COURS N 9 : GÉOMÉTRIE I- RAPPELS SUR LES VECTEURS. 1) Coordonnées. 2) Equation d une droite. 3) Norme d un vecteur.

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1 I- RAPPELS SUR LES VECTEURS ) Coordonnées ) Equation d une droite 3) Norme d un vecteur

2 4) Vecteurs colinéaires 5) Vecteurs orthogonaux 6) Angles de deux vecteurs Application : Activité page 94

3 II- VECTEURS DE L ESPACE La notion de vecteur est définie dans l espace comme dans le plan. Nous avons les mêmes définitions que dans le plan et nous pouvons énoncer les mêmes théorèmes, avec démonstrations analogues à celles des théorèmes dans le plan. ) Repère Définition : soit O un point de l espace ;, et trois vecteurs non coplanaires de l espace. On dit alors que ;,, est un repère de l espace. On dit que le repère ;,, est orthogonal, lorsque les vecteurs, et sont orthogonaux deux à deux. Si de plus les vecteurs, et sont unitaires (ont pour norme ) alors, on dit que le repère est orthonormal. k Représentation «classique» d un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) : i O j ) Coordonnées d un point Théorème (unicité admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit M un point de l espace. Il existe un unique triplet (x ; y ; z) de nombres réels tel que : Théorème (unicité admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit M un point de l espace. Les réels uniques x, y et z tels que sont les coordonnées du points M dans le repère ;,,. x est l abscisse, y est l ordonnée, z est la cote du point M dans le repère ;,,. 3

4 Méthode : Comment placer un point dont on connaît les coordonnées dans un repère de l espace. z Exemple : Placer le point M ( ; 4 ; 3) 3 M Pour construire le point M(x ; y ; z) : On place M tel que = x i + y j, puis on place le point M tel que = z k 3 Enfin, On construit le parallélogramme OM MM O M M y x Exemples : activité Euler n 9. Méthode : Déterminer les coordonnées de points Exemple : ABCDEFGH est un cube représenté ci contre. I est le centre du carré EADH Déterminer les coordonnées des points E ; B ; F et I dans le repère (A ; AB, AD, AE ) L écriture du repère donne l origine du repère (ici c est le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 0)). AE = 0 AB + 0 AD + AE Donc E (0 ; 0 ; ) AB = AB + 0 AD + 0 AE Donc B ( ; 0 ; 0) AF = AB + 0 AD + AE Donc F ( ; 0 ; ) AI = 0 AB + AD + AE Donc I (0 ; ; ) Propriété (admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit A et B deux points de l espace. Si A et B sont deux points distincts de coordonnées respectives ; ; et ; ;, alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées : Exemples : activité Euler n 76. ; ; 4

5 3) Coordonnées d un vecteur Théorème (admis) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit un vecteur de l espace. Il existe un unique triplet (x ; y ; z) de nombres réels tel que :. Définition : l espace est muni d un repère ;,,. Soit un vecteur de l espace. Les réels uniques x, y et z tels que sont les coordonnées du vecteur dans le repère ;,,. x est l abscisse, y est l ordonnée, z est la cote du vecteur dans le repère ;,,. Propriété (admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Si A et B sont deux points de coordonnées respectives ; ; et ; ; alors le vecteur a pour coordonnées ; ;. Si et sont deux vecteurs de coordonnées respectives ; ; et ; ;, alors le vecteur a pour coordonnées ; ;. Si est un vecteur de coordonnées ; ; et k un nombre réel, alors le vecteur a pour coordonnées ; ;. Exemples : activités Euler n 05 ; 07 ; 09 ; 0. 4) Norme et distance Théorème (admis) : l espace est muni d un repère ;,,. o Si est un vecteur de coordonnées ; ;, alors la norme du vecteur est donnée par : ² ² ². o Si A et B sont deux points de coordonnées respectives ; ; et ; ; alors la distance AB des deux points A et B est donnée par : Exemple : Remarque : bien faire attention que le repère soit orthonormal. 5

6 5) Vecteurs orthogonaux Théorème (admis) : l espace est muni d un repère orthonormal ;,,. Soit et deux vecteurs de l espace de coordonnées respectives ; ; et ; ;,. Dire que les vecteurs et sont orthogonaux équivaut à : 0. Applications possibles : exercices 5 à 6 p. 9 et 0 III- PRODUIT SCALAIRE ) Définition Nous savons ajouter deux vecteurs, multiplier un vecteur par un nombre, mais qu en est-il du produit de deux vecteurs? Définition : soit deux vecteurs non nuls et dans un repère orthonormal. Le produit scalaire de et est le nombre réel, noté, défini par : cos, ù, Remarques : Si ou est nul, on pose, par définition, 0. La somme de deux vecteurs est un vecteur, mais le produit scalaire est un nombre réel! Exemples : 6

7 ) Propriétés du produit scalaire Propriétés (admises) : soit, et trois vecteurs dans un repère orthonormal et k un nombre réel. Nous avons : 3) Produit scalaire et orthogonalité On a. 0 si et seulement si 0 ou 0 ou cos, 0. Or : o 0 équivaut à 0 ; 0 équivaut à 0 ; o cos, 0 si et seulement si l angle formé par les deux vecteurs a une mesure de ou, c est-à-dire si et seulement si et sont orthogonaux. En considérant que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur, on peut résumer ces résultats : Théorème (admis) : 4) Calcul d un produit scalaire a) A partir des normes des vecteurs Théorème (admis) : pour tous vecteurs et : ou encore : Exemple : 7

8 b) A partir d une projection orthogonale Démonstration : on sait que. cos, donc, dans le cas où et sont dans le même sens :. Dans le triangle OBH rectangle en H, on a : OH = Donc :. Projeté orthogonal d un vecteur : la projection orthogonale d un vecteur (représenté par ) sur un axe est un vecteur (représenté par ) appartenant à. Les points A et B sont les points projetés orthogonalement sur des points A et B. Propriété (admise) : soit un vecteur non nul et A un point du plan. On ne change pas le produit scalaire., en remplaçant par son projeté orthogonal sur l axe (A ; ), c est-à-dire :.... Si de plus, est unitaire, on peut écrire. c) A partir des coordonnées dans une base orthonormale Théorème : 8

9 Démonstration : On considère deux vecteurs et dans le plan muni d un repère orthonormal (O ; ; ). Les vecteurs et ayant pour coordonnées respectives (x, y) et (x, y ), on a : ² ² ² Avec ² ² ² et ² ² ² On a : ² ² ² Sachant que. ² ² ² On obtient alors :. IV- APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE ) Caractérisation d une droite a) Vecteur normal à une droite Propriété : b) Vecteur normal à une droite Exemple : 9

10 c) Détermination de l équation cartésienne d une droite ) Equation du cercle Exemple : 3) Formules d addition et de duplication des fonctions cosinus et sinus 0

11 4) Relations d Al Kashi (ou «loi des cosinus»)

12 Exemple :