Exercices. Rappels sur les suites. Récurrence. u0 = 2, u 1 = 4. u n+2 = 4u n+1 u n

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1 Exercices. Rappels sur les suites. Récurrence Exercice 1 : Généralités sur les suites 1) La suite (v n ) est telle que : v 0 = 1 et pour tout n, v n+1 = 3v n 1. Calculer v 2, v 3. Exprimer v n+2 en fonction de v n. 2) On considère la suite (u n ) définie par : { u0 = 2, u 1 = 4 Calculer les termes u 2, u 3 et u 4. u n+2 = 4u n+1 u n 3) Parmi les suites suivantes déterminer celles qui sont croissantes ou décroissantes, éventuellement à partir d un certain rang : a) u n = 3n+1 b) u n = n+1 n+2 c) u n = 2 n d) u n = ( 1 ) n 2 e) u n = n2 n! avec n!=n (n 1) (n 2) 2 1 f) u n = n g) u n = n n 4) (u n ) et (v n ) sont deux suites croissantes. Montrer que la suite (u n + v n ) est croissante. Exercice 2 : Suites arithmétiques et géométriques 1) (u n ) est une suite arithmétique de raison r. a) Exprimer u n en fonction de n si u 0 = 2 et r= 1 2 b) u 2 = 41 et u 5 = 13. Calculer u 20 c) u 1 = 2 et r=3. Calculer u n en fonction de n puis u 1 + u 2 + +u 20 d) u 0 = 3 et r= 2. Calculer u 25 + u u 125 paulmilan 1/ 6 22 septembre 2011

2 2) (v n ) est une suite définie par v 0 = 1 et pour tout n naturel par : v n+1 = v n 1+v n Montrer que la suite (u n ) définie par : u n = 1 v n est arithmétrique. 3) (v n ) est une suite géométrique de raison q. a) u 1 = 5 et q= 2 3. Exprimer u n en fonction de n b) u 4 = 1 et u 9 = Calculer u 14 c) q=2et u 0 + u 1 + +u 12 = Calculer u 0. 4) Prouver que la suite (u n ) définie par : u n = 2n est géométrique. Converge-t-elle? 3n+1 5) Calculer les sommmes suivantes : a) A= b) B= c) C= 0, 02 0, 1+0, 5 2, , 5 Exercice 3 : Suites arithmético-gométriques et homographique 1) On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 1 et pour tout nombre entier n u n+1 = 1 3 u n+ 4 On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = u n 6 a) Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+1 en fonction de v n. Quelle est la nature de la suite (v n )? b) Exprimer v n puis u n en fonction de n. c) Étudier la convergence de la suite (u n ). 2) Dans une réserve, une population initiale de 1000 animaux évolue ainsi : 20 % des animaux disparaissent chaque année (bilan global des naissances et des décès) 120 animaux par an sont introduit dans la réserve. Le but de cet exercice est de déterminer l évolution de cette population au bout de n années (on la note p n avec p 0 = 1000). a) Déterminer une relation entre p n+1 et p n. b) Conjecturer graphiquement l évolution de la population. Pour démontrer cette conjecture, on introduit une suite auxiliaire (v n ) telle que : v n = p n + a paulmilan 2/ 6 22 septembre 2011

3 c) Déterminer le réel a pour que la suite (v n ) soit géométrique. d) Déterminer alors l expression de v n puis p n en fonction de n. e) La suite p n admet-elle une limite en+. Conclusion. 3) on considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 0 et u n+1 = 2u n+ 3 u n + 4 a) On pose v n = u n 1 u n + 3. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. b) Exprimer v n puis u n en fonction de n. c) Déterminer la limite de (v n ) puis celle de (u n ). Exercice 4 : Antilles-Guyane sept 2010 On considère la suite de nombres réels (u n ) définie surnpar : u 0 = 1, u 1 = 1 2 et, pour tout entier naturel n, u n+2= u n u n. 1) Calculer u 2 et en déduire que la suite (u n ) n est ni arithmétique ni géométrique. 2) On définit la suite (v n ) en posant, pour tout entier naturel n : v n = u n u n. a) Calculer v 0. b) Exprimer v n+1 en fonction de v n. c) En déduire que la suite (v n ) est géométrique de raison 1 2. d) Exprimer v n en fonction de n. 3) On définit la suite (w n ) en posant, pour tout entier naturel n : a) Calculer w 0. w n = u n v n. b) En utilisant l égalité u n+1 = v n u n, exprimer w n+1 en fonction de u n et de v n. c) En déduire que pour tout n den, w n+1 = w n + 2. d) Exprimer w n en fonction de n. 4) Montrer que pour tout entier naturel n u n = 2n 1 2 n. paulmilan 3/ 6 22 septembre 2011

4 k=n 5) Pour tout entier naturel n, on pose : S n = u k = u 0 + u 1 + +u n. k=0 Démontrer par récurrence que pour tout n den: Exercice 5 : Extrait national 2009 S n = 2 2n+3 2 n. On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n 1 : nw n = (n+1)w n et w 0 = 1 Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w a) Détailler le calcul permettant d obtenir w 10. b) Donner la nature de la suite (w n ) en vous justifiant. Calculer w Exercice 6 : Récurrence 1) On pose S n = n 2 où n est un entier naturel, n 1. a) Calculer S 1, S 2, S 3 et S 4. Exprimer S n+1 en fonction de S n. b) Démontrer par récurrence que pour tout naturel n 1, S n = n(n+1)(2n+1) 6 2) De même montrer que n 3 = n2 (n+1) 2 3) Inéqualité de Bernouilli. a est un réel strictement positif. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n 1, (1+a) n 1+na b) Déduire la justification d un théorème (admis) en classe de Première : si q>1 alors lim n + qn =+ 4 4) On note S n = n(n+1), et T n = 1 3 n(n+1)(n+2) Démontrer que pour tout entier naturel non nul, S n = T n. paulmilan 4/ 6 22 septembre 2011

5 5) Démontrer que : n k=1 1 k(k+1) = n n+1 6) On note n!=n (n 1) (n 2) 2 1 et on lit «factorielle n». Démontrer que pour tout naturel n non nul : n! 2 n 1 7) Soit n N et f n la fonction, définie pour x R, par : f n (x)= x n Démontrer que f n est dérivable et que pour tout réel x : f n(x)=nx n 1 8) Prouver que pour tout entier n, 3 2n 1 est un multiple de 8. 9) Est-il vrai que pour tout entier n 1, n 3 + 2n est un multiple de 3? 10) Montrer que 3 2n n+1 est un multiple de 7. Exercice 7 : Divers 1) La suite (u n ) est définie par : a) Étudier la monotonie de la suite (u n ). u 0 = 1 et u n+1 = u n + 2n+3 b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n > n 2. 2) La suite (u n ) est la suite définie par : Démontrer par récurrence que : 3) La suite (u n ) est définie par : u 0 ]0; 1[ et u n+1 = u n (2 u n ) n N, 0<u n < 1 u 0 = 1 et u n+1 = 2+u n a) Démontrer que pour tout naturel n, 0<u n < 2 b) Prouver que la suite est strictement croissante. 4) La suite (u n ) est définie par : u 1 = 0 et u n+1 = 1 2 u n Donner la valeur exacte de u paulmilan 5/ 6 22 septembre 2011

6 Exercice 8 : La Réunion 2008 On considère la suite (u n ) n N définie par : 1) a) Calculer u 1. u 0 = 5 et, pour tout entier n>1 u n = ( 1+ 2 ) u n n n b) Les valeurs de u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 10, u 11 sont respectivement égales à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (d n ) n N définie par : d n = u n+1 u n. 2) On considère la suite arithmétique (v n ) n N de raison 8 et de premier terme v 0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n n. 3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : u n = 4n n+5. 4) Valider la conjecture émise à la question 1) b). paulmilan 6/ 6 22 septembre 2011