Géométrie, L2 Mathématiques. Rachid Regbaoui

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1 Géométrie, L2 Mathématiques Rachid Regbaoui

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3 hapitre 1 Géométrie affine plane 1.1 Plan affine L ensemble R 2 sera muni de sa structure naturelle d espace vectoriel réel, i.e pour tout (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) R 2 et λ R, on a (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) et λ(x 1, x 2 ) = (λx 1, λx 2 ). Un vecteur de R 2 sera noté par une lettre surlignée d une flèche. insi un vecteur u = (x, y) R 2 sera noté u. Le vecteur nul (0, 0) sera noté par 0. On rappelle que deux vecteurs u et v sont dits colinéaires (ou parallèles) s il existe une constante λ R telle que u = λ v ou v = λ u. Dans ce cas note u v. Définition Un plan affine est la donnée d un ensemble E et d une application ϕ : E E R 2 associant à chaque (, ) E E un vecteur ϕ(, ) R 2 noté vérifiant les deux conditions suivantes : 1) pour tout,, E, on a = + ( Relation de hasles) 2) pour tout E et tout u R 2, il existe un unique point E tel que = u. Les conditions (1) et (2) dans la définition précédente sont appelées les axiomes de la géométrie affine. Dans la condition (2) on dit que le point est le translaté du point par le vecteur u (voir figure 1). Par abus de langage l ensemble E est appelé plan affine et ses éléments sont appelés points. u Figure 1 : = u 1

4 2 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE Exemples 1) On prend E = R 2 et on définit ϕ(, ) = pour tout (, ) E E. 2) Soit E =]0, + [ ]0, + [ et on définit ϕ : E R 2 par ϕ(, ) = ln ln, où l on a utilisé la notation ln(x, y) = (ln x, ln y). La proposition suivante donne quelques propriétés qui découlent directement de la définition Proposition Soit E un plan affine. Pour tout, E, on a 1) = 0 si et seulement si =. 2) =. Démonstration. 1) Montrons tout d abord que pour tout E, on a = 0. Par la relation de hasles on a = 2 ce qui implique = 0. Supposons maintenant que = 0. D après le deuxième axiome de la géométrie affine ( condition (2) dans la définition 1.1.1) il existe un unique point E vérifiant = 0, et comme le point vérifie = 0 d après ce qui précéde, on a donc = par unicité. Pour démontrer la relation (2) de la proposition il suffit de remarquer que = si et seulement si + = 0 ce qui est équivalent à = 0 par la relation de hasles. La proposition est donc démontrée. Définition Soit E un plan affine, et soit D un sous-ensemble de E. On dit que D est une droite affine (ou droite) si il existe un point D et un vecteur non nul u R 2 tel que { D = M E : M } u. Dans ce cas on dit que u est un vecteur directeur de D. Remarque On peut vérifier facilement en utilisant la définition précédente que si D est une droite de vecteur directeur u, alors pour tout D, on a { D = M E : M } u. Remarque Si u est un vecteur directeur d une droite D, alors tout vecteur non nul colinéaire à u est aussi vecteur directeur de D. Définition On dit que deux droites D 1 et D 2 sont parallèles si elles sont confondues ou si D 1 D 2 =. Dans ce cas on note D 1 D 2. Proposition Deux droites du plan affine sont parallèles si et seulement si elles ont un même vecteur directeur. Démonstration. On peut supposer que D 1 D 2 (sinon la proposition serait triviale). Supposons que D 1 D 2, i.e, D 1 D 2 =, et soient u 1, u 2 des vecteurs directeurs de D 1 et D 2 respectivement. On veut montrer que u 1 u 2. Supposons le contraire, alors { u 1, u 2 } serait une base de R 2. Soit maintenant 1 D 1 et 2 D 2. Il existe donc deux réels λ 1 et λ 2 tels que 1 2 = λ 1 u1 + λ 2 u2. (1.1)

5 1.1. PLN FFINE 3 D après le deuxième axiome de la géométrie affine, il existe un unique point M E tel que 1 M = λ 1 u1. (1.2) On a par la relation de hasles 2 M = M ce qui implique en utilisant les relations (1.1) et (1.2) que 2 M = λ 2 u2. (1.3) Il est clair que la relation (1.2) implique que M D 1 et la relation (1.3) implique que M D 2, contredisant ainsi le fait que D 1 D 2 =. Nous avons donc montré que u 1 u 2. Supposons maintenant que D 1 et D 2 ont un même vecteur directeur u et montrons que D 1 D 2. Pour cela supposons qu il existe D 1 D 2. On a ainsi par définition d une droite (en utilisant la remarque 1.1.1) que et D 1 = D 2 = { M E : { M E : M u M u c est à dire que D 1 = D 2. eci termine la preuve de la proposition. } } Proposition Soit E un plan affine. lors pour tout E et tout vecteur non nul u R 2, il existe une unique droite D passant par et ayant u comme vecteur directeur. Démonstration. onsidérons l ensemble suivant { D = M E : M u }. Par définition d une droite D est une droite passant par et ayant u comme vecteur directeur. Si D est une autre droite passant par ayant u comme vecteur directeur, alors il existe D tel que { D = M E : M u omme D, on a u, ce qui implique en utilisant la définition de D et D que D = D. }. D u Figure 2 : droite D passant par et de vecteur directeur u

6 4 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE La proposition précédente a pour conséquence le corollaire suivant : orollaire Soit D une droite d un plan affine E, et soit un point n appartenant pas à D. lors il existe une unique droite passant par et parallèle à D. Proposition Soient et deux points distincts d un plan affine E. lors il existe une unique droite affine passant par et. ette droite sera notée (). Démonstration. Remarquons tout d abord que si une telle droite existe, elle doit avoir comme vecteur directeur. On en déduit qu une telle droite, si elle existe, est unique d après la proposition Soit maintenant D l ensemble défini par { D = M E : M }. Il est clair que D est une droite affine passant par et. La preuve de la proposition est complète. Etant donnée une famille de points d un plan affine, on dit que de tels points sont alignés s il existe une droite affine les contenant. D après la proposition précédente deux points quelconques d un plan affine sont toujours alignés. ette propriété n est plus vraie en général lorsqu il s agit d au moins trois points. Définition Soient et deux points d un plan affine E. On appelle segment d etrémité et l ensemble noté [, ] défini par { [] = M E : t [0, 1], M = t }. Figure 3 : segment [] Définition Une partie E est dite convexe si pour tout,, on a []. Exemples Le plan affine E est convexe. Tout segment de E est convexe. Toute droite affine est convexe. Un ensemble fini constitué d au moins deux points n est jamais convexe. Une droite privé d un point n est pas convexe.

7 1.1. PLN FFINE 5 Figure 4 : Ensemble non convexe Figure 5 : Ensemble convexe Définition Soit [] un segment. On appelle milieu de [] l unique point I de [] vérifiant I = I = 1 2. I Figure 6 : Milieu I d un segment [] Nous avons aussi la notion d une demi-droite. Définition Soit un point de E et soit u R 2 un vecteur non nul. On appelle demidroite d origine et de vecteur directeur u l ensemble { M E : t 0, M = t } u. Dans la suite, on utilisera les notations suivantes pour des droites et demi-droites. Si E et u R 2 est un vecteur non nul, on notera par D(, u ) la droite affine passant par et de vecteur directeur u. On notera par D + (, u ) la demi-droite d origine et de vecteur directeur u. De même, on notera par D (, u ) la demi-droite d origine et de vecteur directeur u. Nous avons ainsi : D(, u ) = D + (, u ) D (, u ) et D + (, u ) D (, u ) = {}. La notion de demi-droite permet de définir la notion de secteur : Définition Soient D 1 et D 2 deux demi-droites de même origine O et de vecteurs directeurs u 1 et u 2 respectivement. On appelle secteur délimité par D 1 et D 2 l ensemble noté S(D 1, D 2 ) défini par S(D 1, D 2 ) = { M E : t 1, t 2 0, OM = t 1 u1 + t 2 u2 }.

8 6 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE D 2 S(D 1, D 2) D 1 O Figure 7 : Secteur S(D 1, D 2) délimité par D 1 et D 2 Exercice Montrer que deux droites affines distinctes sont parallèles ou elles sont sécantes en un point unique (elles se coupent en un point unique). 1.2 Repère affine, mesure algébrique Dans toute la suite, E désignera un plan affine. Définition Un repère affine de E est la donnée d un point O E, appelé origine du repère, et d une base { e 1, e 2 } de R 2. On note par { O, e 1, e 2 } ce repère. omme { e 1, e 2 } est une base de R 2, pour tout point M E, il exsite un unique couple (x, y) R 2 tel que OM = x e 1 + y e 2. Les nombres x et y sont appelés les coordonnées du point M dans le repère { O, e 1, e 2 }. Soit D une droite affine de E et soit { O, e 1, e 2 } un repère affine. Soit un point de D de coordonnées (x 0, y 0 ) et soit u = a e 1 + b e 2 R 2 un vecteur directeur de D. Un point M E de coordonnées (x, y) appartient à D si et seulement si M u, c est à dire si et seulement s il existe λ R tel que M = λ u, ce qui est équivalent à b(x x 0 ) a(y y 0 ) = 0. ette dernière équation s appelle équation cartésienne de la droite D dans le repère { O, e 1, e 2 }. Inversement, il est facile de montrer que tout ensemble constitué des points M du plan affine de coordonnées (x, y) vérifiant une équation de la forme ax + by + c = 0, où a, b, c sont des constantes réelles, est une droite affine. En utlisant l équation d une droite on peut définir la notion d un demi-plan affine.

9 1.2. REPÈRE FFINE, MESURE LGÉRIQUE 7 Définition Soit D une droite affine de vecteur directeur u. Soit O un point de D et v R 2 un vecteur non nul tel que l ensemble { O, u, v } forme un repère du plan affine E. Pour un point M E on désigne par (x, y) ces coordonnées cartésiennes dans le repère { O, u, v }. Les deux ensembles E + = { M E : y > 0 } et E = { M E : y < 0 } s appellent demi-plans affines déterminés par la droite D. On a ainsi E = D E + E et E + E =. Remarque On peut démontrer (voir exercice ci-dessous) que les demi-plans E + et E définis ci-dessus ne dépendent pas du choix du point O D ni des choix des deux vecteurs u et v. Définition Soit Dune droite affine et soit u un vecteur directeur de D. Soient, D, on appelle mesure algébrique du vecteur relativement à u l unique nombre réel λ vérifiant = λ u. e nombre sera noté En utilisant la relation de hasles, on vérifie facilement que si,, sont trois points alignés de E, alors = +. Remarque Etant donnés deux points et d une droite affine D, la mesure algébrique du vecteur dépent du choix du vecteur directeur u de D. Proposition Soient D 1 et D 2 deux droites parallèles de E, soient, deux point de D 1 et soient, D deux points de D 2 (avec D). Soit u un vecteur directeur des deux droites D 1 et D 2. lors le rapport D est indépendant du vecteur directeur u. Démonstration. onséquence directe de la définition. Lorsque D 1 = D 2 dans la proposition précédente on obtient le corollaire suivant : orollaire Soient,,, D quatre points d une droite affine D tels que D. lors le rapport D est indépendant du choix du vecteur directeur de D. La proposition suivante permet d introduire la notion de barycentre.

10 8 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE Proposition Soit 1, 2,..., n une famille de points de E et soit a 1, a 2,..., a n une famille de nombres réels tels que a 1 + a a n 0. lors il existe un unique point G E tel que a 1 G1 + a 2 G2 + + a n G n = 0. Le point G s appelle barycentre du système pondéré {( 1, a 1 ), ( 2, a 2 ),..., ( n, a n )}. Démonstration. Fixons un point O E. On a pour tout G E, a 1 G1 + a 2 G2 + + a n G n = (a 1 + a a n ) GO + a1 O 1 + a 2 O 2 + a n O n. (2.1) Par le deuxième axiome de la géométrie affine il exsite un unique point G E tel que OG = Il découle de (2.1) et (2.2) que ce qui prouve la proposition. 1 ( ) a 1O1 + a 2O2 + a n O n. (2.2) a 1 + a a n a 1 G1 + a 2 G2 + + a n G n = 0 Lorsque a 1 = a 2 = = a n dans la proposition précédente, on dit que G est l isobarycentre (ou centre de gravité) des points 1, 2,..., n. Définition On appelle base affine d un plan affine E toute famille de trois points {,, } non alignés de E. Remarque Il est facile de voir que si {,, } est une base de E, alors {,, } est un rep`re affine. Dans le cas d une base affine La proposition précédente admet une réciproque : Proposition Soit {,, } une base affine de E. lors pour tout M E, il existe trois nombres réels a, b, c tels que M soit le barycentre du système pondéré {(, a), (, b), (, c)}. De plus le triplet (a, b, c) est unique à une constante multiplicative près. Les nombres a, b, c s appellent coordonnées barycentriques du point M dans la base affine {,, }. Lorsqu on impose la condition a + b + c = 1, on dit que ces coordonnées barycentriques sont normalisées. Démonstration. omme {,, } est une base affine, alors {,, } est un repère affine. Soit M E, et soit x, y les coordonnées de M dans le repère précédent. On a alors M = x +y = x( M + M)+y( M + M) = (x+y) M +xm +ym, ce qui implique que M est le barycentre du sytème pondéré {(, a), (, b), (, c)}, avec a = 1 x y, b = x, c = y.

11 1.3. QUELQUES FIGURES DU PLN FFINE 9 Soit maitenant a, b, c R avec a + b + c 0 tel que M soit le barycentre du système pondéré {(, a), (, b), (, c)}, c est à dire que l on a Soit λ = a + b + c et soit a = a λ, b = b λ, c = c λ a M + b M + c M = 0.. On a alors d après ce qui précéde, a M + b M + c M = 0, et comme par la relation de hasles on a M = M + et M = M +, on obtient ce qui donne, puisque a + b + c = 1, (a + b + c ) M + b + c = 0, M = b + c c est à dire que b = x et c = y (les coordonnées du point M dans le repère {,, } ). insi on a montré que (a, b, c) = λ(1 x y, x, y). La démonstration de la proposition est ainsi complète. Exercice (segment d or) Soit [, ] un segment de E. Trouver un point M [, ] tel que M = M M. Exercice Soient D une droite de E, O, O D, u 1, u 2 deux vecteurs directeurs de D et v1, v 2 R 2 tels que { O, u 1, v 1 } et { O, u 2, v 2 } soient des repères affines. On désigne par E + 1, E 1 les deux demi-plans déterminés par la droite D (comme défini ci-dessus )lorsqu on utlise le repère { O, u 1, v 1 }. De même, on définit E + 2, E 2 lorsqu on utlise le repère { O, u 2, v 2 }. Démontrer que l on a E + 1 = E+ 2 et E 1 = E 2, ou E+ 1 = E 2 et E 1 = E Quelques figures du plan affine Définition Dans un plan affine E un triangle est la donnée de trois points,, et de trois segments [], [], []. Les points,, s appellent les sommets du triangle, et les segments [], [], [D] les côtés du triangle. Lorsque les points,, sont alignés on dit que le triangle est plat. Remarque Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ces sommets. utrement dit, étant donnés trois points,,, il existe un seul triangle ayant,, comme sommets. omme on le verra plus loin, cette propriété n est pas vraie pour les quadrilatères d une façon générale.

12 10 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE Soit un triangle non plat et soit S le secteur délimité par les deux demi-droites d origine et de vecteurs directeurs et. On définit de la même façon les deux secteurs S et S. On appelle intérieur du triangle l ensemble S S S = S S = S S = S S. Souvent dans la pratique on inclut l intérieur du triangle avec le triangle. Figure 8 : Intérieur d un triangle Remarque omme on peut facilement le vérifier, un triangle (avec intérieur inclus) est un ensemble convexe. Définition Dans un plan affine E un quadrilatère D est la donnée de quatre points,,, D et de quatre segments [], [], [D], [D]. Les points,,, D s appellent les sommets du quadrilatère, et les segments [], [], [D], [D] s appellent les côtés du quadrilatère. Lorsque les sommets d un quadrilatère sont alignés on dit qu il est plat. Si au moins trois sommets sont alignés, on dit que le quadrilatère est dégénéré. Remarque D après la définition précédente, l ordre dans lequel est noté un quadrilatère est important car il détermine les sommets et les côtés. insi le quadrilatère D et le quadrilatère D sont distincts même s ils ont les mêmes sommets. ontrairement aux triangles, un quadrilatère n est pas déterminé par la donnée de ses sommets. Etant donnés quatre points,,, D, il existe plusieurs quadrilatères ayant,,, D comme sommets (voir figure 8 ci-dessous). D D Quadrilatère D Quadrilatère D Figure 9 : Deux quadrilatères distincts avec les mêmes sommets

13 1.3. QUELQUES FIGURES DU PLN FFINE 11 Définition Une diagonale d un quadrilatère est un segment reliant deux sommets du quadrilatère et qui n est pas un côté du quadrilatère. insi les diagonales du quadrilat`re D sont les segments [] et [D]. elles du quadrilatère [D] sont [D] et []. Deux sommets d un quadrilatère sont dits consécutifs s ils appartiennent à un même côté. De même, deux côtés sont dits consécutifs s ils ont un sommet en commun. insi dans le quadrilatère D les sommets et sont consécutifs, mais pas les sommets et. De même, les côtés [] et [] sont consécutifs, mais pas les côtés [] et [D]. Un quadrilatère dont deux côtés non consécutifs sont sécants ( i.e d intersection non vide ) est dit croisé. Par exemple le quadrilatère de droite dans la figure 9 ci-dessus est croisé, celui de gauche ne l est pas. ontrairement aux triangles, la définition de l intérieur d un quadrilatère est plus complexe compte tenu des différentes configurations que peut avoir un quadrilatère. Pour cela, nous avons besoin de fixer quelques notations. Soit Q = D un quadrilatère et soit S le secteur délimité par les deux demi-droites d origine et de vecteurs directeurs et D. On définit de la même façon les secteurs S, S et S D. On définit les ensembles Q, Q, Q, Q D comme suit S S S D si S S S D Q Q = (S S ) (S S D ) sinon S S S si S S S Q Q = (S S ) (S S ) sinon S S S D si S S S D Q Q = (S S ) (S S D ) sinon S D S S si S D S S Q Q D = (S D S ) (S D S ) sinon L intérieur du quadrilatère Q est l ensemble noté I(Q), défini par I(Q) = Q Q Q Q D.

14 12 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE D D D Figure 10 : Intérieur d un quadrilatère D dans différentes configurations Dans la pratique on inclut l intérieur d un quadrilatère avec le quadrilatère. On dit qu un quadrilatère est convexe s il est (en incluant son intérieur) un ensemble convexe selon la définition donnée dans le paragraphe précédent. Nous avons la caractérisation suivante des quadrilatères convexes : Proposition Un quadrilatère est convexe si et seulement si pour chaque droite contenant un côté du quadrilatère, ce dernier se trouve entièrement dans l un des deux demi-plans déterminés par cette droite. Démonstration. Exercice à faire en TD. D D Figure 11 : Quadrilatère convexe Figure 12 : Quadrilatère non convexe et non croisé Il découle directement de la définition qu un quadrilatère convexe n est jamais croisé. Un quadrilatère peut être non croisé et non convexe (Figure 12 ci-dessus). Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les droites contenant les côtés non consécutifs sont parallèles. Plus précisément, un quadrilatère D est un parallélogramme si () (D) et () (D).

15 1.3. QUELQUES FIGURES DU PLN FFINE 13 D Figure 13 : Prallélogramme D Nous avons les caractérisations suivantes des parallélogrammes : Proposition Soit D un quadrilatère non plat. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1) D est un prallélogramme. 2) = D. 3) = D. 4) Les diagonales [] et [D] ont le même milieu. Démonstration. Montrons que (1) = (2). Supposons que D est un paraléllogramme. On a alors () (D) et (D) (). On en déduit que D = λ et = µ D pour λ, µ R. D autre part, on a par la relation de hasles, = D + D +, ce qui implique = D + λ µ D, c est à dire : (1 λ) + (µ 1) D = O. Mais les deux vecteurs et D sont linéairement indépendants car le quadrilatère D est supposé non plat. On en déduit que λ = 1 et µ = 1. omme D = λ, on a donc D =. Monronquons (2) = (3). Supposons que D =. On a par la relation de hasles, = + D + D = + D + = D. Montrons que (3) = (4). Supposons que = D. Soient I et J les milieux respectifs de [] et [D]. On a alors I = 1 = 1 ( ) D + D (3.1) 2 2 et J = 1 D = 1 ( ) + D = 1 ( ) D + D. (3.2) D autre part, on a par la relation de hasles, J = + J, ce qui donne en utilisant la relation (3.2), J = 1 ( ) + D + D. (3.3) 2 En faisant la différence entre (3.1) et (3.3) on obtient JI = I J = D + = D + + D + D = + D = 0,

16 14 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE ce qui donne I = J. Montrons que (3) = (4). Soient I et J les milieux respectifs de [] et [D] et supposons que I = J. On a par définition I = 1 = ( ) D + D et I = J = 1 D = ( ) + D. En faisant la différence entre les deux dernières équations, on a = I I = D, 2 2 ce qui donne = D et donc () (D). On a par la relation de hasles, = + D + D = + D + = D, d où () (D). La preuve de la proposition est terminée. Exercice Etant donnés quatre points,,, D d un plan affine E, combien de quadrilatères distincts de sommets,,, D peut-on construire? 1.4 Grands théorèmes de la géométrie affine plane Dans ce paragraphe nous allons énnoncer et démontrer trois grands théorèmes classiques de la géométrie affine plane. omme dans les pragraphes précédents, E désignera un plan affine. Théorème (Théorème de Thalès 1 ) Soit un triangle non plat de E. Soient un point de la droite () et un point de la droite (). lors les droites () et ( ) sont parallèles si et seulement si =. (4.1) Dans ce cas chacun des deux rapports précédents est aussi égal à. Démonstration. Supposons que ( ) (). lors on a avec λ R. omme () et () on a aussi avec µ, ν R. D autre part, on a par la relation de hasles, 1. Thalès, mathématicien grec, av. J.-. = λ (4.2) = µ et = ν (4.3) =. (4.4)

17 1.4. GRNDS THÉORÈMES DE L GÉOMÉTRIE FFINE PLNE 15 En remplaçant (4.2) et (4.3) dans (4.4), on obtient λ = ν µ et comme par la relation de hales on a =, on en déduit que c est à dire λ λ = ν µ (λ µ) + (λ ν) = 0 ce qui implique λ µ = 0 et λ ν = 0 car les deux vecteurs et sont linéairement indépendants puisque le triangle est supposé non plat. insi nous avons démontré que µ = ν = λ. Mais par définition on a µ =, ν =, λ =. La première partie du théorème est donc démontré. Supposons maitenant que la relation (4.1) du théorème est vérifiée et montrons que ( ) (). Posons On donc D autre part, par la relation de hasles on a λ = =. = λ et = λ = = λ λ = λ c est à dire que. La démonstration du théorème est complète. Figure 14 : Illustration du théorème de Thalès

18 16 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE Remarque Dans le théorème de Thalès les points et sont quelconques sur les droites () et () respectivement. En particulier, ces points peuvent être en dehors des côtés du triangle (voir figure 14 ci-dessus). Théorème (Théorème de desargues 2 ) Soient et deux triangles non plats d un plan affine E tels que,,. Si () ( ), () ( ) et () ( ), alors les droites ( ), ( ) et ( ) sont parallèles ou concourantes (i.e elles se coupent en un point). Démonstration. Si ( ), ( ), ( ) ne sont pas parallèles, deux d entre elles, par exemple ( ) et ( ) se coupent en un point I. omme () ( ), on a par le théorème de Thalès : I I = I I = k. Soit le point de la droite (I) tel que I I = k. Par le théorème de Thalès, il découle de la relation I I = k = I I que () ( ). De même, par le théorème de Thalès, il découle de la relation I I = k = I I que () ( ). On en déduit donc que = ( ) et ( ) = ( ). e qui implique que = car ( ) ( ) = { } et ( ) ( ) = { }. insi la droite ( ) passe par I et le théorème est démontré. 2. Girard Desargues, géomètre et architecte français,

19 1.4. GRNDS THÉORÈMES DE L GÉOMÉTRIE FFINE PLNE 17 I Figure 15 : illustration du théorème de Desargues Théorème (Théorème de Pappus 3, première version )Soient D et D deux droites distinctes de E. Soient,, trois points distincts sur D \ D, et,, trois points distincts sur D \ D. Si ( ) ( ) et ( ) ( ), alors on a ( ) ( ). Démonstration. Supposons que D D = {I}. Par le théorème de Thalès, puisque ( ) ( ), on a I I = I I. De la même façon on a aussi I I = I I. Par multiplication de ces deux égalités membres à membres on obtient : I I = I I, et le théorème de Thalès implique donc que ( ) ( ). Supposons maintenant que D D. Il en découle que les quadrilatères et sont des parallélogrammes. e qui donne = et =, et par addition, on obtient =. On en déduit que est un parallélogramme et le résultat suit. 3. Pappus, mathématicien grec, IV e siècle.

20 18 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE D D Figure 16 : Illustraton du théorème de Pappus, première version D I D Figure 17 : Illustraton du théorème de Pappus, première version Théorème ( Théorème de Pappus, deuxième version ) Soient D et D deux droites distinctes d un plan affine. Soient,, trois points sur D, et soient,, trois points sur D. On suppose que les droites ( ) et ( ) se coupent en un point K, les droites ( ) et ( ) se coupent en un point L, et les droites ( ) et ( ) se coupent en un point M. lors les points K, L, M sont alignés. Démonstration. On suppose que les droites ( ) et ( ) se coupent en un point ( 1 ), les droites ( ) et ( ) se coupent en un point 2, et les droites ( ) et ( ) se coupent en un point 3 (sinon, une application du thèorème de Thalès permettrait de conclure, voir exercice en TD). En appliquant le thèorème de Ménélaüs (voir Théorème ci-dessous) au triangle

21 1.4. GRNDS THÉORÈMES DE L GÉOMÉTRIE FFINE PLNE et les droites (), ( ), ( ), ( ) et ( ), on obtient respectivement, = 1, = 1, 3 1 M 1 M = 1, 3 1 L 2 L = 1, 2 3 K 3 K = 1. En multipliant ces cinq équations membres à membres, on obtient la relation M 1 M 2 L 2 L 3 K 3 K 1 = 1, ce qui implique grâce au théorème de Ménélaüs (appliqué au triangle ) que les points K, L, M sont alignés. K L M Figure 18 : Théorème de Pappus, seconde version Théorème ( Théorème de Ménélaüs 4 ) Soit un triangle non plat d un plan affine et soient trois points K (), L () et M (), qu on suppose distincts des sommets du triangle. lors K, L, M sont alignés si et seulement si K L M K L M = 1. Démonstration. Exercice à faire en TD. 4. Ménélaüs, dit Ménélaüs d lexandrie, mathématicien grec, II e siècle.

22 20 HPITRE 1. GÉOMÉTRIE FFINE PLNE M L K Figure 19 : Théorème de Ménélaüs Exercice Dans un triangle, on appelle médiane un segment reliant un sommet du triangle au milieu du segment opposé (ne contenant pas ce sommet). Montrer que les trois médianes d un triangle sont concourantes. Exercice (version générale du théorème de Thalès) Soitent D et D deux droites distinctes d un plan affine E. Soient 1, 2, 3 trois droites parallèlles et distinctes de E, qui coupent les droites D et D respectivement en { 1, 2, 3 } et { 1, 2, 3}. Montrer que l on a = Inversement, étant données deux droites distinctes D et D de E, et trois droites 1, 2, 3 coupant les droites D et D respectivement en { 1, 2, 3 } et { 1, 2, 3 } telles que = , montrer que les droites 1, 2, 3 sont parallèles. (On distinguera deux cas : D D et D D =. )

23 1.4. GRNDS THÉORÈMES DE L GÉOMÉTRIE FFINE PLNE D D Figure 20 : Version générale du théorème de Thalès