I) A quoi sert la géométrie dans l espace?

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1 FIHE METHOE sur la GEOMETRIE NS L ESPE I) quoi sert la géométrie dans l espace? a) Exemples : 1 Un solide est un polyèdre régulier seulement si ses faces sont «égales» à un même polygones réguliers ( triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, ) En voici 5 dans cet ordre ( l icosaèdre, le dodécaèdre, l octaèdre, le cube, le tétraèdre régulier ) J L H E G I K P J T O L F S H E M G I Q N K R T S F Existe t-il d autres polyèdres réguliers? E H F G S 2 ombien de cubes de 1m 3 de granit faut-il pour construire une pyramide à base carrée de 100 m de coté et d une hauteur de 150m? et quelle longueur ferait le mur obtenu si on mettait tout ces cubes cote à cote? 3 Est-il possible de construire un édifice tel que celui représenté ci contre? Temple grec avec des piliers impossibles ou l arc de triomphe impossible

2 b) Remarques : Nous concevons le monde dans lequel nous vivons comme un espace à trois dimensions. ( une pièce usuelle de maison a une longueur, une largeur et une hauteur ) et espace est peuplé d objets ( nuages, pierres, ), la géométrie dans l espace étudie ces objets en partant des plus simples ( points, droites, plans, cubes, sphères, ) jusqu aux plus compliqués ( nuages, cyclones, montagnes, ). L étude et la connaissance des objets simples de l espace est très utile, voir nécessaire à l architecte, au sculpteur, au maçon,. ( calcul de volumes, d aire, ) Mais aussi, la représentation en deux dimensions ( sur papier ) d un objet ayant trois dimensions est nécessaire dans bien des situations ( dessin d une maison, d un arbre, ), et pour que la représentation soit «fidèle» il y a certaines règles à respecter ( règles de représentation en perspective cavalière par exemple ). Il faut donc connaître un minimum de définitions et propriétés concernant les objets simples de l espace ainsi que sur la façon de les représenter. II) Qu est ce que la géométrie dans l espace? Pour représenter un objet de l espace de dimension trois sur une feuille de papier plan, il faut connaître et respecter certaines règles. Règle 1 : ( POINT, SEGMENT, ROITE ET REPRESENTTION ) Si une figure est un point un segment une droite alors sa représentation est un point un segment une droite ttention, la réciproques est fausse! : car par exemple : un segment peut représenter un cercle vu de profil.. (indifféremment) Règle 2 : ( VISILE, INVISILE ) un segment Si une droite est visible alors sa représentation est en trait plein sinon elle est en pointillé. ' ' Par exemple : ' ' [ ] est invisible, [] est visible. Règle 3 : ( PRLLELISME et INTERSETION ) Si 2 segments droites sont respectivement parallèle sécants ttention, la réciproques est fausse! : alors leurs représentations sont parallèle sécantes. car par exemple : dans ce tétraèdre, les segments [] et [] ne sont pas sécants.

3 Règle 4 : ( PLN E FE ) Si une figure est représentée dans le plan de face (ou dans un plan parallèle au plan de face ) lors sa représentation est semblable à la figure. ( sa représentation est un agrandissement ou une réduction de la figure : angles identiques ) ' ' ' ' Par exemple : ans le plan de face, [] et [] se coupent à angle droit, sur la figure aussi! Mais attention : [ ] et [ ] se coupent à angle droit, mais pas sur la figure! Règle 5 : ( LIGNE E FUITE ) Tout segment [] perpendiculaire au plan de face sera représenté par un segment parallèle à une droite choisie au préalable appelée «ligne de fuite» et faisant un certain angle α avec l horizontale du plan de face appelé «angle de fuite». La longueur du segment représenté est égale à k où k ]0 ; 1] est un nombre réel appelé «coefficient de réduction». ' ' ' ' Ligne de fuite Ici on a : α 30 et k 0,6 Règle 6 : ( PROPORTIONS ET LIGNEMENT ) La représentation conserve le rapport des longueurs de segments parallèles. Par exemple : Le milieu d un segment est représenté au milieu du segment représenté. ( de même si le points est aux 3 4, aux 2 3, ) ' ' ' ' MP si [MP] // [QR] et QR = k MP représenté alors QR représenté = k I est le milieu de [], J est au tiers de [ ]. III) Propriétés de la géométrie dans l espace xiome 1 : ( EGLITE E 2 ROITES E L ESPE ) Si 2 droites de l espace et ont 2 points distincts et en commun lors elles sont égales ( elles ont tous leurs points en commun ) vec : et, et = = (). utrement dit : Par deux points distincts et de l espace, il ne passe qu une et une seule droite notée () ( comme dans le plan )

4 xiome 2 : ( EGLITE E 2 PLNS E L ESPE ) Si deux plans de l espace ont 3 points non alignés, et en commun lors ils sont égaux. ( Ils ont tous leurs points en commun ) Pour, et non alignés : et, et, et = = (). utrement dit : Par 3 points non alignés, et de l espace, il ne passe qu un et un seul plan noté () Si des points sont dans un même plan on dit qu ils sont coplanaires. et et et, et non alignés = = (). Remarque : Par 3 points alignés de l espace, il passe une infinité de plans. = xiome 3 : ( ROITE INLUSE NS UN PLN E L ESPE ) Si une droite a deux points distincts et qui appartiennent à un plan lors la droite appartient au plan. ( tous ses points sont dans le plan ) On dit alors que est incluse dans et on note. Pour : et, et. et et. xiome 4 : ( GENERLISTION L ESPE ES PROPRIETES U PLN ) Toutes les propriétés du plan (Pythagore, Thalès, ) sont valables dans n importe quel plan de l espace. Propriété 1 : ( POSITIONS RELTIVES E 2 PLNS E L ESPE) ( admis) Pour 2 plans et de l espace, il n y a que 3 cas différents possibles. _Egaux ( parallèles ) : = et sont ou bien _ Strictement Parallèles : // et _ Sécants selon une droite : = En particulier cette propriété dit que : Si 2 plans distincts se coupent alors ils se coupent selon une droite. ( = = // et = ( d )

5 Propriété 2 : ( POSITIONS RELTIVES d une ROITE et d un PLN E L ESPE) ( admis) Pour une droite et un plan de l espace, il n y a que 3 cas différents possibles : ou bien _ est incluse dans : ( donc // ) _ est strictement parallèle à : // et _ coupe en un et un seul point M : = {M} En particulier cette propriété dit que : Si une droite n est pas parallèle à un plan alors elle coupe le plan en un et un seul point. (P ) (P ) M = // et = {M} Propriété 3 : ( POSITIONS RELTIVES de 2 ROITES E L ESPE) ( admis) Pour deux droites et de l espace, il n y a que 4 cas différents possibles : ou bien _ est égale à (d') : = (d') ( donc // (d') ). _ est strictement parallèle à (d') : // (d') et (d'). _ coupe (d') en un et un seul point M : (d') = {M}. _ et (d') sont non-coplanaires. = M // = {M} et non coplanaires. Remarques : eux droites égales, parallèles stricte ou sécantes en un point sont coplanaires.

6 Propriété 4 : ( EGLITE E EUX ROITES OU E EUX PLNS ) ( admis) 1) Par un point, il ne passe qu une et une seule droite parallèle à une droite donnée 2) Par un point, il ne passe qu un et un seul plan parallèle à un plan donné 1) 2) Propriété 5: ( PRLLELISME E EUX PLNS) ( admis) Pour 2 plans et de l espace Si (d 1 ) et (d 2 ), deux droites distinctes et sécantes d un plan sont respectivement parallèles à (d 1 ) et (d 2 ), deux droites distinctes et sécantes d un plan lors les plans et sont parallèles : // Si : (d 1 ), (d 2 ), (d 1 ) et (d 2 ) sécantes (d 1 ), (d 2 ), (d 1 ) et (d 2 ) sécantes (d 1 ) //(d 1 ) et (d 2 ) //(d 2 ) (d 1 ) (d 2 ) lors //. (d 1 ) (d 2 ) Propriété 6 : ( PRLLELISME d UN PLN ET UNE ROITE ) ( admis) 1) Si 2 plans sont parallèles alors toute droite incluse dans l un des plans est parallèle à l autre plan. Si // et alors // 2) Si 2 droites sont parallèles alors tout plan qui contient l une des droites est parallèle à l autre droite Si // et alors // Si // et alors // Si // et alors //

7 Propriété 7 : ( PRLLELISME E EUX ROITE ) ( admis) 1) Si 2 plans sont parallèles alors tout plan distinct des deux précédents qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. // Si (Q) = alors // (Q) = (Q) Propriété 8: ( PRLLELISME E EUX ROITE ) ( admis) ( théorème du toit) Si 2 droites et sont parallèles et respectivement incluses dans deux plans sécants selon une droite ( ) lors les trois droites, et ( ) sont parallèles. et Si // = ( ) alors // // ( ) ( ) (P )

8 éfinition 1 : ( ROITES PERPENIULIRES ) 2 droites (d 1 ) et (d 2 ) sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent à angle droit. On note alors (d 1 ) (d 2 ). ( elles sont donc coplanaires ) (d 1 ) (d 2 ) éfinition 2 : ( ROITES ORTHOGONLES ) 2 droites (d 1 ) et (d 2 ) sont orthogonales si elles sont respectivement parallèles à 2 droites (d 1 ) et (d 2 ) perpendiculaires. On note alors (d 1 ) (d 2 ). ( elles ne sont pas obligatoirement coplanaires ) (d 1 ) et (d 2 ) perpendiculaires (d 1 ) // (d 1 ) (d 2 ) // (d 2 ) (d 1 ) (d 2 ). (d 1 ) (d 2 ) Remarque Si 2 droites sont perpendiculaires lors elle sont orthogonales ( la réciproque est fausse! ) (d 1 ) (d 2 ) Propriété 9 : ( ORTHOGONLITE E EUX ROITE ) ( admis) Si 2 droites et sont orthogonales lors toute droite ( ) parallèle à l une est orthogonale à l autre. ( ) et (d' ) orthogonales ( ) // ( ). éfinition 3 : ( ORTHOGONLITE UN PLN ET UNE ROITE ) Une droite ( ) est orthogonale à un plan si et seulement si ( ) est orthogonale à deux droites et distinctes et sécantes de On note : ( ) La droite ( ) parallèle à ( ) qui passe par le point I intersection de et est dite «orthogonale en I à» ( ) ( ),, et sécantes ( ) et ( ) ( ) I

9 Propriété 10 : ( ORTHOGONLITE UN PLN ET UNE ROITE ) ( admis ) Si une droite ( ) est orthogonale en I à un plan alors 1) ( ) est orthogonale à toute droite du plan. 2) ( ) est perpendiculaire à toute droite du plan qui passe par I. ( ) ( ) ( ) I Propriété 11 : ( ORTHOGONLITE UN PLN ET UNE ROITE ) ( admis ) Si deux plans et sont parallèles lors Toute droite ( ) orthogonale à est orthogonale à. ( ) // ( ) ( ) Propriété 12 : ( ORTHOGONLITE UN PLN ET UNE ROITE ) ( admis ) Si deux droites et sont parallèles lors Tout plan orthogonal à est orthogonal à. // Propriété 13 : ( ROITES PRLLELES ) ( admis ) Si deux droites et sont orthogonales à un même plan ( P) lors et sont parallèles (d') // Propriété 14 : ( PRRLLELISME E 2 PLNS ) ( admis ) Si 2 plans et sont orthogonaux à une même droite lors et sont parallèles (P') //

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