ) est isocèle en donc la hauteur issue de est aussi une médiane du triangle donc H est le milieu du segment [] avec H=H=H. H

4 2) Le point 1 est l'image de par la translation de vecteur alors le quadrilatère 1 est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de construction du point 1. 1 H 2 3) On doit avoir () médiatrice du segment [ 2 ] or la droite (H) est perpendiculaire à la droite () donc le point 2 est sur la droite (H) avec H 2 =4. 4) a) On a H milieu du segment [ 2 ] donc 2 = 2H = 8. 'après 1), le quadrilatère 1 est un parallélogramme. Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc, en particulier, 1 ==8. On a donc 1 = 2. b) 'après 1), le quadrilatère 1 est un parallélogramme. Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles. En particulier, les droites ( 1 ) et () sont parallèles. e plus, la droite () étant la médiatrice du segment [ 2 ], les droites () et ( 2 ) sont perpendiculaires. Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Ici, les droites ( 1 ) et ( 2 ) sont donc perpendiculaires donc 2 Â 1 = 90. c) vec 4) a), le triangle 2 1 est isocèle en et d'après 4) b), il est rectangle en. onc le triangle 2 1 est isocèle et rectangle en. Remarque: le quadrilatère 2 a ses diagonales se coupant en leur milieu H, même longueur et sont perpendiculaires : il s'agit d'un carré et le triangle est donc aussi rectangle et isocèle en.

5 Exercice : L'unité de longueur choisie dans le plan est le centimètre. On considère un triangle tel que : = 7 ; = 5 ; = 4. 1) onstruire le triangle en vraie grandeur sur votre copie. 2) onstruire le point M image du point par la translation de vecteur. 3) onstruire le point N tel que N = +. 1) 2) Le point M est l'image de par la translation de vecteur alors le quadrilatère M est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de construction du point M. M 3) N = + donne N = + N = N = d' après la relation de hasles. onc N est un parallélogramme ce qui fournit la construction du point N. N M

6 Exercice : (Japon 97) L'unité est le centimètre. On donne un triangle tel que = 5, = 6 et = 7. 1) onstruire le point E image du point par la translation de vecteur. 2) onstruire le point F tel que F = +. 3) Montrer que est le milieu de [EF]. 1) Le point E est l'image de par la translation de vecteur alors le quadrilatère E est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de construction du point E. E 2) F = + = donc F est un parallélogramme ce qui permet de construire le point F: E F 3) F est un parallélogramme donc =F et les droites () et (F) sont parallèles.

7 'après 1), E est aussi un parallélogramme d'où =E et les droites () et (E) sont parallèles. Par un point, il passe une seule droite parallèle à une autre : ici, les droites (F) et (E) passent par le point et sont toutes deux parallèles à la droite (). Elles sont donc confondues ce qui signifient que les points F, et E sont alignés. e plus on a F==E donc F=E. es deux derniers résultats permettent d'affirmer que le point est le milieu du segment [EF]. Exercice : (frique2 95) 1) Placer trois points, et non alignés et construire le point tel que = +. 2) La parallèle à () passant par coupe () en E et () en F. émontrer que = E et que = F. En déduire que est le milieu de [EF]. 3) On note O le point d'intersection des diagonales du parallélogramme et O' son symétrique par rapport à. émontrer que EO ' = OF. O F E 1) = + + = donne = = d' après la relation de hasles. ette dernière relation permet d'affirmer que le quadrilatère est un parallélogramme : O'

8 on a la construction du point. 2) Puisque est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles donc les droites () et () sont parallèles. Or, le point E appartient à la droite () donc les droites (E) et () sont parallèles. Par construction, les droites (E) et () sont aussi parallèles donc E est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles: E est un parallélogramme. On a alors : = E. e même, on montre que F est un parallélogramme ce qui donne = F. es deux égalités entraînent l'égalité suivante : E = F donc E + F = 0. On en déduit que le point est le milieu du segment [EF]. 3) Le point O' est le symétrique de O par rapport à donc le point est le milieu du segment [OO']. 'après 2) le point est aussi le milieu du segment [EF]. Or les segments [OO'] et [EF] sont les diagonales du quadrilatère EOFO'. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. onc EOFO' est un parallélogramme. Par suite, on a : EO ' = OF.