2.4 Logarithme Népérien et fonction exponentielle

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Cyril Landry
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1 6 2.4 Logarithm Népérin t fonction ponntill Définition 20 (Logarithm Népérin). On appll Logarithm Népérin, noté ln, l uniqu fonction défini sur R + = ]0, + [ qui vaut 0 n = t dont la dérivé sur ]0, + [ st la fonction invrs : ln() = 0 t ln () = pour tout > 0 L graph d la fonction ln st : y y = ln() 2.3. Propriété Logarithm Népérin. La fonction ln st un bijction strictmnt croissant d R + = ]0, + [ dans R. Il ist un uniqu rél tl qu ln() =, t 2, 72. Pour tous réls a > 0 t b > 0 : ( ) a ln (a b) = ln(a) + ln(b), ln = ln(a) ln(b). b Pour tout rél a > 0 t tout ntir rlatif n Z : ln(a n ) = n ln(a) t n particulir ( ln(a ) = ln = ln(a) a) Ercic 6. Calculr ou simplifir ls prssions suivants : ( ) ln( 2 ); ln(000); ln(24) ln(8); ln.

2 7 La fonction Logarithm Népérin st l logarithm l plus courammnt utilisé n mathématiqus, n raison d l prssion simpl d sa dérivé, cpndant n scincs on utilis souvnt l Logarithm n bas 2 (principalmnt n informatiqu) t l Logarithm n bas 0 (scincs physiqus). Cs fonctions sont définis d la manièr suivant : Définition 2 (Logarithm n bas a). Soit a un nombr rél strictmnt positif fié. On appll Logarithm n bas a, noté log a, la fonction défini sur R + par log a : log a () = ln() ln(a). Empl 26. Ainsi l Logarithm n bas 2 st la fonction log 2 : log a () = ln() ln(2). L Logarithm n bas 0 st la fonction log 0 : log 0 () = ln() ln(0), ll st aussi parfois simplmnt noté log. L Logarithm n bas a a ls mêms propriétés qu l Logarithm Népérin : 2.4. Propriété Logarithm n bas a. La fonction log a st un bijction d R + = ]0, + [ dans R. On a : log a () = 0 t log a (a) = Pour tous réls c > 0 t d > 0 : log a (c d) = log a (c) + log a (d), ( ) c log a = log d a (c) log a (d). Pour tout rél c > 0 t tout ntir rlatif n Z : log a (c n ) = n log a (c) t n particulir ( ) log a (c ) = log a = ln(c) c Empl 27. Simplifir : a) log 2 (4) log 2 (2) b) log 2 (8) log 2 (0, 5) c) log 2 () + log 0 () + log 0 (0)

3 8 La principal raison d mployr ctt fonction st la propriété suivant 2.5. Propriété Logarithm n bas a bis. Pour tout rél c > 0 on a log a (a c) = log a (c) + On suppos qu a >. Dans c cas, pour tout rél c > 0 on a : n st la parti ntièr d log a (c) (c st-à-dir n log a (c) < n+) si t sulmnt si a n c < a n+ Empl 28. Dans l cas du Logarithm n bas 0, c st-à-dir a = 0, on obtint log 0 (0 c) = log 0 (c) +, t la parti ntièr d log 0 (c) st l nombr ntir n tl qu 0 n c < 0 n+ ou autrmnt dit tl qu c st dans l intrvall [0 n, 0 n+ [ : ct intrvall contint tous ls nombrs qui s écrivnt (n écritur décimal, qui st l écritur usull ds nombrs) avc n + chiffrs au-dssus d la virgul. Empl 29. L ph d un solution st donné par la formul ph = log 0 ([H + ]) où [H + ] st la concntration n ions [H 3 O + ]. Lorsqu l ph d un solution augmnt d unité, cla signifi qu la concntration [H + ] a été divisé par 0. D plus, lorsqu l ph vaut 7 (c qui corrspond au ph nutr) cla signifi qu la concntration [H + ] st égal à 0 7 (n mol l ). Définition 22 (Eponntill). La fonction ponntill, noté p, st l uniqu fonction défini sur R qui vaut n = 0 t qui st égal à sa dérivé sur R : p(0) = t p () = p() pour tout rél

4 Propriété Fonction ponntill. La fonction p st la fonction réciproqu d la fonction ln : c st un bijction strictmnt croissant d R dans R + = ]0, + [, t pour tout, ln(p()) = t pour tout > 0, p(ln()) =. En particulir p() =. Pour tous réls a t b : p(a + b) = p(a) p(b), p(a b) = p(a) p(b), p( a) = p(a) Pour tout rél a t tout ntir rlatif n Z : p(n a) = p(a) n Puisqu p st la fonction réciproqu d la fonction ln, son graph st l symétriqu d clui d ln par rapport à la droit d équation y = : y y = p() Empl 30. Calculs d p(2), p( 2 ) t p(2 ln(2)) (du méthods pour c drnir). Notation 9. Pour tout nombr rél a strictmnt positif t pour tout nombr rél b on pos a b = p(b ln(a)). Puisqu ln() =, cla prmt d donnr un autr notation pour la fonction ponntill : pour tout rél, p() =.

5 20 Rmarqu 20. Ctt notation st bin compatibl avc cll ds fonctions puissancs, au sns qu pour tout rél > 0 t pour tout ntir n > 0 on a n = p(n ln()) = n ln() =.... }{{} n fois Empl 3. Calcul d 2, 2 t Propriété Racin n-ièm. Pour tout ntir n > 0, la fonction défini sur R + = [0, + [ par n = { n ln() si > 0, 0 si = 0 st la fonction réciproqu d la fonction n défini sur R +, autrmnt dit c st la fonction racin n-ièm : n = n.

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