Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace

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1 Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace Le théorème de Thalès fait partie des théorèmes que l on rencontre pour la première fois au Collège. Tout d abord sous la forme du théorème des milieux, puis dans la configuration d'un triangle coupé par une droite parallèle à l'un des côtés. Pré requis : - Aire d un triangle. - Droite orientée. - Mesure algébrique. - Application affine et application linéaire associée. - Calcul vectoriel. Cadre : On se placera dans le plan P et l espace E en tant qu espaces affines euclidiens, en notant P ur et E ur leurs espaces vectoriels associés. Plan : I- Configuration triangulaire de Thalès. II- Théorème de Thalès dans le plan. III- Théorème de Thalès dans l espace. IV- Projections dans le plan et l espace. V- Théorème de Ménélaüs. Démonstrations proposées : - Théorème de Thalès dans le plan. - Théorème de Ménélaüs. Rappel : Axiome de Pasch : Étant donné trois points A, B, C, non alignés, si une droite D ne passant par aucun des sommets du triangle C, rencontre l'un des segments ][, ]BC[, ]CA[, alors elle en rencontre un autre.

2 I- Configuration Triangulaire de Thalès. Théorème 1 : Soient 1 et 2 deux droites strictement parallèles du plan P, et soient D et D deux droites sécantes en O, non parallèles à 1, qui coupent respectivement les droites 1 et 2 en OB O A, B et A, B. On a alors = ; O,A,B et O,, sont dans le même ordre. OA O Preuve : 1) On veut montrer que O, A, B sur D et O, A, B sur D' sont dans le même ordre. Pour cela supposons que le point A appartienne à ]OB[. Alors, 1 coupe ]OB[, comme 1 ne passe pas par O elle serait alors confondue avec D et ne passe pas par elle couperait 2 l axiome de Pasch assure alors qu elle coupe ]BB [ ou ]B O[. Supposons qu elle coupe ]BB [ en M. Alors 1 ne serait pas strictement parallèle à 2, donc 1 coupe]ob [. Si c'est le point B qui appartient à ]OA[, une démonstration analogue à la précédente point par point, montre que appartient à ]O[. OB O 2) On veut monter alors que OA O En notant h B la hauteur issue de B et h B la hauteur issue de B, on a : A(OBB ) = 1 2 OB.h B et A(O ) = 1 2 OA.h A ( OB) OB B. D où A ( OA) OA A ( OB) O De même, A(OBB ) =OB.h B et A(OA B) =OA.h B. D où A ( O B) O Montrons alors que A(O )=A(OA B). A(OBB )=A(O ) + A(B ), car A est entre O et B, et donc B et O ont une intersection réduite au segment [ ]. De même, A étant entre O et B, on a A(OBB )=A(OBA ) + A(A BB ). On en déduit que A(O )=A(OA B). OB O Et donc OA O Remarque : Le théorème que nous venons d énoncer est un cas particulier du théorème de Thalès. Un cas plus général est énoncé ci-après. II- Théorème de Thalès dans le plan. Théorème 2 : Soient D 1, D 2, et D 3 trois droites strictement parallèles, et soient d et d deux droites non parallèles à D 1 qui coupent respectivement D 1, D 2, et D 3 en A, B, C et en A, B, C. On a alors :

3 Si d est parallèle à d, le résultat est immédiat puisqu on obtient deux parallélogrammes. On suppose alors d et d sécantes. On note O leur point d intersection. On considère l homothétie h de centre O qui transforme A en B et h l homothétie de centre O qui transforme A en C. uuur uuur uuur uuur Alors il existe α et β appartenant à Ë, tels que : OB = α OA et OC = β OA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur On a alors : AC = AO + OC = ( β 1) OA et = ( α 1) OA. uuur uuur Si α = 1, OB = OA et donc D1 = D 2 ce qui est impossible. uuur 1 uuur uuur β 1uuur On peut alors écrire: OA = d où AC =. α 1 α 1 De plus h(a)=b et h (A )=K où K est l intersection de (OA ) et de la parallèle à (AA ) passant par B. uuuuur β 1uuuuur Donc h(a )=B. On a alors C ' =. α 1 Par le même raisonnement, h (A )=C. De plus A, B et C sont alignés, ainsi que A,B et C. En passant aux mesures algébriques, on a : Proposition 3: (Réciproque du théorème de Thalès). Soient deux droites d et d et trois droites D 1, D 2 et D 3 coupant respectivement d et d en A, B, C,distincts deux à deux, et A, B, C,distincts deux à deux. Si D 1 est parallèle à D 2 et si =, alors D 3 est parallèle à D 1 et D 2. Soit D ' 3 la parallèle à D 1, passant par C qui coupe d en K. D après le théorème direct, = = et comme par hypothèse, =, alors K AC K = C ', et comme A, K et C sont alignés, on a K = C', d où D 3 = D ' 3, et D 3 est parallèle à D 1, et à D 2.. III- Théorème de Thalès dans l espace. Théorème 4 : Soient P 1, P 2 et P 3 trois plans strictement parallèles, et D et D deux droites non parallèles à P 1. On note A, B, C, les points d intersection de D avec P 1, P 2 et P 3. On note également A, B, C ceux de D avec P 1, P 2 et P 3. Alors :

4 Si D et D sont coplanaires, on est ramené au cas du théorème de Thalès dans le plan. On suppose donc D et D non coplanaires. On trace la parallèle D 1 à D passant par A. Elle coupe P 2 en B 1 et P 3 en C 1. On est alors ramené au cas plan du théorème de Thalès dans le plan déterminé par D et D 1. AC AC1 Ainsi, 1 Dans le plan déterminé par D 1 et D, on obtient Donc AC 1 1 C ' Proposition 5 : Si trois points A, B et C, d une droite D et trois points A, B et C, d une droite D vérifient =, et si D et D ne sont pas coplanaires, alors il existe un plan de l espace auquel les trois droites (AA ), (BB ) et (CC ) sont parallèles. Soit deux droites D et D non coplanaires. On a alors (AA ) non parallèle à (BB ), car sinon le plan défini par les droites (AA ) et (BB ) contiendrait D et D. Soit (Ax) la parallèle à (BB ) passant par A, et (By) la parallèle à (AA ) passant par B. Le plan P 1 défini par (AA ) et (Ax), et le plan P 2, défini par (BB ) et (By), sont parallèles car deux sécantes de l un sont parallèles à deux sécantes de l autre. Soit P le plan passant par C parallèle à P 1 et P 2. Il coupe D en K et d après le théorème de Thalès dans l espace : K AC Or =, donc K = C ', et comme A,C et K sont alignés, K = C. Les trois droites sont donc bien dans trois plans parallèles. Remarque : Cet énoncé ne constitue pas une réciproque du théorème de Thalès dans l espace. IV- Projections dans le plan et l espace. I) Dans le plan. Rappel : Dans le plan, étant donné un point M et une droite D, il existe une seule droite d M passant par M et parallèle à D. Si D est une droite non parallèle à D, d M et D sont alors sécantes en un point m.

5 Définition 6 : L intersection de D avec la droite passant par M et parallèle à D est appelée le projeté de M sur D parallèlement à D. L application qui à tout point M du plan associe son projeté m sur D parallèlement à D, s appelle la projection ponctuelle sur D parallèlement à D. Proposition 7 : (Traduction du théorème de Thalès en terme de projection) Soient D et D deux droites non parallèles, et uuur A, B et uuur C, trois points du plan. Si A, B, C sont alignés, il existe un réel λ tel que AC = λ uuuuur, uuuuur alors les projetés A, B, C de A, B, C sur D parallèlement à D vérifient également C ' = λ. (Utilisation direct du théorème de Thalès). Proposition 8 : Les projections conservent les milieux. Cas particulier de la proposition 7. Il suffit de prendre λ = 2. Proposition 9 : L image d un parallélogramme par une projection ponctuelle est un parallélogramme aplati. (On parle de conservation de l équipollence). Soit CD un parallélogramme.

6 uuur uuur Alors = DC, et [AC] et [BD] ont même milieu. D après la proposition 8, [A C ] et [B D ] ont même milieu. Donc A B C D est un parallélogramme. De plus A, B, C et D sont alignés, donc A B C D est un parallélogramme aplati. II) Dans l espace. Rappel : Dans l espace, étant donné un point M et un plan P, il existe un seul plan P M passant par M et parallèle à P. Si D est une droite non parallèle à P, P M et D sont sécants en un point m. Définition 10 : L intersection de D avec le plan passant par M et parallèle à P, est appelée le projeté de M sur D parallèlement à P. L application qui à tout point M de l espace, associe son projeté m sur D parallèlement à P, s appelle la projection ponctuelle sur D parallèlement à P. Définition 11 : L intersection de P avec la droite passant par M et parallèle à D, est appelée projeté de M sur P parallèlement à D. L application qui à tout point M de l espace associe son projeté m sur P parallèlement à D, s appelle la projection ponctuelle sur P parallèlement à D. III) Projection vectorielle associée dans le plan. Définition 12 : Dans le plan, soit p la projection sur D parallèlement à D. L application de ur P dans lui-même qui à tout vecteur u r uuur de représentant associe le vecteur u uur ' uuuuur de représentant avec A et B les projetés de A et B par p, est appelée projection vectorielle associée à la projection ponctuelle p. On la note Π. Proposition 13 : r r Π est ur une ur application linéaire: ( u, v ) P P, α R, on a : r r r r Π u + v = Π u + Π v r r Π α u = α Π u. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; Démonstration r : ur r uuur Soit u P avec u =. α R, α u r uuur uuur a pour représentant AC = α. Alors, d après le théorème de Thalès : uuuuur uuuuur Si A, B, C sont les projetés de A, B et C par p, on a α = C ', c'est-à-dire : uuur uuur uuur α.π( ) = Π( AC ) = Π(α. ) et donc Π(α. u r ) = α.π(u r ). Soit (, ) r r ur ur uuur r uuur r u v P P, et A, B, C trois points de P avec = u et BC = v.

7 Si A, B, C sont les projetés de A, B et C par p, on a : Π(u r uuuuur ) = et Π( v r uuuuur ) = C '. Et donc, Π(u r ) + Π( v r uuuuur uuuuur uuuuur uuur uuur ) = + C ' = C ' = Π( AC uuur ) = Π( + BC ) = Π( u r + v r ). Remarque : Par ce procédé, on vient de démontrer que Π est une application linéaire et donc que p est une application affine. IV) Projection vectorielle associée dans l espace. Dans l espace, on définit de la même manière la projection vectorielle associée à la projection ponctuelle sur P parallèlement à D ou la projection vectorielle sur D parallèlement à P. Sa linéarité entraîne le caractère affine de p. V- Théorème de Ménélaüs dans le plan Théorème 14 : Soit un triangle C, et trois points tels que A soit sur (BC), B soit sur (AC), C soit sur (), tous trois distincts des sommets. B C C ' A Si A, B et C sont alignés, alors on a l égalité suivante : = 1. C A C ' B Supposons A, B, C, alignés sur une droite. Soit p la projection sur (AC) parallèlement à. Les points A, B, C, C, A ont respectivement pour images A, B 1, B, C, B. D après le théorème de Thalès : C ' A A C ' A B1 B B1 B C = = 1, et = = 1. C ' B B1 C ' B A C C C B1 D où le résultat, en multipliant entre elles les deux égalités à 1. Remarque : Le théorème que l on vient d énoncer admet une réciproque qui n utilise pas directement le théorème de Thalès. C est pourquoi elle n est pas mentionnée. Le Théorème de Ménélaüs admet également un énoncé dans l espace.