Epreuve de Mathématiques Durée 2 heures
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- Camille Chrétien
- il y a 6 ans
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1 Collège Jules Ferry Session 2016 Diplôme National du Brevet Blanc n 1 Epreuve de Mathématiques Durée 2 heures L utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n du 16 Novembre 1999). L usage du dictionnaire n est pas autorisé. La présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points. Indication portant sur l ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Un formulaire à la page 3 rappelle des formules de géométrie. Exercice 1 ( 8 points) : 1 ) Calculer en écrivant les étapes intermédiaires s il y en a et donner les résultats de E, F et G en fraction irréductible A = ( ) ( ) B = ( ) 4 7 : ( ) C = ( 45 ) ( 36 ) D = ( 1 ) ( + 2 ) ( 3 ) ( + 4 ) ( 5 ) E = F = G = 5 6 : ) H = 3 x ( 7 y 20 ) + y ² 4 x ² Calculer H pour x = 4 et y = 3 Exercice 2 (5,5 points) : On considère l'expression : D = x ² 9 + ( x 3 ) ( 3 x + 7 ) 1) Développer D. 2) a) Factoriser x ² 9 b) En déduire la forme factorisée de D. 3) Calculer la valeur de D pour : a) x = 3 b) x = 0 c) x = 2 4) Résoudre l'équation ( x 3 ) ( 4 x + 10 ) = 0 1/3
2 Exercice 3 (5 points) : Pour chacune des questions suivantes, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la ou les réponse(s) exacte(s). On ne demande pas de justification. Attention : Il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé. Les trouver toutes. Question 1 : Sachant que 4 kg de pêches coûtent 3, quel est le prix de 1,8 kg de pêches? Question 2 : L'effectif d'un collège est de 700 élèves. Il diminue de 10% une année, puis augmente de 10% l'année suivante. Au final, Question 3 : Une pyramide à base rectangulaire de longueur 3 cm et de largeur 25 mm a une hauteur de 4 cm. Son volume est : Question 4 : Un cône de révolution a une hauteur de 6 cm et sa base a un rayon de 5 cm. La valeur exacte de son volume en cm 3 est : Question 5 : Un train part de Grenoble à 16h22 et arrive à Paris à 20h07. Quelle a été la durée du trajet? A B C 2,40 1,35 0,8 L'effectif n'a pas changé. Il y a 693 élèves. L'effectif a diminué de 1% 100 cm mm 3 10 cm 3 20 π π 3h45 3,75 h 4h15 Exercice 4 (2 points) : A B 1,65 m 33 C 45 m Avec les données du schéma, calculer l'arrondi au cm de la hauteur de l'arbre. Exercice 5 (3 points) : Sur la figure ci-dessous, les points A, B et C sont alignés et Le carré a le même périmètre que le triangle équilatéral. Déterminer la longueur du côté du carré. A B 7 cm C 2/3
3 Exercice 6 (5 points) : L'unité de longueur est le centimètre. Les points C, D et A sont alignés. Les points B, E et A sont alignés. (DE) et (AD) sont perpendiculaires. AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2 1) a) Montrer quel le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point. b) En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 2) Calculer DE. Exercice 7 (7,5 points) : Une voiture est équipée de pneus sur lesquels sont inscrits : 205/55 D 16 91H Ces informations désignent (voir l illustration) dans l ordre : largeur (en mm) : 205 hauteur (en % de la largeur) : 55 lettre indiquant le type de structure : D diamètre (en pouce*) : 16 charge : 91 lettre indiquant correspondant à une vitesse : H a ) Calculer la hauteur h en centimètre de ces pneus. b ) Calculer le diamètre d de ces pneus en centimètre. c ) En déduire que le rayon de la roue est R = 31,595 cm. d ) En déduire que le périmètre P de cette roue vaut P 198,5 cm. e ) Prouver que lorsque les roues de la voiture font 14 tours par seconde alors la vitesse de la voiture est d environ 100 km/h. Lorsqu on roule, les pneus s usent et leurs hauteurs diminuent. La zone d usure fait 7,6 mm et le pneu est hors d usage lorsque cette zone devient inférieure à 1,6 mm. f ) Prouver que le rayon de la roue lorsque le pneu est usé est r = 30,995 cm et que son périmètre est alors p 194,7 cm. g ) Calculer la vitesse de la voiture lorsque ses roues sont usées et qu elles tournent à 14 tours par seconde. *On donne : 1 pouce = 2,54 cm Formulaire Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est P = 2 L + 2 l = 2 ( L + l ). Le périmètre d'un cercle de rayon r est P = 2 π r. L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est A = L l. L'aire d'un triangle de hauteur h et de base associée b est A = b h 2. L'aire d'un disque de rayon r est A = π r ². L'aire d'un parallélogramme de longueur l et de hauteur h est A = l h. L'aire d'une sphère de rayon r est A = 4 π r ². Le volume d'une boule de rayon r est V = 4 3 π r 3. largeur hauteur diamètre Le volume d'un parallélépipède rectangle de longueur L, de largeur l et de hauteur h est V = L l h. Le volume d'un prisme droit de base B et de hauteur h est V = B h. Le volume d'un cylindre de base B et de hauteur h est V = B h. Le volume d'une pyramide de base B et de hauteur h est V = B h 3. Le volume d'un cône de base B et de hauteur h est V = B h 3. 3/3
4 Correction du brevet blanc n 1 de 2015/2016 Validation des compétences : Pour chaque compétence, il y a 2 questions pour la valider :0 question réussie : non acquis 1 question réussie : en cours d'acquisition 2 questions réussies : acquis Exercice 1 ( 8 points) : 1 point par question (1 points maximum s il n y a que les résultats) 1 ) A = ( ) ( ) = = B = ( ) 4 7 : ( ) = : 7 = = 8 5 = 3 (C2) C = ( 45 ) ( 36 ) = = 9 D = ( 1 ) ( + 2 ) ( 3 ) ( + 4 ) ( 5 ) = 120 E = = = 19 F = = = 5 G = : 3 4 = = = ) H = 3 ( 4 ) ( ) + 3 ² 4 ( 4 ) ² = 12 ( ) = = = 67 (C2) Exercice 2 : 5,5 points : ,5 0,5 0,5 1 1 ) D = x ² 9 + ( x 3 ) ( 3 x + 7 ) = x ² x ² + 7 x 9 x 21 = 4 x ² 2 x 30 2 ) a ) x ² 9 = ( x + 3 ) ( x 3 ) b ) D = x ² 9 + ( x 3 ) ( 3 x + 7 ) = ( x + 3 ) ( x 3 ) + ( x 3 ) ( 3 x + 7 ) = ( x 3 ) [ ( x + 3 ) + ( 3 x + 7 ) ] = ( x 3 ) ( x x + 7 ) = ( x 3 ) ( 4 x + 10 ) 3 ) a ) D ( 3 ) = 3 ² 9 + ( 3 3 ) ( ) = = 0 b )D ( 0 ) = 0 ² 9 + ( 0 3 ) ( ) = = 9 21 = 30 c )D ( 2 ) = ( 2 ) ² 9 + ( 2 3 ) ( 3 ( 2 ) + 7 ) = ( ) = = 10 4 ) ( x 3 ) ( 4 x + 10 ) = 0 pour qu un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu un de ses facteurs soit nul donc x 3 = 0 ou 4 x + 10 = 0 donc x = 3 ou x = 10 donc x = 3 ou x = 2,5 4 Exercice 3 : 5 points : 1 point par question juste, 0,5 si pas tout, 0 si une mauvaise réponse question réponse B (C1) B et C C (C4) C A et B (C4) Exercice 4 : 2 points ( 0,5 par étape sans compter la phrase mais mettre un si pas écrite) (C3) Dans le triangle ABC rectangle en B on : Tan ( C ) = AB AB donc tan ( 33 ) = donc AB = 45 tan ( 33 ) 29,22 m BC 45 La hauteur de l arbre est donc d environ 29,22 + 1,65 30,87 m Exercice 5 : 3 points : à l appréciation du correcteur Nommons x = AB donc BC = 7 x cm Le périmètre du carré est alors 4 x et le périmètre du triangle est 3 ( 7 x ) On a donc 4 x = 3 ( 7 x ) donc 4 x = 21 3 x donc 4 x + 3 x = 21 donc 7 x = 21 donc x = 3 cm La longueur du côté du carré est donc de 3 cm. Exercice 6 : 5 points : ) a ) Dans le triangle ABC on a : AB² = 6,25² = 39,0625 et CB² + CA² = 3,75² + 5² = 39,0625 Donc AB² = CB² + CA² donc le triangle ABC est rectangle en C d après le théorème réciproque de Pythagore. b ) (BC) et (ED) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AC). 3 ) J utilise le théorème de Thalès : E [AB] On a : D [AC] donc AB AE ( DE ) // ( BC ) = AC AD = BC (C3) ED Donc DE 3,75 = 3,2 3,75 3,2 donc DE = = 2,4 cm 5 5
5 Exercice 7 : 7,5 points : ,5 a ) 55% de 205 mm fait h = 0, = 112,75 mm = 11,275 cm (C1) b ) le diamètre d vaut d = 16 2,54 = 40,64 cm c ) le rayon r des roues est : R = h + d 40,64 = 11,275 + = 31,595 cm 2 2 d ) le périmètre p vaut : P = 2 π R = 2 π 31, ,5 cm e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 P , cm donc la vitesse de la voiture est : v = d t = cm/s cm/h cm/h 100 km/h 1 f ) La différence de hauteur entre le pneu neuf et le pneu usé est 7,6 1,6 = 6 mm = 0,6 cm On a donc r = R 0,6 = 31,595 0,6 = 30,995 cm et p = 2 π r = 2 π 30, ,7 cm e ) en t = 1 s, la voiture parcourt la distance d = 14 p , cm donc la vitesse de la voiture est : v = d t = cm/s cm/h cm/h 98 km/h
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