MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K)

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1 JFC Mat p 1 MATRICES I GÉNÉRALITÉS 1 Définitions 2 Matrices carrées particulières II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 1 Structure d espace vectoriel de M n,p (K) 2 Base canonique de M n,p (K) III MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Matrice d une famille de vecteurs 2 Matrice d une application linéaire 3 L isomorphisme fondamental 4 Matrice d une forme linéaire IV RANG D UNE MATRICE 1 Définition 2 Propriétés V PRODUIT DE DEUX MATRICES 1 Définition 2 Matrice de la composée de deux applications linéaires 3 Définition analytique d une application linéaire 4 Propriétés des opérations sur les matrices 5 Produit de matrices particulières 6 Polynômes de matrices 7 Polynômes annulateurs d une matrice VI MATRICES INVERSIBLES 1 Définition 2 Matrice inversible et isomorphisme 3 Caractérisations des matrices inversibles 4 Quelques propiétés 5 Inversibilité des matrices triangulaires 6 Inversibilité des matrices d ordre 2

2 JFC Mat p 2 VII CHANGEMENT DE BASE 1 Définition 2 Changement de base dans un espace vectoriel 3 Changement de base pour une application linéaire 4 Matrices semblables VIII IX PRATIQUE DE L INVERSIBILITÉ ET DE L INVERSION TRANSPOSITION 1 Définition 2 Propriétés X XI XII MATRICE SYMÉTRIQUE MATRICE ANTISYMÉTRIQUE SAVOIR FAIRE COMPLÉMENTS 1 Égalité de deux matrices 2 Extraction d une colonne ou d une ligne ou d un élément d une matrice 3 Trace d une matrice 4 Une nouvelle caractérisation des base en dimension finie 5 Simplification par une matrice inversible 6 Matrice de passage 7 Matrice d un endomorphisme de K n [X] 8 Rang 9 Interprétation matricielle des opérations élémentaires dans la méthode du pivot XIII XIV DES PHRASES OU DES RHÉTORIQUES TOUTES FAITES DES ERREURS À NE PAS FAIRE

3 MATRICES JFC Mat p 3 P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique des matrices mentionne des erreurs à ne pas faire où des hypothèses importantes ou des mises en garde Dans ce qui suit K est le corps des réels ou des complexes, E et E (et même E ) sont des K-espaces vectoriels Sauf précisions n, p, q sont des éléments de N I GÉNÉRALITÉS 1 Définitions Déf 1 On appelle matrice de type (n, p) ou de format (n, p) à éléments ou à coefficients dans K toute application de [1, n] [1, p] dans K ou encore toute famille d éléments de K indexée par [1, n] [1, p] On note M n,p (K) l ensemble des matrices de type (n,p) à éléments dans K Un élément A = (a ij ) (i,j) [1,n ] [1,p ] de M n,p (K) se représente par un tableau rectangulaire de n lignes et p colonnes où figure à l intersection de la ième ligne et de la jème colonne : a ij Souvent on assimile la matrice et le tableau On écrit alors : a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p A = (a ij ) (i,j) [1,n ] [1,p ] = a i1 a i2 a ij a ip a n1 a n2 a nj a np Remarque Dans A = (a ij ) (i,j) [1,n ] [1,p ], i est l indice de ligne et j celui de colonne Le plus souvent au lieu de parler de l élément A = (a ij ) (i,j) [1,n ] [1,p ] de M n,p (K), nous parlerons de l élément A = (a ij ) de M n,p (K) ; a ij est le terme général ou l élément générique de la matrice A Déf 2 Soit A = (a ij ) un élément de M n,p (K) Si i est un élément de [1, n], la matrice ligne ( ) a i1 a i2 a ip est la i ème ligne de A Si j est un élément de [1, p], la matrice colonne a 1j a 2j a nj est la jème colonne de A Déf 3 1 Les matrices de type (n, n) sont appelées matrices carrées d ordres n On note M n (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K Si A = (a ij ) est un élément de M n (K), a 11, a 22,, a nn sont les éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A 2 Les matrices de type (1, n) sont appelées matrices lignes 3 Les matrices de type (n, 1) sont appelées matrices colonnes

4 JFC Mat p 4 2 Matrices carrées particulières Déf 4 1 In est l élément (a ij ) de M n (K) tel que : i [1, n], a ii = 1 et (i, j) [1, n] 2, i j a ij = 0 ; on parle de matrice identité ou matrice unité 2 Soit A = (a ij ) un élément de M n (K) A = (a ij ) est scalaire si : λ K, A = λ In A = (a ij ) est diagonale si : (i, j) [1, n] 2, i j a ij = 0 A = (a ij ) est triangulaire supérieure si : (i, j) [1, n] 2, i > j a ij = 0 A = (a ij ) est triangulaire inférieure si : (i, j) [1, n] 2, i < j a ij = 0 II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 1 Structure d espace vectoriel de M n,p (K) Th 1 Si A = (a ij ) et B = (b ij ) sont deux éléments de M n,p (K) et α un élément de K, on pose : A + B = (a ij + b ij ) et α A = (αa ij ) (M n,p (K), +, ) est un espace vectoriel sur K 2 Base canonique de M n,p (K) Th 2 et déf 5 Si i appartient à [[1, n] et j à [[1, p], on note E ij la matrice de M n,p (K) dont les coefficients sont tous nuls sauf celui situé à l intersection de la ième ligne et le jème colonne qui vaut 1 La famille (E ij ) (i,j) [1,n ] [1,p ] est une base de M n,p (K) C est la base canonique de M n,p (K) n p Si A = (a ij ) est un élément de M n,p (K) : A = a ij Eij donc (a ij ) (i,j) [1,n ] [1,p ] est la famille des coordonnées de A dans cette base i=1 j=1 M n,p (K) est de dimension np sur K M n (K) est de dimension n 2 sur K 1 0 Th 3 1 La base canonique de M n,1 (K) est : 0, 1,, c Les coordonnées d un élément C = 2 c 1 c n de M n,1(k) dans cette base sont : c 1, c 2,, c n 2 La base canonique de M 1,n (K) est : ( ( ), ( ),, ( ) ) Les coordonnées d un élément L = ( l 1 l 2 l n ) de M 1,n (K) dans cette base sont : l 1, l 2,, l n

5 JFC Mat p 5 III MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Matrice d une famille de vecteurs Déf 6 Soit B = (e 1, e 2,, e n ) une base de E et (u 1, u 2,, u p ) une famille d éléments de E Pour tout j dans [1, p] et pour tout i dans [1, n] on note a ij la ième coordonnée de u j dans la base B L élément (a ij ) de M n,p (K) est appelé matrice de la famille (u 1, u 2,, u p ) dans la base B On la note M B (u 1, u 2,, u p ) P M B (u 1, u 2,, u p ) s obtient en écrivant en colonne, et successivement, les coordonnées des vecteurs u 1, u 2,, u p dans la base B Th 4 P Les notations sont celles de la définition précédente n M B (u 1, u 2,, u p ) = (a ij ) j [1, p], u j = a ij e i i=1 Déf 7 Soit B = (e 1, e 2,, e n ) une base de E et u un vecteur de E de coordonnées (x 1, x 2,, x n ) dans la base B M B (u) = x 1 x 2 x n est la matrice des coordonnées du vecteur u dans la base B Dans la situation précédente on est prié de ne pas confondre le vecteur u, la famille (x 1, x 2,, x n ) de ses coordonnées dans la base B et la matrice x 1 x 2 x n 2 Matrice d une application linéaire de ses coordonnées dans la base B Déf 8 E est de dimension non nulle p et E de dimension non nulle n f est une application linéaire de E dans E, B = (e 1, e 2,, e p ) une base de E et B = (e 1, e 2,, e n) une base de E La matrice de f relativement aux bases B et B est la matrice de la famille ( (f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e p ) ) dans la base B = (e 1, e 2,, e n) Nous la noterons M(f, B, B ) M(f, B, B ) est l élément de M n,p (K) obtenu en écrivant en colonne, et successivement, les coordonnées des vecteurs f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e p ) dans la base B = (e 1, e 2,, e n) P Il convient de retenir le schéma suivant : M(f, B, B ) = f(e 1 ) f(e 2 ) f(e p ) e 1 e 2 e n

6 JFC Mat p 6 Th 5 P Les notations sont celles de la définition précédente n M(f, B, B ) = (a ij ) j [1, p], f(e j ) = a ij e i i=1 Déf 9 E est de dimension non nulle n f est un endomorphisme de E et B = (e 1, e 2,, e n ) une base de E La matrice de f dans la base B = (e 1, e 2,, e n ) est la matrice de la famille ( (f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e n ) ) dans la base B = (e 1, e 2,, e n ) On la note M B (f) M B (f) est un élément de M n (K) Th 6 P Les notations sont celles de la définition précédente n M B (f) = (a ij ) j [1, n], f(e j ) = a ij e i i=1 3 L isomorphisme fondamental Th 7 E est de dimension non nulle p et E de dimension non nulle n B = (e 1, e 2,, e p ) est une base de E et B = (e 1, e 2,, e n) une base de E 1 Si f et g sont deux applications linéaires de E dans E et α un élément de K : M(f + g, B, B ) = M(f, B, B ) + M(g, B, B ) et M(α f, B, B ) = α M(f, B, B ) 2 Pour toute matrice A de M n,p (K) il existe une application linéaire f, de E dans E, et une seule telle que M(f, B, B ) = A 3 ϕ : L(E, E ) M n,p (K) ϕ est un isomophisme d espaces vectoriels de L(E, E ) sur M n,p (K) f M(f, B, B ) P S il convient de savoir trouver la matrice d une application linéaire relativement à deux bases il convient également de savoir associer à une matrice une application linéaire Voila une phrase toute faite permettant de le faire dans le cas où A un élément de M n,p (K) Considérons l application linéaire f de K p dans K n dont la matrice relativement aux bases canoniques de K p et de K n est A Notons qu alors f = ϕ 1 (A) Th 8 E est de dimension n non nulle et B = (e 1, e 2,, e n ) une base de E ϕ : L(E) M n (K) ϕ est un isomophisme d espaces vectoriels de L(E) sur M n (K) f M B (f) P S il convient de savoir trouver la matrice d un endomorphisme relativement à une base il convient également de savoir associer à une matrice carrée un endomorphisme Voila une phrase toute faite permettant de le faire dans le cas où A un élément de M n (K) Considérons l endomorphisme f de K n dont la matrice relativement à la base canonique de K n est A Notons qu alors f = ϕ 1 (A)

7 JFC Mat p 7 4 Matrice d une forme linéaire Prop 1 E est un K-espace vectoriel de dimension n La matrice d une forme linéaire sur E, relativement à une base de E et une base de K, est un élément de M 1,n (K) donc une matrice ligne IV RANG D UNE MATRICE 1 Définition Déf 10 2 Propriétés Le rang d une matrice de M n,p (K) est la dimension du sous-espace vectoriel de M n,1 (K) engendré par les colonnes de cette matrice Th 9 Th 10 Le rang d une matrice de M n,p (K) est la dimension du sous-espace vectoriel de M n,1 (K) engendré par les lignes de cette matrice On ne change pas le rang d une matrice en effectuant sur cette matrices les opérations élémentaires sur les lignes L i L j, L j L j + λ L i ou L i λ L i avec cette fois λ non nul On ne change pas le rang d une matrice en effectuant sur cette matrices les opérations élémentaires sur les colonnes C i C j, C j C j + λ C i ou C i λ C i avec cette fois λ non nul Th 11 E est de dimension non nulle p et E de dimension non nulle n f est une application linéaire de E dans E, B = (e 1, e 2,, e p ) une base de E et B = (e 1, e 2,, e n) une base de E A est la matrice de f relativement aux bases B et B rg(f) = rg(a) ou rg(f) = rg (M(f, B, B )) Prop 2 Soit A un élément de M n,p (K) rg(a) Min(n, p) V PRODUIT DE DEUX MATRICES 1 Définition Déf 11 A = (a ij ) est une matrice de type (n, p) à éléments dans K et B = (b ij ) une matrice de type (p, q) à éléments dans K Le produit de A par B est la matrice C = (c ij ) de type (n, q) à éléments dans K définie par : (i, j) [1, n] [1, q ], c ij = On le note A B ou plus simplement AB p a ik b kj Le produit de AB n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B A retenir : Type (n, p) Type (p, q) = Type (n, q) k=1

8 JFC Mat p 8 P A = (a ij ) est un élément de M n,p (K) et B = (b ij ) un élément de M p,q (K) C = AB = (c ij ) L intersection de la ième ligne de AB et de sa jème colonne est le produit matriciel de la ième ligne de A avec la jème colonne de B ou : c ij = ( ) a i1 a i2 a ip 2 Matrice de la composée de deux applications linéaires Th 12 B = (e 1, e 2,, e n ) est une base de E f et g sont deux endomorphismes de E Si A est la matrice de f dans B et B celle de g dans B, alors BA est la matrice de g f dans B En clair : b 1j b 2j b pj M B (g f) = M B (g)m B (f) Th 13 E, E et E sont de dimensions finies non nulles B, B et B en sont des bases respectives f est une application linéaire de E dans E et g une application linéaire de E dans E Alors : P M(g f, B, B ) = M(g, B, B ) M(f, B, B ) 3 Définition analytique d une application linéaire Th 14 E est de dimension non nulle p et E de dimension non nulle n f est une application linéaire de E dans E, B = (e 1, e 2,, e p ) une base de E et B = (e 1, e 2,, e n) une base de E A est la matrice de f relativement aux bases B et B x 1 x u est un élément de E de matrice X = 2 dans la base B x p dans la base B v est un élément de E de matrice Y = P f(u) = v AX = Y i [1, n], y i = p a ik x k k=1 y 1 y 2 y n 4 Propriétés des opérations sur les matrices Th 15 A, B et C sont trois matrices à coefficients dans K α est un élément de K Si (AB)C a un sens A(BC) aussi et : (AB)C = A(BC) Si A(B + C) a un sens AB + AC aussi et : A(B + C) = AB + AC Si (B + C)A a un sens BA + CA aussi et : (B + C)A = BA + CA Si AB a sens on peut écrire : α(ab) = (αa)b = A(αB) Si A et B sont deux matrices AB peut être défini sans que BA le soit Si A et B sont deux élément de M n (K) AB n est en général pas égal à BA Si A et B sont deux matrices AB = 0 ne donne pas nécessairement A = 0 ou B = 0 Si A, B, C sont trois matrices AB = AC ne donne pas nécessairement B = C

9 JFC Mat p 9 Prop 3 A et B sont deux éléments de M n (K) qui commutent (AB = BA) 1 Si p est un élément de N : 2 Si p est dans N : p p (A + B) p = C k p A k B p k = C k p A p k B k A p B p = (A B) ( p 1 A k B p 1 k) = ( p 1 A k B p 1 k) (A B) = (A B) ( p 1 5 Produit de matrices particulières Th 16 Si A et B sont deux éléments de M n (K), AB (resp BA) est un élément de M n (K) M n (K) est stable pour A p 1 k B k) = Th 17 Si L est une matrice ligne de type (1, n) à éléments dans K et C est une matrice colonne de type (n, 1) à éléments dans K : - Le produit LC est une matrice de type (1, 1) que nous assimilerons à un élément de K - Le produit CL est une matrice carrée d ordre n Th 18 Soient A et B deux éléments de M n (K) Si A et B sont scalaires, AB est scalaire Si A et B sont diagonales, AB est diagonale Si A et B sont triangulaires supérieures, AB est triangulaire supérieure Si A et B sont triangulaires inférieures, AB est triangulaire inférieure Th 19 Soient A = Diag(a 1, a 2,, a n ) et B = Diag(b 1, b 2,, b n ) deux matrices diagonales de M n (K) 1 AB = Diag(a 1 b 1, a 2 b 2,, a n b n ) 2 p N, A p = Diag(a p 1, ap 2,, ap n) 3 Si P est un élément de K[X], P (A) = Diag ( P (a 1 ), P (a 2 ),, P (a n ) ) 6 Polynômes de matrices Deuxième année r Prop 4 A est une matrice de M n (K) et P = a k X k est un polynôme de K[X] r a k A k est une matrice de M n (K) que l on note P (A) Th 20 A est une matrice de M n (K), P et Q sont deux éléments de K[X] et α est un élément de K (P + Q)(A) = P (A) + Q(A) (α P )(A) = α P (A) (P Q)(A) = P (A) Q(A) = Q(A) P (A) 7 Polynômes annulateurs d une matrice Deuxième année Déf 12 Soit A une matrice de M n (K) On appelle polynôme annulateur de A tout élément P de K[X] tel que P (A) = 0 Mn(K)

10 JFC Mat p 10 Th 21 Toute matrice de M n (K) possède un polynôme annulateur non nul On montre ce résultat en remarquant que si A appartient à M n (K) la famille (In, A, A 2,, A n2 ) est liée) VI MATRICES INVERSIBLES 1 Définition Déf 13 Soit A un élément de M n (K) A est inversible si elle symétrisable pour, autrement dit s il existe un élément A de M n (K) tel que AA = A A = In Si A est symétrisable, l élément A est unique et s appelle le symétrique ou l inverse de A et se note A 1 Déf 14 On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) GL n (K) est appelé groupe linéaire sur K de type n ou d ordre n 2 Matrice inversible et isomorphisme Th 22 1 B = (e 1, e 2,, e n ) est une base de E et f un endomorphisme de E de matrice A dans la base B A est inversible si et seulement si f est bijectif (resp injectif ; resp surjectif) Autrement dit A appartient à GL n (K) si et seulement si f appartient à GL(E) Si A est inversible : A 1 est la matrice de f 1 dans la base B ; autrement dit : ( MB (f) ) 1 = MB (f 1 ) 2 B = (e 1, e 2,, e n ) est une base de E et B = (e 1, e 2,, e n) une base de E (donc dim E = dim E < + ) f une application linéaire de E dans E de matrice A relativement aux bases B et B A est inversible si et seulement si f est bijective Si A est inversible : A 1 est la matrice de f 1 relativement aux bases B et B ; autrement dit : ( M(f, B, B )) 1 = M(f 1, B, B)

11 JFC Mat p 11 3 Caractérisations des matrices inversibles Th 23 Soit A un élément de M n (K) Les assertions suivantes sont équivalentes i) A est inversible ii) P X M n,1 (K), AX = 0 Mn,1(K) X = 0 Mn,1(K) iii) Y M n,1 (K), X M n,1 (K) AX = Y iv) Y M n,1 (K),!X M n,1 (K) AX = Y v) A M n (K), AA = In (inversibilité à droite) vi) A M n (K), A A = In (inversibilité à gauche) vii) 0 n est pas valeur propre de A viii) A admet une réduite de Gauss inversible c est à dire sans zéro sur la diagonale ix) rg(a) = n 4 Quelques propriétés Th 24 1 Si A et B sont deux éléments inversibles de M n (K), le produit AB est inversible et : (AB) 1 = B 1 A 1 1 Plus généralement si A 1, A 2,, A p sont p matrices inversibles de M n (K) alors A 1 A 2 A p est une matrice inversible et : ( ) 1 A1 A 2 A p = A 1 p A 1 p 1 A In est inversible et I 1 n = In 3 Si A est inversible, A 1 est inversible et : (A 1 ) 1 = A Prop 5 A 1, A 2,, A p sont p éléments de M n (K) Si la matrice A 1 A 2 A p n est pas inversible, l une au moins des matrices A 1, A 2,, A p n est pas inversible 5 Inversibilité des matrices triangulaires Th 25 1 Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si TOUS ses éléments diagonaux sont non nuls 1 Une matrice triangulaire n est pas inversible si et seulement si AU MOINS UN de ses éléments diagonaux est nul 2 L inverse d une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) inversible est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) Th 26 Soit D = Diag(d 1, d 2,, d n ) une matrice diagonale de M n (K) D est inversible si et seulement si pour tout i dans [1, n], d i 0 ( 1 En cas d inversibilité : D 1 = Diag, 1 ) 1,, d 1 d 2 d n

12 JFC Mat p 12 Prop 6 Soient A une matrice de M n (K), p un élément de N et (a 0, a 1,, a p ) une famille d élément de K p Si a k A k = a 0 In +a 1 A + + a p A p = 0 Mn(K) et si a 0 0 alors : 1 A est invesible 2 A 1 = 1 p a k A k 1 = 1 ( a1 In +a 2 A + + a p A p 1) a 0 a 0 k=1 6 Inversibilité des matrices d ordre 2 (Programme 2003) ( ) a b Th 27 Soit A = une matrice de M c d 2 (K) 1 A est inversible si et seulement si ad bc 0 ( ) 2 Si A est inversible : A 1 1 d b = ad bc c a VII CHANGEMENT DE BASE 1 Définition Déf 15 E est de dimension n non nulle B = (e 1, e 2,, e n ) et B = (e 1, e 2,, e n) sont deux bases de E La matrice de passage de la base B à la base B est la matrice de la famille (e 1, e 2,, e n) dans la base B Nous la noterons le plus souvent Pas(B, B ) P On l obtient donc en écrivant en colonne les coordonnées des éléments de B dans la base B 2 Changement de base dans un espace vectoriel Th 28 E est de dimension n non nulle B = (e 1, e 2,, e n ) et B = (e 1, e 2,, e n) sont deux bases de E La matrice de passage de B à B est une matrice inversible de M n (K) et son inverse est la matrice de passage de la base B à la base B ( Pas(B, B ) ) 1 = Pas(B, B) Th 29 E est de dimension n non nulle B = (e 1, e 2,, e n ) et B = (e 1, e 2,, e n) sont deux bases de E Si u est un élément de E de matrice X dans B et X dans B alors : X = P X et X = P 1 X 3 Changement de base pour une application linéaire Th 30 E est de dimension n non nulle B = (e 1, e 2,, e n ) et B = (e 1, e 2,, e n) sont deux bases de E f est un endomorphisme de E de matrice A dans B et A dans B P est la matrice de passage de la base B à la base B A = P 1 AP et A = P A P 1

13 JFC Mat p 13 Th 31 E est un espace vectoriel de dimension non nulle p B et B 1 sont deux bases de E et P est la matrice de passage de B à B 1 E est un espace vectoriel de dimension non nulle n B et B 1 sont deux bases de E et Q est la matrice de passage de B à B 1 f est une application linéaire de E dans E M(f, B 1, B 1) = Q 1 M(f, B, B )P ou M(f, B 1, B 1) = (Pas(B, B 1)) 1 M(f, B, B ) Pas(B, B 1 ) 4 Matrices semblables Déf 16 A et B sont deux éléments de M n (K) B est semblable à A s il existe une matrice inversible P de M n (K) telle que : B = P 1 AP Prop 7 A, B et C sont trois éléments de M n (K) A est semblable à A Si B est semblable à A, A est semblable à B Nous pourrons alors dire que A et B sont semblables Si A est semblable à B et B est semblable à C, A est semblable à C Ainsi la semblablité définit une relation d équivalence sur M n (K) Th 32 1 f est un endomorphisme de E de dimension n sur K Les matrices de f relativement à deux bases de E sont semblables P 2 A et B sont deux matrices de M n (K) A et B sont semblables si et seulement si elles sont les matrices d un même endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension n sur K relativement à deux bases de E 3 Deux matrices semblables ont même rang (et même trace) Prop 8 A et B sont deux matrices semblables de M n (K) Soit P une matrice inversible de M n (K) telle que B = P 1 AP Si p est un élément de N et si Q est un élément de K[X] : B p = P 1 A p P et Q(B) = P 1 Q(A)P VIII PRATIQUE DE L INVERSIBILITÉ ET DE L INVERSION Evoquons quelques méthodes pour inverser une matrice inversible A = (a ij ) de M n (K) 1 On part de deux éléments X = x 1 x 2 x n et Y = y 1 y 2 y n On exprime alors x 1, x 2,, x n en fonction de y 1, y 2,, y n de M n,1(k) tels que AX = Y On obtient alors une matrice A telle que A Y = X qui n est autre que A 1 2 On considère l automorphisme f de K n dont la matrice dans la base canonique B = (e 1, e 2,, e n ) de K n est A

14 A est encore la matrice de passage de la base B = (e 1, e 2,, e n ) à la base ( f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e n ) ) A 1 est alors la matrice de passage de ( f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e n ) ) à la base B = (e 1, e 2,, e n ) Trouver A 1 revient alors à exprimer e 1, e 2,, e n en fonction de f(e 1 ), f(e 2 ),, f(e n ) JFC Mat p 14 2 On considère la famille (e 1, e 2,, e n) de K n dont la matrice dans la base canonique B = (e 1, e 2,, e n ) de K n est A A étant inversible, B =(e 1, e 2,, e n) est une base de K n A est encore la matrice de passage de la base B = (e 1, e 2,, e n ) à la base B =(e 1, e 2,, e n) A 1 est alors la matrice de passage de la base B =(e 1, e 2,, e n) à la base B = (e 1, e 2,, e n ) Trouver A 1 revient alors à exprimer e 1, e 2,, e n en fonction de e 1, e 2,, e n 3 Le pivot de Gauss On part de In = AA 1 On effectue des opérations élémentaires sur les lignes (resp colonnes) de A pour obtenir une matrice triangulaire, puis pour obtenir In En effectuant SIMULTANEMENT les mêmes opérations sur la matrice In figurant à gauche de l égalité initiale on obtient A 1 4 A est un élément de M n (K) Si l on trouve A (resp A ) tel que AA = In (resp A A = In), on peut alors dire que A est inversible et que A 1 = A (resp A 1 = A ) 5 A est un élément de M n (K) On suppose qu il existe un élément P = dire a 0 0) Alors A est inversible et A 1 = 1 a 0 q a k X k de K[X] tel que P (A) = q a k A k 1 k=1 q a k A k = O Mn(K) et P (0) 0 (c est à 6 B est un élément de M n (K) On suppose qu il existe un élément q de N tel que : B q = 0 Mn(K) In = I q n B q = (In B) ( q 1 B k) q 1 Alors A = In B est inversible et d inverse : B k = In +B + B B q 1 En changeant B en B on obtient l inversibilité et l inverse de In +B IX Transposition 1 Définition Déf 17 Soit A = (a ij ) un élément de M n,p (K) La transposée de A est la matrice, de M p,n (K) dont la ième ligne est la ième colonne de A On la note t A Si A = (a ij ) : t A = (a ji )

15 JFC Mat p 15 2 Propriétés Th 33 1 Soient α un élément de K, A et B deux éléments de M n,p (K) t (A + B) = t A + t B t (αa) = α t A t ( t A) = A 2 Soient A un élément de M n,p (K) et B un élément de M p,q (K) t (AB) = t B t A 3 La transposition est un automorphisme involutif de M n (K) 4 Soit A un élément de M n (K) rg( t A) = rg(a) 5 Soit A un élément de M n (K) t A est inversible si et seulement si A est inversible En cas d inversibilité : ( t A ) 1 = t A 1 X MATRICE SYMÉTRIQUE MATRICE ANTISYMÉTRIQUE Déf 18 Soit A un élément de M n (K) A est symétrique si : t A = A A est antisymétrique si : t A = A Prop 9 L ensemble des matrices symétriques de M n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension n(n + 1) 2 L ensemble des matrices antisymétriques de M n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension n(n 1) 2 Ces deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires ; autrement dit tout élément de M n (K) est de manière unique la somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique XI SAVOIR FAIRE Trouver la matrice d une application est linéaire Associer une application linéaire à une matrice Définir analytiquement une application linéaire Utiliser toutes les opérations (et leurs propriétés) sur les matrices Calculer la puissance nème d une matrice Trouver le rang d une matrice Montrer qu une matrice est inversible Trouver l inverse d une matrice inversible Trouver la matrice de passage entre deux bases Utiliser les formules de changement de base Montrer que deux matrices sont semblables

16 JFC Mat p 16 XII COMPLÉMENTS 1 Egalité de deux matrices Prop 10 P Soit A et B deux matrices de M n,p (K) 1 A = 0 Mn,p(K) X M p,1 (K), AX = 0 Mn,1(K) 2 A = B X M p,1 (K), AX = BX 2 Extraction d une colonne ou d une ligne ou d un élément d une matrice Prop 11 P A = (a ij ) est une matrice de M n,p (K) La jème colonne de A est le produit AE j où E j est le jème élément de la base canonique de M p,1 (K) La ième ligne de A est le produit t E i A où E i est le ième élément de la base canonique de M n,1 (K) Avec les notations précédentes : a ij = t E i AE j 3 Trace d une matrice Déf 19 Soit A = (a ij ) une matrice de M n (K) La trace de A est la somme des éléments diagonaux de A On la note tr A n tr A = i=1 a ii Prop 12 1 Soit A et B deux matrices de M n (K) et λ un élément de K tr(a + B) = tr A + tr B tr (λ A) = λ tr A tr(ab) = tr(ba) 2 tr est une forme linéaire sur M n (K) 3 Deux matrices semblables ont même trace 4 Une nouvelle caractérisation des base en dimension finie Th 34 B = (e 1, e 2,, e n ) est une base de E et (u 1, u 2,, u n ) une famille de n éléments de E (u 1, u 2,, u n ) est une base de E si et seulement si la matrice M B (u 1, u 2,, u n ) de cette famille dans la base B est inversible Si (u 1, u 2,, u n ) est une base, l inverse de M B (u 1, u 2,, u n ) est la matrice de la famille (e 1, e 2,, e n ) dans la base (u 1, u 2,, u n ) 5 Simplification par une matrice inversible Prop 13 A, B et C sont trois éléments de M n (K) Si AB est la matrice nulle et si l une des matrices est inversible l autre est nulle Si AB = AC (resp BA = CA) et si A est inversible alors B = C 6 Matrice de passage Prop 14 E est de dimension n non nulle B = (e 1, e 2,, e n ) et B = (e 1, e 2,, e n) sont deux bases de E La matrice de passage P de la base B à la base B est encore : - La matrice dans la base B de l automorphisme de E qui transforme la base B en la base B - La matrice de Id E relativement aux bases B et B (attention à l inversion) c est à dire M(Id E, B, B)

17 JFC Mat p 17 Prop 15 B, B et B sont trois bases de E Pas(B, B ) = Pas(B, B ) Pas(B, B ) 7 Matrice d un endomorphisme de K n [X] Prop 16 La matrice d un endomorphisme de K n [X] dans une base quelconque est d ordre n + 1! 8 Rang Si f est un endomorphisme de K n [X] et si, pour tout élément P de K n [X], deg f(p ) deg P alors la matrice de f dans la base canonique est triangulaire supérieure (ce qui donne immédiatement le spectre de f) Th 35 A est une matrice de M n,p (K) Si B est une matrice inversible de M n (K) : rg(ba) = rg A Si C est une matrice inversible de M p (K) : rg(ac) = rg A 9 Interprétation matricielle des opérations élémentaires dans la méthode du pivot Prop 17 Soit A un élément de M n,p (K) Pour transformer A par une opération élémentaire sur les lignes il suffit de la multiplier à gauche par la matrice déduite de In par la même opération élémentaire Pour transformer A par une opération élémentaire sur les colonnes il suffit de la multiplier à droite par la matrice déduite de I p par la même opération élémentaire Prop 18 n est dans N, i et j sont dans [1, n] 1 La matrice déduite de In par l opération L i L j est inversible et égale à son inverse 2 α est un élément non nul de K La matrice déduite de In par l opération L i αl i est inversible et son inverse est la matrice déduite de In par l opération L i 1/αL i 3 α est un élément de K La matrice déduite de In par l opération L j L j + αl i est inversible et son inverse est la matrice déduite de In par l opération L j L j αl i Prop 19 p est dans N, i et j sont dans [1, p] 1 La matrice déduite de I p par l opération C i C j est inversible et égale à son inverse 2 α est un élément non nul de K La matrice déduite de I p par l opération C i αc i est inversible et son inverse est la matrice déduite de I p par l opération C i 1/αC i 3 α est un élément de K La matrice déduite de I p par l opération C j C j + αc i est inversible et son inverse est la matrice déduite de I p par l opération C j C j αc i

18 JFC Mat p 18 Prop 20 A est un élément de M n (K) 1 Par une suite d opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en une matrice triangulaire A Il existe alors une matrice inversible P de M n (K) telle que : A = P A P est la matrice obtenue en effectuant sur In les opérations effectuées sur A A est inversible si et seulement si A est inversible 2 Par une suite d opérations élémentaires sur les colonnes on peut transformer A en une matrice triangulaire A Il existe alors une matrice inversible Q de M n (K) telle que : A = AQ Q est la matrice obtenue en effectuant sur In les opérations effectuées sur A A est inversible si et seulement si A est inversible Th 36 A est une matrice inversible de M n (K) 1 Par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformer A en In A 1 est la matrice obtenue en effectuant sur In les mêmes opérations 2 Par des opérations élémentaires sur les colonnes on peut transformer A en In A 1 est la matrice obtenue en effectuant sur In les mêmes opérations XIII DES PHRASES OU DES RHÉTORIQUES TOUTES FAITES Inverser une matrice A est une matrice inversible de M n (K) Pour trouver l inverse de A Considérons un élément X = x 1 x 2 x n de M n,1(k) Posons : Y = On exprime alors les composantes de X en fonction de celles de Y sans raisonner par équivalences A est une matrice de M n (K) Pour traiter simultanément l inversibilité et l inversion éventuelle de A Soit X = x 1 x 2 x n et Y = y 1 y 2 y n deux éléments de M n,1(k) AX = Y On résout ensuite ce système en raisonnant par équivalences Associer un endomorphisme à une matrice carrée Soit A une matrice de M n (K) y 1 y 2 y n = AX Posons E = K n Soit B = (e 1, e 2,, e n ) la base canonique de E = K n Considérons l endomorphisme f de E dont la matrice dans la base B est A (A = M B (f))

19 JFC Mat p 19 Associer une application linéaire à une matrice Soit A une matrice de M n,p (K) Posons E = K p, et E = K n Soient B = (e 1, e 2,, e p ) la base canonique de E = K n et B = (e 1, e 2,, e n) la base canonique de E = K n Considérons l application linéaire f de E dans E dont la matrice relativement aux bases B et B est A (M(f, B, B ) = A) Semblablité Soit à montrer que deux matrices A et B de M n (K) sont semblables Soient B = (e 1, e 2,, e n ) la base canonique de E = K n et f l endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A Cherchons une base B de E dans laquelle la matrice de f est B On fait alors une analyse du problème en commençant par supposer que B existe et on termine par une synthèse XIV DES ERREURS À NE PAS FAIRE A est un éléments de M n (K) Ecrire A = a ij (au lieu de A = ( a ij ) ) A, B et C sont trois éléments de M n (K) Ecrire que AB = 0 et A non nulle donne B = 0 A, B et C sont trois éléments de M n (K) Ecrire que AB = AC et A non nulle donne B = C A et B sont deux éléments de M n (K) Ecrire que (A + B) 2 = A AB + B 2 sans vérifier que AB = BA A et B sont deux éléments de M n (K) Ecrire que (AB) p = A p B p sans vérifier que AB = BA Ecrire la formule du binôme pour deux matrices sans vérifier qu elles commutent Ecrire la réduite de Gauss de A La matrice A est inversible car elle n a pas de zéro sur sa diagonale La trace de ABC est égale à la trace de BAC (en s appuyant sur le fait que la trace de UV est la trace de V U) Si A = (a ij ) est un élément de M n (K), tr A 2 = n a 2 ii alors que tr A 2 = Si A est un élément de M n (R) les coefficients de A 2 sont positifs (si A = ( ) 1 0 ) 0 1 i=1 n i=1 k=1 n a ik a ki ( ) 0 1 alors A =