3. L'HOMOMORPHISME ET L'APPLICATION
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- Daniel Durand
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1 3. L'HOMOMORPHISME ET L'APPLICATION Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 39 (1993) Heft 3-4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz,
2 ET 3. L'HOMOMORPHISME? L'APPLICATION? Soit CACA le groupe des classes d'idéaux au sens usuel de l'anneau O A. L'homomorphisme ode Dfi CDC sur CDC D défini et étudié dans [7], 3 est en fait un homomorphisme des groupes des classes d'idéaux au sens strict, de C^f2 sur Cj. On vérifie que le Theorem 1 et le Corollary 4 de [7] soient vrais si l'on remplace classe par classe au sens strict et équivalence par équivalence au sens strict: pour adapter la démonstration du Théorème 1 il suffit de ne considérer que des substitutions linéaires de déterminant + 1 (pages ), et pour celle du Corollary 4 il suffit de remarquer que, avec les notations de [7], page 335, A partir de maintenant nous considérons le cas où D = 1 (mod 4) et / = 2. Lemme 4. Un idéal primitif de O AD s'écrit I- [a, b+ ]/D] avec b= 1 (mod 2), et soit as 1 (mod 2), soit a=o (mod 4). Si C est la classe au sens strict de I, la classe 0(C) contient l'idéal 0(7) où 0(7) est défini par (3.1) Démonstration. Soit 7= [a, b' + ]fd\ un idéal primitif de O 4D. On a donc D= b' 2? ac. Si b' est pair alors a est impair, donc 7= [a, b' +a+ ]/s], donc on peut toujours supposer 7= [a, b+ ]/D] avec & impair. Alors ac = 0 (mod 4) et, comme (#, 2Z?, c) = 1, on voit que: soit a = 1 (mod 2), c = 0 (mod 4), soit a = 0 (mod 4), c = 1 (mod 2). Le fait que 0 (7) e 6 (C) est une conséquence immédiate de [7] Theorem 1 et Corollary 4. Nous supposerons toujours b = 1 (mod 2) dans l'écriture 7 = [a, b + ]/D] * + ]/5] d'un idéal primitif de O 4D et nous poserons 7=# [1, cp] avec (p = où (p est défini modulo 1. a
3 Soit / associé à (p un idéal de OAO A (A =Dou AD). Nous noterons /' et cp' l'idéal et le nombre associés obtenus à partir de / et (p par une étape de réduction négative, c'est-à-dire (p' =. Nous avons [cp + 1] - Cp Proposition 6. Soit I= a[l, q>] un idéal primitif négativement réduit de O 4D. Si a= 1 (mod 2) et si 0(7) n'est pas négativement réduit alors (6(/))' est négativement réduit. Si a=o (mod 4), 6(7) est négativement réduit. Démonstration. D'après le Lemme 2 on a (p + [-(p] >0. Si a^l (mod 2), f (pi 0(7) = al,? est négativement réduit si, et seulement cp r- (pi si, -+ > 0. Si 0(7) n'est pas négativement réduit on a simul tanément (3.2) d'où, comme [- cp] >2,on voit que [- q>] =2?- +let (3.3) l2 2 2 Des inégalités (3.2) on déduit aussi -? <-< - f d'où (3.4) I 2 Pour vérifier que 0(7)' est négativement réduit il suffit de voir que ce qui résulte de (3.3) et (3.4). Si a = 0 (mod 4), 0(7) = -[1, 2cp] est négativement réduit, car 2cp + [- 2(p] 2cp + 2[~ (p] > 0. Ceci achève de prouver la proposition 6.
4 Soit maintenant E l'ensemble des idéaux négativement réduits de O 4D. Nous considérons la partition suivante de E en trois sous-ensembles Ei, E 2, E 3. Soit /= a[l, (p] un idéal primitif de O 4D, négativement réduit. Alors leei si a=l (mod 2) et 6(7) est négativement réduit, lee2 si a=l (mod 2) et 6(7) n'est pas négativement réduit, lee3 si a=o (mod 4). Soit 7s* l'ensemble des idéaux négativement réduits de O D. Nous définissons une application \\f de E dans E* de la manière suivante: de sorte que \j/(7) e 6(C), où C désigne la classe de 7. Les propositions suivantes ne sont vraies que si D = 5 (mod 8). Ce qui distingue ce cas est que, si D = 5 (mod 8), pour tout idéal b + ]/D] J= a, on aa=c= 1 (mod 2). 2 J Proposition 7. S/ D=s (mod 8) /a restriction de \y à E3E 3 est surjective. L 'image réciproque d'un idéal JeE* a deux éléments si J est réduit, un seul si J n'est que négativement réduit. Démonstration. Soit /= a[l,co] un élément de E*. On peut supposer 0<? < 1 < co. Les idéaux de \ / ~ 1 (?/) appartenant à E3E 3 sont à chercher f co +k] parmi les idéaux 4a 1, où ke Z, c'est-à-dire parmi les idéaux [co I,? et 727 F co +1 2 =4a 1,. Les idéaux 7! et 7272 sont primitifs 2 l 2 et est négativement réduit alors que Ix l'est si, et seulement si, co > 2 ce qui signifie que J est réduit. Proposition 8. Si D=s (mod 8) te restrictions de \y à E { et à E2E 2 sont des bijections de Ei (i =1,2) sw E*. Démonstration. Soit \j/i la restriction de \j/ àj^,et soit 7= # [1, co] e E*. On a? + [- co] > 0, donc 7 = a[l, 2co] est négativement réduit et, comme a=\ (mod 2), on a 0(7) =/et IeEv ce qui montre que i^ est surjective. Soit /i = tfi[l,<pi] un idéal de E\ tel que xj/i^) = /; alors
5 9(/i) = fli 11,? I = /, d'où ai = a et (pi = 2co (mod 2), ce qui montre que /] = / et que \\f l est injective. Considérons maintenant la restriction \ /2 de \\f à E 2. Soit /un idéal de E* et co le nombre négativement réduit associé à /. Les idéaux /_ donnant / par une étape de réduction négative sont définis par les nombres (nez). Comme : co + n co + n est un nombre de discriminant AD, les idéaux \\f2\j) sont, parmi les idéaux définis par les nombres (nez), ceux qui sont nega co+ n tivement réduits sans que /_ le soit, ce qui se traduit par -2 d'après le lemme 2, c'est-à-dire (3.5) Tenant compte de ce que o<co<l<co, on vérifie que n = 1 est la seule valeur de n qui satisfait (3.5), ce qui montre que \j/ 2 est bijective et achève de prouver la proposition 8. Des propositions 7 et 8 résulte immédiatement le résultat suivant: Théorème 2. Soit D=s (mod 8) un discriminant >0. Soit N_ le nombre des idéaux primitifs négativement réduits de O 4D, et soient N*_ et N* respectivement le nombre des idéaux primitifs négativement réduits et réduits de O D. Alors (3.6) L'application \j/ étant compatible avec Phomomorphisme 6 le résultat plus précis suivant est vrai. Théorème 3. Soit D=s (mod 8) un discriminant >0. Soit C* une classe d'idéaux au sens strict de ODOD et G-^C*) son image inverse par 6. Soit L_ le nombre des idéaux primitifs négativement réduits de 6- ] (C*) et soient L*_ et L* le nombre des idéaux primitifs respec tivementnégativement réduits et réduits de C*. Alors: (3.7)
6 Nous pouvons maintenant prouver le Théorème 1. On sait que (3.8) Ce résultat était déjà connu de Gauss ([2], 256, VI); d'autres démons trationsse trouvent dans [B], 151 et [s], page 172. Le Théorème 1 est une conséquence immédiate de (3.7) et (3.8). Remarque. Les résultats analogues aux Théorèmes 2 et 3 quand D = 1 (mod 8) seront exposés dans un article ultérieur. 4. Exemples numériques a) Théorème 2. Nous donnons les valeurs de AL, N*. et N* pour tous les D = 5 (mod 8) de 5 à 109, et pour 141 et 165 que nous étudierons en b).
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