Cours de Mathématiques. BTS Bio-analyses et contrôles

Cours de Mathématiques BTS Bio-analyses et contrôles 1ère année Ph Griffiths 1 2008/2009 Lycée Alexis de Tocqueville F-06130 Grasse 1. Philippe.Griffiths@ac-nice.fr

ii Lycée Alexis de Tocqueville

Table des matières I Fonctions 1 1 Fonctions de référence 3 1.1 Fonctions affines......................... 3 1.2 Fonctions puissances entières.................. 4 1.2.1 Puissance entière positive................ 4 1.2.2 Puissance entière négative................ 5 1.3 Fonction logarithme népérien.................. 6 1.3.1 Étude de la fonction ln.................. 6 1.3.2 Logarithme de base a.................. 6 1.4 Fonction exponentielle...................... 9 1.4.1 Sens de variation et limites............... 9 1.4.2 Équations et inéquations................. 10 1.5 Fonctions puissances d exposant réel.............. 11 1.5.1 Puissance d exposant réel................ 11 1.5.2 Exponentielle de base a................. 12 1.6 Quelques formules à savoir.................... 13 2 Limites 15 2.1 Notion de limite......................... 15 2.1.1 Limite finie d une fonction en a............. 15 2.1.2 Limite infinie d une fonction en a............ 15 2.1.3 Limite finie d une fonction en + ou....... 15 2.1.4 Limite infinie d une fonction en + ou...... 16 2.2 Énoncés usuels sur les limites................... 16 2.2.1 Opérations algébriques.................. 16 2.2.2 Comparaison, ordre................... 18 2.2.3 Limite d une fonction composée............. 18 2.3 Limites de référence....................... 18 3 Dérivation 21 3.1 Nombre dérivé en un point................... 21 3.1.1 Nombre dérivé et taux de variation........... 21 3.1.2 Aspect géométrique : tangente............. 22 iii

iv TABLE DES MATIÈRES 3.2 Tangente et approximation................... 23 3.3 Fonction dérivée......................... 24 3.3.1 Définition......................... 24 3.3.2 Dérivées des fonctions usuelles............. 24 3.3.3 Opérations sur les dérivées............... 26 3.4 Théorèmes............................. 26 3.4.1 Sens de variation..................... 26 3.4.2 Croissance et dérivée................... 27 3.4.3 Recherche d extremum.................. 28 4 Calcul intégral 29 4.1 Primitive d une fonction sur un intervalle........... 29 4.1.1 Définition Ensemble des primitives......... 29 4.1.2 Détermination d une primitive............. 29 4.2 Calcul intégral.......................... 30 4.2.1 Intégrale d une fonction dérivable............ 30 4.2.2 Interprétation graphique................. 30 4.2.3 Intégrale fonction de sa borne supérieure........ 30 4.3 Propriétés de l intégrale..................... 31 4.3.1 Relation de Chasles................... 31 4.3.2 Linéarité......................... 32 4.3.3 Positivité......................... 32 4.3.4 Intégration d une inégalité................ 32 4.3.5 Inégalité de la moyenne................. 33 4.4 Exemples de calcul de volumes................. 33 II Suites numériques 37 5 Suites de référence 39 5.1 Suites arithmétiques....................... 39 5.2 Suites géométriques....................... 40 6 Majorant, minorant Sens de variation 43 6.1 Majorant, minorant....................... 43 6.2 Variations............................. 43 7 Limites de suites 45 7.1 Généralités............................ 45 7.2 Quelques suites de limite nulle... et de limite infinie :.... 47 7.3 Opérations sur les limites.................... 47 7.4 Compatibilité avec l ordre..................... 47 Lycée Alexis de Tocqueville

TABLE DES MATIÈRES v 8 Compléments 49 8.1 Suites et fonctions......................... 49 8.2 Méthode de démonstration par récurrence........... 49 III Équations différentielles 51 9 introduction 53 10 Résolution 57 10.1 Cas général............................ 57 10.2 Résolution de l équation sans second membre......... 58 10.2.1 Où les coefficients sont constants............. 58 10.2.2 Où les coefficients ne sont pas constants......... 60 10.3 Résumé.............................. 62 2008/2009

vi TABLE DES MATIÈRES Lycée Alexis de Tocqueville

Table des figures 1.1 fonction affine croissante ; décroissante........... 3 1.2 fonction carré........................ 4 1.3 Fonction x 1 x......................... 5 1.4 Fonction x 1 x 2........................ 6 1.5 Fonction Logarithme....................... 7 1.6 Fonction exponentielle...................... 10 1.7 Fonctions puissances d exposant réel.............. 12 1.8 Fonctions exponentielles de base a............... 13 3.1 Position limite d une sécante.................. 22 4.1 Différentes primitives d une même fonction.......... 30 4.2 Aire entre une courbe et l axe.................. 32 5.1 Croissance bactérienne.................... 42 9.1 Solutions d une équation différentielle............. 54 vii

viii TABLE DES FIGURES Lycée Alexis de Tocqueville

Liste des tableaux 1.1 Relations fonctionnelles de la fonction ln............ 7 1.2 Relations fonctionnelles de la fonction exp........... 10 2.1 Sommes de limites........................ 16 2.2 Produits de limites........................ 17 2.3 Inverse, division de limites.................... 17 2.4 Limites de référence....................... 19 3.1 Dérivées usuelles......................... 25 3.2 Opérations sur les dérivées.................... 26 4.1 Primitives des fonctions usuelles................ 31 ix

Première partie Fonctions 1

Chapitre 1 Fonctions de référence 1.1 Fonctions affines Définition 1.1.1. Une fonction f : R R est affine si f(x) est de la forme : f(x) = ax + b Si a = 0, f(x) = b, f est constante Si b = 0, f(x) = ax f est une fonction linéaire. Proposition 1.1.1 (Représentation graphique). La représentation d une fonction affine est une droite d ordonnée à l origine b (i.e. passant par le point de coordonnées (0;b)) et de coefficient directeur a. a > 0 a < 0 b 1 a b 1 a Figure 1.1 fonction affine croissante ; décroissante Proposition 1.1.2. Si f est une fonction affine, alors, pour tout x 1 et x 2 dans R, on a a = f(x 2) f(x 1 ) = y (1.1.1) x 2 x 1 x 3

4 Fonctions de référence Déterminer l équation d une droite : méthode C est une méthode importante qu on utilise souvent, soit pour déterminer une fonction affine, soit déterminer une équation de droite : tangente à une courbe, droite de régression, etc... Supposons donnée une fonction affine par simplement deux points : A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ). On cherche une fonction f, de la forme f(x) = ax + b et telle que { f(xa ) = y A f(x B ) = y B 1. Détermination du coefficient directeur a : a = δy x = y A y B x B x A 2. Une fois a trouvé, on détermine b en écrivant que le point A, par exemple, appartient à la droite représentant f : donc ax A + b = y A b = y A ax A 1.2 Fonctions puissances entières 1.2.1 Puissance entière positive 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 1 2 3 4 Figure 1.2 fonction carré Lycée Alexis de Tocqueville

1.2 Fonctions puissances entières 5 1.2.2 Puissance entière négative On rappelle que, pour tout a R et p Z, a p = 1 a p Les deux fonctions de référence sont : x 1 x x 1 x 2 (1.2.1) 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 Figure 1.3 Fonction x 1 x 2008/2009

6 Fonctions de référence 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 1 2 3 4 Figure 1.4 Fonction x 1 x 2 1.3 Fonction logarithme népérien 1.3.1 Étude de la fonction ln La fonction x 1 est continue et dérivable sur ]0;+ [, elle admet donc x des primitives sur cet intervalle. Définition 1.3.1. On appelle fonction logarithme népérien la primitive de x 1 qui s annule en 1 x On la note ln : x ln x. La propriété fondamentale de la fonction ln est donc : ln (x) = 1 x (1.3.1) Tableau de variation : x var. ln 0 1 0 + + Courbe : Relations fonctionnelles : 1.3.2 Logarithme de base a Soit a un réel strictement positif. Lycée Alexis de Tocqueville

1.3 Fonction logarithme népérien 7 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 Figure 1.5 Fonction Logarithme Table 1.1 Relations fonctionnelles de la fonction ln ln(a b) = ln a + ln b ( ) 1 ln = ln b b ( a ln = ln a ln b b) (1.3.2) ln(a p ) = p ln a ln( x) = 1 2 lnx Définition 1.3.2. On appelle logarithme de base a la fonction définie sur ]0;+ [ par log a (x) = ln x (1.3.3) ln a La plus utilisée de ces fonctions est le logarithme décimal, noté simplement log x. On a la relation fondamentale suivante : log(10 n ) = ln 10n ln10 = n ln10 ln 10 = n (1.3.4) En particulier log 10 = 1 et log 1 = 0. Ces fonctions possèdent toutes les propriété fonctionnelles de la fonction ln : dérivabilité, croissance stricte, formules. De plus : 2008/2009

8 Fonctions de référence Proposition 1.3.1. Pour tout réel strictement positif A, on a Démonstration. En exercice... 10 n A 10 n+1 n log A n + 1 (1.3.5) Lycée Alexis de Tocqueville

1.4 Fonction exponentielle 9 1.4 Fonction exponentielle 1.4.1 Sens de variation et limites Proposition 1.4.1. La fonction exponentielle est dérivable sur R, positive et exp (x) = exp(x), x R Elle est strictement croissante sur R. De plus, lim x ex = 0 lim x + ex = + Démonstration. On sait que x e x ne s annule pas sur R. Or e 0 = 1, on a alors e x > 0 pour tout x. De plus, comme cette fonction est égale à sa fonction dérivée, sa dérivée est, elle aussi, strictement positive : la fonction est donc strictement croissante. Limites en ± : Pour déterminer la limite en +, étudions la fonction f(x) = e x x 1. Cette fonction est dérivable sur R et f (x) = e x 1. Or e 0 = 1 et x e x est strictement croissante, donc, pour x 0,e x 1 soit e x 1 0. f est croissante avec f(0) = 0, donc pour x 0, f(x) 0, c est à dire e x x 1 0 soit e x x + 1. On sait que lim x + x + 1 = + donc par comparaison, on trouve que lim x + ex = + En, posons X = x et remarquons que : lim X = + donc : x lim x ex = lim X + e X = lim X + 1 e X = 0 Proposition 1.4.2. D autres limites de référence : e x lim x + x = + lim x xex = 0 Remarque. On a même mieux. Pour TOUT n N, on a Tableau de variation : e x lim x + x n = + lim x xn e x = 0 x 0 1 + sgn. exp (x) + var. e x 0 1 e + 2008/2009

10 Fonctions de référence Relations fonctionnelles : Table 1.2 Relations fonctionnelles de la fonction exp exp( x) = 1 exp x e x = 1 e x (1.4.1) exp(x + y) = exp x exp y e x+y = e x e y (1.4.2) exp(x y) = exp x exp y exp(p x) = ( exp x ) p e x y = ex e y (1.4.3) e p x = (e x ) p, p Z (1.4.4) Courbe : 5 y = exp(x) 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Figure 1.6 Fonction exponentielle 1.4.2 Équations et inéquations Proposition 1.4.3. La fonction x e x réalise une bijection strictement croisante de R sur ]0; + [. Ceci veut dire que, non seulement chaque réel à une unique image par la fonction exponentielle, mais surtout que tout réel positif s écrit de manière Lycée Alexis de Tocqueville

1.5 Fonctions puissances d exposant réel 11 unique comme e x,x R (tout réel positif strictement a un unique antécédent par exp.). En particulier : e x = e y x = y e x > e y x > y La conséquence immédiate extrèmement utile de cette proposition est l utilité à résoudre équations et inéquations : Exemple 1. e 2x+3 = e 5x 6 2x + 3 = 5x 6 x = 3 e 2x 1 e 3x+1 1 e 2 e (2x 1) (3x+1) 1 e 2 prop (1.4.3) e x 2 1 e 2 e 2 e x 2 1 e x 1 prop (1.4.2) x 0 1.5 Fonctions puissances d exposant réel 1.5.1 Puissance d exposant réel Définition 1.5.1. Pour a R et x > 0, on pose x a = e aln x. Ceci définit une fonction f a : R + R x x a (1.5.1) appelée fonction puissance d exposant réel On peut donc calculer toutes sortes de puissances comme 2 π ou e e... Proposition 1.5.1. Cette fonction jouit des propriétés suivantes : (i) x a+b = x a x b soit f a+b = f a f b (ii) x a = 1 x a soit f a = 1 f a (iii) (xy) a = x a y a soit f a (xy) = f a (x)f a (y) (iv) (x a ) b = x ab soit f b f a = f ab 2008/2009

12 Fonctions de référence Définition 1.5.2. On appelle racine n-ième d un nombre x 0 le nombre n x = x 1 n C est l unique solution sur R + de l équation x n = a. On utilise fréquemment cette fonction avec des exposant rationnels : 4 3 2 = ( 4) 3 = 8 = (4 3 ) 1 2 Proposition 1.5.2. La fonction racine n-ième est continue sur R + (en posant n 0 = 0) ; dérivable sur R + et d dx x 1 1 n = n x 1 n 1 6 5 4 y = x 2 y = x 0 < a < 1 3 2 1 y = x y = 3 x 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figure 1.7 Fonctions puissances d exposant réel 1.5.2 Exponentielle de base a Définition 1.5.3. Soit a un réel strictement positif. Pour x R, on pose Ceci définit la fonction exponentielle de base a. a x = e x ln a (1.5.2) f a : R x Remarque. C est l unique solution de l équation différentielle { y = αy R a x où l on a posé a = e α. y(0) = 1 Lycée Alexis de Tocqueville

1.6 Quelques formules à savoir 13 Proposition 1.5.3. La fonction exponentielle de base a est continue et dérivable sur R et d dx [x ax ] = ln a a x On en déduit les variations suivantes, suivant le signe de a : y = 0,2 x 0 < a < 1 5 4 y = 4 x y = exp(x) y = 1,5 x a > 1 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 Figure 1.8 Fonctions exponentielles de base a 1.6 Quelques formules à savoir Puissances : a est un nombre non nul; n un entier positif. a n = a a a } {{ } n facteurs a n = 1 a n a 0 = 1 a n a p = a n+p a n a p = an p (a n ) p = a n p a n b n = (a b) n a n b n = ( a b ) n 2008/2009

14 Fonctions de référence Exponentielle : exp( x) = 1 exp x exp(x + y) = exp x exp y exp(x y) = exp x exp y exp(p x) = ( exp x ) p e x = 1 e x e x+y = e x e y e x y = ex e y e p x = (e x ) p, p Z Logarithme : ln x = t x ]0;+ [ exp t = x t R a x = e x ln a, a > 0 a = a 1 2 ln(a b) = ln a + lnb ( ) 1 ln = ln b b ( a ln = ln a lnb b) ln(a p ) = p ln a ln( x) = 1 2 ln x Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 2 Limites 2.1 Notion de limite Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I de R. 2.1.1 Limite finie d une fonction en a. Définition 2.1.1. On dit que f a une limite finie l en a si on peut rendre l f(x) aussi petit que l on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a. On note alors l = lim x a f(x) = lim a f Remarque. Si f est continue en a, alors, lim x a f(x) = f(a) 2.1.2 Limite infinie d une fonction en a. Définition 2.1.2. On dit que f tend vers ± si on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a. Exemple 2. Soit f(x) = 1,x 0. Soit A un nombre quelconque, positif. x Dès que 0 < x < 1 A on est sûr que f(x) = 1 1 > A. On a donc lim x x 0 x = + Définition 2.1.3. Si lim x a f(x) = ±, on dit que la droite d équation y = l est une asymptote verticale. 2.1.3 Limite finie d une fonction en + ou. Définition 2.1.4. On dit que f a une limite finie l en ± si on peut rendre l f(x) aussi petit que l on veut à condition de prendre x suffisamment grand. 15

16 Limites Définition 2.1.5. Si lim x ± est une asymptote horizontale. f(x) = l, on dit que la droite d équation y = l Remarque. La courbe de la fonction se rapproche de l asymptote. 2.1.4 Limite infinie d une fonction en + ou. Définition 2.1.6. On dit que f tend vers ± si on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut à condition de prendre x suffisamment grand (en + ou en -) Définition 2.1.7. La droite d équation y = ax+b est une asymptote oblique au voisinage de l infini, si la distance [ entre la droite ] et la courbe de la fonction tend vers 0. C est à dire : lim f(x) (ax + b) = 0, x ± 2.2 Énoncés usuels sur les limites. 2.2.1 Opérations algébriques. Formes indéterminées Les seules formes indéterminées de limites pour lesquelles un calcul direct n est pas possible sont : (+ ) + ( ) 0 Toutes les autres se font par les règles opératoires classiques : Soient f et g deux fonctions définies sur I R ; a I et pouvant aussi être égal à ±. 0 0 Table 2.1 Sommes de limites lim f(x) = l + + + x a lim g(x) = l l l + x a ( ) alors lim f(x) + g(x) = l + l + + F.I. x a Théoreme 2.2.1. Si lim f(x) = 0 et si, au voisinage de a, on a f(x) > 0 x a (respect t 1 f(x) < 0), alors lim x a f(x) = + (respectt ) Lycée Alexis de Tocqueville

2.2 Énoncés usuels sur les limites. 17 Table 2.2 Produits de limites lim f(x) = l + + x a lim g(x) = l l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 x a ( ) alors lim f(x) g(x) = l l + + x a lim f(x) = + + ± x a lim g(x) = + + 0 x a ( ) alors lim f(x) g(x) = + + F.I. x a Table 2.3 Inverse, division de limites lim f(x) = l 0 0 ± x a alors lim x a 1 f(x) = 1 l 0 voir th (2.2.1) 2008/2009

18 Limites 2.2.2 Comparaison, ordre Théoreme 2.2.2. Si, pour tout x ]A;+ [, f(x) u(x) avec lim u(x) = +, alors x + lim f(x) = + x + Remarque. On a un théorème analogue en. Théoreme 2.2.3. Si, pour tout x ]A;+ [,, et si lim u(x) = 0, alors x + lim f(x) l u(x) f(x) = l x + Théoreme 2.2.4 (Théorème des gendarmes ). Soit u et v deux fonctions définies sur I. Si, pour x I, on a avec lim x a u(x) = lim x a v(x) = l, alors : u(x) f(x) v(x) lim f(x) = l x a Théoreme 2.2.5 (Compatibilité avec l ordre). Si, pour x I, on a f(x) g(x),et si lim x a f(x) = l et lim x a g(x) = l, alors : l l 2.2.3 Limite d une fonction composée. Proposition 2.2.6. Soit g une fonctions définie sur I, et f une fonction définie sur g(i). Soit a I. Si lim g(x) = l et si lim f(x) = λ alors x a X l lim(f g)(x) = lim f( g(x) ) = λ x a x a 2.3 Limites de référence Lycée Alexis de Tocqueville

2.3 Limites de référence 19 Table 2.4 Limites de référence lim x + lim x + Si n est un entier positif, lnx x = 0 n e x x n = + lim x 0 xn ln x = 0 lim x xn e x = 0 2008/2009

20 Limites Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 3 Dérivation 3.1 Nombre dérivé en un point 3.1.1 Nombre dérivé et taux de variation On considère une fonction f définie sur un intervalle I de R et un nombre a I. Définition 3.1.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, et soit a I. On dit que f est dérivable en a si le taux d accroissement f f(a + h) f(a) = a une limite finie (dans R) quand h tend vers 0. x h Cette limite est appelé nombre dérivé de f en a et est notée f (a) On écrit alors que : f(a + h) f(a) lim = f (a) (3.1.1) h 0 h Remarque. Un nombre fini est un nombre différent de + ou ATTENTION : On n a jamais dit que h devait être positif! On peut aussi bien avoir h 0 que h 0. Tout dépend si on s approche par valeur inférieure ou supérieure. Exemple 3. Pour f(x) = 4,9.x 2 en a = 2. On a montré que f x = 19,6 + 4,9h. Or 19,6 + 4,9h tend vers 19,6 quand h tend vers 0. On peut donc dire que f est dérivable en 2 et que f (2) = 19,6. Dans l activité ce nombre représente la vitesse instantanée de la bille à l instant t 0 = 2. Remarque. On peut aussi étudier la limite du taux d accroissement quand x tend vers a. Dans ce cas h = x a (ou bien x = a + h ce qui revient au même). 21

22 Dérivation On a alors : f f(x) f(a) (a) = lim x a x a (Poser x = a + h dans (3.1.1)) (3.1.2) 3.1.2 Aspect géométrique : tangente Soit A(a,f(a)) le point de C f d abscisse a et M(a + h,f(a + h)) C f. Le coefficient directeur de la droite (AM) est précisément le taux d accroissement de f en a : f x. Lorsque le point M se rapproche de A en suivant la courbe, la sécante (AM) tend à se rapprocher d une position limite qui est la tangente à C f au point A, souvent notée T A C f. T M A C f a a + h Figure 3.1 Position limite d une sécante On en déduit le résultat fondamental suivant : Théoreme 3.1.1. Soit f une fonction dérivable en a. Alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d abscisse a. Exemple 4. Soit f(x) = x 2 + 3x définie sur R, et soit a = 1. f est-elle dérivable en a? Pour le savoir, calculons f x : Lycée Alexis de Tocqueville f f(a + h) f(a) = x h f(1 + h) f(1) = h = (1 + h)2 + 3(1 + h) 4 5h + h2 = h = 5 + h h

3.2 Tangente et approximation 23 Or lim h 0 (5+h) = 5 qui est un nombre fini. f est donc dérivable en 1 et f (1) = 5 Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente ; c est également la vitesse intantanée. Exemple 5. x 1 x est-elle dérivable en a = 2? On a f(1 + h) f(1) h = 1 2 + h 1 2 h = 2 (2 + h) 2(2 + h) h = h 2(2 + h) 1 h = 1 4 + 2h Comme lim(4 + 2h) = 4, on a lim h 0 x = 1 4 donc dérivable en 2 et son nombre dérivé est 1 4 h 0 f La fonction inverse est Exemple 6. Pour f(x) = x 2 + 3x et a = 1; soit A(1;4). Remarquer que 4 = 1 2 + 3 1 = f(1), donc A C f Soit M(1 + h;(1 + h) 2 + 3(1 + h)) C f. Le coefficient directeur de la droite (AM) est : y x = y M y A = (1 + h)2 + 3(1 + h) 4 = 5 + h x M x A (1 + h) 1 On a donc lim x = 5. C est le coefficient directeur de la tangente à C f en A. h 0 y 3.2 Tangente et approximation Il est naturel de se demander comment trouver l équation de cette tangente. C est l objet de la : Propriété 3.2.1. Si f est dérivable en a I, alors l équation de la tangente à C f au point A d abscisse a est y = f (a)(x a) + f(a) (3.2.1) Exemple 7. Pour f(x) = x 2 +3x, quelle est l équation de la tangente en A? Comme f (1) = 5 et A(1;4), on écrit : y = f (1).(x 1)+f(1) = 5(x 1)+4 : C est l équation de T A C f! Cette droite occupe une position particulière par rapport à la courbe, on dirait qu elle en est le plus proche possible... et cette droite est la représentation graphique d une fonction affine x f (a).(x a) + f(a). En fait : 2008/2009

24 Dérivation Propriété 3.2.2. Si f est dérivable en a, alors la fonction x f (a).(x a) + f(a) est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a. On écrit : f(x) f (a).(x a) + f(a) (3.2.2) Cela permet de remplacer la fonction f qui peut être compliquée par une fonction affine, donc plus simple. Exemple 8. Toujours pour la même fonction, pour x proche de 1, on a f(x) 5(x 1) + 4. C est à dire que l on peut remplacer le calcul de f(x) par celui de 5x 1. Bien sûr, on commet une erreur, mais petite si x est près de 1! Si on considère une fonction f dérivable en a, pour h petit, on peut dire que f(a + h) f(a) + f (a)h 3.3 Fonction dérivée 3.3.1 Définition Définition 3.3.1. On dit que f définie sur un intervalle I est dérivable sur I si f est dérivable en tout a I. Pour tous les nombres a I, on sait donc calculer le nombre dérivé f (a) Définition 3.3.2. Soit f dérivable sur I R. La fonction f définie sur I par f : x f (x) s appelle la fonction dérivée de f sur I. Exemple 9. Ici I = R, et pour a 0, il s agit de calculer en calcul littéral. Est ce que 1 a 2 + ah f(a + h) f(a) h 1 = a + h 1 a h = h a(a + h) 1 h = 1 a 2 + ah f(a + h) f(a) h a une limite finie quand h tend vers 0? Oui car ah tend vers 0 et on a, pour tout a 0, f (a) = lim h 0 1 a 2 + ah = 1 a 2 La fonction x 1 x est donc dérivable sur R et sa fonction dérivée est définie par : f (x) = 1 x 2 3.3.2 Dérivées des fonctions usuelles En appliquant la même méthodes aux fonctions usuelles, on trouve le tableau 3.1 : Lycée Alexis de Tocqueville

3.3 Fonction dérivée 25 Table 3.1 Dérivées usuelles Fonction dérivable sur fonction dérivée x k, k R R x 0 x x R x 1 x x 2 R x 2x x x n, n N R x nx n 1 x 1 x R x 1 x 2 x x ]0;+ [ x 1 2 x x x α, α R ]0;+ [ x αx α 1 x ln x ]0;+ [ x 1 x x exp x = e x R x e x x sh(x) R x ch(x) x ch(x) R x sh(x) 2008/2009

26 Dérivation 3.3.3 Opérations sur les dérivées Pour dériver une onction construite à l aide des fonctions de référence, on utilise le théorème suivant : Table 3.2 Opérations sur les dérivées (u + v) = u + v (λu) = λu (uv) = u v + uv (u 2 ) = 2u u (u 3 = 3u u ( ) 2 1 = v ( v ) v 2 u = u v uv v v 2 ( u ) (x) = u (x) 2 u(x) ( u v ) (x) = u ( v(x) ) v (x) ( e u(x) ) [ ln ( u(x) )] = u (x) e u(x) = u (x) u(x) 3.4 Théorèmes 3.4.1 Sens de variation Rappels : Définition 3.4.1. Une fonction f définie sur I est croissante sur I si, pour tous a et b de I, a < b f(a) f(b) Une fonction f définie sur I est strictement croissante sur I si, pour tous a et b de I, a < b f(a) < f(b) Remarque. Dire que f est strictement croissante, c est dire que quand x augmente, f(x) augmente aussi. Dire qu elle est croissante, c est dire que quand x augmente, f(x) ne diminue pas... On a les mêmes définitions pour f décroissante, et f strictement décroissante. Définition 3.4.2. une fonction f, définie sur I, est décroissante sur I si, pour tous a et b dans I, a < b f(a) f(b) Propriété 3.4.1. Si f strictement croissante sur I alors f est croissante sur I Lycée Alexis de Tocqueville

3.4 Théorèmes 27 3.4.2 Croissance et dérivée Soit f une fonction dérivable sur I. On peut montrer que Proposition 3.4.2. Soit f une fonction dérivable sur I R. (i) Si f est croissante sur I alors f (x) 0, x I (ii) Si f est décroissante sur I alors f (x) 0, x I (iii) Si f est constante sur I alors f (x) = 0, x I Théoreme 3.4.3. Soit f une fonction dérivable sur I R. (i) Si f (x) 0, x I, alors f est croissante sur I (ii) Si f (x) 0, x I, alors f est décroissante sur I (iii) f (x) = 0, x I, alors f est constante sur I. Pour la stricte monotonie, on a le théorème plus précis suivant : Théoreme 3.4.4. Soit f une fonction dérivable sur I R. (i) Si f (x) > 0, x I sauf peut-être en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I (ii) Si f (x) < 0, x I sauf peut-être en un nombre fini de points, alors f est strictement décroissante sur I Exemple 10. Soit f(x) = x 3, définie et dérivable sur R. On a f (x) = 3x 2. On remarque que f (x) > 0 pour tous les x non nuls, et seulement en 0, f (0) = 0. f est donc strictement croissante sur R. Exemple 11. Soit f définie sur R\{2} par f(x) = x2 + 2x + 1 x 2 f est une fraction rationnelle, donc dérivable sur son domaine de définition, et on a : f (x) = (2x + 2)(x 2) (x2 + 2x + 1) (x 2) 2 = x2 4x 5 (x 2) 2 On cherche les racines du numérateur : = 36, il y a deux racines : x 1 = 1 et x 2 = 5. f (x) est négative entre les racines, d où le tableau de variations suivant : x 1 2 5 + f (x) 0 + + 0 + var. f 0 + 12 + 2008/2009

28 Dérivation 3.4.3 Recherche d extremum Proposition 3.4.5. Soit f dérivable sur un intervalle ouvert I de R. Si, en x 0 I, f présente un extremum, alors f (x 0 ) = 0 Remarque. Attention, la réciproque est fausse, (cf exemple 10) Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 4 Calcul intégral 4.1 Primitive d une fonction sur un intervalle 4.1.1 Définition Ensemble des primitives Soit f définie et continue sur I. Définition 4.1.1. F, dérivable sur I est une primitive de f si F = f. Théoreme 4.1.1. Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle. 4.1.2 Détermination d une primitive Théoreme 4.1.2. Soit f dérivable sur I, F une primitive de f. Alors les primitives de f sont les fonctions définies sur I par : t F(t) + C où C est une constante réelle. Théoreme 4.1.3. Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule prenant la valeur donnée y 0 pour une valeur donnée t 0 de la variable. Si F est une primitive de f, la primitive F 0 telle que F 0 (t 0 ) = y 0 est définie par : F 0 : t F(t) F(t 0 ) + y 0 Proposition 4.1.4. Si F est une primitive de f ; G une primitive de g, α R, alors : F + G est une primitive de f + g αf est une primitive de αf 29

30 Calcul intégral y 0 A x 0 Figure 4.1 Différentes primitives d une même fonction 4.2 Calcul intégral 4.2.1 Intégrale d une fonction dérivable Définition 4.2.1. Soit f dérivable sur [a;b], F une primitive de f sur [a;b]. On appelle intégrale de f sur [a;b] le nombre F(b) F(a). On note : b 4.2.2 Interprétation graphique Fonction positive a f(t)dt = [ F(t) ] b = F(b) F(a) (4.2.1) a Si f est positive sur [a;b], b a f(t)dt représente l aire du domaine du plan limité par l axe (Ox), la courbe C f, les droites d équation x = a et x = b. Fonction négative Si la fonction est négative, l intégrale représente - l aire entre la courbe et l axe (Ox) 4.2.3 Intégrale fonction de sa borne supérieure Soit x R. La fonction ϕ : x x a f(t)dt est l unique primitive de f qui s annule en a. En effet, si F désigne une primitive quelconque de f, on a ϕ(x) = x a f(t)dt = F(x) Fa). Donc ϕ = f d une part et ϕ(a) = 0. Exemple 12. Pour x > 1, considérons x 1 x 1 dt t 2 dt [ 1 ] x t 2 = t = 1 1 1 x Ceci nous permet de déterminer lim x + Lycée Alexis de Tocqueville x 1 dt t 2 = lim ( 1) 1 = 1 x + x

4.3 Propriétés de l intégrale 31 Table 4.1 Primitives des fonctions usuelles Fonction dérivable sur Primitive x a, a R R x ax + b x x R x 1 2 x2 + C x x 2 R x 1 3 x3 + C x x n, n N R x 1 n + 1 xn+1 + C x x α, α R { 1} ]0;+ [ x 1 α + 1 xα+1 + C x 1 x ]0;+ [ x ln x + C x 1 x 2 ]0;+ [ x 1 x + C x 1 x ]0;+ [ x 2 x + C x e x R x e x + C x e kx, k R R x 1 k ekx + C x sh(x) R x ch(x) x ch(x) R x sh(x) On écrit : + 1 dt = 1 : une portion infinie du plan a une aire finie. t2 4.3 Propriétés de l intégrale 4.3.1 Relation de Chasles c a f(x)dx = b a f(x)dx + c b f(x)dx (4.3.1) 2008/2009

32 Calcul intégral + O a c - b Figure 4.2 Aire entre une courbe et l axe 4.3.2 Linéarité b a b a [f(t) + g(t)]dt = λf(t)dt = λ b a b a f(t)dt f(t)dt + b a g(t)dt (4.3.2) 4.3.3 Positivité f 0 = b a f(t)dt 0 (4.3.3) 4.3.4 Intégration d une inégalité f g = Conséquence : b Lycée Alexis de Tocqueville a b a f(x)dx b b f(x)dx f(x) dx a a g(x)dx (4.3.4)

4.4 Exemples de calcul de volumes 33 4.3.5 Inégalité de la moyenne Supposons que sur [a;b], il existe m et M tels que m f(x) M. Alors, d après (4.3.4), on a : m(b a) b a f(x)dx M(b a) (4.3.5) Valeur moyenne d une fonction sur un intervalle On appelle valeur moyenne de f sur [a;b] le nombre : µ = 1 b a b a f(x)dx (4.3.6) 4.4 Exemples de calcul de volumes On se place, pour cette section, dans l espace usuel de dimension 3, dont on choisi un repère orthonorméé (O; ı, j, k). On peut voir un solide de l espace comme un empilement d un nombre infini de tranches d épaisseur infinitésimale ; de la même manière qu un cube n est que l empilement de couches carrées. Son volume est la somme des surfaces successives que l on empile. Le volume d un solide est donc la somme infinie (l intégrale) de surfaces (les tranches) qui dépendent de l altitude (la côte). Précisément : On considère la partie (E) d un solide limitée par deux plans horizontaux d équations respectives z = a et z = b. On admet le résultat suivant : Propriété 4.4.1. Si tout plan de côte z coupe le solide suivant une section d aire S(z) et si la fonction définie sur [a;b] par z S(z) est dérivable sur [a;b], alors le volume de (E) est : V = b a S(z)dz (4.4.1) À l aide de ce résultat, on peut retrouver les formules des solides usuels. 2008/2009

34 Calcul intégral z S(z) x Exercice. Calculer le volume d un cube de côté a d un cylindre de rayon de base r, et de hauteur h. Cas particulier d un solide de révolution Dans le plan muni d un repère (O; ı, j), on considère la courbe représentative C d une fonction r définie sur [a;b]. y S C O a b Soit S la surface limitée par C, l axe des abscisses et les droites d équations x = a et x = b. Dans l espace on considère le solide de révolution engendré par la rotation de S autour de l axe des abscisses. (Voir figure). On désigne par S(x) l aire du disque de rayon HM = r(x), intersection du solide avec le plan perpendiculaire à l axe des abscisses au point H d abscisse x, a x b. Le volume du solide est : Lycée Alexis de Tocqueville

4.4 Exemples de calcul de volumes 35 V = b a S(x)dx = b a π[r(x)] 2 dx (4.4.2) Exercice : Calcul du volume d un tronc de cône de révolution On considère un flotteur de pèche dont la demi section est : 2 1 1 A B C C D 1 2 3 4 5 (les unités sont en cm) Calculer le volume de ce flotteur. Réponse : Déterminons tout d abors les équations des deux courbes en jeu. Le segment a pour équation y 1 (x) = 1 3 x. Pour le quart de cercle, écrivons tout d abord l équation du cercle de centre C et de rayon 1. On a : soit, pour la partie supérieure : (x 3) 2 + y 2 = 1 y 2 (x) = 1 (x 3) 2 = x 2 + 6x 8 Le volume est alors composé de deux parties : V 1 = 3 0 ( ) 1 2 π 3 x dx = π 9 3 0 x 2 dx = π 9 [ ] 1 3 3 x3 = π cm 3 0 V 2 = 4 3 ( ) 2 4 ( π x 2 + 6x 8 dx = π x 2 + 6x 8 ) dx D où l on déduit le volume du flotteur : 3 = π V = V 1 + V 2 = 5 3 πcm3 [ 1 ] 4 3 x3 + 3x 2 8x = 2 3 3 πcm3 2008/2009

36 Calcul intégral Volume d un paraboloïde L unité graphique est de 2 cm. L arc de parabole AB a pour équation y = 2x + 3. Les points A et B du graphique ont pour coordonnées : A( 3 2,0) et B(0, 3) 2 y B 1 2 A 1 O 1 2 x Le volume de ce paraboloïde, engendré par la rotation de la courbe cidessus autour de l axe (Ox) est : 0 0 V = π y 2 dx = π (2x + 3)dx 3 3 2 2 On a V = π [ x 2 + 3x ] 0 = 9π 3 2 4 u.v. = 9π 4 8 cm3 = 18π cm 3 Soit V 56,549 cm 3 z x Lycée Alexis de Tocqueville y

Deuxième partie Suites numériques 37

Chapitre 5 Suites de référence Une suite est une fonction u : N R. On note de manière indéxée l image de n par la fonction u, comme ceci : u n = u(n). On dira apdcr pour : à partir d un certain rang On note u 0 = u(0). C est le premier terme de la suite. Remarque. On part en général de n = 0 car, la plupart du temps, les suites étudiées sont des suite chronologiques, où l indice n représente le temps t, et, au départ du processus étudié, on prend t = t 0, ou encore t = 0. 5.1 Suites arithmétiques On considère une suite (u n ), n N. Proposition 5.1.1. Pour une suite (u n ) n, il est équivalent de dire : Le terme général est u n = u 0 + nr Elle vérifie la relation de récurrence : n N,u n+1 = u n + r On dit alors que la suite (u n ) n est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. La somme de ses n premiers termes est : S n 1 = u 0 + u 1 + u 2 + + u n 1 = n(u 0 + u n 1 ) 2 ou la somme de ses n + 1 premiers termes est : (5.1.1) S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n = (n + 1) (u 0 + u n ) 2 (5.1.2) Remarque. Comme on peut le voir, il faut faire attention aux indices et aux nombres de termes ajoutés. Un moyen mnémotechnique est : Somme des termes = nbre de termes 39 premier terme + dernier terme 2

40 Suites de référence 5.2 Suites géométriques Proposition 5.2.1. Pour une suite (u n ) n, il est équivalent de dire : Le terme général est u n = u 0 q n Elle vérifie la relation de récurrence : pour tout n N,u n+1 = u n q On dit alors que la suite (u n ) n est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. La somme de ses n premiers termes est : 1 q n S n 1 = u 0 + u 1 + u 2 + + u n 1 = u 0, si q 1 (5.2.1) 1 q Exercice (Transformer une suite en suite géométrique). Soit (u n ) définie sur N par u 0 = 1 et pour tout n N, u n+1 = 1 2 u n 2. Quelle est la nature de la suite (u n )? On pose v n = u n + 4 pour n N. 1. Montrer que (v n ) est géométrique. 2. (a) En déduire v n, puis u n en fonction de n. (b) Quelle est la limite de (u n )? Exemple 13 (Croissance bactérienne). On consière une culture bactérienne. À l instant t = 0, il y a 1 bactérie dans un milieu nutritif liquide non renouvelé. On suppose que la température d incubation est optimale pour la bactérie concernée. Après une première phase d accélération de 30 minutes (on pose t 0 = 30 = 0,5 h), on passe en phase exponentielle de croissance. Dans cette phase, le nombre de bactéries double tous les G heures. (G est appellé temps de génération). On suppose que, à t 0 = 0,5, il y a N 0 bactéries dans le milieu. Au bout d une génération (t = t 0 + G), le nombre est N 1 = 2N 0 ; au bout de n génération (t = t 0 + ng), il y a N n = 2 n N 0 bactéries. Le nombre de bactéries est donc une suite géométrique de premier terme N 0 et de raison 2. Trouvons l expression N(t) du nombre de bactéries en fonction du temps : On a t = t 0 + ng, d où n = t t 0 G. L expression de N n devient : N n = N(t) = 2 t t 0 G N 0 (5.2.2) La fonction t 2 t t 0 G est une fonction exponentielle, donc la croissance se fait très rapidement. Pour pouvoir la visualiser et tracer la représentation Lycée Alexis de Tocqueville

5.2 Suites géométriques 41 graphique, on se placera dans un repère semi-log. En prenant le logarithme de l expression (5.2.2), on obtient : ln ( N(t) ) ( ) = ln 2 t t 0 G N0 soit = t t 0 G ln 2 + ln N 0 ln (N(t)) = µ(t t 0 ) + ln(n 0 ) (5.2.3) où on a posé µ = ln 2 G. Dans le repère semi-log, la représentation est donc une droite pendant la phase de croissance (cf Fig.5.1) Remarque. On peut aussi représenter l évolution relative du nombre de nbre de bact. à l instant t bactéries, c est à dire du rapport nbre de départ On a : ( ) N(t) ln = µ(t t 0 ) (5.2.4) N 0 C est une droite passant par l origine du repère. Application Numérique : On suppose que N 0 = 10, et que r = 1 = 3. (C est à dire qu il y a 3 G générations par heure). 1. Calculer combien de bactéries a-t-on au bout de 5 h de culture. 2. Au bout de combien de temps le nombre de bactéries dépasse -t-elle le milliard? Correction : 1. Avec les valeurs de l énoncé, on trouve la fonction N(t) = 10 2 3(t 0,5) d où N(5) 115 850 bactéries. 2. Le coefficient µ est : µ = ln 2 G = 3ln 2 et N N 0 = 10 8. L équation (5.2.4) s écrit ln(10 8 ) = 3ln 2(t 0,5) d où t = 0,5 + ln(108 ) 3ln 2 9,3 h 2008/2009

42 Suites de référence 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10-1 0 2,5 5 7,5 10 Figure 5.1 Croissance bactérienne Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 6 Majorant, minorant Sens de variation 6.1 Majorant, minorant Définition 6.1.1. Soit (u n ) une suite. M R est un majorant de (u n ) si, pout tout n N, u n M. m R est un minorant de (u n ) si, pout tout n N, m u n. Si (o n ) admet à la fois un majorant et un minorant, on dit que (u n ) est bornée. Proposition 6.1.1. (u n ) bornée M R/ u n M Définition 6.1.2. Soit M un majorant de (u n ). S il existe n 0 tel que u n0 = M alors M est le maximum de la suite (u n ). Exercice : Montrer que la suite (u n ) définie par : u n = 1, n 1 est bornée, possède n un maximum, mais pas de minimum. 6.2 Variations Du fait qu une suite est définie sur N, on a une définition un peu particulière de la croissance et de la décroissance : Définition 6.2.1. Une suite (u n ) est croissante si, pour tout n N, u n u n+1 Une suite (u n ) est décroissante si, pour tout n N, u n u n+1 Une suite (u n ) est constante si, pour tout n N, u n = u n+1 On peut montrer que ces définitions sont équivalentes aux définitions classiques qui s énonceraient : 43

44 Majorant, minorant Sens de variation Une suite (u n ) est croissante si, n,p N, n p u n u p Démonstration. en exercice... Définition 6.2.2. On dit qu une suite (u n ) est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 7 Limites de suites 7.1 Généralités Définition 7.1.1. Soit (u n ) n N une suite et l R. (u n ) n converge vers l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite apdcr n 0. Ceci veut dire que les termes de la suite se rapprochent aussi près de l que l on veut, à condition d aller suffisamment loin dans la suite. Un intervalle ouvert contenant l s écrit : ]l ǫ;l + ǫ[ où ǫ est un nombre aussi petit que l on veut. La définition de la limite peut aussi s écrire : ǫ > 0, n 0 /n > n 0 = u n l < ǫ (7.1.1) Si la limite de la suite n existe pas, on dit qu elle diverge. Proposition 7.1.1 (Unicité de la limite). Si (u n ) converge vers l, alors l est unique. Démonstration. Par l absurde... Proposition 7.1.2. Soit (u n ) n une suite, et l R. S il existe une suite positive (v n ) n telle que lim n v n = 0 et telle que, apdcr, on ait : alors lim n u n = l. u n l v n Démonstration. Il s agit de montrer que, quelque soit ǫ choisi à l avance, on peut trouver un rang n 0 à partir duquel on ait : u n ]l ǫ;l + ǫ[. Soit donc ǫ > 0. On sait que u n l v n, donc v n u n l v n, soit l v n u n l+v n. Mais lim n v n = 0, donc il existe n 0 tel que, pour n > n 0, ǫ v n ǫ 45

46 Limites de suites On a donc d une part l ǫ v n + l l + ǫ (7.1.2) et d autre part, ǫ v n ǫ, d où l ǫ l v n l + ǫ (7.1.3) En regroupant les majorations obtenues, on obtient : l ǫ l v n u n l + v n l + ǫ (7.1.4) Proposition 7.1.3. Soit (u n ) n une suite. S il existe une suite (v n ) n telle que lim v n = + et telle que, apdcr, on ait : u n v n alors lim u n = + n + n Rem : Evidemment, on a la propriété analogue pour (u n ) majorée par une suite tendant vers. Théoreme 7.1.4 (Théorème des gendarmes). Soit (u n ) n une suite. S il existe deux suites (v n ) n et (w n ) n convergeant vers l R telles que, apdcr, on ait : v n u n v n alors lim n u n = l Proposition 7.1.5. Toute suite convergente est bornée. Remarque. Attention, la réciproque est fausse. Proposition 7.1.6. Toute suite croissante et majorée converge. Plus précisément, si, apdcr, u n M alors l M Corollaire 7.1.7. Toute suite décroissante et minorée converge Définition 7.1.2. Deux suites (u n ) et (v n ) sont dites adjacentes si : (i) (u n ) est croissante et (v n ) décroissante. (ii) Pour tout n N, u n v n (iii) lim n (u n v n ) = 0 Théoreme 7.1.8. Soient (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes telles que u n v n. Alors elles convergent vers la même limite l et u n l v n n N Démonstration. (u n ) est croissante et majorée par v 0 : elle converge vers l. (v n ) est décroissante et minorée par u 0 : elle converge vers l. La suite (u n v n ) converge donc vers l l. Mais, d après la définition des suites adjacentes, lim (u n v n ) = 0. On n en déduit donc que l = l par unicité de la limite. Lycée Alexis de Tocqueville

7.2 Quelques suites de limite nulle... et de limite infinie : 47 7.2 Quelques suites de limite nulle... et de limite infinie : ( ) 1 n ( n N 1 (n) n N n ( )n N n) n N ( 1 n )n N α,α > 0 (nα ) n N,α > 0 ( α n ) n N, α < 1 ( α n ) n N, α > 1 7.3 Opérations sur les limites Les suites n étant, après tout, que des fonctions particulières (définies sur N ou sur N ), les théorèmes sur les limites u n + v n ; u n 1, sont les v n u n mêmes que ceux pour les fonctions. (Voir livre p. 56) 7.4 Compatibilité avec l ordre. Proposition 7.4.1. Soit (u n ) n convergeant vers l et (v n ) n convergeant vers l. Si, à partir d un certain rang, u n u n, alors l l 2008/2009

48 Limites de suites Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 8 Compléments 8.1 Suites et fonctions. Proposition 8.1.1. Soit f définie et continue sur I. (u n ) n une suite telle que, pour tout n N, on ait u n I Si lim u n = α et si lim f(x) = l, alors lim f(u n + x α n) = l n + Suites récurrentes Soit f définie sur I telle que f(i) I. Soit c I et soit la suite (u n ) n définie par : { u0 = c alors (u n ) n est unique et (u n ) n I u n+1 = f(u n ) Proposition 8.1.2 (Théorème du point fixe). Soit f définie sur I telle que f(i) I. Soit (u n ) n une suite définie par : { u0 = c u n+1 = f(u n ) Si (u n ) n converge vers l et si lim f(x) = f(l), alors f(l) = l x l un point fixe de f) (l est 8.2 Méthode de démonstration par récurrence C est une méthode pour démontrer qu une propriété (P n ) est vraie pour tout entier n n 0, n 0 étant fixé. Elle procède en trois étapes : 1. Initialisation : On vérifie que la propriété (P 0 ) est vraie pour n = n 0. 2. Hypothèse de récurrence : On suppose (P n ) vraie pour un certain n. 49

50 Compléments 3. Hérédité : On montre alors que la propri té (P n+1 ) est vraie au rang n + 1 (elle se transmet par hérédité.) Exemple 14. Soit la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout n 1, u n+1 = u n + 5. Montrons que, pour tout n 1, on a : 0 < u n < 3. Ici, (P n ) est 0 < u n < 3 1. Initialisation : Pour n = 1,u 1 = 5, donc (P 1 ) est vraie (0 < 5 < 3) 2. Hypothèse de récurrence : on suppose que pour un n N, (P n ) est vraie. C est à dire que 0 < u n < 3. 3. Hérédité : Montrons que la propriété est vraie au rang n + 1 : On sait que 0 < u n < 3 donc 5 < u n + 5 < 8. Comme la fonction x x est croissante, 5 < u n + 5 < 8. On a donc prouvé que 0 < u n+1 < 3 puisque 5 > 0 et que 8 < 3. Conclusion : Pour tout n 1, 0 < u n < 3 Exercice : Soit la suite :1,1,2,3,5,8,13,... Il s agit de la suite de Fibonacci. Elle est définie par : u 1 = 1 ; u 2 = 1 ; et pour tout n 1 par la relation de récurrence : u n+2 = u n + u n+1. Montrer que : n u 2 k = u nu n+1 k=1 Lycée Alexis de Tocqueville

Troisième partie Équations différentielles 51

Chapitre 9 introduction On appelle équation différentielle une relation entre une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. Si t y = f(t) est une fonction de la variable t, une équation différentielle s écrit par exemple : a(t)f (t) + b(t)f (t) + c(t)f(t) = d(t) où : a,b,c,d sont des coefficients qui peuvent dépendre de la variable, ici t. C est une équation du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction. Au programme, nous étudierons les équations de la forme : a(t)y + b(t)y = c(t) (9.0.1) équation linéaires, du premier ordre, dans laquelle on a remplacé f(t) par y(t). La plus simple, mais qui, on le verra, recèle bien des surprises est : y = y (9.0.2) Ici, l inconnue est notée y et représente une fonction. On cherche donc toutes les fonctions f telles que f (x) = f(x), pour tout x. De plus, on adjoint à ces équations une condition initiale. Ici : y(0) = 1. Une équation différenntielle s écrit donc : { y = y y(0) = 1 (9.0.3) Les équations différentielles sont issues de phénomènes physiques (biologie, physique,...). Si y = f(x) représente la trajectoire d une particule, y = f (x) représente la vitesse. Dire que y = y revient à chercher un mouvement où la vitesse à un instant donné est la même que la position de la 53

54 introduction 2,5 0-2,5-5 -2,5 0 2,5 5 Figure 9.1 Solutions d une équation différentielle particule à ce même instant. La condition initiale prend alors tout son sens : on veut qu à l instant 0, la particule passe par 1. Remarque. En physique, la position ou l évolution d un système dépend du temps, la variable est donc t. On cherche alors une fonction f : t f(t). On l écrit souvent t x(t) ou t y(t). et la dérivée par rapport au temps s écrit : x (t) = ẋ(t) = d x(t) (9.0.4) dt L équation (9.0.2) se note : dx = x, ou encore : dx = x dt. dt Remarque. Dans l étude d une situation réelle, (mouvement d une particule, évolution d un système dynamique, d une population,...) les principes de la dynamique donnent d abord l accélération, puis la vitesse du système (ce sont les équations du mouvement). On n arrive à trouver l évolution ellemême qu en résolvant des équations différentielles. La ou les conditions initiales fixées ne sont rien d autre qu une expression du principe de déterminisme. Par exemple, si je lance un objet, le point de Lycée Alexis de Tocqueville

55 chûte sera entièrement déterminé par la vitesse et l accélération données à l objet à l instant initial t = 0. 2008/2009

56 introduction Lycée Alexis de Tocqueville

Chapitre 10 Résolution 10.1 Cas général Dans le cas général, l équation s écrit a(t)y + b(t)y = c(t) Les coefficient a,b et c sont, à priori des fonctions de la variable, t ou x. Théoreme 10.1.1 (fondamental). Les solutions de l équation différentielle a(t)y + b(t)y = c(t) (10.1.1) s obtiennent en ajoutant à une solution particulière de (10.1.1) la solution générale de l équation sans second membre : a(t)y + b(t)y = 0 (10.1.2) Démonstration. Soit ϕ 0 : t ϕ 0 (t) une solution particulière de (10.1.1). On a donc, pour tout t I,a(t)ϕ 0 (t)+b(t)ϕ 0(t) = c(t). On notera, pour plus de commodité : aϕ 0 + bϕ 0 = c, en omettant la variable, mais en se souvenant qu on manipule des fonctions. Montrons alors que f est solution de (10.1.1) si et seulement si f ϕ 0 est solution de (10.1.2) :. f ϕ 0 solution de (10.1.2) a(f ϕ 0 ) + b(f ϕ 0 ) = 0 af aϕ 0 + bf bϕ 0 = 0 af + bf = aϕ 0 + bϕ 0 af + bf = c f est solution de (10.1.1) Il suffit donc de pouvoir déterminer une solution ϕ : t ϕ(t) générale de (10.1.2) pour avoir toutes les solutions de (10.1.1) en posant f = ϕ + ϕ 0. Il nous faut donc apprendre à résoudre les équations sans second membre... 57

58 Résolution 10.2 Résolution de l équation sans second membre 10.2.1 Où les coefficients sont constants... L équation différentielle y = y avec c.i. y(0) = 1 Soit donc l équation différentielle : { y = y y(0) = 1 (10.2.1) La méthode d Euler conduit à la construction point par point d une solution approchée de l équation y = y. De manière empirique, cela prouve qu une telle fonction existe. Nous allons voir que cette simple existence fournit des renseignements étonnants. Lemme 10.2.1. Si f est une solution de (10.2.1) alors, pour tout x R, f(x) f( x) = 1 et f ne s annule pas sur R Démonstration. Pour x R, posons ϕ(x) = f(x) f( x). Cette fonction est dérivable sur R et : ϕ (x) = d ( ) f(x) f( x) = f (x)f( x) f(x)f ( x) = dx f(x)f( x) f(x)f( x) = 0. ϕ(x) est donc constant sur R. Or f(0) = 1 d où ϕ(0) = 1. On en déduit donc que f(x) f( x) = 1, ce qui peut s écrire aussi : f( x) = 1 f(x) Il s en suit évidemment qu une telle fonction ne peut pas s annuler. Théoreme 10.2.2 (Existence et unicité). Il existe une unique fonction, définie et dérivable sur R, solution de (10.2.1) Démonstration. Pour l unicité, supposons que ϕ soit une autre solution de (10.2.1). Pour x R, posons g(x) = ϕ(x)f( x). g est dérivable sur R et : g (x) = ϕ (x)f( x) + ϕ(x)f (x) = ϕ(x)f( x) + ϕ(x) ( f( x) ) = 0 La fonction g est donc constante avec g(0) = 1. On conclut donc que ϕ(x) 1 f( x) = ϕ(x) = 1. C est à dire : ϕ(x) = f(x), x R. f(x) Définition 10.2.1. L unique fonction solution de (10.2.1) vérifiant f(0) = 1 s appelle la fonction exponentielle et est notée : exp : x exp(x) = e x On a donc : { exp (x) = exp x, x R exp(0) = e 0 = 1 (10.2.2) Lycée Alexis de Tocqueville

10.2 Résolution de l équation sans second membre 59 Résolution de l équation différentielle y + αy = 0 Remarque préliminaire : ay + by = 0 y + αy = 0 avec α = b a Commençons par un exemple simple avec f(t) = e 2t+1. f est dérivable sur R et f (t) = 2e 2t+1. Autrement dit, on remarque que : f (t) = 2f(t). On dit alors que f est solution de l équation différentielle y 2y = 0. Il faut toutefois remarquer que g définie par g(t) = f(t)+π est aussi solution. En fait si on ne donne que l équation y = 2y sans autres conditions, les solutions sont définies à une constante près. Pour avoir une unique solution, il faut et il suffit de fixer les conditions initiales. En effet, si, de plus, on impose la condition y( 1 2 ) = 1, alors f est la seule fonction convenable. Proposition 10.2.3. Soit l équation différentielle y + αy = 0, α R (10.2.3) (i) Une fonction f, dérivable sur R, est solution de l équation (10.2.3) si et seulement si f : t Ce αt où C est une constante déterminée par les conditions initiales. (ii) Plus précisément, si, de plus, on impose y(t 0 ) = y 0, (t 0 et y 0 deux réels fixés) alors il existe une unique fonction f solution de l équation différentielle vérifiant f(t 0 ) = y 0. Démonstration. (i) Soit f définie par f(t) = Ce αt. f est dérivable sur R et f (t) = α Ce αt = α f(t), f est donc solution de (10.2.3). Réciproquement, si f désigne une solution de (10.2.3), soit ψ est dérivable et ψ : t f(t)e αt ψ (t) = f (t) e αt + f(t) d dt [eαt ] = αf(t) e αt + f(t) αe αt = 0 ψ est donc une fonction constante sur R : ψ(t) = C R. C est à dire : f(t)e αt = C, soit f(t) = C e αt, x R. (ii) Si on impose f(t 0 ) = y 0, comme f(t 0 ) = Ce αt 0, C est uniquement déterminé par Ce αt 0 = y 0, soit C = y 0 e αt 0 et f(x) = y 0 e αt 0 e αt = y 0 e α(t t 0) Exemple 15. Soit l équation différentielle { y + 1 2 y = 0 y(1) = 3 (10.2.4) Une solution de cette équation est de la forme f(t) = Ce 1 2 t. De plus y(1) = 3 Ce 1 2 = 3 C = 3e 1 2. D où f(t) = 3e 1 2 (t 1) 2008/2009

60 Résolution Équation ay + by = c Proposition 10.2.4. Soient a,b,c R, avec a,b 0 Les solutions de l équation différentielle ay + by = c ( ), sont les fonctions de la forme f(t) = Ce b a t + c b où C R. Si de plus on impose la c.i. y(t 0 ) = y 0, alors cette solution est unique. Démonstration. La fonction ϕ 0 : t c, constante, est solution de ( ) car b g (t) = 0 et bg(t) = c. C est une solution particulière de l équation. Une solution générale de l équation sans second membre est : f(t) = Ce b a t Les solutions de ( ) sont donc les fonctions : f : t Ce b a t + c b Si on impose y 0 = y(t 0 ), alors on est conduit à résoudre Ce b a t 0 + c ( b = y 0 C = e b a t 0 y 0 c ) b Donc f s écrit de manière unique : f(x) = ( y 0 c ) e b a (t t0) + c b b L équation (E) ay + by = c peut être mise sous la forme y + αy = β avec α = b a et β = c a. Alors la solution paticulière est ϕ 0 : t β α sont les fonctions : et les solutions de l équation f : t Ce b a t + β α 10.2.2 Où les coefficients ne sont pas constants... On considère l équation suivante : a(t)y + b(t)y = 0 soit : y + α(t)y = 0 avec α(t) = b(t) a(t) (10.2.5) Lycée Alexis de Tocqueville

10.2 Résolution de l équation sans second membre 61 Théoreme 10.2.5. a et b étant deux fonctions données, dérivables, sur un intervalle I où a ne s annule pas, les solutions de l équation différentielle a(t)y + b(t)y = 0 ou y + α(t)y = 0 sont les fonctions définies sur I par t Ke F(t), où K est une constante dépendant des conditions initiales et où F est une primitive de la fonction t α(t) = b(t) a(t) Exemple 16. Soit l équation (E) (t + 1)x + (t 1)x = 0, I =] 1;+ [. On a : α(t) = b(t) a(t) = t 1 t + 1 = 1 2 t + 1. L équation s écrit x + ( 1 2 ) x = 0 t + 1 Une primitive F sur I est définie par F(t) = t 2ln(t + 1) car t + 1 > 0 si t I. e F(t) = e t e 2ln(t+1) = e t e ln(t+1)2 = e t (t + 1) 2 Les solutions de l équation sont donc les fonctions définies sur ] 1;+ [ par t Ke t (t + 1) 2. 2008/2009

62 Résolution 10.3 Résumé Résumé : équations différentielles (E) a(t)y + b(t)y = c(t) (E 0 ) a(t)y + b(t)y = 0 que l on met sous la forme Théorème général : y + α(t)y = β(t) y + α(t)y = 0 Les solutions de (E) s obtiennent en ajoutant une solution particulière de (E) à la solution générale de (E 0 ). Coefficients constants : ay + by = c ou y + αy = β Sans second membre y + αy = 0 Solutions : y(t) = Ce αt avec condition initiale y(t 0 ) = y 0 Avec second membre Solution particulière de (E) : ϕ 0 (t) = β α Solution générale : y(t) = Ce αt + β α Coefficients non constants : a(t)y + b(t)y = c(t) ou y + α(t)y = β(t) Sans second membre y + α(t)y = 0 Solutions : α(t) y(t) = Ce F(t), F étant une primitive de t Avec second membre y + α(t)y = β(t) Solution générale : y(t) = Ce F(t) + ϕ 0 (t) où ϕ 0 est une solution particulière de (E) Lycée Alexis de Tocqueville

Index équation différentielle cas général, 57 sans second membre, 58 affine fonction, 3 aire sous une courbe, 30 arithmétique suite, 39 asymptote, 16 croissance bactérienne, 40 exponentielle définition, 58 fonction, 9 puissance fonction, 4 suite arithmétique, 39 géométrique, 40 terme général d une suite, 39 valeur moyenne, 33 volume, 33 solide de révolution, 34 fonction affine, 3 exponentielle, 9 logarithme, 6 puissance, 4 fonctions usuelles primitives des, 31 forme indéterminée, 16 géométrique suite, 40 intégrale, 30 limite finie, 15 limite infinie, 15 logarithme de base a, 6 fonction, 6 primitive d une fonction, 29 63