Déterminants. Chapitre 23. Objectifs. Plan

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1 Chapitre 23 Déterminants Objectifs Étudier le groupe des permutations de [[1n]] Définir les notions : de cycles, de transpositions, de décomposition en produit de cylces, de signature Définir les notions d applications n-linéaires et leurs propriétés éventuelles (symétrique, antisymétrique, alternée) Développement suivant une base Définir l application déterminant d une famille de vecteurs dans une base, étudier les propriétés Définir le déterminant d un endomorphisme, étudier ses propriétés Définir le déterminant d une matrice carrée, étudier ses propriétés Notion de comatrice et propriétés Établir les formules de Cramer Plan 23 Déterminants 263 I) Le groupe symétrique 264 1) Décomposition des permutations 264 2) Signature 264 II) Applications n-linéaires 265 1) definition 265 2) Développement suivant une base 266 III) Déterminant dans une base 266 1) Formes n-linéaires en dimension n 266 2) Déterminants de n vecteurs dans une base 267 3) Propriétés du déterminant 267 IV) Déterminant d un endomorphisme 267 1) definition 267 2) Propriétés du déterminant 268 V) Déterminant d une matrice carrée 268 1) definition 268 2) Propriétés du déterminant d une matrice carrée 268 3) Développement suivant une ligne ou une colonne 269 4) Comatrice 270 VI) Applications 270 1) Systèmes linéaires 270 2) Orientation d un espace vectoriel réel 271 VII) Exercices 271

2 Le groupe symétrique 264 I) Le groupe symétrique 1) Décomposition des permutations Définition 231 Soit E n = [[1n]], avec n N, on note S n l ensemble des permutations de E n, c est à dire l ensemble des bijections de E n vers lui-même On rappelle que (S n, ) est un groupe de cardinal n! (non abélien dès que n 3), ce groupe est appelé groupe symétrique de type n Définition 232 (notion de cycle) Soit σ S n, on dit que σ est un cycle lorsqu il existe k entiers distincts dans [[1n]] : i 1,, i k (k > 1) tels que σ(i 1 ) = i 2,, σ(i k 1 ) = i k, σ(i k ) = i 1, les autres entiers de E n étant fixes par σ Dans ce cas, on notera σ = (i 1 i 2 i k ) Le nombre k est appelé longueur du cycle, et un cycle de longueur 2 est appelé une transposition L ensemble {i 1,, i k } est appelé support du cycle σ On convient que l identité de E n est un cycle de longueur nulle et à support vide théorème 231 (admis) Toute permutation de E n est un produit (pour la loi ) de cycles à supports disjoints, cette décomposition est unique à l ordre près théorème 232 Toute permutation est un produit de transpositions 2) Signature Définition 233 (inversion) Soit σ S n, on appelle inversion de σ tout couple d entiers (i, j) [[1n]] 2 tel que i < j et σ(i) > σ(j) Le nombre d inversions de σ est noté I σ théorème 233 (Nombre d inversions d une transposition) Soit σ = (a b) une transposition de S n avec a < b : alors I σ = 2(b a) 1 Définition 234 (signature d une permutation) Soit σ S n, on appelle signature de σ le nombre noté ε(σ) et défini par ε(σ) = ( 1) I σ Exemple(s): Signature d une transposition, si σ = (a b) avec a < b E n, alors I σ = 2(b a) 1, donc ε(σ) = 1 théorème 234 (admis) L application signature ε : (S n, ) ({±1}, ), est un morphisme de groupes, c est à dire : σ, σ S n, ε(σ σ ) = ε(σ) ε(σ )

3 Applications n-linéaires 265 Application : calcul de la signature d une permutation Pour calculer la signature d une permutation σ, il suffit de connaître sa décomposition en produit de transpositions : σ = τ 1 τ k, on a alors ε(σ) = ε(τ 1 ) ε(τ k ) = ( 1) k Définition 235 (le groupe alterné) L application signature étant un morphisme de groupe, son noyau est un sous-groupe de S n Par définition, ce sous-groupe est appelé groupe alterné de type n et noté A n On a donc : A n = ker(ε) = {σ S n / ε(σ) = 1} A n est parfois appelé groupe des permutations paires car c est l ensemble des permutations qui s écrivent comme produit d un nombre pair de transpositions théorème 235 Le groupe alterné A n est de cardinal n! 2 II) Applications n-linéaires 1) definition Définition 236 Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : E n F une application On dit que f est n-linéaire lorsque f est linéaire par rapport à chacune de ses variables (les autres étant fixes), c est à dire : x 1,, x n E, i [[1n]], l application f i : E F définie par : f i (x) = f(x 1,, x i 1, x, x i+1,, x n ) est linéaire Définition 237 Soit f : E n F une application n-linéaire, on dit que f est : symétrique : lorsque σ S n, x 1,, x n E : f(x σ(1),, x σ(n) ) = f(x 1,, x n ), autrement dit, changer l ordre des vecteurs ne change pas le résultat antisymétrique : lorsque σ S n, x 1,, x n E : f(x σ(1),, x σ(n) ) = ε(σ)f(x 1,, x n ), autrement dit, échanger deux vecteurs change le signe du résultat alternée : lorsque x 1,, x n E, s il existe i, j [[1n]] tels que i j et x i = x j, alors f(x 1,, x n ) = 0, autrement dit, si deux des vecteurs sont égaux alors le résultat est nul théorème 236 Il y a équivalence entre antisymétrique et alternée

4 Déterminant dans une base 266 2) Développement suivant une base Soit E de dimension p, soit B = (e 1,, e p ) une base de E, soit S = (x 1,, x n ) un système de n vecteurs de E et soit A = P B,S M p,n (K) la matrice de passage de B à S Soit u = f(x 1,, x n ), en développant par rapport à la première variable, on obtient : u = a j1,1f(e j1, x 2,, x n ) 1 j 1 p Puis on développe chacun de ces termes par rapport à la deuxième variable x 2, ce qui donne u = a j1,1a j2,2f(e j1, e j2, x 3,, x n ), etc, ce qui donne à la fin : 1 j 1,j 2 p f(x 1,, x n ) = 1 j 1,,j n p a j1,1 a jn,nf(e j1,, e jn ) C est le développement de f(x 1,, x n ) dans la base B, on voit ainsi qu une application n-linéaire f : E n F est entièrement déterminée par la donnée des vecteurs f(e j1,, e jn ) Supposons maintenant que f soit en plus alternée, alors f(e j1,, e jn ) est nul dès que deux des indices sont égaux, par conséquent on obtient la formule : ( ) f(x 1,, x n ) = a jσ(1),1 a jσ(n),nf(e jσ(1),, e jσ(n) ) 1 j 1 < <j n p Or, f(e jσ(1),, e jσ(n) ) = ε(σ)f(e j1,, e jn ), finalement on a la formule : f(x 1,, x n ) = 1 j 1 < <j n p ( ε(σ)a jσ(1),1 a jσ(n),n ) f(e j1,, e jn ) III) Déterminant dans une base 1) Formes n-linéaires en dimension n Avec les notations du paragraphe précédent, supposons que la dimension de E soit égale à n et soit B = (e 1,, e n ) une base de E, alors il existe une seule famille d indices j 1,, j n telle que 1 j 1 < < j n n, c est la famille j 1 = 1,, j n = n, donc si f est une forme n-linéaire alternée sur E, alors il existe un unique scalaire α tel que : x 1,, x n E, f(x 1,, x n ) = α ε(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 a σ(n),n Avec α = f(e 1,, e n ) (ce qui détermine entièrement f), et les scalaires a i,j étant les coefficients de la matrice du système (x 1,, x n ) dans la base B Si σ parcourt S n, alors σ 1 aussi, on peut donc écrire : x 1,, x n E, f(x 1,, x n ) = α ε(σ)a 1,σ 1 (1)a 2,σ 1 (2) a n,σ 1 (n) σ 1 S n = α ε(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n) Posons x 1,, x n E, f 1 (x 1,, x n ) = ε(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n), alors on vérifie que f 1 est une forme n-linéaire alternée sur E et que f 1 (e 1,, e n ) = 1 (en particulier f 1 est non nulle) De plus, le raisonnement précédent montre que toute forme n-linéaire alternée sur E est de la forme f = αf 1 avec α K, on peut donc énoncer :

5 Déterminant d un endomorphisme 267 théorème 237 Si dim(e) = n, alors l ensemble des formes n-linéaires alternées sur E est un K-espace vectoriel de dimension 1 (droite vectorielle), c est en fait un sev de l ensemble des applications de E n vers K 2) Déterminants de n vecteurs dans une base Définition 238 L application f 1 définie ci-dessus est appelée déterminant dans la base B, elle est notée det B C est donc une forme n-linéaire alternée sur E, qui constitue une base de l ensemble des formes n- linéaires alternées sur E, plus précisément, c est l unique forme n-linéaire alternée sur E qui vérifie : det B (e 1,, e n ) = 1 Expression du déterminant : Soit B = (e 1,, e n ) une base de E et soit (x 1,, x n ) une famille de n vecteurs de E, et soit A = (a i,j ) M n (K) la matrice de cette famille dans la base B, on a l expression suivante : det B (x 1,, x n ) = ε(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n) 3) Propriétés du déterminant Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B = (e 1 ;, e n ) une base de E L application det B est une forme n-linéaire alternée, donc : elle est linéaire par rapport à chaque variable, par exemple : det B (αx 1 + βx 1, x 2,, x n ) = α det B (x 1, x 2,, x n ) + β det B (x 1, x 2,, x n ) si on échange deux vecteurs dans le déterminant, alors le résultat change de signe Si deux des vecteurs de la famille (x 1,, x n ) sont égaux, alors det B (x 1,, x n ) = 0 det B (e 1,, e n ) = 1, ce que l on note det B (B) = 1, c est l unique forme n-linéaire alternée sur E qui vérifie cette égalité Si B est une autre base de E, alors det B = det B (B) det B La famille (x 1,, x n ) est une base de E ssi det B (x 1,, x n ) 0 IV) Déterminant d un endomorphisme 1) definition Définition 239 Soit E un K-espace vectoriel et soit B = (e 1,, e n ) une base de E, soit u L (E), on appelle déterminant de u le scalaire, noté det(u) et défini par : det(u) = det B (u(e 1 ),, u(e n )) Ce scalaire est indépendant de la base B choisie Expression du déterminant : Soit u L (E) et soit B = (e 1,, e n ) une base de E, la matrice du système (u(e 1 ),, u(e n )) est en fait la matrice de u dans la base B, posons A(a i,j ) = mat(u), alors on peut écrire : det(u) = ε(σ)a 1σ(1) a nσ(n) B

6 Déterminant d une matrice carrée 268 2) Propriétés du déterminant Soit u L (E), soit B une base de E, alors : x 1,, x n E, det B (u(x 1),, u(x n )) = det(u) det B (x 1,, x n ) Soient u, v L (E), on a det(u v) = det(v u) = det(u) det(v) Soit u L (E) et soit B une base de E, alors u GL(E) ssi det(u) 0, et si c est le cas, alors det(u 1 ) = 1 det(u) Définition 2310 L application det : GL(E) K est un morphisme de groupes, son noyau est donc un sous-groupe de GL(E), ce sous-groupe est appelé groupe spécial linéaire et noté SL(E) On a donc : SL(E) = {u GL(E) / det(u) = 1} = {u L (E) / det(u) = 1} V) Déterminant d une matrice carrée 1) definition Définition 2311 Soit A = (a i,j ) M n (K), et soit u l endomorphisme de K n canoniquement associé à A, on appelle déterminant de A le déterminant de u et on pose où B désigne la base canonique de K n det(a) = det(u) = det B (C 1(A),, C n (A)), Expression du déterminant : A est la matrice de u dans la base canonique de K n, donc d après le paragraphe précédent, on a : det(a) = a 1,1 a 1,n Notation : on écrit : det(a) = a n,1 a n,n ε(σ)a 1,σ(1) a n,σ(n) 2) Propriétés du déterminant d une matrice carrée Une matrice carrée A et sa transposée, ont le même déterminant On en déduit que si B est la base canonique de K n, alors det(a) = det B (C 1 (A),, C n (A)) = det B (L 1 (A),, L n (A)) Soit u L (E), et soit B une base quelconque de E, si mat (u) = A M n(k), alors det(u) = B det(a) On en déduit en particulier que si P GL n (K), alors det(p 1 A P ) = det(a) Si A, B M n (K), alors det(a B) = det(a) det(b), en particulier, on a det(a B) = det(b A) Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul, si c est le cas, alors det(a 1 ) = det(a) 1 Utilisation de la méthode de Gauss : on utilise celle-ci pour se ramener au calcul du déterminant d une matrice triangulaire, plus précisément : L opération L i L j, change le signe du déterminant (idem avec les colonnes) L opération L i αl i (α 0), multiplie le déterminant par α (idem avec les colonnes) L opération L i L i + αl j, ne change pas le déterminant (idem avec les colonnes)

7 Déterminant d une matrice carrée 269 Définition 2312 L application : det : GL n (K) K n, est un morphisme de groupes, donc son noyau est un sous-groupe de GL n (K), celui-ci est appelé groupe spécial linéaire de type n sur K, on le note SL n (K), on a donc : SL n (K) = {A M n (K) / det(a) = 1} 3) Développement suivant une ligne ou une colonne Soit A = (a i,j ) M n (K), soit B = (e 1,, e n ) la base canonique de K n, notons C 1,, C n les vecteurs colonnes de A, pour j [[1n]], on a C j = variable, on peut écrire : det(a) = n n a i,j e i, par linéarité par rapport à la j-ième a i,j det B (C 1,, C j 1, e i, C j+1,, C n ) En posant γ i,j (A) = det B (C 1,, C j 1, e i, C j+1,, C n ), on a alors det(a) = n a i,j γ i,j (A), c est le développement de det(a) suivant la colonne j Définition 2313 Le scalaire γ i,j (A) est appelé cofacteur (i j) de la matrice A, c est le déterminant de la matrice A dans laquelle la colonne j a été remplacée par le i-ième vecteur de la base canonique de K n Définition 2314 Soit A M n (K), on appelle mineur (i j) de la matrice A, le déterminant i,j (A) de la matrice A i,j obtenue par suppression de ligne i et de la colonne j de A Le lien entre cofacteur et mineur est : γ i,j (A) = ( 1) i+j i,j (A) Le développement de det(a) suivant la colonne j s écrit donc : det(a) = n a i,j ( 1) i+j i,j (A) i,j (A) est un déterminant d ordre n 1, c est donc une formule récurrente Développement suivant la ligne j : comme une matrice A M n (K) a le même déterminant que sa transposée, développer det(a) suivant la ligne j revient à développer det( t A) suivant la colonne j, ce qui donne det(a) = n ( t A) i,j ( 1) i+j i,j ( t A), mais i,j ( t A) = j,i (A), ce qui donne finalement : det(a) = n a j,i ( 1) i+j j,i (A) Un exemple classique : le déterminant de Vandermonde 1 1 α 0 α0 n Soit A =, où α 0,, α n K, soit V n = det(a), alors on a le résultat suivant : 1 α n αn n V n = (α j α i ) 0 i<j n 1 VANDERMONDE Alexandre ( ) : mathématicien français qui fut le premier à étudier les déterminants

8 Applications 270 4) Comatrice Définition 2315 Soit A M n (K), on appelle comatrice de A la matrice de M n (K) dont les coefficients sont les cofacteurs γ i,j (A) Notation : Com(A) = (γ i,j (A)) 1 i,j n théorème 238 (relation fondamentale) A M n (K), A t Com(A) = t Com(A) A = det(a)i n Application : si A M n (K) est inversible, alors : A 1 = 1 t Com(A) det(a) VI) Applications 1) Systèmes linéaires a 11 x a 1p x p = b 1 C est un système de la forme (S) : a n1 x a np x p = b n, où les scalaires x 1,, x p sont les inconnues Le système (S) peut s interpréter de plusieurs façons : x 1 b 1 a 11 a 1n Sous forme matricielle : (S) AX = B où X =, B =, et A =, x p b n a n1 a np A est la matrice du système Sous forme linéaire : soit u L (K p, K n ) l application linéaire canoniquement associée à A, soit x K p le vecteur de coordonnées (x 1,, x p ) dans la base canonique, et soit b le vecteur de K n de coordonnées (b 1,, b n ), on a alors (S) u(x) = b Sous forme vectorielle : soient v 1,, v p les vecteurs colonnes de A, on a (S) x 1 v x p v p = b, c est une équation vectorielle dans K n Définition 2316 (Systèmes de Cramer) C est un système linéaire carré possédant une unique solution, ce qui revient à dire que la matrice du système est carrée inversible Formules de Cramer 2 : on a ici n = p, notons C 1,, C n les colonnes de A,on a B = x 1 C x n C n, soit D i la matrice obtenue en remplaçant dans A la colonne i par la colonne B, on a : det(d i ) = formules : n k=1 x k det(c 1,, C i 1, C k, C i+1,, C n ), ce qui donne det(d i ) = x i det(a), d où les 2 CRAMER Gabriel ( ) : mathématicien français qui s est intéressé aux systèmes linéaires et à la théorie des déterminants

9 Exercices 271 i [[1n]], x i = det(c 1,, C i 1, B, C i+1,, C n ) det(a) 2) Orientation d un espace vectoriel réel Soient B et B deux bases d un R-espace vectoriel de dimension finie, E, soit P la matrice de passage, alors P est une matrice inversible, donc det(p ) 0, on a alors soit det(p ) > 0, soit det(p ) < 0 Définition 2317 On dit que la base B est en relation avec la base B lorsque la matrice de passage a un déterminant strictement positif, on note alors BRB théorème 239 La relation R est une relation d équivalence, et il n y a que deux classes d équivalence Définition 2318 Orienter l espace vectoriel E c est choisir une des deux classes d équivalence, que l on appelle classe des bases directes, l autre étant alors appelée classe des bases indirectes Il n y a donc que deux orientations possibles À retenir : le déterminant de la matrice de passage entre deux bases directes (ou deux bases indirectes) est strictement positif Le déterminant de la matrice de passage entre une base directe et une base indirecte est strictement négatif Définition 2319 (orientation induite sur un hyperplan) Soit H un hyperplan de E (R-espace vectoriel orienté), et soit e n un vecteur de E n appartenant pas à H, soit B = (e 1,, e n 1 ) une base de H, la famille (e 1,, e n ) est une base de E, si cette base est directe, on dira que (e 1,, e n 1 ) est une base directe de H pour l orientation induite sur H par le vecteur e n VII) Exercices Exercice 231 Calculer les déterminants suivants : a) x y z t b) x y z t m c)

10 Exercices 272 Exercice 232 Calculer le déterminant de la matrice A M n (K) dans les cas suivants : a) a ij = 1 δ ij b) a ij = b aδ ij c) a ij = i j a + b si i = j ab si j = i + 1 d) a ij = e) a ij = C j 1 p i+1, où p n f) a ij = sin(i + j) 1 si i = j sinon Exercice 233 a) Soit B une base d un K-espace E de dimension n, soit λ K, soit p n, soit x 1,, x n, e E, montrer que det B (x 1 + λe, x 2 + λe,, x p + λe, x p+1,, x n ) est un polynôme en λ de degré au plus 1 λ 1 a a b Soient a, b C distincts, pour λ 1,, λ n C, on pose : A = a b b λ n b) Pour x C, on pose P (x) = det(b) où B = (a ij + x) Montrer que P (x) est un polynôme de degré 1 au plus 1 Calculer P ( a) et P ( b) c) En déduire det(a) Exercice 234 a) Soit A = B C O n p,p D i) Montrer que A = A A avec A = M n (K) avec B M p (K), D M n p (K) et C M p,n p (K) I p C O n p,p D et A = B O p,n p O n p,p I n p ii) Calculer det(a ) et det(a ), en déduire que det(a) = det(b) det(d) A 1 0 b) Soit A une matrice triangulaire par blocs, c est à dire A =, 0 0 A n où les matrices A i sont carrées, montrer que det(a) = n det(a i ) Exercice 235 Soit E un espace de dimension n, B une base de E et u L (E), pour (x 1,, x n ) E n, on pose f(x 1,, x n ) = det B (u(x 1 ), x 2,, x n ) + + det B (x 1,, x n 1, u(x n )) Montrer que f = tr(u) det B

11 Exercices 273 Exercice 236 Soit A M n (K), soit B = (e 1,, e n ) la base canonique de K n, on note c 1,, c n les vecteurs colonnes de A a) Montrer que det(a) = a i1 a j2 det B (e i, e j, c 2,, c n ) 1 i,j n b) En déduire que det(a) = ( 1) i a 1+i 2 i1 1 a i1 2 1 i 1 <i 2 n a i2 1 a i2 2 (i 1,i 2 ),(1,2)(A) où (i1,i 2 ),(1,2)(A) désigne le déterminant de la matrice obtenue en supprimant dans la matrice A les lignes L i1 et L i2 et les colonnes C 1 et C 2 C est le développement de det(a) suivant les colonnes 1 et 2 x y z t c) Exemple : développer le déterminant suivant les colonnes 1 et m