Nouvelle-Calédonie Décembre 2007 Série S Exercice 1. a. Quel est le reste de la division euclidienne de

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1 Nouvelle-Calédonie Décembre 7 Série S Exercice 1 a Quel est le reste de la division euclidienne de 6 par 11? Justifier b Quel est le reste de la division euclidienne de 6 par? Justifier c En déduire que et que 6 1 d Démontrer que 6 1 est divisible par Dans cette question, x et y désignent des entiers relatifs a Montrer que l équation E x y n a pas de solution 6 1 b Montrer que l équation E' 17x y 1 admet au moins une solution c Déterminer à l aide de l algorithme d Euclide un couple d entiers relatifs solution de l équation E ' d Résoudre l équation E ' En déduire qu il existe un unique entier naturel x inférieur à tel que 17x 1 3 Pour tout entier naturel a, démontrer que si a17 b et si a 1 alors b a PanaMaths [ 1 - ] Avril 13

2 Analyse Théorème de Gauss, petit théorème de Fermat, propriétés de la relation de congruence sont «au programme» de cet exercice d arithmétique qui propose, classiquement désormais, comme application des résultats intermédiaires un travail de décodage où la calculatrice peut être assez utile Résolution Question 1a On a : Or : Donc 3 111, d où : On en déduit : Comme 1 11, on en déduit finalement : Le reste de la division euclidienne de 6 par 11 est égal à 1 Question 1b On a cette fois : c'est-à-dire On en déduit immédiatement : Comme 1, on en déduit finalement : Le reste de la division euclidienne de 6 par est égal à 1, Question 1c A la question 1a, on a obtenu : A la question 1b, on a obtenu : Ainsi, on a bien : On en tire : On en tire : et soit soit 6 1 Question 1d D après la question précédente, on a : , donc 11 divise 6 1 ; 6 1, donc divise 6 1 PanaMaths [ - ] Avril 13

3 Ainsi, il existe un entier k tel que : k Ainsi divise 11k Comme et 11 sont premiers entre eux, le théorème de Gauss nous permet d affirmer que divise k : k k', avec k ' entier Finalement : k' k' Le résultat est établi Remarque : les entiers et 11 étant premiers entre eux, on peut aussi directement conclure Plus généralement rappelons que si chacun des entiers a1, a,, a n divise un entier n donné et que ces entiers sont deux à deux premiers entre eux alors leur produit divise n divise 6 1 Question a On a : x y x y Cette égalité ne peut être vérifiée puisque 1 n est pas un multiple de L équation n admet pas de solutions entières Question b 17 est un nombre premier et n est pas un multiple de 17 ; On en conclut immédiatement que 17 et sont premier entre eux D après le théorème de Bézout, il existe donc deux entiers u et v tels que : 17uv 1 On en tire immédiatement que le couple u; v est solution de l équation E ' L équation E ' admet au moins une solution Question c On a : On multiplie alors les deux premières lignes, en commençant par la deuxième, par des coefficients entiers appropriés pour se débarrasser des deux premiers restes (6 et ) : PanaMaths [ 3 - ] Avril 13

4 En additionnant ces trois égalités membres à membres, on obtient alors : Soit : Finalement : Le couple ; 3 est solution de l équation E ' Question d On a, en utilisant l égalité obtenue à la question précédente : 17x y 117x y x 7 y 3 17 et étant premiers entre eux, le théorème de GAUSS nous permet alors de conclure que divise x 7 Il existe donc un entier k tel que x7 k, soit x 7 k On a alors : 17 x 7 y 3 17 k y 3 y 3 17k y 3 17k Ainsi, si ; E ' alors il existe un entier k tel que x 7 k et y 3 17k Réciproquement, on vérifie aisément que tout couple de la forme 7 k; 3 17k où k est un entier est solution de l équation E ' Finalement : x y est solution de l équation L ensemble des solutions de l équation E ' est : 7 k ; 317 k / k On cherche maintenant un entier naturel x inférieur à tel que 17x 1 Pour un tel entier, il existe donc un entier y tel que 17x 1 y Ainsi, le couple x; y est solution de l équation E ' L entier x est donc, d après le résultat précédent, de la forme : 7 k Puisque l on veut : x, il vient : x 7 k 7 k 7 x x x Le seul multiple de compris entre 7 (largement) et 7 (strictement) est On a donc k 1 et finalement : x 7 1 L unique entier naturel x inférieur à et tel que 17 1 x est PanaMaths [ - ] Avril 13

5 Question 3 Comme a 17 b alors a a b Mais d après la question précédente, on a : 17 1, soit 17 1 k k étant un entier naturel (il ne peut être strictement négatif!) 17 k 1 k a a a a b On a donc : k k Par ailleurs, on a a 1 Il vient alors : a a k 1, soit k 1 k a a a Finalement, de k a a b et a a a, on tire immédiatement : b a Le résultat est établi a et enfin Pour tout entier naturel a, si 17 a b et si a 1 alors b a Remarque : ce résultat est intéressant mais si la congruence a 17 b contrainte (dès que a est donné, on peut trouver une infinité de b tels que a 17 b va autrement de a 1! Existe-t-il un entier naturel a tel que a 1? ne constitue pas une ), il en On l aura peut-être oublié à la fin de l exercice mais l existence d un tel entier est établie dans 6 1 Ainsi, a 6 convient! la première question où on a montré : Avec a 6, on a : 6 16 et donc 6 6, soit 6 1 Mais comme 19 1, on a : Il vient alors : Comme , on obtient 17 finalement : 6 1 Ainsi, avec a 6, on peut prendre : b 1 On peut alors en déduire : 1 6 (et on réfléchira à la taille, plus que respectable, du nombre 1 ) PanaMaths [ - ] Avril 13