CCP PSI un corrigé

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1 CCP26 - PSI un corrigé Cas n 2. Puissances de A(α, β ( α α. A(α, β I 2 n est pas la matrice nulle car (α, β (, et son rang est. β β (, est clairement élément du noyau qui, par théorème du rang, est de dimension. Ainsi Sp(A(α, β et E (A(α, β Vect((, 2. On vérifie que (α, β (qui est non nul est vecteur propre de A(α, β associé à la valeur propre α β. Les vecteurs (, et (α, β sont indépendants (déterminant α β <. On a donc une base de vecteus propres ce qui montre que A(α, β est diagonalisable avec ( P α A(α, βp diag(, λ avec P β 3. Montrons par récurrence que p N, A p P diag(, λ p P P D p P - Initialisation : c est immédiat pour p car A I 2. - Hérédité : supposons le résultat vrai au rang p. On a alors A p+ A p A P D p P P DP P D p+ P ce qui montre le résultat au rang p +. ( On vérifie immédiatement que P β α α+β. On a ainsi A p ( αλ p βλ p ( β α ( β + αλ p α( λ p β( λ p λ p 4. Si (α, β (, alors < < 2 et donc < λ <. AInsi λ p quand p + et la question précédente montre que lim p + Ap ( β α L(α, β β α ( Si α β alors λ et les suites coordonnées ne convergent pas. On a A(, et A(, 2 I 2. Ainsi A(, 2p I 2 et A(, 2p+ A(,. On a deux extraites qui convergent vers des limites différentes..2 Applications 5. La formule des probabilités totales avec le système complet d événements ((X n, (X n donne P(X n+ i P Xn(X n+ ip(x n + P Xn(X n+ ip(x n Or, P Xn(X n+ α (passage de à et P Xn(X n+ β (passage de à puis P Xn(X n+ α (pas d erreur sur et P Xn(X n+ β (pas d erreur sur. Ceci se traduit matriciellement par ( α β ( P(Xn+ P(X n+ α β ( P(Xn P(X n A(α, β T ( P(Xn P(X n

2 On en déduit par une récurrence immédiate que ( ( P(Xn (A(α, β n T P(X P(X n P(X ce qui donne Il est alors raisonnable de penser que P(X n β + αλn P(X + β( λn P(X P(X n α( λn P(X + λn P(X P X (X n β + αλn et P X (X n λn Je propose de le prouver par récurrence. - Initialisation : pour n (les deux probabilités conditionnelles valent et n (elles valent respectivement α et β le résultat est vrai. - Hérédité : supposons le résultat vrai au rang n. Utilisons le système complet d événements ((X n, (X n pour la probabibilité P X. On a alors P X (X n+ P X (X n P X X n(x n+ Comme n et comme les relais sont indépendants, + P X (X n P X X n(x n+ P X X n(x n+ P Xn(X n+ α Avec l hypothèse de récurrence on a donc P X X n(x n+ P Xn(X n+ β P X (X n+ ( α β + αλn + β ( β + αλn et il reste à simplifier le terme pour obtenir le résultat voulu. On procède de même pour P X (X n+. La probabilité que X n soit conforme à X est alors P(X n X + P(X n X P X (X n P(X + P X (X n P(X β + αλn P(X + λn P(X ( ( β α φ P(X + φ P(X où φ(x x + ( xλ n. φ (x λ n (car λ et φ est donc croissante. Elle est supérieure à son minimum φ(r et on a donc c est à dire P(X n X + P(X n X φ(r(p(x + P(X φ(r P(X n X + P(X n X r + ( r( α β n 2

3 6. Les erreurs sur les bits se produisant de manière indépendante, la probabilité de conformité de X n à X est le produit de celle de chaque X k n à X n qui est plus grande que r +( r( α β n. Les quantités étant positives, on peut multiplier les inégalités et la probabilité de conformité Q n vérifie Q n (r + ( r( α β n l 7. Dans le cas α β, on a r /2. Si l on reprend la question 5, on voit que l on a une égalité dans les inégalités. Ainsi ( + ( 2α n l Q n 2 On se donne ε ], [ (plus contraignant que dans l énoncé mais moralement, on veut des ε petits et on cherche n tel que Q n ε c est à dire ( + ( 2α n l ε Il suffit donc que ( ε > et on peut élever à la puissance /l 2 ( 2α n 2( ε l L élévation à la puissance n-ième n est a priori croissante que sur R +. On remarque donc qu il suffit que 2α n 2( ε l c est à dire, en supposant α /2 et ε assez petit pour que le mambre de droite soit > (même remarque n ln( 2α ln(2( ε l Quand α ], [\{/2}, ln( 2α < et il suffit que n ln(2( ε l ln( 2α Pour α /2, la condition est vraie pour tout n pourvu que ε soit assez petit. Pour α, la condition est vraie pour tout n pourvu que ε soit assez petit. 2 Spectre des matrices stochastiques 2. Coefficients 8. Si A est stochastique, les coefficients d une ligne sont positifs et de somme plus petite que. Ils sont donc tous plus petits que et finalement tous dans [, ]. Si A est strictement stochastique, elle est stochastique à coefficients non nuls et ses coefficients sont donc tous dans ], ]. Si, par l absurde, on avait a i,, comme il y a au moins deux coefficients sur la ligne i et qu ils sont >, la somme sur la ligne i serait > ce qui est contradictoire avec le caractère stochastique. Ainsi, les coefficients sont tous dans ], [. 9. Soit A une matrice à coefficients positifs. Elle est donc stochastiques ssi n a i, pour tout i. Or, i, (Ae i a i, e et la condition devient Ae e c est à dire que e est propre pour A associé à (c est une CNS. a i, 3

4 . Soient A, B deux matrices de taille n et C AB. On a i,, c i, a i,k b k, Si A et B sont à coefficients positifs, il en est de même pour C. Si A et B sont à coefficients strictement positifs, il en est de même pour C. Enfin, pour tout i on a c i, a i,k b k, k k a i,k b k, k Si A et B sont stochastiques, n b k, pour tout k et la somme ci-dessus vaut n k a i,k. C est donc stochastique. On a donc prouvé que les caractères stochastique et strictement stochastique sont conservés par produit. 2.2 Valeurs propres. Soit A une matrice stochastique et x C n. Pour tout i on a (Ax i a i, x a i, x x et on en déduit (en passant à la borne supérieure que Ax x Comme A p est aussi stochastique (question on a aussi p N, A p x x a i, x 2. Soit λ une valeur propre complexe de A et x un vecteur propre associé. On a Ax λx et, avec la question précédente λ x λx Ax x Comme x > (x est vecteur propre et donc non nul on en déduit que λ. Ceci étant vrai pour toute valeur propre, ρ(a. De plus, est une valeur propre de A (car A est stochastique et cette inégalié est une égalité (on a un maximum : 2.3 Diagonale strictement dominante ρ(a 3. Soit λ une valeur propre de A et x un vecteur propre associé. Soit i {,..., n} tel que x i soit maximal (un nombre fini non nul de réels admet un maximum. On a alors x i > (car x, vecteur propre, est non nul et comme (Ax i λx i, on a (λ a i,i x i i a i, x Par inégalité triangulaire (les a k, sont positifs, on en déduit que λ a i,i x i a i, x x i i i a i, 4

5 Comme x i > on peut conclure que λ a i,i i a i, 4. Si, par l absurde, A n était pas inversible, on aurait (avec la question précédente a i,i a i,i i a i, ce qui contredit le caractère strictement dominant de la diagonale. Ainsi, toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible. 2.4 Valeur propre de module maximal 5. Posons B A I n. Pour tout i {,..., n }, on a b i,i a i,i a i,i i n a i, i n b i, + a i,n < i n B est donc a diagonale dominante. On en déduit que B est inversible. Ses n lignes sont donc indépendantes et c est a fortiori vrai de celle de A I n. On a donc rg(n n 6. ker(a I n est ainsi (théorème du rang au plus de dimension. Comme il est non réduit à {} ( est valeur propre d une matrice stochastique c est que dim(ker(a I n 7. Soit λ une valeur propre de A. Avec la question 3 et l inégalité triangulaire, on a (pour une bonne valeur de i λ a i,i λ a i,i λ a i,i a i, i Si λ, cette inégalité est une égalité. On doit donc avoir égalité dans toutes les étapes et en particulier λ a i,i + a i,i λ et donc (cas d égalité dans l inégalité triangulaire λ a i,i et a i,i ont même argument. Comme a i,i est un réel >, ceci impose que λ a i,i soit un réel > et donc que λ soit un réel >. Comme λ, ceci donne λ. est donc l unique valeur propre de module et λ Sp(A \ {}, λ < 3 Probabilité invariante 3. Une suite de variables aléatoires 8. Par formule des probabilités totales avec le système complet ((X i i 4, on a P(X 4 P X i(x P(X P X i(x vaut / si i et 3/ sinon. On a donc P QP avec Q b i,

6 Une récurrence immédiate donne alors n N, P n Q n P 9. Si Π convient, c est un vecteur propre pour Q associé à la valeur propre. Comme Q est strictement stochastique, la partie précédente montre que le sous-espace propre est de dimension et même engendré par (,,,. La condition sur la somme des coordonnées de Π impose Π 4 Réciproquement, ce vecteur convient. 3.2 Rapidité de convergence i.e. i, p i 4 2. Q est symétrique réelle donc diagonalisable (et par le biais d une matrice orthogonale. 2. On sait déà que est valeur propre de sous espace propre associé Vec(Π. De plus Q + 2 I 4 est clairement de rang et 2/ est donc valeur propre de sous-espace propre associé de dimension 3 (théorème du rang. La somme des dimensions des sous-espaces propres valant 4 (Q est diagonalisable, il n y a pas d autre valeur propre. De plus, Q étant symétrique réelle, les sous-espaces propres sont supplémentaires orthogonaux. Ainsi Sp(Q {, 2/} E (Q Vect(Π, E 2/ (Q Vect(Π Vect 22. Notons P la matrice dont la première colonne est Π Π 2Π et les suivantes une base orthonormée de Vect(Π. P est alors une matrice orthogonale qui diagonalise Q et On en déduit que, P QP diag(, 2/, 2/, 2/ Q p P diag(, ( 2/ p, ( 2/ p, ( 2/ p P, Quand p +, diag(, ( 2/ p, ( 2/ p, ( 2/ p diag(,,, et M P MP est continue (linéaire en dimension finie par exemple. Ainsi, La première colonne de P est 2Π et on a donc lim p + Qp P diag(,,, P R P diag(,,, 2p 2p 2 2p 3 2p 4 En multipliant par P P T, seule la première ligne de P sert et elle vaut (2p, 2p 2, 2p 3, 2p 4. On en déduit que p 2 p p 2 p p 3 p p 4 R 4 p 2 p p 2 2 p 2 p 3 p 2 p 4 p 3 p p 3 p 2 p 2 3 p 3 p 4 4ΠΠT 4 p 4 p p 4 p 2 p 4 p 3 p 2 4 6

7 Pour la suite, l énoncé ne précise aucune norme sur M n (R et il est difficile de savoir à quoi correspond.. Bien sûr, on est en dimension finie et toutes les normes sont équivalentes (vocabulaire hors programme en PSI ce qui rend le choix indifférent. On a ( Q p R P diag(, ( 2/ p, ( 2/ p, ( 2/ p P 2 p P diag(,,, P On en déduit que Q p R ( 2 p ( 2 p P diag(,,, P O puisque P diag(,,, P est indépendant de p. Comme on sait que n N, P n Q n P et comme M MP est continue, on en déduit que lim n + P n RP 4ΠΠ T P Or, Π T P 4 4 P(X i 4 et donc lim P n Π n + Quand n tend vers + on a autant de chance de se retrouver sur chaque point et cela quelle que soit la position initiale. 4 Puissances d une matrice stochastique 23. Soit {,..., n} ; k [, n ], a (p+ k, En passsant au maximum sur k, on en déduit que De même k [, n ], a (p+ k, M (p+ En passsant au maximum sur k, on en déduit que m (p+ M (p+ m (p+ a k,i a (p i, M (p a k,i a (p i, m (p a k,i M (p a k,i m (p M (p m (p est immédiat (minimum plus petit que maximum. Comme M et toutes ses puissances sont trictement stochastqiues, tous les coefficients sont > et m (p < m (p m (p+ M (p+ M (p >. Finalement 7

8 24. On note k un indice tel que a (p+ k, m (p+ m (p+. On a alors a (p+ k, a k,i a (p i, m a k,i m (p a k,i (a (p i, m(p }{{} m } {{ } (a (p i, m(p Dans la dernière somme, tous les termes sont et l un vaut M (p et donc m (p+ De même, On note l un indice tel que a (p+ l, M (p m(m (p M (p+ M (p M (p+. On a alors m a (p+ l, a l,i M (p a l,i }{{} m (M (p a l,i a (p i, a (p i, } {{ } (M (p a (p i, Dans la dernière somme, tous les termes sont et l un vaut M (p et donc M (p M (p+ m(m (p 25. On a tout d abord M (p+ m (p+ M (p+ M (p + M (p + m (p m (p+ Le premier terme est maoré avec la seconde inégalité de la question précédente. Le troisième est maoré grâce à la première inégalité. On obtient M (p+ m (p+ ( 2m(M (p 26. La question 23 montre que (m (p p N est croissante alors que (M (p p N décroît. La question précédente donne par récurrence M (p ( 2m p (M ( m ( Comme n 2, il y a au moins deux coefficients par ligne. Ils sont > et leur somme vaut. Il ne peuvent donc être tous deux < /2 et l un est /2. Ainsi, m /2. Le seul cas d égalité est celui où n 2 et où tous les coefficients valent /2. 8

9 - Si n 2 et m /2 alors A A(/2, /2. La partie I montre que (A p est constante et les suites (m (p p N et (M (p p N le sont aussi (égales à /2. Elles sont donc adacentes. - Sinon m < /2 et ( 2m p. On a donc M (p adacentes.. Les suites sont encore 27. En notant l la limite commune à (M (p p N et (m (p p N, comme m (p a (p k, M (p pour tout k, tous les coefficients de la colonne k dans la suite (A p tendent vers l. (A p converge donc vers la matrice L dont toutes les lignes valent (l,..., l n. Comme A p est stochastique pour tout p, L l est aussi (passage à la limite dans une suite constante égale à. 9