Ch.G5 : Pyramides et cônes
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- Marie Métivier
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1 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 1 sur 8 Ch.G5 : Pyramides et cônes Activité n 1 page 20 De l'ancien vers le nouveau On a représenté, ci-dessous, des solides en perspective cavalière. 1) 2) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 1) Certains ont déjà été étudiés. Décris-les de façon précise ) Les solides 1, 4, 7 et 10 sont des pyramides. Quels sont leurs caractères communs? ) As-tu déjà rencontré des pyramides dans une autre matière? Laquelle des pyramides ci-dessus leur ressemble le plus? Quelle est la nature de sa base? De ses faces latérales? 4 4) Les solides et 6 sont des cônes. Donne des exemples de solides ayant la forme de cônes dans la vie courante. 1 PYRAMIDE ET CÔNE : DÉFINITION ET PERPECTIVE 1.1 La pyramide ex 1 DÉFINITION 1 Une pyramide est un solide dont : une face est un polygone : c'est la base de la pyramide. les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide. La hauteur d'une pyramide est le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base. Une arête latérale est un segment joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide. Exemple 1 : Trace une pyramide ABCD de sommet en perspective cavalière et décris les éléments de ce solide. Le sommet de cette pyramide est le point. La base de cette pyramide est le pentagone ABCDE. E D Les faces latérales sont : AB, BC, CD, DE, EA. A O Les arêtes latérales sont : [A], [B], [C], [D], [E]. C B La hauteur de la pyramide est le segment [O]. DÉFINITION 2 Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier (par exemple un triangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Remarques 1 :
2 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 2 sur 8 Une pyramide régulière à base triangulaire s'appelle un tétraèdre. C'est un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux superposables. La hauteur d'une pyramide régulière passe par le centre de la base qui est le point de concours des diagonales. Exemple 2 : Trace une pyramide régulière à base carrée de côté 2 cm et de hauteur cm en perspective cavalière. On trace un carré de 2 cm de côté en perspective cavalière, c'est-à-dire un parallélogramme dont le côté vu de face mesure 2 cm puis les diagonales pour trouver le centre de la base. On trace ensuite la hauteur qui est un segment de cm puis les arêtes latérales. 1.2 Le cône de révolution DÉFINITION Un cône de révolution est un solide qui est généré par un triangle rectangle en rotation autour d'un des côtés de son angle droit. La base du cône de révolution est un disque. La hauteur du cône de révolution est le segment qui joint le centre de ce disque au sommet du cône ; il est perpendiculaire au disque de base. Remarque 2 : La surface latérale d'un cône, appelée aussi développement, est générée par l'hypoténuse du triangle rectangle. Elle a la forme d'un secteur de disque. Exemple : Trace un cône de révolution en perspective et décris les éléments de ce solide. Le sommet du cône est le point. La base de ce cône est le disque de centre O : on la représente en perspective par un ovale (une ellipse) car elle n'est pas vue de face. La hauteur du cône est le segment [O]. Le triangle AO, rectangle en O, génère le cône en tournant autour de (O). Exercice n 1 page 207 Complète les tracés en perspective ci-après pour obtenir un solide de sommet : a) une pyramide à base rectangulaire : b) un cône de révolution ayant pour diamètre de base le segment [IB] : I B
3 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page sur 8 Exercice n 1 page 208 Reconnaître un solide Nomme chaque solide représenté ci-dessous. a) b) c) d) e) f) g) h) i) Exercice n 2 page 208 Pyramides en vrac! A D E Recopie et complète le tableau ci-dessous : ommet Nature de la base Nom de la base Hauteur Nombre d'arêtes Nombre de faces RLT ABCD JKH AIONM [AT] [H] [DM] [EP] Exercice n 4 page 208 Pyramide régulière à base carrée ABCD est une pyramide régulière à base carrée telle que A = 7, cm et AB = 5 cm. a) Nomme le sommet et la base de cette pyramide. b) Que représente le segment [H] pour la pyramide? Justifie. c) Indique en centimètres, la longueur de chacune des arêtes de cette pyramide. Justifie. d) Quelle est la nature du triangle ADC? Justifie. Construis-le en vraie grandeur. e) Quelle est la nature du triangle AB? Justifie. Construis-le en vraie grandeur. ABCD [H] ABCD
4 6 cm ADC 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 4 sur 8 A = B = C = D = 7, cm AB = BC = CD = AD = 5 cm D D [AC] ABCD C AB D 5 cm A A C B 7. cm 2 PATRON D'UNE PYRAMIDE OU D UN CÔNE A 5 cm B A 2.1 La pyramide ex 2 Exemple 4 : Dessine le patron d'une pyramide dont la base est un rectangle de longueur 9 cm et de largeur 6 cm et dont chaque arête latérale mesure 7 cm. 9 cm On trace le rectangle de longueur 9 cm et de largeur 6 cm. On trace des arcs de cercle, de centre les sommets du rectangle et de rayon 7 cm. On trace les 4 triangles isocèles formant les faces latérales de la pyramide. Exercice n 2 page 207 Trace le patron de la pyramide dont la base est un carré de côté 5 cm et dont chaque arête latérale mesure 6,5 cm puis code les longueurs égales.
5 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 5 sur Le cône de révolution Exemple 5 : Dessine le patron d'un cône OA de rayon cm et de hauteur 4 cm. cm cm 5 cm 216 On trace un cercle de rayon cm. C'est le cercle de base. on périmètre est 2 π cm, soit 6π cm. Le rayon du disque induit par la surface latérale est [A]. Le triangle OA est rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : A 2 = O 2 + OA 2 A 2 = = 25 donc A = 5 cm. Exercice n 1 page 210 Pyramide à base hexagonale Reproduis en vraie grandeur le dessin et complète-le pour qu'il représente le patron d'une pyramide régulière à base hexagonale. La longueur du secteur de disque de rayon 5 cm est égale au périmètre de la base, soit : 6π cm. Comme l'angle du secteur de disque est proportionnel à sa longueur, on le détermine en calculant le nombre manquant dans ce tableau de proportionnalité. Longueur du secteur de disque 10π 6π Angle du secteur de disque 60? 60 6? = = 6 6 = Le secteur de disque de 5 cm de rayon a pour angle I I 5
6 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 6 sur 8 VOLUME D UNE PYRAMIDE OU D UN CÔNE EX ET 4 PROPRIÉTÉ 1 Pour calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution, on calcule le tiers du produit de l'aire de Aire de la base Hauteur la base par la hauteur : V =. Remarque : Le volume d'un cône de hauteur h et de rayon de base r est : V = r2 h. Exemple 6 : Calcule le volume d'une pyramide de hauteur 2,50 m ayant pour base un losange de diagonales 4 m et 4,20 m. A = D d = 4 4,2 = 8,4 m On calcule l'aire de la base : c est un losange.. Aire de la base Hauteur On écrit la formule du volume d une pyramide. V = 8,4 2,5 V = = 7 m On remplace par les valeurs numériques.. Donc le volume de la pyramide vaut 7 m. Exemple 7 : Calcule le volume d'un cône de révolution de hauteur 25 cm ayant pour base un disque de rayon 9 cm. A = r 2 = 9 2 = 81 cm 2 On calcule l aire de la base : c est un disque de rayon 9 cm. Aire de la base Hauteur On écrit la formule du volume du cône. V = On remplace par les valeurs numériques. V =
7 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 7 sur 8 V = = 675 cm On termine le calcul. Donc le volume exact du cône vaut 675 cm. Une valeur approchée au cm près est cm. Exemple 8 : Un berlingot de lait concentré a la forme d'une pyramide régulière ABCD à base carrée de 5 cm de côté et de hauteur cm. Combien de berlingots sont nécessaires pour conditionner 1 L de lait concentré? Aire de la base Hauteur On écrit la formule du volume d une pyramide. V = V = 5 5 = 25 cm On remplace par les valeurs numériques. 1 L = 1 dm = cm On convertit 1 L en cm = 40 On calcule le nombre de berlingots nécessaires. Il faut donc 40 berlingots pour conditionner 1 L de lait concentré. Exercice n 19 page 210 Conversions Complète : a) 5,4 m = cm b) 26 m = km c) 14,7 m 2 = cm 2 d) m 2 = hm 2 e) 5,68 L = ml f) cm = m g) 504,2 cl = L h) 6, dm = m i) 5 62 dm = cm 5,4 m = 540 cm km hm dam m dm cm mm m =,26 km km hm dam m dm cm mm ,7 m 2 = cm 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m 2 = 25,42 hm 2 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm ,68 L = ml km hm dam m dm cm mm j) 0,07 m = dm k) cm = L l) 9,1 cl = cm cm = 0,2 m km hm dam m dm cm mm ,2 cl = 5,042 L km hm dam m dm cm mm , dm = 0,006 m km hm dam m dm cm mm dm = cm km hm dam m dm cm mm ,07 m = 70 dm km hm dam m dm cm mm cm = 2,5 L km hm dam m dm cm mm ,1 cl = 91 cm km hm dam m dm cm mm hl dal L dl cl ml 9 1 Exercice n 20 page 211 Volumes de pyramides a) Calcule le volume d'une pyramide ABCD, de hauteur 6, cm et de base rectangulaire ABCD telle que AB = 4,2 cm et BC =,5 cm. Donne le résultat en cm puis en mm. b) Calcule le volume d'une pyramide MATH, de base ATH rectangle isocèle en A, de hauteur [MA] et telle que AT = cm et MA = 4 cm.
8 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.g5 cahier élève Page 8 sur 8 ABCD = AB BC = 4,2,5 = 14,7 cm 2 ATH = ABCD = AT AH 2 MATH = 14,7 6, = 0,87 cm = mm = = 4,5 cm 2 2 MA = 4,5 4 = 6 cm
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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