COURS DE MATHÉMATIQUES Seconde

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1 OURS DE MTHÉMTIQUES Seconde Valère ONNET 20 décembre 2006 Lycée PONTUS DE TYRD 13 rue des Gaillardons HLON SUR SÔNE Tél. : (33) Fax : (33) FRNE

2 2 PONTUS DE TYRD e X

3 Table des matières VII Triangles isométriques, triangles semblables 5 VII.1 Orientation du plan VII.2 Triangles isométriques VII.2.1 Définition et propriétés VII.2.2 as d isométries de deux triangles VII.2.3 Exercices résolus VII.3 Triangles semblables VII.3.1 Exemple fondamental VII.3.2 Définition et propriétés VII.3.3 Proportionnalité VII.3.4 as de similitude de deux triangles VII.3.5 Exercice résolu

4 4 Table des matières PONTUS DE TYRD e X

5 hapitre VII Triangles isométriques, triangles semblables VII.1 Orientation du plan + Orienter le plan, c est choisir un sens positif, ou direct, de parcours des cercles du plan. Par convention on choisit le sens trigonométrique, c est-à-dire le sens contraire des aiguilles d une montre, comme sens positif. insi est un triangle de sens direct alors que DEF est un triangle de sens indirect. D F E FIG. VII.1 Orientations du plan VII.2 VII.2.1 Triangles isométriques Définition et propriétés DÉFINITION VII.2.1 Deux triangles isométriques sont deux triangles dont les côtés sont deux à deux de même longueur. Remarques 1. Dire que les triangles et sont isométriques signifie que : = = =. 2. Si les triangles et d une part et et d autre part sont isométriques ; alors les triangles et sont isométriques. Exemples 1. est un triangle isocèle en, H le milieu de []. lors H et H sont isométriques (l un est image de l autre par la symétrie d axe (H)). 2. DEFG est un parallélogramme de centre I. DIG et FIE sont isométriques. H E D I FIG. VII.2 Exemples de triangles isométriques F G Exercice VII.2.1. iter deux autres triangles isométriques apparaissant sur le parallélogramme DEFG de la figure VII.2. 5

6 6 VII. Triangles isométriques, triangles semblables Remarques 1. Les triangles H et H sont isométriques et orientés en des sens contraires, on dit qu ils sont indirectement isométriques. 2. Les triangles GID et EIF sont isométriques et orientés dans le même sens, on dit qu ils sont directement isométriques. Exercice VII.2.2. onstruire les points G et H tels que, sur la figure VII.3, les triangles et DEG soient directement isométriques ; les triangles et DEH soient indirectement isométriques. D E FIG. VII.3 onstruction de triangles isométriques THÉORÈME VII.2.1 (DMIS) Si et sont deux triangles isométriques, alors : = = = FIG. VII.4 Deux triangles isométriques ont les mêmes angles Voir figure VII.4. THÉORÈME VII.2.2 Si et sont deux triangles isométriques, alors ils ont même aire. Démonstration H H FIG. VII.5 Deux triangles isométriques ont même aire Soit et deux triangles isométriques (voir figure VII.5), H le pied de la hauteur issue de dans le triangle et H le pied de la hauteur issue de dans le triangle. PONTUS DE TYRD e X

7 VII.2. Triangles isométriques 7 On sait que = ; = et H= = = H donc, dans les triangles rectangles H et H, on a : H = sin H ; = sin H = H. On en déduit que : aire ( ) = H 2 = H 2 = aire() Remarque Les réciproques des théorèmes VII.2.1 et VII.2.2 sont fausses. VII.2.2 as d isométries de deux triangles THÉORÈME VII.2.3 (DMIS) Pour démontrer que deux triangles sont isométriques, il suffit d établir l une des propositions suivantes. (1) haque côté est de même longueur + que son homologue. (2) L un des angles est égal à son homologue et les côtés adjacents à cet angle sont chacun de même longueur que son homologue. (3) Deux angles sont égaux à leur homologue et l un des côtés est de même longueur que son homologue. + Remarque Le fait d avoir deux côtés de même longueur que leur côté homologue et un angle égal D FIG. VII.6 et D ne sont pas isométriques à son homologue ne suffit pas pour conclure que les deux triangles sont isométriques. Sur la figure VII.6, si on considère les triangles et D, les côtés homologues [] et [] sont de même longueur, les côtés homologues [] et [D] sont de même longueur et les angles homologues et D sont égaux. Pourtant les triangles et D ne sont pas isométriques car les côtés homologues [] et [D] ne sont pas de même longueur. VII.2.3 VII.2.3.a Exercices résolus Démontrer que deux triangles sont isométriques

8 8 VII. Triangles isométriques, triangles semblables Exercice VII.2.3. est un triangle isocèle en. et sont les milieux respectifs des côtés [] et []. Démontrer, par trois méthodes différentes, que les triangles et sont isométriques. Solution On introduit le point milieu de []. Le triangle est isocèle en, donc ( ) est la médiatrice du segment [] ; par conséquent la symétrie, S, d axe ( ) transforme en. 1 re méthode De plus S ()= et les symétries conservent le milieu, donc S ( )=. On a démontré que S transforme en, en et en ; nous savons de plus que les réflexions conservent la distance entre deux points, donc : =, =, =. Par conséquent les triangles et sont isométriques. 2 e méthode Les angles homologues et sont égaux et les côtés adjacents à, [] et [ ] sont de même longueur que leurs côtés homologues respectifs [] et [ ] ; donc les triangles et sont isométriques. FIG. VII.7 3 e méthode Les angles homologues et sont égaux. Les angles homologues et sont égaux car les réflexions conservent les angles et S transforme en, en et en. Les côtés homologues et sont de même longueur. Les triangles et ont deux angles égaux a leur homologue et un côté de même longueur que son homologue, ils sont donc isométriques. VII.2.3.b Des triangles isométriques pour démontrer Exercice VII.2.4. On reprend les données de l exercice précédent. Démontrer que : =. Solution On a démontrer que les triangles et sont isométriques ; donc les cotés homologues [ ] et [ ] sont de même longueur. PONTUS DE TYRD e X

9 VII.3. Triangles semblables 9 VII.3 Triangles semblables VII.3.1 Exemple fondamental Sur la figure VII.8, les triangles et sont en situation de THLÈS. On a : = et =, comme angles correspondants. Dans les triangles et les angles homologues sont égaux. On dit que triangles et sont semblables (on dit aussi qu ils ont la même forme). D après le théorème de Thalès, il existe un nombre réel positif k tel que : = = = k. Les côtés homologues des triangles et sont proportionnels. FIG. VII.8 Exemple fondamental VII.3.2 Définition et propriétés DÉFINITION VII.3.1 Deux triangles semblables sont deux triangles tel que tout angle de l un est égal à son homologue dans l autre. Remarques 1. Dire que les triangles et sont semblables = signifie que : = = 2. Des triangles isométriques sont des triangles semblables puisque leurs angles sont égaux deux à deux. Mais FIG. VII.9 Triangles semblables des triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques. 3. Si les triangles et d une part et et d autre part sont semblables ; alors les triangles et sont semblables. THÉORÈME VII.3.1 Pour que deux triangles soient semblables il suffit qu il y ait deux angles égaux à leur homologue. Démonstration On sait que la somme des angles d un triangle est égale à 180 donc si deux triangles ont deux angles égaux à leur homologue, alors le troisième angle est lui aussi égal à son homologue Exemple H H H FIG. VII.10 onfiguration clef

10 10 VII. Triangles isométriques, triangles semblables Sur la figure VII.10, dans le triangle, rectangle en, H est le pied de la hauteur issue de. On a : H= et H=. Dans le triangle H les angles H et H sont égaux à leur homologue dans le triangle ; les triangles H et sont donc semblables. On a : = H et = H. Dans le triangle les angles et sont égaux à leur homologue dans le triangle H ; les triangles et H sont donc semblables. Les triangles H et H sont tous deux semblables aux triangles, ils sont donc semblables. Remarques 1. Les triangles H et sont semblables et orientés en des sens contraires, on dit qu ils sont indirectement semblables. 2. Les triangles H et H sont semblables et orientés dans le même sens, on dit qu ils sont directement semblables. Exercice VII.3.1. onstruire les points D et E tels que les triangles et D soient directement semblables ; les triangles et E soient indirectement semblables. FIG. VII.11 onstruction de triangles semblables VII.3.3 Proportionnalité THÉORÈME VII.3.2 Deux triangles et sont semblables si et seulement il existe un nombre réel strictement positif k tel que : = = = k. Démonstration FIG. VII.12 Triangles semblables et proportionnalité Soit et deux triangles (voir figure VII.12). On construit sur la demi-droite [ ) le point tel que : = ; et sur la demi-droite [ ) le point tel que : =. PONTUS DE TYRD e X

11 VII.3. Triangles semblables 11 Théorème direct Si et sont semblables, alors : = ; = et = ; donc les triangles et sont également semblables. On en déduit que les triangles et sont semblables. Ils sont de plus orientés dans le même sens (car [ ) et [ )), ils sont donc directement semblables. Par conséquent les droites ( ) et ( ) sont parallèles. Les triangles et sont en situation de THLÈS donc d après le théorème de THLÈS, il existe un nombre réel positif k tel que : = = = k. est-à-dire : = = = k. Théorème réciproque S il existe un nombre réel positif k tel que : = = = k ; alors on a : = = k ; donc, d après la réciproque du théorème de THLÈS, les triangles et sont en situation de THLÈS (donc semblables) et on déduit que : = = = k. En faisant le quotient membre à membre avec : = = = k ; on obtient : = = = k 1 k ; est-à-dire : = = = 1. Donc les triangles et sont isométriques et par suite semblables. Les triangles et sont semblables à, ils sont donc semblables. Notations et vocabulaire Le nombre k est appelé rapport de similitude qui transforme en. THÉORÈME VII.3.3 Si et sont deux triangles semblables et si k est le rapport de similitude qui transforme en, alors : aire ( ) = k 2 aire(). Démonstration H H FIG. VII.13 Si les longueurs sont multipliées par k, alors les aires le sont par k 2. Soit et deux triangles semblables (voir figure VII.13), k est le rapport de similitude qui transforme en, H le pied de la hauteur issue de dans le triangle et H le pied de la hauteur issue de dans le triangle. On sait que = k ; = k et H= = = H ; donc, dans les triangles rectangles H et H, on a : H = sin H = k sin H = k H. On en déduit que : aire ( ) = H k k H = = k 2 aire() 2 2

12 12 VII. Triangles isométriques, triangles semblables VII.3.4 as de similitude de deux triangles THÉORÈME VII.3.4 (DMIS) Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit d établir l une des propositions suivantes. (1) Deux angles sont égaux à leur homologue. (2) Les longueurs des côté de l un sont proportionnelles à leurs homologues (3) L un des angles est égal à son homologue et les longueurs des côté adjacents à cet angle sont proportionnelles aux longueurs des côtés homologues. VII.3.5 Exercice résolu Exercice VII.3.2. (N) coupe () en M. D est un parallélogramme, N un point du segment [D] distinct de D et. La droite 1. Démontrer que les triangles DN et M sont des triangles semblables. 2. En déduire que DN M= D. Solution M D N FIG. VII.14 Exercice VII Dans les triangles DN et M, les angles homologues ND et M sont égaux car alternes internes ; les angles homologues DN et M sont égaux car alternes internes. Donc les triangles DN et M sont semblables. utre méthode On a (D)//(M), donc les triangles DN et MN sont en situation de THLÈS et donc semblables. On a (N)//(), donc les triangles MN et M sont en situation de THLÈS et donc semblables. Donc les triangles DN et M sont semblables. 2. On a donc : D M = DN ; d où l on tire : DN M= D. PONTUS DE TYRD e X

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