et Systèmes d équations linéaires

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1 Opérations élémentaires et Systèmes d équations linéaires MPSI-Schwarz Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 2 avril Les opérations élémentaires 11 Matrices associées aux OEL et aux OEC Lemme 1 : Produits de matrices de la base canonique Soient { Eab une matrice de la base canonique de M n,p (K) E cd une matrice de la base canonique de M p,q (K) On a alors : E ab E cd = δ bc E ad Preuve 1 : Simple calcul Lemme 2 : Effet du produit par une matrice de la base canonique Soit A M np (K) On notera L 1,, L n ses lignes et C 1,, C p ses colonnes Soient {E ij } (i, j) [[1,q]] 2 la base canonique de M q (K) (q = n ou q = p selon les cas) On a alors : 1 Effectuer E ij A revient à placer L j à la place de L i et annuler toutes les autres lignes 2 Effectuer A E ij revient à placer C i à la place de C j et annuler toutes les autres colonnes Preuve 2 : Simples calculs Définition 1 : Soit A M pq (K) On appelle opération élémentaire sur les lignes (OEL), une des 3 opérations suivantes : 1 L échange de deux lignes (L i L j ) 2 La multiplication d une ligne par un scalaire non nul (λl i L i ) 3 L ajout d une autre ligne fois un scalaire à une ligne donnée (L i +λl j L i ) Remarque 1 On définit de la même façon les opérations élémentaires sur les colonnes (OEC) 1

2 Définition 2 : Matrices associées Pour (i, j) [[1,n]] 2 avec i j et λ 0, soient les matrices suivantes de M n (K) 1 D n i (λ) = I n +(λ 1)E ii 2 T n ij (λ) = I n +λe ij 3 P n ij = I n E ii E jj +E ij +E ji Ces 3 matrices sont inversibles car : 1 D n i (λ)dn i (1 λ ) = I n 2 T n ij (λ)tn ij ( λ) = I n 3 [P n ij ]2 = I n Théorème 3 : Effet de la multiplication par une matrice associée Soit A M pq (K) 1 Effectuer D p i (λ) A revient à effectuer l opération λl i L i 2 Effectuer T p ij (λ) A revient à effectuer l opération L i +λl j L i 2 Effectuer P p ij (λ) A revient à effectuer l opération L i L j Preuve 3 : Il suffit de décomposer le calcul Remarque 2 Multiplier à droite par D q i (λ), Tq ij (λ) et Pq ij (λ) revient à effectuer les mêmes opérations sur les colonnes 12 Premières conséquences Proposition 4 : Conservation du noyau par OEL Soit A M np (K) Les OEL de A conservent le noyau de A Preuve 4 : En effet, AX = 0 BAX = 0 pour toute matrice B GL n (K) Proposition 5 : Conservation de l image par OEC Soit A M np (K) Les OEC de A conservent l image de A Preuve 5 : En effet, {AX X M p1 (K)} = {ABX X M p1 (K)} lorsque B est une matrice inversible Théorème Fondamental 6 : Les opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes ne modifient pas le rang d une matrice Preuve 6 : La multiplication par une matrice inversible ne modifie par le rang d une matrice 13 Applications pratiques 131 Recherche du rang d une matrice L algorithme du rang consiste à transformer une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes et ses colonnes Nous avons vu en effet, que ce type d opérations ne modifie pas le rang d une matrice Le principe consiste donc à effectuer des opérations judicieuses afin d obtenir une matrice dont le rang se détermine facilement Exercice : 1 ( ) Soit n N Déterminer le rang de la matrice A M n (R) de terme général a ij = (i+j 1) 2 2

3 Lemme 7 : lemme de l algorithme du rang Soit λ 0 et A M np (K) On a alors : λ X X 0 rg A 0 = 1+rgA Preuve 7 : On s intéresse à la dimension de Vect(L 1, L 2,, L p+1 ) Algorithme du rang : 1 Par OEL et OEC on transforme la matrice étudiée sous la forme précédente 2 On recommence le processus avec la matrice A jusqu à obtenir une matrice nulle ou dont le rang est évident Exemple 1 ( ) Déterminer le rang des matrices suivantes : 1 A = B = C = Exercice : 2 ( ) Soit a, b R a 0 0 b Déterminer le rang de la matrice suivante : A = b a b a b a Exercice : 3 ( ) Autres méthodes de détermination du rang Déterminer les rangs des deux matrices suivantes : 1 A = (a ij ) M n (R) telle que a ij = i+j 1 (en effectuant des OEC judicieuses) 2 B = (b ij ) M n (R) telle que b ij = sin(i+j) (en décomposant les colonnes C j ) Bilan des méthodes de détermination du rang d une matrice : Pour déterminer le rang d une matrice de A M np (K) on peut : 1 Méthode 1 : Eliminer les vecteurs colonnes redondants et on compte ceux qui restent 2 Méthode 2 : Appliquer la formule du rang après avoir déterminé le noyau 3 Méthode 3 : Appliquer l algorithme du rang 4 Méthode 4 : Effectuer des OEL et OEC afin d obtenir une matrice plus simple 5 Méthode 5 : Montrer que les colonnes sont toutes combinaison linéaire des mêmes vecteurs Exercice : 4 ( ) Soit A, B M n (K) et M = ( ) A A Prouver que rg(m) = rg(a)+rg(a B) A B Remarque 3 Même s il peut être intéressant d appliquer l algorithme du rang dans les exercices, cet algorithme est surtout intéressant en programmation En effet, un ordinateur ne peut mettre en oeuvre qu une méthode systématique et ne peut pas utiliser des ruses comme celles vues dans l exercice précédent 132 Inversion d une matrice Soit A GL n (K) Lemme 8 : On peut transformer A en la matrice I n, en n utilisant que les OEL 3

4 Preuve 8 : 1 On peut transformer A en une matrice triangulaire supérieure (algorithme de gauss) ne comportant que des 1 sur la diagonale 2 Puis, en partant de la dernière colonne, on annule tous les coefficients hors de la diagonale 3 On obtient alors I n Corollaire 9 : Pour déterminer A 1, il suffit d effectuer sur I n les mêmes OEL que sur A Preuve 9 : Pour déterminer A 1, il suffit d inverser le système AX = Y, c est à dire AX = I n Y Ainsi, en multipliant à gauche par les matrices des OE, on finit par obtenir I n X = A 1 Y I n a donc été transformée en A 1 Méthode d obtention de A 1 1 On considère la matrice B = ( ) A I n 2 Par application des OEL : (a) On transforme B de façon à obtenir une matrice triangulaire à la place de A (b) On transforme B de façon à obtenir une matrice diagonale à la place de A (c) On transforme B de façon à obtenir I n à la place de A 3 On obtient alors la matrice B = ( I n A 1) Exemple 2 ( ) En utilisant la méthode précédente, déterminer l inverse des matrices : A = et B = Système d équations linéaires 21 Vocabulaire Soit {a ij } (i,j) [[1,n]] [[1,p]] et {b i } i [[1,n]] deux familles de scalaires de K On considère le système de n équations à p inconnues : (S) a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1p x p = b 1 a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a np x p = b n a 11 a 1p On appelle alors : A = M np (K) la matrice du système a n1 a np B = X = 1 b M n1 (K) b n x 1 x p M p1 (K) le vecteur second membre le vecteur inconnu Avec ces notations, le système (S) s écrit alors : AX = B 4

5 Définition 3 : Vocabulaire lié aux systèmes 1 Résoudre le système consiste à trouver l ensemble S de tous les p-uplets (x 1,, x p ) K p vérifiant (S) 2 On appelle système homogène (S 0 ) associé à (S), le système obtenu en prenant B = 0 On note S 0 = kera l ensemble des solutions du système homogène 3 rg(a) s appelle le rang du système Il s agit à la fois du nombre de colonnes de A linéairement indépendantes, mais aussi du nombre d équations indépendantes du système (S 0 )! 4 On dit que le système est compatible si l ensemble des solutions est non-vide Ce sera le cas si et seulement si B ImA Remarque 4 Dans ce cours, on reprend les conventions utilisées dans le chapitre sur les matrices 22 Interprétation duale Considérons les n formes linéaires de K p : f i : K p K (x 1,, x p ) a i1 x 1 + +a ip x p Alors x = (x 1,, x p ) K p est solution de (S) f 1 (x) = b 1 f n (x) = b n Proposition 10 : Interprétation géométrique L ensemble des solutions S d un système linéaire de n équations à p inconnues est l intersection de n hyperplans affines de K p Ainsi : 1 Soit il n y a pas de solution, Soit l ensemble des solutions est un sous-espace affine de K p 2 lorsque n p, on a dims p n Preuve 10 : Immédiat compte-tenu des résultats connus sur les hyperplans vectoriels et sur l intersection de sous-espaces affines 23 Structure de l ensemble des solutions Soit un système linéaire (S) à n équations et p inconnues Théorème 11 : Structure de l ensemble des solutions du système homogène : S 0 L ensemble des solutions du système homogène (S 0 ) est kera C est donc un sev de K p On a ainsi : dims 0 = nombre d inconnues rg(s) Preuve 11 : On utilise le théorème du rang Remarque 5 dims 0 est donc la différence entre le nombre d inconnues et le nombre d équations indépendantes Exercice : 5 ( ) Déterminezla dimension du sev de M 3 (R) constitué des matrices dont la somme des coefficients de chaquecolonne est identique 5

6 Théorème 12 : Structure de l ensemble des solutions de (S) Soit p le nombre d inconnues 1 Si le système est incompatible, S = 2 Si le système est compatible, alors il existe une solution particulière x 0 Dans ce cas, S = {x 0 +x x S 0 } et S est un espace affine de dimension p rg(s) Preuve 12 : Il s agit de la structure de l ensemble des solutions d une équation linéaire On peut cependant proposer une nouvelle démonstration plus directe : X solution de (S) AX = B AX = AX 0 A(X X 0 ) = 0 X X 0 kera Exemple 3 x y +z 3t = 1 Déterminer l ensemble des solutions de 2y +z t = 1 x y +t = 3 2 sachant que 0 2 est solution 1 Corollaire 13 : 1 Si rg(s) = p (le nombre d inconnues) alors S admet au plus une solution 2 Si rg(s) = n (le nombre d équations) alors S est compatible Preuve 13 : 1 Si S admet une solution alors S est un sous espace affine de dimension 0 2 Si rg(s) = n alors Im(A) = R n et donc B Im(A) 24 Systèmes de Cramer Proposition 14 : Unicité de la solution Soit A M n (K) Un système AX = B admet une unique solution si et seulement si A est une matrice inversible Preuve 14 : On prouve facilement que kera = {0} et comme A est une matrice carrée, alors A GL n (K) Immédiat! Définition 4 : Système de Cramer Un système AX = B est dit de Cramer lorsque A est une matrice inversible Remarque 6 Un système de Cramer est donc un système n n qui admet une unique solution On verra dans le cours sur les déterminants qu on reconnaît un système de Cramer au fait que son déterminant est non nul Proposition 15 : Systèmes de Cramer particuliers 1 Un système triangulaire est un système de Cramer ssi tous ses termes diagonaux sont non nuls Un tel système se résout facilement pas à pas 2 Un système de cramer homogène n admet que le vecteur nul pour solution 6

7 Preuve 15 : 1 Le déterminant d un système triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux Par conséquent, ce déterminant est non nul si et seulement si tous les coefficients diagonaux sont non nuls 2 Le vecteur nul est une solution évidente d un système homogème Or un système de cramer n admet qu une unique solution CQFD Exemple 4 Prouver que la famille {x cosx, x sinx, x e x } de F(R, R) est libre Exercice : 6 x+ay +a 2 z = α ( ) On souhaite résoudre le système x+by +b 2 z = β x+cy +c 2 z = γ 1 Reformuler le problème en utilisant le polynôme : P = x+yx +zx 2 2 En déduire que le système est de cramer 3 En déduire ses solutions { a, b et c sont des scalaires deux à deux distincts où α, β, γ K 25 Résolution par la Méthode de Gauss Définition 5 : On appelle << opération élémentaire sur les lignes >> l une des 3 opérations suivantes : 1 Echanger deux lignes 2 Remplacer une ligne L i par λl i où λ K 3 Remplacer une ligne L i par L i +λl j où λ K Théorème Fondamental 16 : On ne change pas l ensemble des solutions d un système en effectuant une opération élémentaire sur les lignes Preuve 16 : Il suffit de remarquer que AX = B PAX = PB pour toute matrice inversible, et qu effectuer une OEL consiste à multiplier AX = B à gauche par une matrice inversible particulière Remarque 7 On utiliserale théorèmeprécédentpour transformerle systèmeax = B en un systèmesimple àrésoudre Le plus souvent, on transformera (S) en un système triangulaire (ou presque) Cette technique s appelle la méthode de Gauss Méthode de Gauss 1 On place en première ligne une équation qui fait apparaître la première inconnue On choisit de préférence (si possible) la ligne telle que la première inconnue a un coefficient 1 2 On utilise cette équation pour éliminer par OEL la première inconnue des autres équations 3 On applique les opérations précédentes au sous-système obtenu où la première inconnue ne figure plus Remarque 8 Pour effectuer ce travail dans de bonnes conditions, le système doit être proprement écrit et les inconnues correctement alignées Remarque 9 On pourra simplifier un peu les calculs en présentant le système sous la forme A B Méthode : cas d un système de cramer Par OEL on transforme le système en un système équivalent triangulaire On détermine alors les inconnues à partir de la dernière équation obtenue Exemple 5 Résoudre le système suivant : (S) 2x+y +z t = 1 x 2y +z = 0 x 2z +t = 1 y z +2t = 1 7

8 Méthode : cas où il y a trop d inconnues Si, après avoir triangularisé le système, le nombre d inconnues est supérieur au nombre d équations, on décide alors d attribuer aux inconnues supplémentaires le statut de paramètres On recherche alors les autres inconnues en fonction de ces paramètres Exemple 6 Résoudre les systèmes suivants : x 1 +x 2 +x 3 +3x 4 = 3 1 (S1) 2x 1 x 2 +x 4 = 1 x 1 +2x 2 +2x 3 +x 4 = 3 2 (S2) mx+y +z +t = 1 x+my +z +t = m x+y +mz +t = m+1 Remarque 10 Dans le cas des systèmes paramètrés, on aura souvent intérêt à commencer par déterminer les valeurs du paramétre qui annulent le déterminant On traite alors ces différents cas à part Méthode : cas où il n y a pas de solutions Dans certains cas, la triangularisation aboutit à une équation impossible Dans ce cas le système n admet pas de solutions Exemple 7 Résoudre le système suivant : (S) x+2y z = 4 2x+y +z = 1 x y +z = 4 2x 2y+7z = 3 26 Exercices Exercice : 7 Discuter et résoudre les systèmes suivants où a, b, c, α, β, γ sont des réels : x+y +z = a ax+y +z = α x+ay +a 2 z = 1 S 1 x+y 2z = b S 2 x+ay +z = β S 3 x+by +b 2 z = 0 x+y 3z = c x+y +az = γ x+cy +c 2 z = 1 S 4 x+y +z = 1 x y +z = b x+y z = b 2 Exercice : 8 Soit A = et u l endomorphisme canoniquement associé à A Montrer qu il existe une base de R 3 dans laquelle la matrice de u est une matrice diagonale D 2 Déterminer P GL n (R) telle que A = P 1 DP 3 A quoi peut servir le travail précédent? 8