Cours et exercices de mathématiques - seconde générale - document disponible sur JGCUAZ.FR VECTEURS

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1 VECTEURS Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale en mathématiques. Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices tous corrigés. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant en lycée. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page personnelle JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 08/10/2016) Montpellier, le 08/10/2016 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013 Vecteurs Page 1/27 Version du 08/10/2016

2 VECTEURS La notion de vecteur est à la base de la géométrie. Dans ce chapitre, elle se définit de manière dynamique grâce aux translations, avant d'en étudier l'aspect analytique (coordonnées) 1) Vecteurs et translation Dans le langage courant, «être vecteur de quelque chose» signifie transporter quelque chose Un synonyme du mot «translater» est déplacer (mais sans déformer!) Définition : Soit A et B deux points. La translation de vecteur AB ABNM soit un parallélogramme. est la transformation qui, à tout point M associe le point N tel que Ce déplacement est caractérisé par son vecteur AB, qui comprend trois composantes : La direction du vecteur AB qui est l'inclinaison de la droite (AB) Le sens du vecteur AB La longueur AB, qui est appelée aussi norme du vecteur AB, et notée AB 2) Composantes d'un vecteur Propriété Un vecteur AB est un condensé de trois données : Une direction : Celle de la droite (AB) Un sens : de A vers B Une longueur AB appelée aussi norme du vecteur AB Seconde - Vecteurs Page 2/27 Version du 08/10/2016

3 Propriété Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur Propriété : Soit AB un vecteur. L image d un point M par la translation de vecteur AB est un point N si et seulement si MN = AB Propriété Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres dans la dénomination du parallélogramme Propriété - définition Les vecteurs BA et AB ont : - même direction - même norme -des sens opposés On dit qu ils sont opposés et on note BA = AB (ou AB = BA ) Propriété Puisque l on peut copier-coller un vecteur pour fabriquer d autres vecteurs qui lui sont égaux, il est possible de créer des vecteurs indépendants des points On les appelle vecteurs libres. On peut les noter u ou v Seconde - Vecteurs Page 3/27 Version du 08/10/2016

4 VECTEURS - EXERCICES Exercice n 1. (correction) On considère la figure ci-contre. Dans la translation de vecteur l image de G? Quel point a pour image E? Dans la translation de vecteur l image de E? AB BC, quelle est, quelle est D E F C B H G Quel point a pour image E? A Exercice n 2. (correction) On considère l'hexagone ACBFGD ci-dessous. Compléter les cases vides du tableau ci-dessous L'image du point... par la translation de vecteur... est le point... A DE GH C H... F B... C Seconde - Vecteurs Page 4/27 Version du 08/10/2016

5 Exercice n 3. (correction) On considère la figure ci-dessous. D E F Citer tous les vecteurs égaux à BC H G C B A Exercice n 4. (correction) On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure citer : 1) Deux vecteurs égaux 2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes 3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes 4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme Seconde - Vecteurs Page 5/27 Version du 08/10/2016

6 VECTEURS - CORRECTION Correction de l'exercice n 1 (retour à l'énoncé) 1) Dans la translation de vecteur AB, quelle est l image de G? F Quel point a pour image E? H 2) Dans la translation de vecteur BC, quelle est l image de E? D Quel point a pour image E? F Correction de l'exercice n 2 (retour à l'énoncé) L'image du point... par la translation de vecteur... est le point... A DE C I GH C H HF F B BC C Correction de l'exercice n 3 (retour à l'énoncé) ED = FE = GH = BC Correction de l'exercice n 4 (retour à l'énoncé) (Pour chaque question, plusieurs réponses sont possibles) 1) Deux vecteurs égaux AB = ED 2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes AB et CF 3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes AB et FC 4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme AD et BE Seconde - Vecteurs Page 6/27 Version du 08/10/2016

7 VECTEURS - SOMME 3) Somme de vecteurs - relation de Chasles Définition - Propriété dite «relation de Chasles» Soit AB et BC deux vecteurs On DEFINIT le vecteur AB + BC comme étant le vecteur Ainsi, on obtient la fameuse «relation de Chasles» : Quels que soient les points A,B et C, AB + BC = AC AC ATTENTION! Il s'agit d'une egalité entre vecteurs et non pas entre longueurs En général, on n'a jamais AB+BC=AC, sauf si les points A,B et C sont alignés. Définition : Le vecteur AA pour lequel origine et extrémité sont confondues est appelé vecteur nul et noté 0 4) Construction de la somme de 2 vecteurs Etant donnés les vecteurs u et v ci-dessous : On copie-colle le vecteur v à la suite du vecteur u et on utilise la relation de Chasles Seconde - Vecteurs Page 7/27 Version du 08/10/2016

8 Méthode n 2 Puisque u+ v = v+ u, on copie-colle le vecteur u à la suite du vecteur v et on utilise la relation de Chasles Propriété : Soit A,B et C trois points. Le vecteur AB + AC est égal au vecteur AD où D est le 4 ème point du parallélogramme ABDC. 5) Soustraction de 2 vecteurs METHODE Pour soustraire deux vecteurs, on additionne le premier à l'opposé du second Exemple : AB AC = AB + AC = AB + CA = CA + AB = CB Il n'est pas toujours possible de simplifier l'écriture d'une soustraction Seconde - Vecteurs Page 8/27 Version du 08/10/2016

9 VECTEURS - SOMME - EXERCICES Exercice n 5. (correction) D E F On considère la figure ci-contre : En n'utilisant que les lettres représentées sur cette figure, compléter : AB + BC = FG + GE = AB + AH = BA + BC = BF + GF = BC + DE = C B H A G Exercice n 6. (correction) On considère la figure ci-contre : En utilisant uniquement les points de la figure, compéter chaque pointillé par le nom d'un point : 1) AF + HC = E. 2) DB + AE = D. 3) EF + GC =. I 4) 5) EF + BF + CG = C. CA + FG = C. Exercice n 7. (correction) Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles IJ = IB + B..E = F. + G. AB + BC + CD + DE =.. XK = XL +.K H. =.. + IJ AB =.C +.D +.. CD =.A + A. RS = R. +.S MN =.P = JK +.M.Y = XJ R Exercice n 8. (correction) Compléter les égalités suivantes (s'il y a plusieurs possibilités, n'en donner qu'une) 1) IB =... A + A... 2) D... + C.. =... B 3) HG +... = HF 4) E E =... 5) A... = A... + B... + CF 6) FE +... = 0 Seconde - Vecteurs Page 9/27 Version du 08/10/2016

10 Exercice n 9. (correction) Ecrire le plus simplement possible : 1) BD + DA = 2) BD + AA = 3) BD + DB = 4) BD + AD + BA = Exercice n 10. (correction) Compléter les égalités suivantes à l'aide de la figure : 1) u2 + u5 =... 2) u1+... = u5 3)... + u3 = u4 4) u3 + u1 =... Exercice n 11. (correction) Ecrivez chacune des expressions suivantes sous la forme d un seul vecteur : 1) BD BA 2) BD BA + DA DB 3) DC BA + BD 4) AB + CD AB BC 5) CD FE GH EH GF DK + CK Seconde - Vecteurs Page 10/27 Version du 08/10/2016

11 VECTEURS - SOMME - CORRECTION Correction de l'exercice n 5 (retour à l'énoncé) AB + BC = AC FG + GE = FE AB + AH = AB + BE = AE BA + BC = FG + GH = FH BF + GF = AG + GF = AF BC + DE = BC + CB = BB Correction de l'exercice n 6 (retour à l'énoncé) 1) AF + HC = EG 2) DB + AE = DG 3) EF + GC = EI 4) CA + FG = CI 5) EF + BF + CG = CB Correction de l'exercice n 7 (retour à l'énoncé) IJ = IB + BJ FE = FG + GE XK = XL + LK = + CD HJ HI IJ = CA + AD RS = RA + AS (ou n importe quelle autre lettre que A) MN = MP + PN JM = JK + KM AB + BC + CD + DE = AE AB = AC + CD + DB XY =.. + RY + JR (on change alors l ordre des vecteurs dans la somme) Correction de l'exercice n 8 (retour à l'énoncé) 1) IB = IA + AB 2) DC + CB = DB 3) HG + GF = HF 4) EB + AE = AB (ou tout autre couple de lettres (A,B)) 5) AF = AB + BC + CF 6) FE + EF = 0 Correction de l'exercice n 9 (retour à l'énoncé) 1) BD + DA = BA 2) BD + AA = BD 3) 4) BD + AD + BA = BD + BA + AD = BD + BD = 2BD BD + DB = 0 Correction de l'exercice n 10 (retour à l'énoncé) 1) u + u = u 2) u + u = u 3) u + u = u 4) u + = 3 u1 0 Seconde - Vecteurs Page 11/27 Version du 08/10/2016

12 5) Cours et exercices de mathématiques - seconde générale - document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n 11 (retour à l'énoncé) 1) BD BA = BD + AB = AB + BD = AD 2) BD BA + DA DB = BD + AB + DA + BD = BD + DA + AB + BD = BD + DB + BD = 0 = BD 3) DC BA + BD = DC + AB + BD = AB + BD + DC = AC 4) AB + CD AB BC = AB + CD AB + BC = BC + CD = BD ( ) + = = 2 CD FE GH EH GF DK CK CD EF GH HE FG KD CK CD Seconde - Vecteurs Page 12/27 Version du 08/10/2016

13 COLINEARITE 6) Produit d'un vecteur par un nombre - vecteurs colinéaires. Définition : Soit u un vecteur et k un nombre Le vecteur v = k u (ou plus simplement ku ) résultant de la multiplication de u par k, est défini par : Si k = 0 ou u = 0, alors v = 0 Si k 0 et u 0 : u et v = k u ont même direction u et v = k u sont de même sens si et seulement si k > 0 et de sens opposés si et seulement si k < 0 On résume en La norme du vecteur v est égale à k fois celle de u affirmant que la si k > 0 ou -k fois si k < 0 ) norme du vecteur v est égale à k Exemple fois celle de u On considère le vecteur u ci-dessous. On a construit les vecteurs v et w tels que v = 1,5u et w= 2u Définition : Soit u et v deux vecteurs. S'il existe un nombre k tel que v = k u, on dit que les vecteurs u et v sont colinéaires En particuliers, deux vecteurs u et v non nuls colinéaires ont la même direction. Seconde - Vecteurs Page 13/27 Version du 08/10/2016

14 COLINEARITE - EXERCICES Exercice n 12. (correction) Sur la figure suivante, on considère le point A et les vecteurs u et v. Construire sur la figure : 1) Le point B tel que AB = u + v 2) Le point C tel que AC = u v 3) Le point D tel que AD = 3u 4) Le point E tel que AE = 1,5v 5) Le point F tel que AF = 3u v 6) Le point G tel que AG = u 2v Exercice n 13. Vrai ou Faux? (correction) Affirmation V ou F? Deux vecteurs égaux sont colinéaires Deux vecteurs colinéaires sont égaux Deux vecteurs opposés sont colinéaires Si I est le milieu de [AB], alors IA + IB = 0 Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB Si B est le milieu de [AC], alors AB et AC sont colinéaires Si B est le milieu de [AC], alors AB et BC sont colinéaires Seconde - Vecteurs Page 14/27 Version du 08/10/2016

15 Exercice n 14. (correction) Les égalités vectorielles suivantes sont elles vraies ou fausses? EGALITE VRAI ou FAUX? 2AB + BC = 2AC 2AB + BC = 3AC 2AB + 2BC = 4AC 2AB + 3BC = 5AC AB BC = AC AB BC = CA Seconde - Vecteurs Page 15/27 Version du 08/10/2016

16 COLINEARITE - CORRECTION Correction de l'exercice n 12 (retour à l'énoncé) Correction de l'exercice n 13 (retour à l'énoncé) Affirmation V ou F? Deux vecteurs égaux sont colinéaires Vrai (l'un est = à 1 fois l'autre) Deux vecteurs colinéaires sont égaux Faux Deux vecteurs opposés sont colinéaires Vrai (l'un est = à -1 fois l'autre) Si I est le milieu de [AB], alors IA + IB = 0 Vrai (faire une figure!) Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB Vrai (faire une figure!) Si B est le milieu de [AC], alors AB et AC sont Vrai car AC = 2AB colinéaires Si B est le milieu de [AC], alors AB et BC sont Vrai car BC = 1 AB colinéaires Correction de l'exercice n 14 (retour à l'énoncé) EGALITE VRAI ou FAUX? 2AB + BC = 2AC FAUX 2AB + BC = 3AC FAUX 2AB + 2BC = 4AC FAUX 2AB + 3BC = 5AC FAUX AB BC = AC FAUX AB BC = CA FAUX Seconde - Vecteurs Page 16/27 Version du 08/10/2016

17 COORDONNEES D'UN VECTEUR 7) Coordonnées d'un vecteur Dans toute la suite, on suppose le plan muni d'un repère (O,I,J) On considère les points A(2;1) et B(5;2) et on s'intéresse à la translation de vecteur AB. Pour se rendre du point A au point B, on se déplace de 3 carreaux vers la droite et d'1 carreau vers le haut. Définition On définit ainsi les coordonnées du vecteur AB comme étant AB( 3;1) Propriété Soit (O,I,J) un repère du plan On considère deux points A( xa; y A) et B( xb; yb) Les coordonnées du vecteur AB sont alors AB x x ; y y. B A B A xb xa Par commodité, on les écrit en colonne AB, mais ce n'est pas une obligation! y y B A Exemple : Dans le plan muni d'un repère, si on considère les points A(-2;3) et B(1;5) alors les coordonnées de AB sont AB = 5 3= 2 Attention à la soustraction des nombres relatifs. On a bien x B x = 1 2 = 1+ 2= 3 A Seconde - Vecteurs Page 17/27 Version du 08/10/2016

18 Propriété : Le plan étant muni d un repère, soit et deux vecteurs de coordonnées respectives u xy ; et v x y ( ; ). Alors : u = v équivaut à x= x et y = y u v Le vecteur u + v a pour coordonnées u v x + x + y + y Si k est un nombre, le vecteur ku a pour coordonnées kx ku ky Seconde - Vecteurs Page 18/27 Version du 08/10/2016

19 COORDONNEES D'UN VECTEUR - EXERCICES Exercice n 15. (correction) On considère la figure ci-contre. 1) Donner les coordonnées des vecteurs AG, CF, EB 2) Placer sur la figure le point H tel que les coordonnées du vecteur FH soient FH 3; 1 Exercice n 16. (correction) Ci-dessous, on a placé trois points A,B et C. On considère, de plus, les vecteurs u ( 3;1) 3 1) Placer le point M tel que AM = u 2) Placer le point N tel que BN = v 2 3) Placer le point P tel que CP = u + v 4) Placer le point Q tel que BQ = u v et v ( 4; 2) Seconde - Vecteurs Page 19/27 Version du 08/10/2016

20 Exercice n 17. (correction) On considère les points A(-8;-15) et B(7;-5) 1) Donner les coordonnées du vecteur AB 2) Donner les coordonnées du vecteur BA Exercice n 18. (correction) On considère les points A(-3;8), B(3;2) et C(-1;6). 1 1) Déterminer les coordonnées du vecteur AD tel que AD = AB 2BC et en déduire les 3 coordonnées du point D. 2) Déterminer les coordonnées du point E tel que 4EA 2EB = 0 3) Déterminer les coordonnées du point F image du point C par la translation de vecteur AB Seconde - Vecteurs Page 20/27 Version du 08/10/2016

21 COORDONNEES D'UN VECTEUR - CORRECTION Correction de l'exercice n 15 (retour à l'énoncé) 1) AG 0; 6, CF 4;0 et 2) Voir figure ci-contre EB( 7;5) Correction de l'exercice n 16 (retour à l'énoncé) Correction de l'exercice n 17 (retour à l'énoncé) 1) AB xb xa = 7 ( 8) = = 15; yb ya = 5 ( 15) = = 10 2) BA x x = 8 7 = 15; y y = 15 5 = = 10 ( A B A B ) Seconde - Vecteurs Page 21/27 Version du 08/10/2016

22 Correction de l'exercice n 18 (retour à l'énoncé) xb xa = 3 3 = 6 1 1) Les coordonnées de AB sont AB donc celles de sont. y y = 2 8= 6 3 AB AB 2 Les coordonnées de x BC sont C xb = = BC donc celles de 2BC 8 sont 2BC. y y = 6 2= Les coordonnées de AD = AB 2BC sont donc AD = AB 2BC = = 10 xd xa = xd 3 = xd + 3 Notons D( xd; yd). Les coordonnées de AD sont AD. y y = y 8 L'égalité 1 AD = AB 2 x BC entraîne 3 10 D + = d'où on conclut 3 yd 8 = 10 2) Notons E x ; y. Les coordonnées de 4EA 2EB sont : E E. L'égalité 4 EA 2 EB = 0 entraîne 18 2 x 0 E = xe = 9 d'où on conclut 28 2yE = 0 ye = 14 3) Notons F x ; y. Puisque F est l'image de C par la translation de vecteur AB, on a CF = AB. Les coordonnées de CF x sont 1 F xc = xf + 6 CF. Les coordonnées de AB sont AB. y y = y 6 6 L'égalité CF = x AB entraîne 1 6 F + =, d'où on conclut yf 6= 6 C B B A 4 x x 2 x x = 18 2x 4EA 2EB 4 y y 2 y y = 28 2y A E B E E A E B E E F F F C F D A D x y F F = 5 = 0 x y D D = 7 = 2 Seconde - Vecteurs Page 22/27 Version du 08/10/2016

23 VECTEURS - CRITERE DE COLINEARITE 8) Critère de colinéarité de deux vecteurs Propriété : x x Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si les coordonnées de l'un sont y y proportionnelles aux coordonnées de l'autre, autrement dit si et seulement si le tableau x y x y est un tableau de proportionnalité. On obtient ainsi le critère : x x Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si x y = x y ou encore y y x y x y = 0 (produits en croix égaux) Exemples : 3 u 2 et v sont colinéaires car les produits en croix valent 3 4 et En revanche, les vecteurs u 10 et v ne sont pas colinéaires car les produits en croix valent = 49 et 5 10 = 50 donc sont différents. 9) Applications de la colinéarité à l'étude des parallélismes et des alignements Règle : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement les vecteurs AB et CD sont colinéaires. On a l'équivalence : AB / / CD AB et CD sont colinéaires Seconde - Vecteurs Page 23/27 Version du 08/10/2016

24 Pour étudier l'éventuel parallélisme de deux droites (AB) et (CD) il SUFFIT d'étudier la colinéarité des vecteurs AB et CD. Exemple : On considère les points A(-5 ;1), B(3 ;6), C(-3 ;-7) et D 13;3. On calcule les coordonnées des vecteurs AB x x = 3 5 = 8; y y = 6 1 = 5 CD x x y y ( D C = 13 ( 3) = 16; D C = 3 ( 7) = 10) On remarque que CD = 2AB. Puisque les vecteurs AB et CD sont colinéaires, on en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. ( B A B A ) et Règle : Trois points A,B et C sont alignés, peu importe l'ordre d'alignement si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. On a l'équivalence : A,B et C alignés AB et AC sont colinéaires Pour étudier l'éventuel alignement de trois points A,B et C il SUFFIT d'étudier la colinéarité des vecteurs AB et AC Exemple : On donne : B(-4;-2), C(1;0) et E(6;2). On calcule les coordonnées des vecteurs BE x x y y ( E B = 6 ( 4) = 10; E B = 2 ( 2) = 4) BC x x y y ( C B = 1 ( 4) = 5; C B = 0 ( 2) = 2) On remarque que BE = 2BC. Puisque les vecteurs BC et BE sont colinéaires, on en conclut que les points B,C et E sont alignés Seconde - Vecteurs Page 24/27 Version du 08/10/2016. et

25 CRITERE DE COLINEARITE - EXERCICES Exercice n 19. (correction) On considère A(-2; 2), B(1;-3) et C(3; 6). Les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires? Exercice n 20. (correction) D( x;3) On considère les points A(-5 ;1), B(3 ;6), C(-3 ;-7) et où x est un nombre Déterminer la valeur de x pour que les vecteurs AB et CD soient colinéaires. Exercice n 21. (correction) On donne : B(-4;-2), C(1;0) et E(6;2). Les vecteurs BC et BE sont-ils colinéaires? Exercice n 22. (correction) 1) Pour chacun des cas, dire si les vecteurs u et v sont colinéaires et donner, dans l affirmative, la valeur du nombre k tel que v = ku 1 1 a) u ; et v ( 3; 4) b) u ( 3; 6) et v ( 1; 2) 4 3 2) Quelle doit-être la valeur de x pour que les vecteurs u 5; 2 et v x;5 soient colinéaires? Exercice n 23. (correction) On considère les points A(1 ;-2), B(-2 ;-3), C(0 ;1) et D(3 ;2). 1) Calculer les coordonnées du point M tel que AMBD soit un parallélogramme. 1 2) Calculer les coordonnées du point N tel que DB 2. 5 = BN 3) Déterminer les coordonnées du point G vérifiant GA + GB + GC = 0 4) Soit E(-5 ;6). Montrer que (AC) et (EB) sont parallèles 5) Déterminer les coordonnées du point F d abscisse 4 tel que A,B et F soient alignés. Seconde - Vecteurs Page 25/27 Version du 08/10/2016

26 CRITERE DE COLINEARITE - CORRECTION Correction de l'exercice n 19 (retour à l'énoncé) On calcule les coordonnées des vecteurs AB xb xa = 1 ( 2) = 1; yb ya = 3 2 = 5 AC x x = 3 2 = 5; y y = 6 2 = 4 ( C A C A ) On calcule séparément les produits en croix et 5 5 = 25. Comme ils diffèrent, on conclut que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. = et Correction de l'exercice n 20 (retour à l'énoncé) On calcule les coordonnées des vecteurs AB( xb xa = 3 ( 5) = 8; yb ya = 6 1 = 5) et CD( xd xc = x ( 3) = x + 3; yd yc = 3 ( 7) = 10) Puisque les vecteurs AB et CD sont colinéaires, les produits en croix sont égaux, ce qui nous permet d'écrire 8 10 = 5 x + 3, équation qui se résout : 5x+ 15 = 80 5x = 65 x = 13 On a donc x = 13 Correction de l'exercice n 21 (retour à l'énoncé) On calcule les coordonnées des vecteurs BC xc xb = 1 ( 4) = 5; yc yb = 0 ( 2) = 2 BE x x = 6 4 = 10; y y = 2 2 = 4. ( E B E B ) On calcule séparément les produits en croix 5 4 = 20 et 10 2 = 20. Les produits en croix étant égaux, on en déduit que les vecteurs BC et BE sont colinéaires. On pouvait aussi remarquer, à la lecture de leurs coordonnées, que BE = 2BC et Correction de l'exercice n 22 (retour à l'énoncé) 1 1 1) a) u ; 1 et v ( 3; 4). Les produits en croix valent 4 1 et. Puisqu'ils sont = 1 ( 3 ) = 1 3 égaux, les vecteurs sont colinéaires et on a v = 12u donc k = 12 b) u 3; 6 et v 1; 2. Les produits en croix valent 3 2 = 6 et 6 1= 6. Puisqu'ils sont égaux, les vecteurs sont colinéaires et on a 1 v = u donc k = ) u 5; 2 et v x;5 seront colinéaires ssi 5 5= 2 x. On résout l'équation et on trouve x = 25 2 Seconde - Vecteurs Page 26/27 Version du 08/10/2016

27 Correction de l'exercice n 23 (retour à l'énoncé) 1) Notons M( xy ; ). AMBD est un parallélogramme si et seulement si AM = DB. Les coordonnées de ces vecteurs sont respectivement AM ( x 1; y + 2) et. L égalité AM = DB se traduit donc par le système DB ( 2 3= 5; 3 2= 5) x 1= 5 x= 4 y+ 2= 5 y = 7. M est donc M(-4;-7) 2) Notons N xy ;. 1 Les coordonnées de DB sont DB ( 5; 5) donc celles de seront. 5 DB 1 ( 1; 1) 5 DB Les coordonnées de 2BN sont 2BN 2 x + 2 ;2 y + 3 c est-à-dire 2BN 2x + 4; 2y + 6. L égalité 1 DB 2 se traduit donc par le système. N est donc N(-2,5;-3,5) 5 = 2x+ 4 = 1 x= 2,5 BN 2 y+ 6 = 1 y = 3,5 3) Notons Gxy ( ; ). Les coordonnées des vecteurs GA, GB et GC sont respectivement GA( 1 x; 2 y) GB ( 2 x; 3 y) et GC ( 0 x;1 y), donc celles de GA + GB + GC sont GA + GB + GC 1 3; x 4 3y. L égalité GA + GB + GC = 0 se traduit par le système 1 x = 1 3x = G est donc G ; 4 3y = y = 3 4) On calcule les coordonnées des vecteurs AC ( 0 1 = 1;1 ( 2) = 3) et EB 2 5 = 3; 3 6 = 9. On constate que EB = 3AC. Ces vecteurs étant colinéaires, les droites (AC) et (EB) sont parallèles. 5) Notons F( 4; y). Les points A,B et F sont alignés si et seulement les vecteurs AB et AF sont colinéaires. Les coordonnées de AB sont AB ( 3; 1). Les coordonnées de AF sont AF ( 4 1 = 3; y + 2). La colinéarité des vecteurs AB et AF se traduit par l'égalité 3 y + 2 = 1 3, équation dont la résolution fournit ( ) ( ) y = 1. Le point F est donc F ( 4; 1) Seconde - Vecteurs Page 27/27 Version du 08/10/2016