Vecteurs de l espace

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1 Vecteurs de l espace Définitions et règles de calcul On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : somme de vecteurs et multiplication par un réel. Définition- Vecteur A tout couple de points (A, B) de l espace, on associe le vecteur AB de la façon suivante : Si A B, le vecteur AB a pour direction la droite (AB), pour sens celui de A vers B, pour norme la distance AB. Si A = B, le vecteur AA est le vecteur nul, noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa longueur est nulle. Définition Égalité de vecteurs Deux vecteurs qui ont même direction, même sens et même longueur sont dits égaux. Relation de Chasles Pour tous points A, B et C de l espace, on a AC = AB + BC Règle du parallélogramme Soit AB = u et AC = v. Le point D tel AD = u + v est le 4 ème sommet du parallélogramme ABDC. Exercice 1 ABCD est un tétraèdre régulier. On note I le milieu de l arête AC. 1) a) Construire le point J tel que IJ = 4 AB et le point K tel que 5 IK = 4 5 CD. b) Représenter la section du tétraèdre par le plan (IJK). 2) a) On considère le point O tel que OA + OB + OC + OD = 0. Démontrer que O est le milieu de JK. b) G est le point tel que GB + GC + GD = 0. Démontrer que AG = 9 : AO. c) Construire les points O et G. N. Duceux LFIB - TS 1

2 Colinéarité, alignement et parallélisme Définition Vecteurs colinéaires Dire que deux vecteurs non nuls u et v de l espace sont colinéaires signifie qu il existe un nombre réel λ tel que v = λu. Par convention, le vecteur nul 0 est colinéaire à tous vecteurs. Propriétés Points alignés - Parallélisme Trois points A, B et C de l espace sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Propriété et définition Caractérisation vectorielle d une droite Soit A un point de l espace et u un vecteur non nul. L ensemble des points M tels que AM = xu, x étant un réel quelconque est la droite (AB) où AB = λu (λ réel non nul). On dit que u est un vecteur directeur de (AB). Propriété Caractérisation vectorielle d un plan Soit A un point de l espace et u et v deux vecteurs non colinéaires. L ensemble des points M tels que AM = xu + yv, x et y étant des réels quelconques, est le plan P passant par A. Les vecteurs u et v sont appelés vecteurs directeurs du plan P. Dans le plan P, soit les points B et C tels que AB = u et AC = v. Les vecteurs AB et AC sont non colinéaires. Donc pour tout point M de P, le vecteur AM se décompose en fonction de AB et AC. Ainsi, il existe deux réels x et y tels que AM = xab + yac. Réciproquement, on considère un point N du plan P de coordonnées (x, y) dans le repère (A ; AB, AC). Alors AN = xab + yac donc AN = AM et N = M. Ainsi M P. Propriété Plans parallèles Deux plans qui ont deux vecteurs directeurs en commun sont parallèles. N. Duceux LFIB - TS 2

3 Vecteurs coplanaires Définition Vecteurs coplanaires Dire que les vecteurs u, v et w sont coplanaires signifie que pour un point O quelconque de l espace, les points O, A, B et C définis par OA = u, OB = v et OC = w sont dans un même plan. Remarque Si les vecteurs non nuls u et v sont colinéaires, les points O, A et B sont alignés. Donc il existe au moins un plan qui contient la droite (OA) et le point C. Ainsi les vecteurs u, v et w sont coplanaires. Donc si deux des trois vecteurs sont colinéaires, alors les trois vecteurs sont nécessairement coplanaires. Propriété u, v et w sont des vecteurs de l espace tels que u et v ne sont pas colinéaires. u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que w = au + bv Pour un point O quelconque de l espace, A, B, C sont définis par OA = u, OB = v et OC = w. u et v ne sont pas colinéaires, ce sont donc deux vecteurs directeurs du plan P = (OAB). u, v et w sont coplanaires signifie que C appartient au plan P, c est- à- dire qu il existe a et b tels que OC = aoa + bob, c est- à- dire w = au + bv Exercice 2 ABCDEFGH est un cube. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments GH, FG, DH et AB. Dans chaque, dire si les vecteurs considérés sont coplanaires : a) AB, AD et FH. b) AD, AE et IL. c) AH, EF et BD. d) IJ, FD et DH. N. Duceux LFIB - TS 3

4 Repérage dans l espace Définition Repère de l espace Un repère de l espace, noté (O; ı, ȷ, k), est formé d un point O et d un triplet (ı, ȷ, k) de vecteur non coplanaires. O est appelé origine du repère. Si ı = OI, ȷ = OJ et k = OK, le repère (O; ı, ȷ, k), est dit orthonormé si les droites (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux et si OI = OJ = OK = 1. Théorème Coordonnées d un point et d un vecteur 1. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet de nombres réels (x, y, z) tels que OM = xı + yȷ + zk. (x, y, z) sont les coordonnées du point M dans le repère (O; ı, ȷ, k) x est l abscisse, y est l ordonnée et z est la cote de M. 2. Si u = OM, par définition les coordonnées de u sont les coordonnées (x, y, z) du point M. Théorème Décomposition d un vecteur dans une base u, v et w sont des vecteurs non coplanaires de l espace. Pour tout vecteur t, il existe un unique triplet (a ; b ; c) de nombres réels tels que t = au + bv + cw (a ; b ; c) sont les coordonnées du vecteur t dans la base (u, v, w). Existence O est un point de l espace et P le plan défini par O et les deux vecteurs non colinéaires u et v. On pose t = OM. La droite passant par M, de vecteur directeur w et le plan P ne sont pas parallèles car u, v et w ne sont pas coplanaires. On note M leur point d intersection. M appartient à P, donc il existe des nombres réels a et b tels que OM = au + bv. N. Duceux LFIB - TS 4

5 D autre part, d après la relation de Chasles OM = OM R + M M. Or M M et w sont colinéaires, il existe donc un réel c tel que M M = cw. Donc t = au + bv + cw Unicité On suppose qu il existe deux triplets (a ; b ; c) et (a ; b ; c ) de nombres réels tels que t = au + bv + cw = a u + b v + c w Si c c, alors w = ST US u + WT UW v. Or ceci n est pas possible car u, v et w ne sont pas coplanaires donc VUVR VUVR c = c. On obtient alors au + bv = a u + b v et donc a = a et b = b car u et v sont non colinéaires. Propriétés Calculs sur les coordonnées Tous les résultats de la géométrie plane s étendent par adjonction d une troisième coordonnée. Dans un repère (O; ı, ȷ, k), soit u (x, y, z) et v (x R, y R, z R ), A(x X, y X, z X ) et B(x Y, y Y, z Y ). Alors : u = v x = x R, y = y R et z = z Le vecteur u + v a pour coordonnées x + x R, y + y R, z + z Pour tout réel k, le vecteur ku a pour coordonnées (kx, ky, kz) Le vecteur AB a pour coordonnées (x Y x X, y Y y X, z Y z X ) Le milieu I du segment AB a pour coordonnées x ], y ], z ] avec x ] = ^_`^a, y 5 ] = b _`b a et z 5 ] = c _`c a 5 La distance entre les points A et B est AB = (x Y x X ) 5 + (y Y y X ) 5 + (z Y z X ) 5 Exercice 3 ABCD est un tétraèdre. M est le point tel que AM = 4 AB et N est le : milieu de l arête CD. 1) Exprimer MN en fonction des vecteurs AB, AC et AD. 2) On note G le centre de gravité du triangle BCD. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que AG = aab + bac + cad. N. Duceux LFIB - TS 5

6 Représentations paramétriques Dans tout ce paragraphe, le plan est muni d un repère (O; ı, ȷ, k) quelconque. Théorème Représentation paramétrique d une droite La droite d passant par le point A(x X, y X, z X ) et de vecteur directeur u(a, b, c) est l ensemble des points M(x, y, z) tels que AM = tu, avec t R, ce qui équivaut à x = x X + at y = y X + bt avec t R z = z X + ct Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite d. t est le paramètre. Comme M appartient à la droite d, il existe un nombre réel t tel que AM = tu. Ce qui traduit analytiquement par x x X = at y y X = bt, t R. z z X = ct Remarques Une droite a une infinité de représentations paramétriques puisque ni le point A ni le vecteur directeur u ne sont uniques. Exercice 4 On donne les points A(1,3,2) et B(4, 3, 4). a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). b) Le point C(2 ; 3 ; 3) appartient- il à la droite (AB)? c) Déterminer les coordonnées du point D(7 ; a ; b) pour qu il appartienne à la droite (AB). Théorème - Représentation paramétrique d un plan Le point M(x, y, z) appartient au plan P passant par le point A(x X, y X, z X ) et de vecteur directeur u S W V et v ST W T VR si, et seulement si il existe un couple de réels t et t tels que Ce système est appelé représentation paramétrique du plan P. x = x X + at + a t y = y X + bt + b t z = z X + ct + c t N. Duceux LFIB - TS 6

7 Exemple ABCDEFGH est le cube ci- dessous. On note I le point d intersection de la droite (EC) avec le plan (AFH). On se place dans le repère (D; DA; DC; DH). 1) a) Justifier qu il existe deux nombres réels x et y tels que AI = xaf + yah. b) Calculer les coordonnées du point I en fonction de x et de y. 2) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). b) Calculer alors les coordonnées du point I. 1) a) AF et AH sont deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH), ils forment donc un couple de vecteurs directeurs de ce plan. I appartient au plan (AFH) donc il existe deux réels x et y tels que AI = xaf + yah. 1) b) Dans le repère (D; DA; DC; DH), on a A(1; 0; 0), F(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 0 ; 1). Le plan AHF est défini par le point A et deux vecteurs directeurs non colinéaires AF l 4 4 x ] 1 = y y ] = x z ] = x + y x ] = 1 y y ] = x z ] = x + y et AH U4 l. 4 2) a) Dans le repère (D; DA; DC; DH), on a E(1; 0; 1) et C(0; 1; 0) Un vecteur directeur de (EC) est EC U4 4 U4. D où la représentation paramétrique x = 1 t y = t z = 1 t b) I (EC) On a donc x ] = 1 t y ] = t z ] = 1 t 1 y = 1 t x = t x + y = 1 t y = t x = t t = 4 : et I( 5 : ; 4 : ; 5 : ) N. Duceux LFIB - TS 7