Chapitre 2 : Matrices

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1 Chapitre 2 : Matrices 1 Notion de matrice et vocabulaire Notation 1 Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition 1 Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini par n p éléments de R notés a ij pour 1 i n et 1 j p avec (i, j) 1 ; n 1 ; p, a ij R Le nombre a ij est le coefficient d indice (i, j) de la matrice A La matrice A est parfois dite de taille ou de format (n, p) ou tout simplement matrice n p L ensemble des matrices de taille (n, p) à coefficients dans R est noté M n,p (R) Notation 2 On présente généralement les matrices de cette manière : j-ème colonne a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p i-ème ligne a i1 a i2 a ij a ip M n,p (R) a n1 a n2 a nj a np Exemple 1 1 À quels ensembles appartiennent les matrices suivantes? (a) A = e (b) B = π (c) Id 2 0,2 3 = (f) E = (g) ,3 = (h) F = ( 3 ) (d) C = (e) D = 3 ( 1 ) Écrire sous forme de tableau la matrice M = (i j) 1 i 3 1 j 4 Définition 2 On adopte le vocabulaire suivant : M n (R) = M nn (R) est l ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R M 1p (R) est l ensemble des matrices lignes de taille p à coefficients dans R M n1 (R) est l ensemble des matrices colonnes de taille n à coefficients dans R A = (a ij ) M n (R) est une matrice triangulaire supérieure si (i, j) 1 ; n 2, i > j = a ij = 0 A = (a ij ) M n (R) est une matrice triangulaire inférieure si (i, j) 1 ; n 2, i < j = a ij = 0 A = (a ij ) M n (R) est une matrice diagonale si (i, j) 1 ; n 2, i j = a ij = 0 On note parfois (a ij ) = diag(a 11,, a nn ) A = (a ij ) M n (R) est une matrice symétrique si (i, j) 1 ; n 2, a ji = a ij 0 np M np (R) est la matrice nulle, dont tous les coefficients valent 0 On la note aussi 0 Id n M n (R) est la matrice identité : diagonale, de taille n, dont les coefficients diagonaux valent 1 Exemple 2 symétrique Pour n = 3, donner des exemples de matrices triangulaire supérieure (resp inférieure), diagonale et 2 Opérations de base sur les matrices 21 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice Définition 3 On définit les opérations suivantes sur l ensemble M np (R) : Addition : A = (a ij ) 1 i n M np (R), B = (b ij ) 1 i n M np (R), A + B = (a ij + b ij ) 1 i n M np (R) Multiplication par un réel : λ R, A = (a ij ) 1 i n M np (R), λ A = (λa ij ) 1 i n M np (R) wwwfranck-madigoufr ECE , Chapitre 2 : Matrices 1/5

2 Exemple 3 À partir des matrices de l exemple 1, calculer E + D, 3B et A 3Id 3 Remarque 1 Il est possible d additionner deux matrices uniquement lorsqu elles ont les mêmes dimensions 22 Multiplication matricielle Définition 4 On définit le produit d une matrice A de n lignes et p colonnes avec une matrice B de p lignes et q colonnes comme la matrice de n lignes et q colonnes suivante : ( p ) A = (a ij ) 1 i n M np (R), B = (b kj ) 1 k p M pq (R), AB = a ik b kj M nq (R) 1 j q k=1 1 i n 1 j q On ne peut calculer le produit AB que si le nombre de lignes de A égale le nombre de colonnes de B Remarque 2 En particulier le produit d une matrice ligne l = (l j ) 1 j n M 1n (R) et d une matrice colonne c = (c i ) 1 i n M n1 (R) est un nombre, égal à l 1 c l n c n Le coefficient (i, j) du produit AB est le produit de la i-ème ligne de A avec la j-ème colonne de B On peut disposer les calculs ainsi : A = = B = AB Exemple 4 À partir des matrices de l exemple 1, calculer les produits : 1 ED 2 DE 3 AId 3 4 AC 5 0 2,3 A 6 EB 7 Que dire de BE? Proposition 1 Propriétés du produit Le produit matriciel 1 est associatif : A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), (AB)C = A(BC) 2 est distributif à gauche par rapport à : A M n,p (K), B, C M p,q (K), A(B + C) = AB + AC 3 est distributif à droite par rapport à + : A, B M n,p (K), C M p,q (K), (A + B)C = AC + BC 4 commute avec le produit externe : λ K, (A, B) M n,p (K) M p,q (K), (λa)b = λ(ab) = A(λB) 5 vérifie A M n,p (K), AId p = A et Id n A = A 6 n est pas commutatif 7 ne vérifie pas la propriété du produit nul Démonstration Se vérifie avec la définition Les premiers produits de l exemple 4 justifient les derniers points Exemple 5 Soit M = l égalité précédente 1 3 Vérifier que M M + 2Id 2 = 0 2,2 puis factoriser l expression de gauche dans 3 Puissances de matrice Définition 5 Soit k N et soit A une matrice carrée de M n (R) On appelle puissance k-ième de A, et on note A k, la matrice A A (k fois) Par convention A 0 = I n Comme le produit matriciel ne commute pas en général, la puissance de matrice garde seulement certaines propriétés des réels : wwwfranck-madigoufr ECE , Chapitre 2 : Matrices 2/5

3 Soient (k, l, n) N 2 et (A, B) ( M p (R) 2) 1 A k A l = A k+l 2 (A k ) l = A kl Proposition 2 3 Lorsque A et B commutent, on a : (a) (AB) k = A k B k (b) (A B)(A + B) = A 2 B 2 n (c) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (d) (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (e) (A + B) n n = A i B n i i i=0 Remarque 3 Deux exemples fondamentaux de matrices qui commutent Pour tout A M n (R), pour tout λ R : A et λi n commutent Pour toute matrice carrée A : toutes les puissances de A commutent entre elles Exemple 6 Calculer, si possible : A 2 pour A = A 2, A 3, B 2, AB, BA, A + B, (A + B) 2, A 2 + 2AB + B 2 pour A = M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 100 pour M = et B = Remarque 4 Une application importante du calcul de puissances de matrices est l étude des suites récurrentes (notamment les suites récurrentes couplées qui interviennent en probabilités) 4 Inverse d une matrice Définition 6 Soit A M n (R) une matrice carrée On appelle matrice inverse de A et on note A 1 M n (R) une matrice qui vérifie AA 1 = Id n = A 1 A L ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R qui admettent une inverse est noté GL n (R) Soient A, B GL n (R) 1 A 1 est unique : si BA = Id n ou AB = Id n alors B = A 1 2 (A 1 ) 1 = A 3 (AB) 1 = B 1 A 1 Proposition 3 Exemple Vérifier que B = est l inverse de la matrice A = Soit n N Montrer que si A 2 A = I n alors A est inversible, et préciser son inverse 3 Soit n N, λ R Vérifier que λi n est inversible, d inverse 1 λ I n et que 0 n n est pas inversible Remarque 5 Pour des matrices inversibles, les propriétés de calcul des puissances sont valables pour des puissances négatives Remarque 6 La somme de deux matrices inversibles n est pas inversible en général Par exemple I n et I n sont inversibles mais I n I n = 0 n ne l est pas Exemple 8 1 Soit A GL n (R) Montrer que pour tout p N, A p est inversible et préciser son inverse wwwfranck-madigoufr ECE , Chapitre 2 : Matrices 3/5

4 2 Soit A M p (R) et P GL p (R) Simplifier (P 1 AP) 2, (P 1 AP) 3 Conjecturer une formule pour (P 1 AP) n valable pour n N et la prouver par récurrence Est-elle encore valable pour n = 0? Si de plus A est inversible, vérifier que pour tout n N, (P 1 AP) n est inversible et préciser son inverse Déduire que la formule démontrée est encore vraie pour les entiers négatifs En calcul matriciel, lorsqu une matrice est inversible cela permet d obtenir de nouvelles règles de calcul On peut simplifier par cette matrice dans les égalités, comme on le fait dans R à l aide de la divisions Cependant il ne faut pas oublier de tenir compte de la non commutativité des matrices Pour ne pas faire d erreur, il faut multiplier, à gauche ou à droite, par l inverse de la matrice En conséquence : Soit C Gl n (R), et A et B des matrices telles que les produits suivants aient un sens CA = B A = C Simplification à gauche : 1 B CA = CB A = B Simplification à droite : AC = B A = BC 1 AC = BC A = B Proposition 4 Exemple 9 1 Soient A, B telles que AB = 0 Montrer que si A 0 et B 0 alors ni A ni B ne sont inversibles Soit B = Calculer B B et déduire que B n est pas inversible Proposition 5 a b Soit A =, où a, b, c, d sont quatre nombres réels Alors, c d 1 Si ad bc = 0, A n est pas inversible 2 Si ad bc 0, A est inversible et A 1 1 d b = ad bc c a d d Démonstration 1 Considérer B = 2 Calcul direct c c Remarque 7 Le calcul explicite de l inverse d une matrice carrée de petite dimension (3 3, voire plus rarement 4 4), qui repose essentiellement sur une séries de manipulations techniques, sera vu dans le chapitre consacré à la résolution de systèmes linéaires Ceci signifie qu une bonne partie des exercices sur les matrices n est pas encore faisable 5 Transposition et matrices symétriques Définition 7 Soit A = (a ij ) 1 i n M np (R) La transposée de A est la matrice A = (a ij ) 1 i p M pn (R) où : 1 j n (i, j) 1 ; p 1 ; n, a ij = a ji La transposition est une opération qui échange les lignes et les colonnes d une matrice Exemple 10 Calculer la transposée de chacune des matrices de l exemple 1 wwwfranck-madigoufr ECE , Chapitre 2 : Matrices 4/5

5 On a : 1 A M n,p (K), A = A Proposition 6 Propriétés de la transposition 2 A M n,p (K), B M p,q (K), (AB) = B A 3 λ R, A, B M n,p (K), (λa + B) = λ A + B 4 A GL n (R), (A 1 ) = ( A) 1 5 L ensemble {A M n (R) : A = A} est l ensemble des matrices symétriques d ordre n (parfois noté S n (R)) Démonstration À partir de la définition 7 Exemple 11 Vérifier la deuxième formule sur les matrices B et E de l exemple 1 Bilan du chapitre 2 Objectifs prioritaires 1 bien connaître les notations du 1 2 savoir effectuer les trois opérations de base sur les matrices 3 connaître la définition et les propriétés de l inverse 4 connaître la définition et les propriétés de la transposée Objectifs secondaires 1 être à l aise sur les calculs de puissances de matrices, de factorisations avec les matrices 2 savoir appliquer la formule du binome de Newton sur les matrices Approfondissement 1 connaître la définition théorique du produit (définition 4), wwwfranck-madigoufr ECE , Bilan du chapitre 2 5/5

6 TD du chapitre 2 Exercice 1 Puissances d une matrice diagonalisable On présente une méthode pour calculer les puissances d une matrice semblable à une matrice diagonale Soit M = et P = Déterminer P et calculer D = P 1 MP 2 Calculer M k pour tout entier naturel k Exercice 2 Puissances de la somme d une matrice nilpotente et d une homothétie Soit T = et N = T Id Calculer N k pour tout entier naturel k 2 En déduire T k à l aide de la formule du binôme, dont on justifiera l emploi n Calculer pour tout entier naturel n Exercice 3 Somme et matrice Soit n N 1 Simplifier pour tout A M p (R) l expression : (A I p ) n k=0 Ak 2 Soient A, B M p (R) deux matrices qui commutent, simplifier (A B) n k=0 Ak B n k Exercice 4 puissances de matrice et récurrence Pour les matrices suivantes, calculer ses premières puissances, deviner une formule pour la puissance n-ième, puis la montrer a par récurrence : A = 0 b 0, B = et C = c Exercice 5 matrice nilpotente Soit A M n (R) une matrice non nulle nilpotente, c est à dire pour laquelle il existe un entier r 2 tel que A r = 0 On suppose dans la suite que r est son indice de nilpotence, c est à dire le plus petit entier tel que A r = 0 ainsi A r 1 0) 1 Montrer que A n est pas inversible 2 Montrer que pour tout p R, on a (I n A) p k=0 Ak = I n A p+1 Déduire que I n A est inversible, et préciser son inverse 3 Appliquer les questions 1 et 2 à 0 a et 0 0 Exercice 6 polynômes de matrices et inversibilité Soit A = Calculer A 3 A 2 A Déduire que A est inversible, et déterminer son inverse Soit B = Calculer B 3 3B 2 + 2B Déduire que B n est pas inversible Soit A = ) 2 A I 4 est-elle inversible? Développer (A I 4 ) 2 puis montrer que A est inversible et déterminer son inverse wwwfranck-madigoufr ECE , TD du chapitre 2 1/1