Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES

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1 Chapitre VII : LES NOMBRES COMPLEXES I. PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES 1 Définitions a - Ensemble C Il existe un ensemble C contenant R et vérifiant les propriétés suivantes : C est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent celles de R avec les mêmes règles de calcul. Il existe un élément i de C tel que : i² = -1. Tout élément de C s écrit de manière unique : = a + ib où a et b sont des réels b - Ecriture algébrique L écriture algébrique d un nombre complexe est : = a + ib où a et b sont des réels. a s appelle la partie réelle de, notée Re(). b s appelle la partie imaginaire de, notée Im(). Si b = 0, est un nombre réel. Si a = 0, est appelé imaginaire pur. Représentation géométrique Le plan muni d un repère orthonormé ( O; e1 ; e ) est appelé plan complexe. = x + iy (x et y réels) est représenté par le point M(x,y). On dit que M est l image de et que est l affixe du point M. L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels L'axe des ordonnées est appelé l'axe des imaginaires. y e M(x,y) O e 1 x Mathématiques Terminale S V10/10 page 55 Complétude 010/011

2 3 Règles de calcul a - Egalité de deux nombres complexes Soient = a + i b et = a + i b deux nombres complexes. = a = a' b = b' Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelles et la même partie imaginaire. b - Somme et produit Soient = a + i b et = a + i b deux nombres complexes : c - Inverse + = (a + a ) + i(b + b ) = (aa - bb ) + i(ab + ba ) Tout nombre complexe non nul = a + ib (a et b réels) admet un inverse (c est à dire un nombre complexe tel que = 1), noté 1. d - Quotient 1 = a a²+ b² + i b a² + b² Soient = a + ib et = a + ib deux nombres complexes avec non nul. On peut définir le quotient par : 1 a+ bi (a+ bi)(a' b'i) = = = ' ' a' + b'i a'² + b'² ce qui équivaut à la multiplication d un complexe par l inverse d un autre complexe. 4 Conjugaison a - Conjugué d un nombre complexe Soit un nombre complexe, = a + i b (a et b réels). On appelle conjugué de le nombre complexe, noté tel que : = a i b Exemple : Le conjugué de = + 3 i est = 3 i. Mathématiques Terminale S V10/10 page 56 Complétude 010/011

3 b - Propriétés Soient = a + i b et = a + i b deux nombres complexes : Deux nombres complexes égaux ont le même conjugué : = ' = ' Le conjugué de est : Le conjugué d une somme est la somme des conjugués : Le conjugué d un produit est le produit des conjugués : ' = ' Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués : ( ) = + ' = + = ' ' ' ( ' 0) On a : + = Re() et - = i Im(). imaginaire pur + = 0 réel = c - Interprétation géométrique b O -b a M(a+ib) M(a +ib ) Le point M d affixe = a + i b est le symétrique du point M d affixe = a + i b par rapport à l axe des abscisses. Par ailleurs OM = OM. II. MODULE D UN NOMBRE COMPLEXE 1 Coordonnées polaires (Rappels) a - Définition Les coordonnées polaires d un point M (distinct de l origine) du plan sont définies par le couple ( r, θ ) tel que : r = OM et θ = ( i ;OM ) (O; i ; j ) b - Relations entre cordonnées polaires et cartésiennes Soit un point M (distinct de l origine) de coordonnées cartésiennes ( x, y ) et de coordonnées polaires ( r, θ ). Les coordonnés polaires et cartésiennes du point M sont liées par les relations suivantes : x = r cos θ ; y = r sin θ et r = x + y Mathématiques Terminale S V10/10 page 57 Complétude 010/011

4 Module d un nombre complexe a - Définition Soit = a + i b (a et b réels) un nombre complexe. On appelle module de le réel positif : = a² + b² b - Propriétés =. Si M(a,b) est l image de dans le plan complexe d origine O, alors : = OM. Si A est un point d affixe A et B un point d affixe B, alors AB = B A. Pour tous nombres complexes et : = 0 = (inégalité triangulaire) = 1 1 = si 0 3 Argument d un nombre complexe a - Définition Soit un nombre complexe non nul et M l image de dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, r e 1, r e ). On appelle argument de, noté Arg (), toute mesure de l angle ( e 1, O ). Si θ est un argument de, tout autre argument de est de la forme θ + k π, où k est un entier relatif. Ceci se traduit par l écriture suivante : Arg () = θ modulo π ou Arg () = θ ( π ) M Exemples : Arg (1) = 0 ( π ) ; Arg ( i ) = π (π ) ; Arg (-1+i ) = 3 π ( π ). 4 b - Propriétés Tout réel positif a un argument égal à 0 et tout réel négatif a un argument égal à π. Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive a un argument égal à π et tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative a un argument égal à - π. Pour tous nombres complexes et ' non nuls et pour tout entier n : arg ( ) = arg () + arg ( ') ( π ) arg ' = arg () - arg ( ' ) ( π ) Mathématiques Terminale S V10/10 page 58 Complétude 010/011

5 arg 1 = - arg () ( π ) arg (n ) = n arg () ( π ). Soient a, b et c trois complexes (c a et c b), d images respectives A, B, C, alors : c a arg = ( AB, AC ) modulo π b a 4 Forme trigonométrique Soit un nombre complexe non nul. Si r = et α = arg () ( π ) alors : = r (cos( α )+ i sin( α )). Si = r (cos( α )+ i sin( α )), avec r > 0, alors : r = et α = arg () ( π ). L écriture = r (cos( θ )+ i sin( θ )) est la forme trigonométrique de. L écriture = a+ ib est la forme algébrique de. Pour 0, on passe de la forme trigonométrique à la forme algébrique de de la façon suivante : r = = a² + b² ; cos ( θ )= a r ; sin ( θ )= b r Remarques : Soient deux nombres complexes = r (cos( α )+ i sin( α )) et = r (cos( α )+ i sin ( α )). r = r' = ' α = α' (π) Le complexe = 0 est de module nul, mais on ne peut pas définir son argument. 5 Notation exponentielle a - Complexe de module 1 Le complexe de module 1 dont un argument est α est noté : e = cos( α )+ i sin( α ). Mathématiques Terminale S V10/10 page 59 Complétude 010/011

6 b - Forme générale Une forme exponentielle d un nombre complexe non nul, de module r et d argument α s écrit : = r e. Si = r e et r > 0, alors = r et arg () = α modulo π. Remarques : e i α = 1 et arg ( e ) = α (π). c - Propriétés Les propriétés des modules et des arguments est cohérente avec la notation exponentielle. En effet, on a : i( +α') r e r e = r r e ; r e r'e r r' α i( α' ) e α ' n inα = ; ( ) = r e n re. 6 Formules de Moivre et d Euler Formules de Moivre Pour tout réel α et tout entier n : (cos( α )+ i sin ( α )) n = cos (nα ) + i sin (n α ) (cos( α )- i sin ( α )) n = cos (nα ) - i sin (n α ) Formule d Euler Pour tout réel α : α i e + e cos( α ) = et e sin( α ) = e i α i III. EQUATION DU SECOND DEGRE 1 Racine carrée d un réel a Les solutions dans C de l équation ² = a, où a est un réel sont appelés racines carrées de a. 1 er cas : a 0 L équation ² = a équivaut à ( - a ) ( + a ) = 0. Donc les racines de a sont les racines réelles : a et - a. ème cas : a < 0 L équation ² = a équivaut à ( - i a ) ( + i a ) = 0. Mathématiques Terminale S V10/10 page 60 Complétude 010/011

7 Donc les racines de a sont des nombres complexes imaginaires purs : i a et - i a. Equation du second degré à coefficients réels L équation ax² + bx + c (a, b, c réels et a 0) admet des solutions sur C. Soit Δ le discriminant de l équation. Δ = b 4ac. Si Δ = 0, l équation admet une unique solution : x = Si Δ 0, l équation admet deux solutions distinctes : - réelles si Δ > 0 : b a (solution réelle). b Δ b + Δ = et x =. a a b i Δ b + i Δ x1 = et x =. a a x1 - complexes conjuguées si Δ < 0 : IV. NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE PLANE 1 Vecteurs a - Affixe Soient A et B l affixe respective des points A et B. L affixe du vecteur AB est : B - A. b - Barycentre Soient n points pondérés du plan (A 1, a 1 ),.(A n, a n ) d affixes respectives 1,,, n et a 1 + a + a n des réels non nuls. Le barycentre G des points pondérées a alors pour affixe : G a11 + a a n = a + a a 1 n n Mathématiques Terminale S V10/10 page 61 Complétude 010/011

8 Mesure d un angle orienté Soient AB et CD deux vecteurs non nuls d affixes respectives et. Alors : = AB ; arg ( ' ) = ( AB, CD ) ( π ) ' est un réel AB et CD colinéaires ' est un imaginaire pur AB et CD orthogonaux 3 Ensemble de points a - Cercle L ensemble C des points M d affixe tels que a = r, avec r un réel strictement positif et a est un nombre complexe, est le cercle de centre A d affixe a et de rayon r. b - Médiatrice L ensemble Δ des points M d affixe tels que a = b, avec a et b affixes respectives des points A et B, est la médiatrice du segment [AB]. 4 Transformations a - Translation La translation de vecteur u d affixe a associe au point M() le point M ( ) tel que : M() = + a u(a) M ( ) Mathématiques Terminale S V10/10 page 6 Complétude 010/011

9 b - Rotation Soit A un point d affixe a. La rotation de centre A et d angle α associe au point M() le point M ( ) tel que : - a = e ( a) M() A(a) α M ( ) c - Homothétie Soit A un point d affixe a. L homothétie de centre A et de rapport k ( k réel non nul ) associe au point M() le point M ( ) tel que : - a = k ( a) A(a) M() M ( ) Mathématiques Terminale S V10/10 page 63 Complétude 010/011