201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE. Introduction

Transcription

1 201-NYC ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Introduction

2 Algèbre VS Géométrie

3 Algèbre VS Géométrie

4 Algèbre VS Géométrie

5 Pour forger l intuition

6 Le plan Pour forger l intuition

7 Pour forger l intuition Le plan L espace

8 Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l algèbre et la géométrie.

9 Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l algèbre et la géométrie. Dans l imaginaire collectif, la signification de l algèbre varie beaucoup.

10 Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l algèbre et la géométrie. Dans l imaginaire collectif, la signification de l algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l algèbre est ce que certains nomment l algèbre moderne.

11 Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l algèbre et la géométrie. Dans l imaginaire collectif, la signification de l algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l algèbre est ce que certains nomment l algèbre moderne. D un point de vue de l algèbre moderne, l algèbre est l étude des ensembles munie d une ou plusieurs opérations.

12 Algèbre Cette session, nous étudierons en parallèle l algèbre et la géométrie. Dans l imaginaire collectif, la signification de l algèbre varie beaucoup. Dans le cadre de ce cours, l algèbre est ce que certains nomment l algèbre moderne. D un point de vue de l algèbre moderne, l algèbre est l étude des ensembles munie d une ou plusieurs opérations. Ça vaut la peine de clarifier un peu ça.

13 Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d éléments de A un autre élément de A.

14 Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d éléments de A un autre élément de A.

15 Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d éléments de A un autre élément de A.

16 Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d éléments de A un autre élément de A.

17 Opération Définition: Une opération interne sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d éléments de A un autre élément de A.

18 Définition: Une opération externe d un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d un élément de B et d un élément de A un autre élément de A.

19 Définition: Une opération externe d un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d un élément de B et d un élément de A un autre élément de A.

20 Définition: Une opération externe d un ensemble B sur un ensemble A est une règle qui associe à chaque couple d un élément de B et d un élément de A un autre élément de A.

21 On connaît deux opérations internes sur l ensemble des nombres réels, soit l addition et la multiplication.

22 On connaît deux opérations internes sur l ensemble des nombres réels, soit l addition et la multiplication. Addition

23 On connaît deux opérations internes sur l ensemble des nombres réels, soit l addition et la multiplication. Addition

24 On connaît deux opérations internes sur l ensemble des nombres réels, soit l addition et la multiplication. Addition Multiplication

25 On connaît deux opérations internes sur l ensemble des nombres réels, soit l addition et la multiplication. Addition Multiplication

26 Propriétés de la somme

27 Commutativité Propriétés de la somme

28 Commutativité Propriétés de la somme

29 Propriétés de la somme Commutativité Associativité

30 Propriétés de la somme Commutativité Associativité

31 Propriétés de la somme Commutativité Associativité Existence d un neutre

32 Propriétés de la somme Commutativité Associativité Existence d un neutre

33 Propriétés de la somme Commutativité Associativité Existence d un neutre Existence d un inverse

34 Propriétés de la somme Commutativité Associativité Existence d un neutre Existence d un inverse

35 Propriétés du produit

36 Commutativité Propriétés du produit

37 Commutativité Propriétés du produit

38 Propriétés du produit Commutativité Associativité

39 Propriétés du produit Commutativité Associativité

40 Propriétés du produit Commutativité Associativité Existence d un neutre

41 Propriétés du produit Commutativité Associativité Existence d un neutre

42 Propriétés du produit Commutativité Associativité Existence d un neutre Existence d un inverse

43 Propriétés du produit Commutativité Associativité Existence d un neutre Existence d un inverse

44 Propriétés du produit Commutativité Associativité Existence d un neutre Existence d un inverse Sauf si

45 Propriété liant les deux

46 Distributivité Propriété liant les deux

47 Distributivité Propriété liant les deux

48 Axiomatisation

49 Axiomatisation Euclide, -325 à -265

50 Axiomatisation Nombre très limité de postulats nommés «axiomes». Euclide, -325 à -265

51 Axiomatisation Nombre très limité de postulats nommés «axiomes». Tous les résultats sont déduits de ces axiomes et des règles de la logique. Euclide, -325 à -265

52 Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l algèbre ont été développées de manière indépendante.

53 Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265)

54 Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850)

55 Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850) Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l algèbre se sont enrichies mutuellement.

56 Géométrie euclidienne Historiquement, la géométrie et l algèbre ont été développées de manière indépendante. Euclide (-325 à -265) Al-Khwarizmi (783 à 850) Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux de Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l algèbre se sont enrichies mutuellement. René Descartes (1596 à 1650)

57 Espace euclidien

58 Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.

59 Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d un tel espace.

60 Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d un tel espace. On peut temporairement dire qu un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien.

61 Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d un tel espace. On peut temporairement dire qu un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien. Par exemple, on veut que la somme des angles internes d un triangle soit 180 degrés.

62 Espace euclidien Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens. On n est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d un tel espace. On peut temporairement dire qu un espace euclidien est un espace dans lequel la géométrie classique fonctionne bien. Par exemple, on veut que la somme des angles internes d un triangle soit 180 degrés. En fait, les espaces qu on va considérer sont la droite, le plan et l espace.

63 Espace euclidien Hum!?! Par exemple, on veut que la somme des angles internes d un triangle soit 180 degrés.

64 Espace euclidien Hum!?! Je pensais que c était toujours vrai ça! Par exemple, on veut que la somme des angles internes d un triangle soit 180 degrés.

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70 Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la petite BD (Géométricon) sur mon site.