CORRECTION DM8. = - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. = - f(x)

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1 ORRETION DM8 EXERIE : Etude d une fonction trigonométrique f est la fonction définie sur R par : f(x) sin x ( + cosx) ) a) i) Pour tout x R, (x + ) R ii) Pour tout x R, f(x + ) sin(x + )( +cos(x + ) sin x( + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont périodiques. f(x) Donc f est périodique de période. b) i) Pour tout x R, (-x) R ii) Pour tout x R, f(-x ) sin(-x )( +cos(-x) Donc f est impaire. - sin x( + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. - f(x) c) f est périodique de période donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur comme [0 ; ] ou [- ; ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l étudier sur [0 ; + [. Sa courbe admet pour centre de smétrie, l origine O du repère. Finalement on peut étudier f sur I [0 ; ]. ) a) f est dérivable R comme produit de fonctions dérivables sur R. Ainsi f est dérivable sur I [0 ; ] Pour tout x de I, f (x) cosx( + cosx) + sinx(- sinx) cosx + cos²x sin²x cosx + cos² x ( cos²x) cos²x + cosx - D autre part, ( cosx )(cosx + ) ( cosx )(cos x + ) cos²x + cosx cos x cos²x + cos x Ainsi pour tout x de I, f (x) ( cosx )(cosx + ) b) A l aide du cercle trigonométrique, Sur I, signe de cos x : cos x 0 cos x donc pour x 3 signe de cos x + : cos x > 0 pour x [0 ; 3 [ et cos x < 0 pour x ] 3 ; ] cos x + 0 lorsque cos x - donc pour x cos x + > 0 quand cos x > donc pour x [0 ; [ et cos x + < 0 n a pas de solution sur I D où le tableau de signe de f (x) : On a donc sur I, f (x) 0 x 3 ou x x 0 3 cos x cos x f (x) f (x) > 0 x [0 ; 3 [ donc f est strictement croissante sur [0 ; 3 ] f (x) < 0 x ] 3 ; [ donc f est strictement décroissante sur [ 3 ; ]

2 D'où le tableau de variations de f sur I : f(0) sin(0)( + cos (0)) 0 f( 3 ) sin ( 3 )( + cos 3 ) 3 ( + ) 3 3 f( ) sin ( ) ( + cos ()) 0 3) Tableau de valeurs : x 0 /3 3 3 f x f(x) 0 0,93,,3 0,3 0, 0,07 0 Représentation graphique de f sur [- ; ] f 0/3 /3 0 /6 /3 0/3 x

3 EXERIE : oordonnées polaires et coordonnées cartésiennes ) omme OAB est un carré direct, O OA et ( OA, O ) [ ] Or, A a pour coordonnées polaires ; 3 donc, O et ( i, O ) ( i, OA) + ( OA, O ) [ ] [ ] [ ] d où, 6 a pour coordonnées polaires (, 5 6 ). - B A 0 3 x A partir des coordonnées polaires de on a ses coordonnées cartésiennes : x cos( 5 6 ) (- 3 ) - 3 et sin ( 5 6 ), Les coordonnées cartésiennes de sont : ( - 3 ; ) ) De même à partir des coordonnées polaires de A, on obtient ses coordonnées cartésiennes : x A cos( 3 ) et A sin ( 3 ) ( 3 ) 3, soit A( ; 3). omme le quadrilatère OAB est un carré, on a l égalité vectorielle OA B. On en déduit que x B + 3 et B - 3 d où x B - 3 et B Les coordonnées cartésiennes du point B sont : B( - 3, ). 3) OB ( - 3)² + ( )² 8 omme, OAB est un carré de sens direct ( OB, Ainsi, ( i, OB ) ( i, OA) + ( OA, OA) - [ ] OB ) [ ] [ ] Les coordonnées polaires de B sont (, 7 ) On utilise la relation qui existe entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes du point B pour déterminer cos 7 et sin7. On a - 3 cos 7 D où, cos 7-3 et sin 7 et sin 7 cos 7 ( 3) - 6 et soit, sin 7 ( ) omme 7 +, cos sin 7 et sin - cos 7 [ ] 6 + d où :. cos et sin

4 EXERIE 3 : oordonnées polaires et construction de points ) A ( 8 3 ; - ) donc r A OA ( ( - 3) - 3. )² +(- )² Les deux nombres - 3 et sont positifs, comparons leur carré. 6 - ( - 3 )² - 3 et ( ) ² Les deux nombres positifs ont même carré, ils sont donc égaux. D où, r A. cos (θ A ) - sin (θ A ) Les coordonnées polaires de A sont bien ( ( 3 )( 6 + ) 6 - ( 6 - )( 6 + ) d après les calculs précédents. Ainsi, θ A ; - ). [ ] Si OAB est un triangle direct, isocèle et rectangle en O, alors B est l image de A par la rotation de centre O et d angle.. Ainsi puisque A a pour coordonnées polaires ( ( 6 - ; - + ) soit B( 6 - ; ) 6 - ; - ), B a pour coordonnées polaires ) DA (x A x D )² + ( A - D )² ( Les coordonnées cartésiennes de sont x et 6 + sin 6 + Les coordonnées cartésiennes de sont ( D ( 8 )² + ( )² + ( )² 3 + )² 3 + ( )² cos d après ce qui précède, ). + ( )² On a DA D, les points A et sont situés sur le cercle de centre D et de raon.

5 3) 3 D B -3-0 I A 3 x Dans le repère orthonormal direct (O, I ( ; 0). e cercle a pour raon DI. i, j ), placer D(0 ; ) puis construire le cercle de centre D passant par On construit ensuite la demi droite [OE) avec E( ; 0), c est la première bissectrice et ( Le point est le point d intersection de cette demi droite et du cercle. onstruire la demi droite [OF) avec F( ; ), on a alors ( i, OF ) - [ ] Le point A est le point d intersection de cette demi droite et du cercle. i, OE ) [ ] B se trouve sur la demi droite [O) et vérifie OB OA, pour le placer il faut construire le cercle de centre O passant par A. B est alors le point d intersection de ce cercle et de [O).