La fonction zêta de Riemann

Transcription

1 Sébastien Godillon

2 Les nombres premiers Problème de répartition Arithmétique des entiers naturels = = 42

3 Les nombres premiers Problème de répartition Arithmétique des entiers naturels 7 6 = 42

4 Les nombres premiers Problème de répartition Arithmétique des entiers naturels 42 = 7 6

5 Les nombres premiers Problème de répartition Arithmétique des entiers naturels 42 = 7 6 = 7 3 2

6 Les nombres premiers Problème de répartition Définition des nombres premiers Un entier naturel p est premier s il admet exactement deux diviseurs : et lui-même.

7 Les nombres premiers Problème de répartition Définition des nombres premiers Un entier naturel p est premier s il admet exactement deux diviseurs : et lui-même. Exemples Exemples : 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, etc. Contre-Exemples : 0,, 4, 6, 8, 9, 0, etc. Plus grand exemple connu (2008) :

8 Les nombres premiers Problème de répartition Définition des nombres premiers Un entier naturel p est premier s il admet exactement deux diviseurs : et lui-même. Exemples Exemples : 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, etc. Contre-Exemples : 0,, 4, 6, 8, 9, 0, etc. Plus grand exemple connu (2008) : Question Combien y a-t-il de nombres premiers?

9 Les nombres premiers Problème de répartition Théorème d Euclide ( 300 av. J.-C.) L ensemble P des nombres premiers est infini.

10 Les nombres premiers Problème de répartition Théorème d Euclide ( 300 av. J.-C.) L ensemble P des nombres premiers est infini. Démonstration Supposons que P = {p, p 2,..., p n }. p = + p p 2 p n Alors p P mais p / {p, p 2,..., p n }.

11 Les nombres premiers Problème de répartition Théorème d Euclide ( 300 av. J.-C.) L ensemble P des nombres premiers est infini. Un autre exemple d ensemble infini L ensemble des entiers naturels impairs est infini. La moitié des entiers naturels sont impairs. Un entier naturel sur deux est impair. Le n ième entier naturel impair est i n = 2n.

12 Les nombres premiers Problème de répartition Théorème d Euclide ( 300 av. J.-C.) L ensemble P des nombres premiers est infini. Questions Quel est la proportion de nombres premiers? Comment sont-ils répartis dans N? Existe-t-il une formule pour p n?

13 Les nombres premiers Problème de répartition Répartition des nombres premiers inférieurs à 0 0 = 00

14 Les nombres premiers Problème de répartition Répartition des nombres premiers inférieurs à = 0 000

15 Les nombres premiers Problème de répartition Répartition des nombres premiers inférieurs à =

16 2 000 ans plus tard Fonction de comptage des nombres premiers π : N N n π(n) = nombre de p P tel que p n

17 Fonction de comptage des nombres premiers π : N N n π(n) = nombre de p P tel que p n

18 Fonction de comptage des nombres premiers π : R R x π(x) = nombre de p P tel que p x

19 Fonction de comptage des nombres premiers π : R R x π(x) = nombre de p P tel que p x

20 Fonction de comptage des nombres premiers π : R R x π(x) = nombre de p P tel que p x

21 Proportion des nombres premiers x π(x) = proportion de p P tel que p x x

22 Proportion des nombres premiers x π(x) = proportion de p P tel que p x x

23 Question La proportion des nombres premiers est-elle infiniment petite? π(x) lim x + x? = 0

24 Comparaison x x π(x) = inverse de la proportion

25 Comparaison x x π(x) = inverse de la proportion

26 Comparaison à la fonction logarithme x π(x) ln(x) π(x) x ln(x)

27 Conjecture de Gauss (792) et Legendre (798) π(x) x ln(x) lorsque x +

28 Conjecture de Gauss (792) et Legendre (798) π(x) x ln(x) lorsque x + Théorème des nombres premiers (896) π(x) x x + ln(x) (TNP) En particulier, la proportion des nombres premiers est infiniment petite.

29 Sur les traces d Euler (737) r N+ r = + r + r 2 + r r N = N n=0 r n

30 Sur les traces d Euler (737) r N+ r = + r + r 2 + r r N = N n=0 r n Si r < alors lim r N+ = 0 et N + r = + r + r 2 + r 3 + = + r n n=0

31 Sur les traces d Euler (737) En particulier pour s > : 2 s = + 2 s + 4 s + 8 s +...

32 Sur les traces d Euler (737) En particulier pour s > : = s 4 + s s s = s 9 + s s s = s 25 + s s s = s 49 + s s s...

33 Sur les traces d Euler (737) 2 s = + 2 s + 4 s + 8 s s = + 3 s + 9 s + 27 s s 3 s = + 2 s + 3 s + 4 s + 6 s + 8 s + 9 s + 2 s + 6 s +...

34 Sur les traces d Euler (737) 2 = s 3 + s 4 + s s s 3 s 5 s = + 5 s + 25 s + 25 s s 3 s 5 s = + 2 s + 3 s + 4 s + 5 s + 6 s + 8 s + 9 s + 0 s +...

35 Théorème du produit d Euler (737) 2 s 3... s 5 s = + 2 s + 3 s + 4 s + 5 s + 6 s + 7 s + 8 s + 9 s + 0 s +... Plus simplement : p P p s = + n= n s pour s >

36 Théorème du produit d Euler (737) p P p s = + n= n s pour s > s ζ(s) = + n= n s pour s >

37 s ζ(s) = + n= n s pour s >

38 Théorème d Euclide selon Euler (737) lim ζ(s) = + = l ensemble P est infini s +

39 Théorème d Euclide selon Euler (737) lim ζ(s) = + = l ensemble P est infini s + Démonstration lim ζ(s) = lim s + s + p P p s = p P p

40 s ζ(s) = + n= n s pour s >

41 où s ζ(s) = + n= n s pour s > n s = exp(ln(n s )) = exp(s ln(n)) = e s ln(n)

42 Prolongement de n s = e s ln(n) Si s = a + ib est un nombre complexe alors n s (a+ib) ln(n) = e a ln(n)+ib ln(n) = e = e a ln(n) ib ln(n) e

43 Prolongement de n s = e s ln(n) Si s = a + ib est un nombre complexe alors n s (a+ib) ln(n) = e a ln(n)+ib ln(n) = e = e} a {{ ln(n) } r = re iθ ib ln(n) e } {{ } e iθ où { r = e a ln(n) = n a θ = b ln(n)

44 Prolongement de la fonction zêta de Riemann s ζ(s) = + n= où = n s re iθ n s pour s = a + ib = re iθ = r = n a En particulier pour a > : lim n + n s = 0

45 Prolongement de la fonction zêta de Riemann C C s ζ(s) = + n= n s pour s = a + ib et a >

46 Prolongement de la fonction zêta de Riemann C R + s ζ(s) = + n= n s pour s = a + ib et a >

47 Prolongement de la fonction zêta de Riemann s ζ(s) = + n= n s pour s = a + ib et a >

48 Prolongement de la fonction zêta de Riemann s ζ(s) = + n= n s pour s = a + ib et a >

49 Prolongement de la fonction zêta de Riemann s ζ(s) = + n= n s pour s C\{}

50 Zéros de la fonction zêta de Riemann Z = {s C\{} tel que ζ(s) = 0}

51 Zéros de la fonction zêta de Riemann Z = { 2, 4, 6,...} Z +

52 Zéros de la fonction zêta de Riemann Z = { 2, 4, 6,...} Z +

53 Zéros de la fonction zêta de Riemann Z = { 2, 4, 6,...} Z +

54 Riemann (859) Si Z + {x = } = alors l approximation du (TNP) est vraie Si Z + {x = 2 } alors on peut préciser l approximation du (TNP)

55 Riemann (859) Si Z + {x = } = alors l approximation du (TNP) est vraie Si Z + {x = 2 } alors on peut préciser l approximation du (TNP) Hadamard et de la Vallée Poussin (896) Z + {x = } = et donc π(x) x x + ln(x) (TNP)

56 Riemann (859) Si Z + {x = } = alors l approximation du (TNP) est vraie Si Z + {x = 2 } alors on peut préciser l approximation du (TNP) Hypothèse de Riemann (859) { Z + x = } 2