Chapitre 2 : Les matrices

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1 Chapitre 2 : Les matrices I. Définitions On appelle matrice à lignes et colonnes N, N à coefficients dans =R C un tableau à lignes et colonnes contenant un élément de à l intersection de chaque ligne et colonne est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes à coefficients dans R Notation : On note habituellement les matrices à l aide de lettres majuscules et leurs coefficients à l aide de la même lettre minuscule avec en indice le numéro de ligne puis le numéro de colonne. 1 2 = On écrira =6 On écrit quelque fois aussi = L ensemble des matrices à lignes et colonnes et à coefficients dans est noté. Dans le cas particulier ou =, c'est-à-dire où on a même nombre de ligne et de colonne, on parle de matrice carrée, et au lieu de noter pour l ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans, on écrit. II. Opérations sur les matrices 1. Egalité de matrices Deux matrices sont égales, si et seulement si : i. Elles ont même nombre de lignes ii. Elles ont même nombre de colonnes iii. Les coefficients situés à la même position sont égaux MATHS2 chap2 Page 1

2 En d autres termes, soit et deux. et sont égales et on écrit = si et seulement si : =1 =1 = 2. Addition de matrices On peut additionner deux matrices si et seulement si elles ont même nombre de lignes et même nombre de colonnes, et leur somme s obtient en additionnant les coefficients qui se situent à la même position dans l une et l autre des deux matrices. En d autres termes, soit et deux. On peut calculer =+, avec = + =1 =1 1 2 = = =+= Propriétés : Soit,, trois matrices de : i. +=+ (commutativité) ii. ++=++ (associativité) iii. Cette addition a un élément neutre. Il s agit de la matrice nulle notée 0, dont tous les coefficients sont nuls. iv. Toute matrice a une opposée, notée, qui est la matrice dont tous les coefficients sont les opposés de ceux de. 1 2 = = Multiplication par les scalaires Soit et soit. On définit la matrice comme étant la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients de par. =a MATHS2 chap2 Page 2

3 Propriétés : Soit,, et soit, : i. +=+ ii. +=+ iii. = 4. Structure d espace vectoriel sur est un sous-espace vectoriel sur pour l addition des matrices et pour la multiplication par les scalaires. dim = et une base est donnée par les matrices élémentaires telles que tous les coefficients de la matrice sont nuls sauf celui placé à l intersection de la ligne et de la colonne et qui vaut = On appelle taille d une matrice la donnée de son nombre de lignes et de son nombre de colonnes. 1 2 = est de taille 3,4. 8 6, R est un espace vectoriel de R de dimension 12 qui contient des matrices de taille 3,4., R est un espace vectoriel de R de dimension 12 qui contient des matrices de taille 4,3. 5. Transposition Soit. On peut lui associer une matrice de, notée en posant : = =1 =1 MATHS2 chap2 Page 3

4 1 2 = = La transposée est obtenue en échangeant le rôle des lignes et des colonnes (c'est-à-dire les colonnes de sont les lignes de ). III. Produit matriciel 1. Quelques matrices particulières Matrices carrées : matrices qui ont un même nombre de lignes et de colonnes. On distingue plusieurs types de matrices carrées : o Matrices triangulaires supérieures : tous les coefficients situés strictement sous la diagonale sont nuls o Matrices triangulaires inférieures : tous les coefficients situés strictement au dessus de la diagonale sont nuls o Matrices diagonales : elles sont à la fois diagonales supérieures et diagonales inférieures. Leurs seuls coefficients non-nuls sont ceux situés sur la diagonale. = Lorsque l on parle de diagonale pour une matrice, il s agit toujours de l ensemble des coefficients (diagonale descendante). MATHS2 chap2 Page 4

5 2. Produit matriciel Soit et. On peut calculer le produit matriciel si et seulement si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de, c'est-à-dire si et seulement si =. Si cette condition est vérifiée, en notant = avec, c'est-à-dire que a autant de lignes que et autant de colonnes que et on a également = Pour calculer, on parcourt la è ligne de et la è colonne de et on additionne les produits des coefficients qui se correspondent. = = ,, On peut calculer et le résultat aura 2 lignes et 3 colonnes. =, R = = Peut-on calculer?,, Comme le nombre de colonnes de n est pas égal au nombre de lignes de, on ne peut pas calculer. Propriétés : Pour 2 matrices quelconques et, le produit n existe pas toujours, il faut vérifier la condition de compatibilité sur les lignes et les colonnes. L existence des produits est indépendante de celle de et réciproquement. Si et sont telles que et également, il n y a aucune raison que = même lorsque et ont même taille. Conséquence : Le produit matriciel n est pas commutatif. MATHS2 chap2 Page 5

6 Ce produit est compatible avec l addition des matrices et avec la multiplication par les scalaires. i. Soit, et Alors == ii. Soit, Alors +=+ iii. Soit, et alors +=+ Problème : Il existe un élément neutre pour ce produit, c'est-à-dire une matrice telle que pour toute matrice on ait = =,,,, Supposons que et. Pour que les deux produits soient compatibles, il faut que = et = pour pouvoir avoir le même résultat pour et. Il faut que = et =.,, On a donc 4 conditions qui entraînent ===. On ne peut trouver un élément neutre que si on se restreint à des matrices carrées de même taille. Lorsque l on restreint le produit matriciel à (matrices carrées de taille ), ce produit admet un élément neutre, appelée matrice identité de taille, notée tel que est une matrice diagonale n ayant que des 1 sur sa diagonale. = = 3. Inverse d une matrice Soit On dit que est inversible si et seulement il existe telle que : = = Et si existe, on note =. Remarques : La notation est une notation et ne sous-entend pas l existence d une division dans. Il n y a pas de notion de division dans, et donc pas de fraction. MATHS2 chap2 Page 6

7 IV. Rang d une matrice On appelle rang d une matrice le rang de la famille de vecteurs de formée par les colonnes de cette matrice. Le rang d une matrice ne change pas lorsqu on associe une matrice obtenue : En échangeant 2 lignes, En multipliant tous les coefficients d une par un élément de, En ajoutant à une colonne un multiple d une autre colonne (opération linéaire). En pratique, à partir de la matrice de départ, on associe des matrices de même rang de manière à arriver à une matrice échelonnée. On appelle matrice échelonnée une matrice dont les colonnes forment une famille échelonnée de vecteurs. Le rang d une matrice échelonnée est égal au nombre de colonnes (vecteurs) non-nulles de celle-ci. Le rang d une matrice est égal au rang de sa transposée : = Conséquences : On a défini le rang comme étant le rang de colonnes de la matrice, cette propriété dit qu il est égal au rang des lignes de la matrice. On peut également calculer le rang de la matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes et en échelonnant suivant les lignes. Soit (matrice carrée) est inversible si et seulement si = On a là un critère permettant de savoir si une matrice carrée est inversible sans avoir à effectuer le calcul de l inverse. MATHS2 chap2 Page 7

8 la matrice est-elle inversible? = = = Par conséquent, cette matrice n est pas inversible = 4 1 0= V. Méthode de calcul de l inverse Soit une matrice inversible. Il existe donc une matrice telle que =. On écrit les coefficients de en les notant et en calculant le produit et en égalant avec on obtient un système de ² équations à ² inconnues à résoudre = = = étant de rang 3, elle est donc inversible. On note = la matrice inverse de = h 1 1 0= h ++ =1 2 3 = h h h +2+4 Ce produit est égal à : = MATHS2 chap2 Page 8

9 D où le système de 9 équations à 9 inconnues : ++=1 ++h=0 ++=0 +2+3=0 +2+3h=1 +2+3=0 +2+4=0 +2+4h=0 +2+4=1 Ce système se décompose en fait en 3 systèmes de 3 équations à 3 inconnues. Les coefficients figurant dans les équations sont les mêmes dans les 3 sous-systèmes. Seuls les seconds membres des équations diffèrent. Plutôt que de résoudre séparément chacun des 3 sous-systèmes, on va en donner une écriture «groupée» sous une forme matricielle. Un système linéaire de équations à inconnues peut s écrire sous la forme matricielle : = Avec, et est la matrice formée par les coefficients du système, est la matrice colonne contenant les inconnues et la matrice colonne contenant les seconds membres. 2 systèmes de équations à inconnues sont dits équivalents s ils ont exactement les mêmes solutions. Une solution du système = est la donnée de valeurs pour les coefficients de qui vérifient =. On obtient un système équivalent à un système donné : En échangeant 2 équations En multipliant tous les coefficients d une équation par le même élément de En ajoutant à une équation un multiple d une autre (opération linéaire sur les équations Méthode pour résoudre un système : Il faut échelonner le système à l aide d opérations élémentaires. Il s agit ici d un échelonnement par ligne : On écrit parallèlement, matrice du système, et, le second membre. On effectue simultanément sur et sur des opérations élémentaires sur les lignes de manière à échelonner puis à obtenir, on aura alors la solution du système dans le second membre. On utilise le fait que le système de ² équations à ² inconnues se décompose en systèmes de équations à inconnues et que ces mêmes systèmes ont tous la même MATHS2 chap2 Page 9

10 matrice qui n est autre que la matrice à inverser et on regroupe dans une deuxième matrice tous les différents seconds membres qui, juxtaposés, forment la matrice identité. Finalement : On écrit parallèlement la matrice à inverser et la matrice identité, On effectue simultanément sur ces deux matrices des opérations élémentaires sur les lignes, puis l identité du côté «matrice du système». On aura alors du côté second membre. (retour) = On vient d obtenir une forme échelonnée avec une ligne nulle. On retrouve le fait que =2, cette fois ci par un calcul sur les lignes. On détecte ainsi que n est pas inversible et il suffit d appliquer une méthode d inversion pour s en rendre compte, un calcul préliminaire du rang n est pas indispensable. Les étapes de calcul ne sont pas uniques, mais elles mènent toutes à. On aurait très bien pu commencer par échelonner au-dessus de la diagonale. VI. Compléments sur les systèmes Soit le système linéaire écrit sous forme matricielle = avec, et. On appelle système homogène, ou sans second membre, associé à = le système =0. On appelle rang du système, noté, le rang de la matrice. L ensemble des solutions de =0 forment un sous-ensemble vectoriel de de dimension. Le rang du système correspond au nombre d équations indépendantes les unes des autres. MATHS2 chap2 Page 10

11 Cas particuliers : Si est une matrice carrée, l ensemble des solutions du système =0 forme un sous-ensemble vectoriel de de dimension. Si de plus est inversible, c'est-à-dire si son rang vaut, le sous-ensemble vectoriel des solutions de =0 est de dimension =0, c'est-à-dire si est inversible, le système =0 admet uniquement la solution nulle. Si est une matrice carrée,, alors le système = admet une solution unique donnée par : = MATHS2 chap2 Page 11