Eercice Répondre au questions suivantes sans aucune justification :. On considère le polynôme P = + : a. Donner, sans justification, le coefficient du terme de degré du polynôme P et la valeur de son terme numérique. b. Parmi les polynômes ci-dessous, lequel est la forme développée et réduite du polynôme P? + 6 + + + 6 + + 6 + + 6 + +. Déterminer la valeur de a, un nombre réel, vérifiant l égalité suivante : Eercice + + a + = 6 7 + On considère la fonction f définie par : f = 6 +. Etablir les égalités suivantes : f = = 6 5 + 6 6. Calculer l image des nombres ci-dessous par la fonction f Eercice a. b. On considère la fonction f dont l image d un nombre réel est définie par la relation : f = +. Etablir l égalité : f = +. Montrer que : a. f est strictement décroissante sur ;. b. f est strictement croissante sur [ ; [.. Dresser le tableau de variation de la fonction f.. En déduire que est le minimum de la fonction f. Eercice Pour chacune des fonctions, déterminer les caractéristiques de leur etrémum et dresser le tableau de variation : a. f : + 8 + b. g : + + c. h : + + d. j : + 9 e. k : + + f. l : + c. 5 6 g = + a. Dresser le tableau de variation de la fonction g. b. Justifier que la fonction g s annule en une unique valeur qu on précisera.. Soit h la fonction définie par la relation : h = + + a. Dresser le tableau de variation de la fonction h. b. Justifier que la fonction h ne s annule jamais sur R. Eercice 6 On considère la fonction f définie sur R par : f : + +. Etablir les égalités suivantes : + + = + = 5 +. a. Justifier que la fonction f s annule pour deu nombres qu on précisera. b. Justifier que la fonction f admet 5 pour maimum.. a. Etablir que la fonction f est croissante sur l intervalle ;. b. Dresser, sans justification, le tableau de variation de la fonction f sur R. Eercice 7 On considère la fonction : f : ++ :. Etablir l égalité : f = +. a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ; b. Dresser, sans justification, son tableau de variation. c. Donner les caractéristiques de l etremum de la fonction f.. a. Compléter le tableau ci-dessous de valeurs de la fonction f : 5,5,5 f,5,5 f b. Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans le repère ci-dessous : Eercice 5. Soit f la fonction définie par la relation : f = + + a. Dresser le tableau de variation de la fonction f. b. Justifier que la fonction f s annule en deu valeurs.. Soit g la fonction définie par la relation :
-5 - - - - O I Eercice 8 On considère la fonction f, qui à tout nombre, associe son image f définie par : f = + Le graphique ci-dessous donne la représentation de la courbe C f dans le repère O ; I ; J orthonormal : 6 5 J - - - b. Résoudre l équation : f =.. a. Etablir l égalité suivante : f = + b. Démontrer que la fonction f est décroissante sur l intervalle ;. Eercice 9 On considère la fonction f dont l image d un nombre réel est définie par : f = + +. a. Dresser le tableau de variation de la fonction f. b. Préciser les caractéristiques de l etrémum de la fonction f.. Soit h un nombre quelconque positif : a. Déterminer la forme développée et réduite des deu epressions suivantes : f h ; f+h b. Que peut-on dire sur les deu points de C f d abscisses respectives h et +h. Eercice Un menuisier dispose d une baguette de bois de centimètres de longueur et de centimètres de largeur. Il souhaite utiliser toute la longueur de cette baguette pour la confection d un cadre en bois à l image du dessin ci-dessous : cm - - - - O I Partie A : étude graphique J C f Graphiquement, répondre au questions suivantes :. Donner les antécédents du nombre par f.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [ ;.. Donner les caractéristiques de l etrémum de la fonction f. Partie B : étude algébrique - - cm ycm. a. Déterminer la valeur de y en fonction de. b. En déduire les valeurs possibles de.. Donner l epression de l aire A de l intérieur du cadre en fonction de.. a. Etablir l égalité suivante : A = 8 + 8 b. Montrer que la fonction A est croissante sur 6 ; 8 et qu elle est décroissante sur [ 8 ; 5 [. c. Dresser le tableau de variation de la fonction A, puis en déduire l aire maimale que peut prendre un tel cadre. Eercice On veut construire le long d un bâtiment une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les dimensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à m. Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d une allé de m de large comme l indique le croquis ci-dessous.. a. Etablir l egalité suivante : f = +
A B Bâtiment Aire de jeu y L ensemble est clôturé sur les trois côtés [AB, [BC et [CD. On s intéresse à la longueur L de la clôture : L = AB + BC + CD. On note et y les dimensions en mètres de l aire de jeu la valeur de et de y sont nécessairement positifs.. Eprimer la longueur L de la cloture en fonction des valeurs des valeurs de et de y.. On dispose de mètres de clôture qu on souhaite entièrement utilisé : a. Eprimer, dans ces conditions, la valeur de y en fonction de. b. Justifier que la valeur de doit être inférieure à. c. Justifier que l aire de jeu a pour aire : A = 88. a. Justifier l égalité ci-dessous : A = 968 b. En déduire la croissance de la fonction A sur l intervalle ;. c. Dresser, sans justification, le tableau de variation de la fonction A sur l intervalle ; [.. En déduire les dimensions afin que les mètres de clôtures soient utilisés et que l aire de jeu soit maimale. Eercice Dans une fête forraine, le gérant de l attraction la chenille en folie fait le constat suivant : Son manège peut accueillir 7 personnes par tour ; S il fie le pri à e, son manège est plein à chaque tour ; Chaque fois qu il augmente le pri de,5 e, il perd 5 clients. On note le pri d une place : le nombre appartient à l intervalle [ ; [. On s intéresse à la valeur de la recette faîte par cette attraction à chaque tour en fonction du pri des places ; on note R la valeur de cette recette. D C d une place réalisant cette condition : a. Développer l epression :. En déduire l epression de la forme canonique de l epression R 5. b. Factoriser l epression :. Puis, factoriser l epression R 5. c. Déterminer les solutions de l équation : R = 5. d. En utilisant la question précédente et le tableau de variation de la fonction R, donner sans justification l ensemble des solutions de l inéquation R 5. Eercice On considère la figure ci-dessous : D m B A m Elle vérifie les conditions suivantes : C Le triangle ABC est rectangle en A tel que : AB = m ; AC = cm Le point D est définie par : D [AB ; D [AB Le point E est définie par : E [AC ; E [AC On a la relation : BD + CE = m. On note et y les longueurs respectives des segments [BD et [CE.. a. Etablir l identité : [ 8 + 5 = 9 5 + b. Déterminer les valeurs de et de y afin que la longueur du segment [DE soit minimale.. Déterminer les valeurs possibles de et de y afin que l aire de la partie hachurée mesure 5 m y E. Justifier que le la recette admet l epression : R = 8. a. Dresser le tableau de variation de la fonction R. b. En déduire la recette maimale que peut réaliser cette attraction. Quel doit-être le pri d un tour pour réaliser ce maimum?. Le gérant souhaite réaliser une recette supérieure à 5 e à chaque tour de manège. Déterminons les pri possibles
Correction. a. Le coefficient du terme de degré du polynôme P a pour valeur Le terme numérique aura pour valeur. b. D après les valeurs obtenues à la question a., le seul polynôme vérifiant ces conditions est : + 6 + On peut vérifier la précédente affirmation en développant et réduisant le polynôme P : P = + = [ + = 6 + + = + 6 + = + 6 8 + 8 = + 6 +. On a le développement : + + a + = 6 + a + + + a + = 6 + a + + + a + Dans ce produit le terme du premier degré obtenu après développement et réduction a pour valeur +a Par identification des coefficients avec la forme développée réduite, on obtient l égalité : + a = a = a = 5 On en déduit que : a= 5 On peut vérifier le résultat précédent : + 5 + Correction = 6 + + 5 + = 6 7 +. Montrons que chacune de ces formes est équivalente à une même epression développée réduite : = = 6 + 6 = 6 + = f f = 6 5 + 6 6 = 6 + 6 5 + 5 6 = 6 + 5 6 + 6 = 6 + 6 = 6 +. Chacun des nombres présentés est plus facile avec une des trois epressions définissant la fonction f : a. f = 6 + = + = b. f = = = 5 5 c. f = 6 6 6 5 + 6 6 = 6 + 6 = 6 Correction. On a les transformation algébriques suivantes : + = + + = + + = + = f. a. Soit a et b deu nombres appartenant à ; tels que a < b : a < b < a + < b + < Deu nombres négatifs et leurs carrés sont comparés dans le sens contraire : a + > b + a + > b + a + > b + fa > fb Deu nombres de ; et leurs images sont comparés dans le sens contraire : la fonction f est décroissante sur ;. b. Soit a et b deu nombres appartenant à [ ; [ tels que a < b : < a < b < a + < b + Deu nombres positifs et leurs carrés sont comparés dans le même sens : a + < b + a + < b + a + < b + fa < fb Deu nombres de [ ; [ et leurs images sont comparés dans le même sens : la fonction f est croissante sur [ ; [.. On a le tableau de variation ci-dessous :. Le tableau de variation indique que la fonction f admet comme valeur minimale et qu elle est atteinte pour =. Correction. On a les deu valeurs suivantes : a = 8 = f = + 8 + = 8 6 + = 7 Le fonction f a un coefficient du second degré positif. On a le tableau de variation suivant : -. On a les deu valeurs suivantes : a = = = g = + + = 7
Le fonction g a un coefficient du second degré négatif. On a le tableau de variation suivant : de g. On a les deu valeurs suivantes : a = = = h = + + = 8 + = Le fonction h a un coefficient du second degré positif. On a le tableau de variation suivant : de h. On a les deu valeurs suivantes : a = 9 = 9 6 = j = + 9 = 9 + 7 7 + 5 8 = = 9 Le fonction j a un coefficient du second degré négatif. On a le tableau de variation suivant : de j 5. On a les deu valeurs suivantes : 9 a = = 6 = k = + + = 9 + + = + + 6 = 9 = Le fonction k a un coefficient du second degré positif. On a le tableau de variation suivant : de k 6. On a les deu valeurs suivantes : a = = f = + = + 6 = Le fonction l a un coefficient du second degré négatif. On a le tableau de variation suivant : de l Correction 5. a. On a les deu valeurs suivantes : a = = f = + + = 9 6 9 + = 9 8 9 + = 9 8 + 8 = 8 8 Le coefficient du terme du second degré étant positif, on a le tableau de vqriation suivant : - 8 b. La fonction f admet pour minimum et il est atteint 8 pour =. D après le tableau de variation, la fonction f s annule une fois sur chacun de ces intervalles ; et [ ; [. a. On a les deu valeurs suivantes : a = = 8 = g = + = + = + = Le coefficient du terme du second degré étant négatif, on a le tableau de variation suivant : de g b. La fonction g admet pour maimum et il est atteint pour =. Le tableau de variation indique que la fonction g n ad-
met qu un seul antécédent du nombre.. a. On a les deu valeurs suivantes : a = = h = + + = 6 + = + = + = Le coefficient du terme du second degré étant positif, on a le tableau variation suivant : de h b. La fonction h admet pour minimum et il est atteint pour = Correction 6 : la fonction ne peut pas s annuler.. Montrons que toutes ces epressions algébriques admettent la forme développée réduite : + = 6 + = + + + = + + = + + 5 = + + = + +. a. Résolvons l équation ci-dessous : f = + = Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. On obtient les deu équations suivantes : = = = + = = = Ainsi, cette équation admet pour ensemble de solution : S = { ; } et montre que la fonction f s annule en deu nombres. b. Pour tout nombre réel, on a : 5 5 + f 5 L image de par la fonction f a pour valeur : f = 5 + = + 5 = 5 On en déduit 5 est la valeur maimale atteinte par la fonction f et ceci pour =.. a. Soit a et b deu nombres appartenant à l intervalle ; tels que a < b. On a les inégalités suivantes : a < b < a < b < Deu nombres négatifs et leurs carrés sont ordonnées dans le sens contraire : a > b a < a 5 + b < fa < fb + 5 Deu nombres de l intervalle ; et leurs images sont comparées dans le même sens : la fonction f est croissante sur l intervalle ;. b. On a le tableau de variation suivant : Correction 7. On a les transformations algébriques suivantes : + = + + = + + = f 5. a. Soit a et b deu nombres appartenant à l intervalle ;, on a les comparaisons suivantes : a < b < a + < b + < Deu nombres négatifs et leurs carrés sont comparés dans le sens contraire : a + > b + > a + > b + > fa > fb Deu nombres de l intervalle ; et leurs images par la fonction f sont comparés dans le sens contraire : la fonction f est décroissante sur ; b. On a le tableau de variation suivant : c. L etremum de la fonction f est un minimum qui a pour valeur et est atteint pour =.. a. On a le tableau : 5,5,5 f 6,75,75
,5,5 f,75,75 6 b. On a la représentation graphique : -5 - - - - O I Correction 8 Partie A 6 5 J - - - C f. L ae des abscisses interceptent la courbe C f au points de coordonnées ; et ;. L équation f= admet pour ensemble des solutions : { ; }. Graphiquement, on obtient le tableau de variation cidessous : - -,5 -,5. La courbe C f admet un sommet de coordonnées ; : le minimum de la fonction f a pour valeur. Partie B. a. On a les transformations algébriques suivantes : + = + = + = f b. Résolvons l équation : f = + = Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. On obtient les deu équations suivantes : + = = = = L ensemble des antécédents du nombre par la fonction f est : S = { ; }. a. On a les transformations algébriques suivantes : = + + = + + = + = f b. Soit a et b deu nombres appartenant à l intervalle ; tels que a<b. On a les comparaisons suivantes : a < b < a + < b + < a + > b + a + > + b a + > b + fa > fb Deu nombres de l intervalle ; et leurs images par la fonction f sont comparés dans le sens contraire : la fonction f est décroissante sur l intervalle ;. Correction 9. a. On a les éléments suivants : a = = = f = + + = + + = 5 On a le tableau de variation suivant : def 5 b. Ainsi, la fonction f admet pour maimum 5 et est atteint pour =.. a. Développons les deu epressions demandées : f h = h + h + = h + h + h + = + h h + h + = h + 5 f+h = + h + + h + = + h + h + + h + = h h + + h + = h + 5 b. On remarque que les points d abscisses h et +h ont même ordonnée quelque soit la valeur de h. On en déduit que ces deu points sont symétriques par rapport à l ae d équation =. Correction. a. En regardant le dessin, on remarque que : la baguette de bois est utilisée sur toute la longueur du cadre ;
la baguette de bois n est pas utilisée sur toute la largeur. La longueur totale de la baguette de bois utilisée doit être de cm : + y 6 + + y 6 = + y = + y 6 = 5 y = 5 + 6 y = 56 b. La variable représente la longueur du cadre, ainsi sa valeur doit être strictement positive mais pour que l intérieur du cadre eiste et soit non-vide, il est nécessaire qu il soit strictement positive à 6 cm : 6 cm Le même raisonnement sur la variable y qui représente la largeur de ce cadre, on obtient : y > 6 56 > 6 > 6 56 > 5 < 5 Ainsi, dans ce problème, la variable appartient à l intervalle 6 ; 5 [.. L intérieur du cadre est un rectangle dont les dimensions sont 6 et y 6. Ainsi, l intérieure du cadre a pour aire : A = 6y 6 = 6 [ 56 6 = 65 = 5 + 6 = + 56. a. Développons l epression : 8 + 8 = 56 + 78 + 8 = + 56 78 + 8 = + 56 = A b. L epression de la fonction A est un polynôme du second degré qui admet les deu valeurs suivantes : a = 56 = 8 A8 = 8 + 56 8 = 8 Le coefficient du second degré étant strictement négatif, on obtient le tableau de variation suivant : dea 6 8 5 8 c. On en déduit que l aire maimale du tableau est atteinte pour = 8 cm et qu alors son aire est de 8 cm. Correction. a. On a les mesures suivantes : AB = + ; BC = y + 6 ; CD = + On en déduit la longueur totale de la clotûre : L = AB + BC + CD = + + y + 6 + + = + y + = + y +. a. On a l égalité suivante : L = + y + = y = y = 88 y représentant un nombre positif, on a les inégalités suivantes : y > 88 > > 88 < 88 < b. L aire de jeu est un rectangle de dimensions et y, ainsi son aire a pour valeur : A = y = 88 = 88. a. On a les transformations algébriques suivantes : 968 = 968 + 8 = 968 + 88 968 = + 88 = A b. Soit a et b deu nombres apparteannt à l intervalle ; tels que a<b. On a les comparaisons suivantes : a < b < a < b < Deu nombres négatifs et leurs carrés sont ordonnées dans le sens contraire : a > b a < b 968 a < 968 b Aa < Ab c. L epression définissant la fonction A est un polynôme du second degré admettant les deu valeurs suivantes particulières : a = 88 = 88 = A = 88 = 96 8 = 96 968 = 968 Le coefficient du terme du second degré est négatif, on obtient le tableau de variation suivant : de A 968. D après le tableau de variation de la question précédente, on en déduit que la valeur maimale de l aire est réalisée pour = ; alors y a pour valeur : y = 88 = 88 = L aire de jeu est un rectangle dont la longueur cm et de largeur m. Correction. Cherchons le nombre de place occupé sur le manège en fonction en fonction d un pri fié : L augmentation de pri relativement au e s obtient
à l aide de l epression : Pour chaque augmentation de,5 e, la fréquentation baisse de 5 clients ; ainsi, pour chaque augmentation de e, la fréquence baisse de clients. Ainsi par proportionnalité, le nombre de clients en fonction du pri d une place est donné par la relation : 7 = 8 Ainsi, le pri d une place étant de e, la recette d un tour est donnée par : R = 8 = 8. a. La fonction R est une fonction du second degré admettant les valeurs particulières suivantes : a = 8 = R = 8 = 6 = 6 Le coefficient du terme de degré étant négatif, on obtient le tableau de variation : 8 b. La recette maimale que peut réaliser cet attraction sur un tour est de 6 e et elle sera réalisée lorsque le pri d un billet sera fié à e.. a. Le développement donne : = 8 + 6 = 8 + 5 Ainsi, l epression R admet pour forme canonique : R 5 = + 8 5 = 8 + 5 = [ b. On a la factorisation : = + = 5 Factorisons l epression R 5 : R 5 = [ = 5 c. Résolvons l équation suivante : R = 5 R 5 = 5 = Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. On en déduit les deu équations suivantes : = = 5 = = 5 Cette équation admett pour ensemble de solutions : S = { ; 5 }. d. On peut modifier le tableau de variation de la fonction R de la façon suivante : 5 5 6 5 On en déduit que l ensemble des solutions de l inéquation R 5 est : [ ; 5. Correction. a. Etablissons l identité : [ 9 5 + = = 9 + 6 = 8 + 5 9 + 8 + 5 = 8 + 6 b. De la relation BD+CE = m, on en déduit la relation : + y = Le triangle ADE est un triangle rectangle en A. D après le théorème de Pythagore, on obtient l égalité : DE = AD + AE = + + + y = 9 + 6 + + + y + y = + y + 6 + y + D après la relation : y = = + + 6 + + = + + + 6 + + = 8 + 5 D après la question a. : [ = 9 5 + Le carré d un nombre étant toujours positif ou nul, on a la comparaison : 9 9 5 + [ 9 + 5 5 5 DE 5 5 DE Ainsi, la distance DE est minoré par 5 et cette valeur est atteinte pour = 9. On en déduit que le minimum de la distance DE est atteinte pour : = 9 ; y = 9 =. Le triangle ABC étant rectangle en A, a pour mesure : A ABC = AB AC = = m Le triangle ADE étant rectangle en A, a pour mesure : A ADE = AD AE + + y =
L aire de la partie hachurée a pour mesure 5 m. Cette condition s eprime par : A ADE A ABC = 5 + + y = 5 + + y = + + y 6 = + + y 6 = D après la relation, on a : y = [ + + 6 = + 6 = 6 + 6 = + 9 = 9 = Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. On en déduit les deu solutions de l équation : = ; =9 La valeur = ne peut être retenue car dans ce cas, les points B et D serait confondus ce qui contredit la condition D [AB. Ainsi, pour réaliser une aire de 5 m de la surface hachurée, il est nécessaire d avoir : =9 ; y =