Feuille d'exercices : Champ électrique en régime stationnaire

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1 Feuille d'exercices : Champ électrique en régime stationnaire P Colin 2016/2017 coordonnées cylindro-polaires : rot A) = Formulaire d'analyse vectorielle 1 A z r θ A ) θ u r + z gradf = f r u r + 1 f r θ u θ + f z u z diva = 1 r r ra r) + 1 A θ r θ + A z z Ar z A ) z u θ + 1 r r f = 1 r f ) f r r r r 2 θ f z 2 r ra θ) A r θ ) u z Coordonnées sphériques : rot A) = 1 r sin θ f = 1 r 2 r gradf = f r u r + 1 f r θ u θ + 1 f r sin θ ϕ u ϕ diva = 1 r 2 r r2 A r ) + 1 r sin θ θ sin θa θ) + 1 A ϕ r sin θ ϕ θ sin θa ϕ) A ) θ 1 A r u r + ϕ r sin θ ϕ 1 ) r r ra ϕ) u θ + 1 r r 2 f ) 1 + r r 2 sin θ f ) 1 2 f + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ ϕ 2 r ra θ) A ) r u ϕ θ 1

2 1 Évaluation du rayon d'un noyau atomique On considère une surface sphérique, de rayon a, portant une charge électrique Q uniformément répartie sur cette surface. 1. Déterminer le potentiel électrostatique engendré par cette distribution en tout point de l'espace. On désire augmenter la charge portée par la surface sphérique de δq. Pour cela, on imagine qu'un opérateur extérieur déplace cette charge δq depuis un point inniment éloigné jusqu'à la surface de la sphère. 2. Quel est le travail δw op fourni par cet opérateur au cours de cette opération? 3. En déduire l'énergie potentielle électrostatique de la sphère chargée portant la charge Q sur sa surface. 4. Reprendre un raisonnement analogue pour montrer que l'énergie potentielle électrostatique d'une boule de rayon a portant une charge Q uniformément distribuée dans son volume s'écrit : E p Q) = 3 Q 2 20π ε 0 a On considère deux noyaux atomique supposés sphériques de même rayon a, uniformément chargés en volume : AX et Z A Y. Z+1 5. Exprimer leur diérence U e d'énergie électrostatique en fonction de Z et a. 6. On mesure U e 2, 79 MeV entre 11 5 B et 11 6 C. En déduire a en fermi 1 fm = m). 2 Modélisation surfacique On considère une distribution de charges à symétrie sphérique de centre O, de densité volumique de charges en M telle que : 0 pour 0 r < a a > 0) ρm) = ρ 0 pour a r < a + ε ε > 0) 0 pour a + ε r 1. Déterminer le champ électrostatique en tout point de l'espace. On fait tendre ε vers 0 en maintenant constant le produit ρ 0 ε. 2. En déduire la nouvelle expression du champ électrostatique. 3. Montrer que ce champ est le même que celui créé par une distribution surfacique de charge uniforme σ 0 répartie sur une sphère de rayon a. Exprimer σ 0 en fonction de ρ 0 et ε. 2

3 4. Vérier que la relation donnant la discontinuité du champ électrique à la traversée d'une surface chargée est bien vériée : E P2 ) E P 1 )) lim P 1 P P 2 P 3 Point matériel dans un tunnel = σp) ε 0 n 1 2 La terre, considérée comme une boule homogène, est percée d'un tunnel entre deux points de sa surface. Ce tunnel est diamètre susamment petit pour ne pas modier de manière signicative le champ de gravitation local. 1. Déterminer le champ gravitationnel en tout point à l'intérieur de la terre. 2. Étudier le mouvement d'un point matériel glissant sans frottement dans le tunnel. 4 Détection de gisements par gravimétrie On modélise la Terre comme une sphère de rayon R et homogène avec une masse volumique ρ. 1. Calculer le champ de gravitation g o à la surface de la Terre. On considère un gisement correspondant à un défaut d'homogénéité de la Terre : dans une sphère de centre O' et de rayon R < R, entièrement enfouie dans la Terre à une profondeur h > R, la masse volumique est ρ < ρ. 2. Quelle est alors la variation δgo g o de la norme du champ de pesanteur au point A situé à la surface de la Terre, à la verticale de O'? 5 Fils innis chargés On considère un l rectiligne inni chargé avec une densité linéique de charge uniforme λ Calculer le champ électrique EM) en tout point M de l'espace, puis le potentiel V M). 3

4 2. Tracer l'allure des surfaces équipotentielles et des lignes de champ de E sur une même gure. On considère maintenant le système formé par deux ls innis, parallèles à l'axe Oz et distants de 2a. L'un, chargé uniformément avec la densité linéique λ 0, passe par le point A a, 0, 0) du plan xoy, l'autre, chargé uniformément avec la densité linéique +λ 0, passe par le point B +a, 0, 0). 3. Déterminer le potentiel électrostatique V r, θ) en un point M du plan xoy repéré par ses coordonnées polaires r, θ), tel que r a. On conservera cette approximation pour la suite. 4. Montrer que les courbes équipotentielles, intersection des surfaces équipotentielles avec le plan xoy, sont des cercles dont le centre est sur l'axe Ox. Déterminer l'abscisse x 0 de ce centre pour l'équipotentielle V = V Tracer l'allure des lignes équipotentielles dans le plan xoy. En déduire celle des lignes de champ électrique. 6. Déterminer les expressions des coordonnées polaires E r r, θ) et E θ r, θ) du champ électrique. 7. L'équation polaire des lignes de champ est du type : r sin θ = Cte Vérier la cohérence de ce résultat. Montrer que les lignes de champ sont des cercles dont le centre est sur l'axe Oy. 8. Vérier sur le graphe déjà esquissé. 6 Potentiel de Yukawa On considère un potentiel V M) = q 4πε 0 r exp a) r dans un espace où r représente la distance d'un point xe O au point courant M. 1. a) Déterminer le champ électrostatique EM). b) Calculer le ux Φr) de EM) à travers une sphère S) de centre O et de rayon r. c) si r 0, que deviennent EM) et Φr)? Interpréter les résultats obtenus. 2. a) En appliquant le théorème de Gauss sur la surface limitant l'espace compris entre le rayon r et le rayon r + dr, déterminer la densité volumique de charge en tout point M. b) Calculer q la charge intérieure à la sphère S). c) Décrire la distribution de charges. Que pourrait-elle modéliser? 4

5 7 Évolution d'un système de quatre charges identiques On considère quatre particules ponctuelles identiques de masse m et de charge q maintenues aux sommets d'un tétraèdre régulier de côté d. À t = 0, on abandonne simultanément les quatre particules sans vitesse initiale. Déterminer pour chacune d'elle, sa trajectoire et sa vitesse limite. 5