Bert Wiest Université de Rennes UFR Mathématiques et IRMAR IUT GEA, re année, Cours de Mathématiques Quelques notions de logique. Assertions, prédicats, quantificateurs Définition. Une assertion (ou proposition) est un énoncé qui a un sens, et qui est soit vrai (V), soit faux (F). Par convention, quand on écrit une assertion, on affirme qu elle est vraie. Exemple 2 est bleu n est pas une assertion (pas de sens). 2 est impair est une assertion fausse. 2 est pair est une assertion vraie. Définition.2 On appelle prédicat une assertion qui dépend d un ou plusieurs paramètres. Exemple Soit A(n) = n est pair. Alors l assertion A(n) est vraie pour n = 326 est fausse pour n = 877. Définition.3 On utilise les notations suivantes : veut dire pour tous (ou : quelque soit ) veut dire il existe au moins un(e) Ces deux expressions s appellent les quantificateurs. Exemples Ici on va utiliser l ensemble H = {tous les êtres humains, vivants ou déjà morts}. x {6, 2, 8, 24,...}, x est divisible par 3. (Ceci est vrai, tout nombre divisible par 6 est a fortiori divisible par 3.) x {6, 2, 8, 24,...}, x est divisible par 5. (Cette assertion est vraie, car 30 est en effet divisible par 5.) h H, h est mortel. (Ceci est une assertion vraie.) h H, h a le coeur a droite. (Pour autant que je sache, cette proposition est vraie, il s agit d une anomalie génétique très rare.) h H, m H, m est la mère de h. (Ceci est un énoncé VRAI: tout le monde a une mère.)
m H, h H, m est la mère de h. (Cette proposition est FAUSSE - elle affirme qu il existe une femme qui est la mère de tout le monde.) Remarquez que les deux derniers assertions se ressemblent énormement (elles diffèrent juste par l ordre des mots), néanmoins elles ont des significations très différentes, dont une évidente et l autre absurde..2 Connecteurs logiques À partir de deux assertions A et B on peut construire des nouvelles assertions. A (lu non-a ), la négation : A est faux, ou il n est pas vrai que A. A B (lu A et B ) A B (lu A ou B ) A B (lu A implique B ), c.à.d. si A est vrai, alors B est vrai aussi. A B (lu A est équivalent à B ) veut dire que A est vrai si et seulement si B est vrai. On écrit parfois ssi pour si et seulement si. A B A A B A B A B A B V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Remarque (), concernant le dans ce tableau : en mathématiques, le ou n est pas exclusif. Si un mathématicien est au restaurant et prend le menu avec fromage ou dessert, il le droit de prendre du fromage et du dessert. (2), concernant le dans le tableau : une impliquation est vraie si sa prémisse est fausse! Si 5 est pair, alors mon cochon sait voler est un énoncé vrai. (3) Impliquation logique n est pas causalité! L énoncé Si je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas est logiquement équivalent à l énoncé S il pleut, alors je prends mon parapluie, mais il contredit notre intuition quotidienne : bien évidemment, c est le temps qui détermine mon comportement, pas vice versa. (Pour voir pourquoi les deux phrases sont logiquement équivalentes, pensez à la phrase Si je ne prends pas mon parapluie, c est qu il ne pleut pas.) Chacune des deux phrases est en fait la contraposée de l autre voir plus tard. Proposition.4 On a les règles suivantes pour les connecteurs logiques (on utilisera le symbole pour noter l équivalence logique) : ( A) A donc il serait faux de dire que je ne suis pas fauché est équivalent à Je suis fauché. 2
A B B A. Par exemple x est divisible par 2 et par 3 est équivalent à x est divisible par 3 et par 2. A B B A. Par exemple x est divisible par 2 ou par 3 est équivalent à x est divisible par 3 ou par 2. A (B C) (A B) C et A (B C) (A B) C. Ceci veut dire que le parenthésage est inutile entre les mêmes connecteurs. (A B) (B A). Par exemple Si il pleut, alors je prends mon parapluie est équivalent à Je prends mon parapluie ou il ne pleut pas (autrement dit, ce qui est impossible c est que je vienne sans parapluie et qu il pleuve). (A B) (( B) ( A)). On dit que le deuxième énoncé est la contraposée du premier, et vice versa. Voir l exemple en haut. ATTEN- TION, ne pas confondre la contraposée d une impliquation et sa négation! (A B) ((A B) (B A)) On a aussi les règles suivantes pour trouver la négation d une assertion : (A B) ( A) ( B). Par exemple, la négation de Je prends du fromage et du dessert est Je ne prends pas de fromage ou je ne prends pas de dessert. Remarquez que cette dernière phrase laisse la possibilité que je ne prends ni fromage ni dessert. (A B) ( A) ( B). Par exemple, prenons l énoncé Clara est une soumise ou elle est une pute (elle tombe forcement dans une des deux catégories). Sa négation est Clara n est pas soumise et elle n est pas pute. (A B) A ( B). Par exemple, la négagion de S il pleut, alors je viens en voiture est Il pleut et (neanmoins) je ne viens pas en voiture. ( x, A(x)) x, A(x). Par exemple, la négation de l énoncé Tout être humain est mortel est Il existe un être humain qui n est pas mortel. ( x, A(x)) x, A(x). Par exemple, la négation de Il existe un nombre divisible par 6 qui est divisible par 5 serait Tout nombre divisible par 6 est non-divisible par 5 (ce qui est faux, le nombre 30 étant un contre-exemple). Règle pour trouver la négation d une assertions : remplacer tous les ou par des et et vice versa, remplacer tous les pour tous par des il existe et vice versa. Exemple La négation de Pour tout être humain h, il existe un autre être humain m tel que m est la mêre de h est Il existe un être humain h tel que tout être humain m n est pas la mêre de h. 3
2 Notions d analyse : fonctions 2. Quelques formules élémentaires Rappel (Distributivité) Pour trois nombres a, b, c R on a : a (b + c) = a b + a c Exemple Pour obtenir le prix TTC à partir du prix HT on écrit P TTC = P HT + P HT T TVA = P HT ( + T TVA ) Rappel En utilisant la distributivité, on peut montrer très facilement que (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Attention En particulier, a+b = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 + b 2!!! 2.2 Fonctions : propriétés et applications simples Définition 2. Une fonction (réelle) f associe à tout nombre réel x appartenant à un certain ensemble D f (appelé l ensemble de définition de la fonction f) un autre nombre réel, appelé la valeur de la fonction f en x, noté f(x). Notation f : D f R, x f(x). Dans les exemples qui vont nous intéresser, D f est en général un intervalle ou un intervalle privé d un nombre fini de points. On représente généralement une fonction f par son graphe, en plaçant un point d ordonnée f(x) au-dessus du point d abscisse x. Exemple (Voir Figure ) Je fabrique des appareils électroniques. Je regarde deux fonctions : en fonction du nombre d appareils produits (et vendus), (a) combien est-ce que je gagne (recette), supposant que tous les appareils sont vendus à un certain prix fixe? (b) combien d argent dois-je dépenser pour la fabrication? Dans cet exemple, la fonction recette croît linéairement avec la quantité. La fonction dépense est typiquement plus compliquée. J ai besoin d un investissement initial pour commencer à fabriquer, mais le plus important le nombre d appareils vendus, le plus bas le coût de fabrication par appareil. Définition 2.2 On dit de feux fonctions f et g qu elles sont réciproques si x D f, g(f(x)) = x et y D g, f(g(y)) = y. Leurs graphes sont alors symétriques l un de l autre par rapport à la droite y = x. 4
Euros recette depenses quantite zone de perte zone de profit benefice nul Figure : Exemple de deux fonctions recette et dépenses Exemple Regardons la fonction y = f(x) = 3x 5; nous avons donc une écriture de y exprimé en fonction de x. Trouver la fonction réciproque de f veut tout simplement dire : exprimer x en fonction de y. Dans notre exemple c est facile, x = y+5 3. Donc la fonction réciproque de f est g(y) = y+5 3. Exemple 2 (voir Figure 2) Supposons que la fonction dépenses est de la forme f(x) = 0 x + 00, où les dépenses (le coût de production) est en Euros et x est le nombre d appareils. 300 200 00 0 00 200 300 Figure 2: Exemple de la fonction dépenses f (bleue) et sa fonction réciproque g (rouge). En noir, l axe de symétrie, le graphe de la fonction y = x. Si je pose la question Combien d appareils peux-je produire avec un coût de production de 200d?, je dois calculer la fonction réciproque. Je prends l équation y = 0 x + 00, et j essaie d exprimer le nombre positif x d appareils en fonction du coût y. Je trouve ( y 2 y x = 00 = 0) 2 00 00 5
Donc la fonction réciproque de f est g(y) = y2 00 00. En particulier, x = g(200) = 2002 00 00 = 300, donc avec un coût de 200d je peux produire 300 appareils. Exemple 3 On définit la puissance kième de x par x k = x... x (k facteurs) La fonction réciproque de f : R + R +, x x k s appelle la racine kième, y k y. Donc si j ai un nombre positif y et je cherche un nombre x tel que x k = y, la réponse est par définition : x = k y. Définition 2.3 Soit f : D f R une fonction, et soit I D f un intervalle. On dit que f est croissante sur I si x, y I, (x y f(x) f(y)) On dit que f est strictement croissante sur I si x, y I, (x < y f(x) < f(y)) c est à dire, si f préserve les inégalités larges (respectivement, les inégalités strictes). On dit que f est décroissante sur I si x, y I, (x y f(x) f(y)) La propriété d être strictement décroissant est définie de façon semblable. Remarque L idée graphique est que le graphe d une fonction croissante monte tout le temps et le graphe d une fonction décroissante descend tout le temps. Exemples (a) La fonction f(x) = 3x est croissante, et la fonction f(x) = 2x + 3 est décroissante. Plus généralement, la fonction f(x) = ax + b (où a, b R) est croissante si a 0, et elle est décroissante si a 0. (b) La fonction f : [0, + [ R, x x 2 est strictement croissante. Ceci veut dire que pour deux nombres a, b positifs, a < b a 2 < b 2. (c) La fonction f : ]0, + [ R, x x sur ]0, + [ est strictement décroissante. Ceci veut dire que pour deux nombres a, b positifs, a < b a > b. Autre exemple (voir Figure 3) Étudions le lien qui existe entre la quantité de produits disponible sur le marché (par exemple, des maisons dans le quartier Thabor à vendre) et son prix. Il faut regarder deux fonctions: La fonction Offre : plus les prix sont élevés, plus les propriétaires vont être prêts à vendre leur bien, plus l offre va augmenter. Donc la fonction Offre, qui à la quantité x associe le prix qui doit être offert sur le marché pour créer une offre de x maisons, est toujours croissante. La fonction Demande : si les prix sont élevés, la quantité de biens qui trouve un acheteur va être petite, et vice versa. Donc la fonction Demande, qui a la quantité x associe le prix consenti par x acheteurs, est toujours décroissante. 6
Prix Offre Demande equilibre du marche quantite Figure 3: Exemple de deux fonctions offre et demande 2.3 Exemples importants de fonctions 2.3. Les fonctions linéaires - c est à dire, les fonctions de la forme f(x) = ax, où a R. À rajouter! Exemples : conversion, règle des trois 2.3.2 Les fonctions affines - c est à dire, les fonctions de la forme f(x) = ax + b, où a, b R. Son graphe est une droite de pente a qui intersecte l axe x en b/a et l axe y en b. Exemple Supposons que nous souhaitons trouver le point d intersection des deux droites y = f (x) = 3x + 7 et y = f 2 (x) = x 3 Comment fait-on? On cherche une valeur x avec f (x) = f 2 (x), donc avec 3x+7 = x 3. Cette équation est équivalente à 2x = 0, ou encore à x = 5. On a f ( 5) = f 2 ( 5) = 8, donc le point d intersection est ( 5, 8). Exemple La demande d un meuble est de 0 unités si le prix est 60 Euros et de 20 unités si le prix est de 20 Euros. Nous supposons que la fonction demande est affine f(x) = ax + b. Nous souhaitons calculer l équation de la demande. Nous souhaitons donc trouver a, b tels que 60 = a 0 + b 20 = a 20 + b Par exemple par élimination (exercice) nous trouvons a = 4, b = 200, donc nous avons la fonction demande f(x) = 4x + 200. 7
2.3.3 Fonctions quadratiques c est à dire, des fonctions de la forme f(x) = ax 2 + bx + c, où a, b, c R, a 0. Proposition 2.4 Pour trouver les racines d une telle fonction, c.à.d. les solutions de l équation ax 2 + bx + c = 0 () on calcule = b 2 4ac Si > 0, il y a deux racines, x = b± 2a. Si = 0, il y a une racine, x = b 2a Si < 0, il n y a pas de racine. Démonstration Admise, mais l idée est que l équation () est équivalente à (x + b 2a )2 = b2 4ac 4a. 2 Remarquons aussi que la fonction f(x) = ax 2 + bx + c prend son maximum ou minimum en x = b b 2a. En fait, le graphe est symétrique autour de l axe x = 2a voir Figure 4. symetrie b/2a Figure 4: Symétrie du graphe de f(x) = ax 2 + bx + c. Chaque flèche rouge est de longueur 2a. Exemple (voir Figure 5) Cherchons le point d équilibre de offre : y = x + 5 demande : y = 0 x + Il faudra resoudre l équation x + 5 = 0 x + (x + 5)(x + ) = 0 (x + ) x 2 + 7x 4 = 0 x = 7 + 65 ou x = 7 65 2 2 8
0 5 0 5 0 5 Figure 5: Offre et demande La seule solution qui a un sens économique (x > 0) est la première: x = 0.53, et avec y = x + 5 on a y = 5.53. Donc le point d équilibre est atteint à une quantité de 0.53 et un prix de 5.53. 2.3.4 Fonctions puissance, avec exposant entier positif Soit k un entier positif, c.à.d., k N. La fonction puissance avec exposant k est f : R R, x x k Figure 6: La fonction x k pour k pair et k impair (esquisse grossière) Exemple (voir Figure 7) J ai 000d placés sur un PEL. Regardons le montant qui se trouve sur ce plan au bout de 5 ans, en fonction du taux d intérêt x. La formule pour ce montant est f(x) = 000 ( + x) 5 Par exemple, avec un taux d interêt de 3,5% =0,035, après 5 ans, on a 88d. Définition 2.5 Un polynôme (de degré d) est une fonction de la forme x a d x d + a d x d +... + a x + a 0, où a i R. Par exemple, x 5x 3 7 3 x2 + 2 est un polynôme de degré 3. 9
3000 2000 000 -,5 -,25 - -0,75-0,5-0,25 0 0,25 Figure 7: Sur l axe x, le taux d intérêt. Sur l axe y, l argent sur le compte après 5 ans, calculé par la formule 000 ( + x) 5. (La partie du graphe avec x < 0 a un sens mathématique, mais pas beaucoup de sens économique.) 2.3.5 Les fonctions exponentielle et logarithme Je suppose que vous connaissez la fonction exponentielle exp : R ]0, + [, x exp(x) et sa fonction réciproque, le logarithme (népérien) ln : ]0, + [ R, x ln(x) voir Figure 8. 5-5 0 5 0-5 Figure 8: Les graphes des fonctions exp (bleu) et ln (rouge). Remarquez que exp(0) = et ln() = 0. Remarque Si vous ne connaissez pas la fonction exp, vous connaissez sûrement la fonction e x c est la même chose, comme on verra bientôt : exp(x) = e x. Remarque pour les spécialistes Pour être un peu plus rigoureux, on peut définir exp comme l unique fonction f telle que f (x) = f(x) pour tout x et telle que f(0) =. On peut définir ln comme l unique fonction f telle que f (x) = x et telle que f() = 0. Proposition 2.6 On a des règles de calcul pour la fonction exponentielle : e x+y = e x e y e x = e x 0
Si α N, alors (e x ) α = e αx et pour la fonction logarithme : ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln( x ) = ln(x) Si α N, alors ln(x α ) = α ln(x) Définition 2.7 (Puissance) Si a > 0 et b R, alors on définit a b = exp(b ln(a)) Exercice Démontrer que x 2 = x x (et plus généralement : x k = x... x, avec k facteurs). Donc la définition 2.7 est raisonnable : dans le cas particulier où b est un entier, elle coincide avec la définition que vous connaissez du lycée. Règles de calcul a b+c = a b a c et a b = a b (Vous pouvez démontrer ces règles en utilisant les règles de calcul de la fonction exp.) Attention Si a < 0, alors a b n est en général pas défini. Par exemple 2 = n est pas défini. Néanmoins, si b Z, alors a b est quand même défini, par a b = a... a (b fois, si b > 0), et a b = a... a ( b fois, si b < 0) Notation On note e le nombre e := exp() = 2.78288284... Observation Puisque exp(x) = exp(x ) = exp(x ln(e)) = e x, on a exp(x) = e x 2.3.6 Fonctions puissance, avec exposant arbitraire Pour α R, considérons la fonction f : ]0, + [ R, x x α. Le graphe d une telle fonction est très différent selon la valeur de α essentiellement, il faut distinguer trois cas, α < 0, 0 < α <, et α > (voir figure 9). Exemple Pour k N on a x k = k x et x k = k x (Démonstration de la première formule : on observe que x x k est la fonction réciproque de x x k.)
a=5 a=. a=0.9 a=0. a= 0.5 a= 2 Figure 9: Le graphe de la fonction x x α, pour α < 0, 0 < α <, et α >. 2.3.7 Exponentielle et logarithme de base arbitraire Exemple Si je place 000 Euros sur un compte remunéré à 3.5%, alors après t années j ai f(t) = 000 (, 035) t (voir figure 0). 5000 0 25 50 Figure 0: Sur l axe x, le nombre d années. Sur l axe y, l argent sur le compte, calculé par la formule 000 (, 035) x. Définition 2.8 Pour a > 0, la fonction f : R R +, x a x s appelle l exponentielle de base a. Sa fonction réciproque s appelle le logarithme de base a, g: R + R, y log a (y). Exemple log 4 (6) =?? Réponse : log 4 (6) = 2 parce que 4 2 = 6. Remarque Comment calculer log a (y) si la calculette n a qu un bouton ln : log a (y) = ln(y) ln(a) (Démonstration: si y = a x = exp(x ln(a)), alors ln(y) = x ln(a) et donc x = ln(y) ln(a) ; c est-à-dire, la fonction réciproque de x ax est la fonction y ln(y) ln(a).) 2
Exemple Si j ai 000 Euros placés à un taux de 3,5%, combien d années dois-je attendre pour doubler mon argent, c.à.d. pour arriver à 2000 Euros? Réponse : je dois trouver t tel que 000 (,035) t = 2000, c est-à-dire tel que (,035) t = 2. Donc t = log,035 (2). Comme ma calculatrice n a pas de bouton log,035, je calcule : t = ln(2) ln(,035) =20,5. Je dois donc attendre 20,5 ans. (En fait, comme les intérêts ne sont payés qu une fois par an, je dois attendre 2 ans.) Notation En notant e := exp() = 2.7..., on a exp(x) = e x et ln(x) = log e (x). Un autre logarithme qui apparaît assez souvent est le logarithme de base 0, qui est souvent noté log(x): log(x) := log 0 (x) Règles de calcul pour les foncitons exponentielle et logarithme de base arbitraire: comme pour exp et ln, à savoir : a x+y = a x a y, a x = a x, et pour x, y, a > 0 on a si α R, alors (ax ) α = a αx log a (xy) = log a (x) + log a (y), log a ( x ) = log a(x), log a (x α ) = α log a (x) 2.4 Manipulation d inégalités Rappel Si on a une inégalité x y si f est une fonction strictement croissante, alors ceci est équivalent à f(x) f(y) si f est une fonction strictement décroissante, alors ceci est équivalent à f(y) f(x) Exemple Pour quels nombres x est-ce qu on a 2 x 4 ou, de façon équivalente, exp( x ln(2)) 4? En appliquant la fonction strictement croissante z ln(z) aux deux côtés, on obtient équivalence avec l inégalité x ln(2) ln(4) En applicant la fonction strictement croissante z l inégalité x ln(4) ln(2) z ln(2) on a équivalence avec En applicant la fonction strictement décroissante z z on a équivalence avec x ln(4) ln(2) 3
Enfin, on peut simplifier le membre droit x ln(22 ) ln(2) L inégalité est donc vraie pour x 2. = 2 ln(2) ln(2) = 2 3 Dérivées 3. Définition de la dérivée Définition 3. Soit f : D f R une fonction. La dérivée de f au point x, notée f (x) est f (x) = limite x 0 f(x + x) f(x) x lorsqu elle existe. (a) (b) f(x+ x) f(x) pente f (x) x x x+ x Figure : (a) La pente du segment de droite noir est f(x+ x) f(x) x. (b) Quand x tend vers 0, cette pente tend vers la pente du graphe au point bleu, c.à.d. vers f (x). Nous ne discuterons pas la signification exacte du mot limite. Une bonne idée intuitive suffira pour nos applications. Attention La limite n existe pas toujours! Deux exemples. (a) f : x x. Essayons de calculer f (x) en x = 0. On a f(0) = 0. Quand x > 0, on a f(x+ x) f(x) x Quand x < 0, on a f(x+ x) f(x) x = x x = x x =. = x x = x x =. Même pour x très proche de 0, la pente f(x+ x) f(x) x n est pas forcément f(x+ x) f(x) proche d un certain nombre, c.à.d. la limite lim x 0 x n existe pas, la fonction f n est pas dérivable en x = 0. (b) f : x x sin( x ) pour x 0, et f(0) = 0 (voir figure 3). Remarque Deux interprétations graphiques de la dérivée f (x): x 4
2,5-2,5 0 2,5 5 Figure 2: Le graphe de f : x x. La dérivée f (0) n est pas définie 0, -0, 0 0, 0,2 0,3 0,4-0, -0,2 Figure 3: Le graphe de f : x x sin( x ) (et 0 0). La dérivée f (0) n est pas définie Pente du graphe de f au point x. Si un bonhomme se ballade avec vitesse sur R, alors au moment où le bonhomme traverse le point x, son image f(bonhomme) se ballade avec vitesse f (x). 3.2 Règles de calcul pour la dérivée Exemple Calcul de la dérivée de f(x) = x 2 : on a et donc f(x + x) f(x) x = x2 + 2x x + ( x) 2 x 2 x f f(x + x) f(x) (x) = lim = 2x x 0 x = 2x + x Théorème 3.2 (Dérivée de fonction usuelles). Pour f(x) = x a on a f (x) = a x a Pour f(x) = ln(x) on a f (x) = x. Plus généralement, pour f(x) = log a (x) on a f (x) = x ln(a) Pour f(x) = exp(x) on a f (x) = exp(x). Plus généralement, pour f(x) = a x on a f (x) = a x ln(a). 5
Démonstration Vu que nous n avons même pas rigoureusement défini les fonctions exp et ln, on est obligé d admettre ces résultats fondamentaux. Exemple Si f(x) = x = x, alors f (x) = ( ) x 2 = x 2. Théorème 3.3 (Opérations sur les fonctions) Si f et g sont des fonctions dérivables, et si λ R, alors les fonctions f + g f g λf f g : x f(x) + g(x) : x f(x) g(x) : x λ f(x) : x f(x) g(x) g : x g(x) g f : x g(f(x)) sont dérivables là où elles sont définies, et leurs dérivées sont (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (λf) (x) = λ f (x) ( f g ) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) (g(x)) 2 ( g ) (x) = g (x) (g(x)) 2 (g f) (x) = g (f(x)) f (x) Exemple comment appliquer la dernière règle : supposons vous avez oublié comment dériver la fonction a x. Vous écrivez la définition de cette expression a x = exp(x ln(a)). Vous définissez des fonctions auxiliaires g(x) = exp(x) et f(x) = x ln(a), de telle façon que a x = g(f(x)). Maintenant vous pouvez calculer (a x ) = (g f) (x) = g (f(x)) f (x) = exp (x ln(a)) ln(a) = exp(x ln(a)) ln(a) = a x ln(a) En règle générale, pour calculer les dérivées de fonctions compliquées, n hésitez pas à définir (au moins dans votre tête) des fonction auxiliaires. Corollaire 3.4 Si g est une fonction, et si l on connait la fonction réciproque f de g ainsi que la dérivée de f, alors on peut calculer la dérivée de g : g (x) = f (g(x)) (Seule exception : si f (g(x)) = 0, alors la règle ne s applique pas.) Démonstration On a x = f(g(x)). En dérivant les deux membres on obtient = f (g(x)) g (x), c.q.f.d. 6
3.3 Applications économiques 3.3. Coût marginal Si je fabrique certains appareils, et si f(x) = coût de produire x unités, alors Coût Marginal(x) := f (x) La signification économique de cette définition est la suivante: en très bonne approximation, le coût marginal est le coût supplémentaire pour la fabriquation d une unité supplémentaire. Par exemple, si le coût de production de x appareils est f(x) = 0 x + 00, alors produire 300 appareils coûte 200 Euros, et produire un 30ième appareil coûte f(30) f(300) =0,2498 Euros de plus. Or, dans notre exemple le coût marginal est f 0 (300) = 2 300+00 = 0 40 = 0, 25. 3.3.2 Revenu marginal De façon semblable, si RT(x) est le revenu total en fonction de x, le nombre d unités demandés, alors Revenu marginal := RT (x) En bonne approximation, le revenu marginal est le revenu supplémentaire par unité supplémentaire demandée. Typiquement, la fonction RT(x) est de la forme RT(x) = x f(x), où f(x) est la fonction Demande c.à.d., f(x) représente le prix par unité demandée, en fonction du nombre x d unités demandées. Exercice Si la fonction Demande est f(x) = 400 2x, calculer le revenu total et le revenu marginal en fonction de x. Dessiner les graphes des deux fonctions, les interpréter. Solution: RT(x) = 400x 2x 2, une parabole avec racines 0 et 200 et maximum f(00) = 20000. RM(x) = 400 4x, ce qui a une racine en x = 00. Donc si l on met plus de 00 appareils sur le marché, le marché devient tellement saturé que l opération devient en total moins rentable. Au-dela de 200 unités, on fait une perte. 3.3.3 Élasticité Définition 3.5 Soit f une fonction dérivable en x, avec f(x) 0. L élasticité de f en x est E f (x) = lim x 0 f(x+ x) f(x) f(x) x x = x f (x) f(x) Le dénominateur x x est l augmentation en pourcentage de x si, par exemple, on a initialement x = 000, et ensuite on augmente x par x = 3 vers x+ x = 03, alors x a augmenté par x x = 3 000 =0,03=,3%. 7
De façon semblable, le numérateur f(x+ x) f(x) f(x) mesure par combien de pourcent f(x + x) est plus grand que f(x). Donc : Signification en pratique de l élasticité : Si x augmente de k% (pour k petit), alors f(x) augmente de (E f (x) k)%. Exemple Si f associe au prix x la quantité vendue (ceci est la fonction réciproque de la fonction Demande que nous connaissons bien) alors E f (x) = 2 veut dire: si le prix de l article est initialement égal à x et ensuite augmente de %, la demande diminue de 2%. Exercice Donnez des exemples d articles pour lesquels, à votre avis, l élasticité est assez importante, et d autres pour lesquels l élasticité est plutôt proche de 0. 3.4 Variation et recherche d extréma Théorème 3.6 Soit f : D f R une fonction, et I D f un intervalle. Si f (x) = 0 pour tout x I, alors f est constante sur I, c.à.d. le graphe de f (au moins restreint à l intervalle I) est une ligne horizontale. Si f (x) 0 pour tout x I, alors f est croissante sur I. Si f (x) > 0 pour tout x I, alors f est strictement croissante sur I. Si f (x) 0 pour tout x I, alors f est décroissante sur I. Si f (x) < 0 pour tout x I, alors f est strictement décroissante sur I. Démonstration admise bien qu assez intuitif, ce résultat n est pas si facile que ça à démontrer! 5-5 0 5-5 Figure 4: La fonction x est strictement décroissante sur R et aussi sur R +, mais pas sur tout son domaine de définition Exemple (voir Figure 4) Soit f : R \ {0} R, x x. On a f (x) = x 2, et en particulier f (x) < 0 pour tout x dans le domaine de définition. En effet, 8
la fonction f est strictement décroissante sur l intervalle ], 0[ et aussi sur l intervalle ]0, + [. Mais attention, la fonction f : R \ {0} R, x x n est pas décroissante! Par exemple, f( ) = < = f(). Cet exemple n est pas en contradiction avec le Théorème 3.6 parce que R \ {0} n est pas un intervalle, et le théorème ne s applique qu aux intervalles! Définition 3.7 Soit f : D f R une fonction et a D f. On dit que f a un minimum (global) en a si pour tout x D f, on a f(a) f(x) De façon semblable, f a un maximum (global) en a si pour tout x D f, on a f(a) f(x) On dit que la fonction f a un extremum (global) en a si elle y a un maximum ou un minimum. Remarque Le pluriel de maximum est maxima. Théorème 3.8 Soit f : D f R une fonction qui est dérivable en tout point de D f. Supposons que f a un extremum en a. Alors soit f (a) = 0, soit a est au bord de D f (dans le sens que tout intervalle [s, t], avec s < a < t, contient un point qui n appartient pas à D f ). Autrement dit, dans un maximum à l intérieur du domaine de définition la dérivée f doit s annuler. Attention le Théorème 3.8 ne dit pas que tout point a avec f (a) = 0 est forcement un extremum! Par exemple, la fonction f : [, ] R, x x 3 (voir Figure 5) a comme dérivée f (x) = 3x 2. En particulier f (0) = 0, bien que x = 0 ne soit ni un maximum ni un minimum de f. Remarquez aussi que dans cet exemple, x = est un maximum (le graphe a son plus haut point en x = ), bien que f () = 2 0. Selon le théorème, ceci n est possible que parce que x = est situé au bord du domaine de définition D f = [, ]. Utilisation du théorème 3.8 : Si vous cherchez le maximum et minimum d une fonction f qui est définie sur un intervalle [s, t]. Voici la procédure :. déterminer tous les points x, x 2,... où f (x) = 0. (Selon la fonction f, cette étape peut être très difficile). 2. Calculer les valeurs f(s), f(t), f(x ), f(x 2 ),... 3. Décider laquelle des valeurs est la plus grande. Le point x i (ou s ou t) correspondant est celui où f a son maximum. 9
0,5 - -0,5 0 0,5-0,5 - Figure 5: La fonction f : [, ] R, x x 3 satisfait f (0) = 0 sans avoir un extremum en x = 0. En plus, elle a un maximum en x = bien que f () 0. 4. De même le point x i (ou s ou t) où f est minimal est le point où f atteint son minimum. Exemple Appliquer cette procédure à la fonction f : [ 2,5,,5] R, x 4 (x3 + 3x 2 ) pour trouver son minimum et son maximum. 2,5-2,5 0 Figure 6: La fonction f : [ 2,5,,5] R, x 4 (x3 + 3x 2 ). 4 Limites 4. Définition de limites Soit f : D f R une fonction. Soient a, c R. Quelle est la signification d une affirmation comme lim x a f(x) = c ( quand x tend vers a, f(x) tend vers c ) lim x + f(x) = c lim x a f(x) = lim x a + f(x) = c ( quand x tend vers +, f(x) tend vers c ) ( quand x tend vers a, f(x) tend vers ) ( quand x tend vers a à droite, f(x) tend vers c ) 20
lim x a f(x) = + ( quand x tend vers a à gauche, f(x) tend vers + ) etcetera? Dans ce cours nous n allons pas discuter en détail la signification exacte de ces affirmations (Pour les spécialistes, la première veut dire que ǫ > 0, δ > 0, ( x a < δ f(x) c < ǫ) ) Nous allons juste donner quelques exemples. Exemple f : R \ {0} R, x x 2 On a lim x 0 f(x) =. Graphiquement, c est assez évident. L idée mathématique est : si je veux être sûr que f(x) < 000000, par exemple, il suffit de choisir x dans un voisinage suffisamment restreint de x = 0, en l occurence 000 < x < 000 suffirait. - 0 2 3 - -2-3 Figure 7: La fonction f : R \ {0} R, x x 2. On a aussi lim x + f(x) = 0. L idée est : si je veux être sûr que 0,00000< f(x) < 0,00000, il suffit de choisir x suffisamment grand ( suffisamment proche de + ); ici x > 000 suffirait. Exemple f : R \ {0} R, x x (voir Figure 4). Le comportement de cette fonction près de x = 0 est intéressant : Si x est très proche de 0 et x > 0, alors f(x) est un très grand nombre positif. Si x est très proche de 0 et x < 0, alors f(x) est un très grand nombre négatif. On a lim f(x) = +, lim x 0 + f(x) = x 0 Exemple concernant les fonctions exp et ln (voir Figure 8) : lim x exp(x) = 0, lim x + exp(x) = + lim x 0 + ln(x) =, lim x + ln(x) = + Exemple Regardons comment on peut calculer les limites d une fonction composée. Soit f : R\{0} R, x exp ( ) x (voir Figure 8). Elle est la composée 2 des fonctions x x et x exp(x) vus en haut. On calcule 2 2
-4-3 -2-0 2 3 4 5 Figure 8: La fonction f : R \ {0} R, x exp ( x 2 ). lim x 0 exp ( exp ( ) x 2 lim x + x 2 ) = lim x exp(x) = 0 = lim x 0 exp(x) = Exemple De façon semblable, pour f : R \ {0} R, x exp ( ) x (voir Figure 9) : 5-5 0 5 0 Figure 9: La fonction f : R \ {0} R, x exp ( ) x. lim x 0 + exp ( ) x lim x 0 exp ( ) x = lim x exp(x) = 0 = lim x + exp(x) = Exemple Enfin, regardons le comportement de f(x) = sin(x) quand x tend vers +. La limite lim sin(x) n existe pas x + Idée de la démonstration : toute valeur y avec y apparaît comme -4 0 4 8 2 6 20 24 28 - Figure 20: La fonction f : R R, x sin(x). valeur f(x), même si l on se restreint à des x très, très grands. Autrement dit, sin(x) ne peut pas avoir de limite c pour x + car même en choississant x arbitrairement grand on ne peut pas être sûr que f(x) va être proche de c. 22
4.2 Exemples importants de limites en ± 4.2. Limites de fractions rationelles Premier pas On sait que lim x + xn = + et { limx x n = + si n est pair lim x x n = si n est impair Deuxième pas Pour des polynômes on calcule les limites par une astuce : Question : lim x + 5x3 + 2x 2 + 3x 7 =? Réponse : re-écrire lim x 5x3 + 2x 2 + 3x 7 = lim x x3 ( 5 + 2 x + 3 x 2 7 x 3 ) = lim x 5x3 = } {{ } parce que lim 5 + 2 x x + 3 x 2 7 x 3 = 5 De façon semblable : lim x 5x 3 + 2x 2 + 3x 7 = lim x 5x 3 = + Moralité : pour un polynôme, les limites en ± sont complètement déterminées par le terme de degré maximal. Troisième pas Pour des fractions rationelles, c.à.d. des quotients de deux polynômes, on applique l astuce précédent au numérateur et au dénominateur. Exemple : 2x 4 5x + 6 lim x 3x 2 6x + = lim x 4 ( 2 5 x + 6 3 x ) 2x 4 4 2 x x 2 (3 6 x + = lim x ) 2 x 3x 2 = lim x 3 x2 = Exemple 2 : Exemple 3 : lim x 2x 2 5x + 6 lim x 3x 2 6x + = lim x 2 ( 2 5 x + 6 x ) 2 x x 2 (3 6 x + = 2 x ) 3 2 3x 2 6x + 2x 4 5x + 6 = lim x x 2 (3 6 x + x 2 ) x 4 ( 2 5 x 3 + 6 x 4 ) = lim x 3x 2 2x 4 = lim 2 x 3x 2 = 0 Moralité : pour une fraction rationelle P(x) Q(x), les limites en ± sont complètement déterminées par les termes de degré maximal de P et Q. 23
4.2.2 Limites des fonctions logarithme, puissance, et exponentielle Règle En ce qui concerne les limites x +, x 0 + et x, l exponentielle est plus forte que n importe quelle puissance, et n importe quelle puissance est plus forte que le logarithme. On va illustrer la signification de cette règle avec quelques exemples. Exemple lim x + exp(x) x 7 =? On a lim x + exp(x) = + et lim x + x 7 = 0. Donc exp pousse vers + et x 7 pousse vers 0 (tout en restant positif) qui gagne? Réponse : exp gagne, on a lim x + exp(x) x 7 = + Remarque La convergence vers + est difficilement visible sur une calculatrice voir Figure 2). 5 0 5 0 5 20 25 Figure 2: La fonction f : R + R, x exp(x) x 7. Exemple 2 lim x + ln(x) x =? On a lim x + ln(x) = + et lim x + x = 0. Donc ln pousse vers + et x pousse vers 0 qui gagne? Réponse : La puissance x = x 2 gagne, on a lim x + ln(x) x = 0. Remarque La convergence vers 0 est très lente et difficilement visible sur une calculatrice voir Figure 22. 0,5 0 00 200 300 Figure 22: La fonction f : R + R, x ln(x) x. Exemple 3 lim x 0 + ln(x) x =? 24
On a lim x 0 + ln(x) = et lim x 0 + x = 0. Donc ln pousse vers et x pousse vers 0 qui gagne? Réponse : La puissance x = x 2 gagne, on a lim x 0 + ln(x) x = 0. Exemple 4 lim x ( x 5 + 3x 2 x) e x = 0, parce que l exponentielle est plus forte même que x 5. 4.3 Tableaux de variation Étant donné une fonction f, l information complète sur le domaine de définition la position des racines le signe de la dérivée f (c.à.d. l information où f est croissante et où f est décroissante) les valeurs de f dans les maxima et minima les limites lim x a f(x) où a R {+, } est au bord du domaine de définition est souvent réuni dans un tableau de variation de f. 5 Suites 5. Définition Définition 5. Une suite (de nombres réels) (u n ) n N est une application N R, n u n Exemple u 0 = 0, u =, u 2 = 4, u 3 = 9,...,u n = n 2 est une suite. Exemple 2 u 0 =, u =, u 2 =, u 3 =,..., u n = ( ) n est une suite. Exemple 3 u n = exp(n) n (pour n ) définit une suite, et on a vu en 7 chapitre 4.2.2 qu elle satisfait lim n + u n = +. Une suite peut être spécifiée de deux façons :. Explicitement, par une formule du type u n := f(n) voir Exemples 3. 2. Récursivement, en définissant u 0 explicitement, mais u n en fonction des termes précédents de la suite voir Exemples 4 & 5 25
Exemple 4 u 0 = 0,5 et u n+ = 3,6 u n ( u n ). (On peut démontrer que cette suite est, dans un certain sens technique, chaotique. Pour plus d informations, le mot clé est suite logistique.) Exemple 5 u 0 =, u =, et pour n 2 on pose u n = u n + u n 2. Donc, u 2 = 2, u 3 = 3, u 4 = 5, u 5 = 8, u 6 = 3, u 7 = 2... (Il s agit de la fameuse suite de Fibonacci. On peut démontrer que la proportion un u n tend vers le nombre + 5) 2, le nombre d or. Il y a des gens qui affirment que ce nombre est sous-jacent aux proportions du Parthénon, des pyramides d Égypte, des oeuvres de Mozart, des violons de Stradivarius, des proportions humaines et des vibrations cosmiques...) 5.2 Suites arithmétiques Définition 5.2 Une suite arithmétique est une suite donnée par une loi de récurrence de la forme u n+ = u n + r où r R est indépendant de n Le nombre r est appelé la raison de la suite arithmétique. Exemple (voir Figure 23) u 0 = 2,, u = 2, 4, u 2 = 2, 7, u 3 = 3, u 4 = 3, 3, u 5 = 3, 6,... est une suite arithmétique de raison 0,3, et avec u 0 = 2,. Observons qu on peut calculer u n directement par la formule u n = 2, + n 0,3. Proposition 5.3 On a une expression explicite d une suite arithmétique en fonction du terme initial u 0 et de la raison r : u n = u 0 + n r 5.3 Suites géométriques Définition 5.4 Une suite géométrique est une suite donnée par une loi de récurrence de la forme u n+ = u n q où q R est indépendant de n Le nombre q est appelé la raison de la suite géométrique. Exemple (voir Figure 23) J ai 2,0d placés sur un compte avec des intérêts de 9% annuels! Si u n note l argent sur le compte après n années, alors u n+ = u n,09. Observons qu on peut calculer u n directement par la formule u n = 2,, 09 n 26
0 5 0 5 0 5 Figure 23: La suite arithmétique u n = 2, + 0,3 n (bleu), et la suite géométrique u n = 2,,09 n (rouge) Proposition 5.5 On a une expression explicite d une suite géométrique en fonction du terme initial u 0 et de la raison q : u n = u 0 q n 5.4 Suites arithmético-géométriques Définition 5.6 Une suite arithmético-géométrique est une suite donnée par une loi de récurrence de la forme u n+ = q u n + r où q, r R sont indépendants de n Remarque On va supposer que q et r 0, car si q = si r = 0 suite arithmétique suite géométique Proposition 5.7 On a une expression explicite d une suite arithmético-géométrique en fonction du terme initial u 0 et des raisons q et r : ( ) u n = q n u 0 + r q Démonstration On définit la suite v n := u n + r de raison q, parce que q v n+ = u n+ + r q = q u n + r + r q = q u n + (q ) r q = q u n + q r q ( ) = q u n + r q = q v n r q. Cette suite est géométrique + r q 27
En particulier, d après la Proposition 5.5 on a v n = q n v 0, et donc u n + r ( q = v n = q n v 0 = q n u 0 + r ) q ce qui implique immédiatement la formule de l énoncé. Exemple Remboursement d un emprunt (voir Figure 24). Si la somme empruntée est de u 0 = 000d, avec un taux de 8% (q =,08) et des remboursements annuels de 85d (r = 85), alors la somme u n qui reste à rembourser apres n années se calcule récursivement et explicitement u n =, 08 n u n+ =, 08 u n 85 ( 000 + 85 ) 85 = 062, 5 62, 5, 08n 0, 08 0, 08 000 500 0 0 20 30 40 50 Figure 24: Remboursement d un emprunt de 000d, avec un taux de 8% et des remboursements annuels de 85d. Le prêt est remboursé après 37 ans. En total vous aurez alors payé presque 37 85d = 345d. Résumé Nous avons discuté trois types de suites, et pour chaque type nous avons un modèle économique simple : Suite arithmétique son modèle économique est la tirelire : j ai initialement 2,0d dans ma tirelire, et chaque mois ma Maman me donne 30 centimes. Suite géométrique son modèle économique est un compte d épargne que je n alimente pas, mais qui continue à gagner des intérêts. Suite arithmético-géométrique son modèle économique est le remboursement d un prêt. (Un autre modèle économique serait un compte d épargne qui est alimenté régulièrement.) 28
6 Algèbre linéaire : systèmes d équations linéaires 6. Exemple d un système d équations linéaires Dans cet exemple on va utiliser la notation suivante : J ai dans mon frigo/placard Une unité de beurre = 00g de beurre, une unité de sucre = 00g de sucre. 5 unités de beurre, 20 oeufs et 30 unités de sucre, et je veux transformer tout ça en gâteaux. Je ne connais que trois recettes de gâteau, qui utilisent les quantités suivantes : Recette Recette 2 Recette 3 beurre 2 oeufs 3 3 sucre 2 2 8 Question Combien de gâteaux de chaque type dois-je produire pour utiliser toutes mes ressources pas plus et pas moins? Mise en équation Si l on appelle x i (pour i = ou 2 ou 3) le nombre de gâteaux de recette i, on obtient trois équations. Nous introduisons tout de suite une notation abrégée, très populaire. x + 2x 2 + x 3 = 5 x + 3x 2 + 3x 3 = 20 2x + 2x 2 + 8x 3 = 30 abréviation : x x 2 x 3 2 5 3 3 20 2 2 8 30 Si, par inspiration métaphysique, je dévine la bonne réponse, x = 8, x 2 = 3, x 3 = (c.à.d. je dois faire 8 gâteaux de la première recette, 3 de la deuxième et un seul de la troisième), alors cette réponse est facile à vérifier. En effet, on a bien 8 + 2 3 + = 5 8 + 3 3 + 3 = 20 2 8 + 2 3 + 8 = 30 Mais comment trouve-t-on une telle solution? 29
6.2 Solutions de systèmes en forme échelonnée Définition 6. Un système d équations linéaires est en forme échelonnée réduite s il a la forme suivante.... 0... 0... 0...... 0................. 0....... Dans ce schéma, il y a un nombre arbitraire de colonnes bleues (peut-être aucune). Une étoile signifie un nombre réel arbitraire (peut-être 0). Si dans une position de ce tableau il n y rien écrit, ceci signifie qu il doit y avoir un 0. Une condition un peu moins stricte sur le système d équations est qu il soit en forme échelonnée. Un tel système doit avoir la même forme générale qu un système échelonné réduit, sauf que dans le schéma précédent les 0 rouges sont remplacés par des étoiles. Attention La notation des colonnes rouges et bleues est une aide visuelle utilisé dans ce poly, il ne s agit pas du tout d une notation standard! Observations (a) Pour un système d équations linéaires en forme échelonnée réduite il est facile de décider s il y a des solutions, et si oui, de décrire explicitement l ensemble de toutes les solutions. (b) Dans cette déscription, les variables correspondants aux colonnes bleues sont les variables libres en particulier, la dimension de l ensemble des solutions est égal au nombre de colonnes bleues. Exemple Le système x + 0x 2 + 0x 3 = 8 0x + x 2 + 0x 3 = 3 0x + 0x 2 + x 3 = a une seule solution : x = 8, x 2 = 3, x 3 =. c.à.d. x x 2 x 3 0 0 8 0 3 Exemple 2 Le système x + 0x 2 x 3 = 2 0x + x 2 + 2x 3 = 8 0x + 0x 2 + 0x 3 = 2 c.à.d. x x 2 x 3 0 2 2 8 2 n a aucune solution, car l équation 0 x + 0 x 2 + 0 x 3 = 2 n a évidemment pas de solution. Dans notre schéma, on voit que la dernière colonne ( noire ) 30
est plus longue (3 nombres dans cette colonne) que la partie gauche ( rouge et bleue ) du tableau, qui n a que deux lignes. Exemple 3 Le système x + 2x 2 + x 3 + 0x 4 x 5 = 5 x 4 + 3x 5 = 2 c.à.d. x x 2 x 3 x 4 x 5 2 0 5 3 2 a des solutions. Plus précisement l ensemble des solutions est de dimension 3 : les trois variables x 2, x 3 et x 5 sont les variables libres, et x et x 4 sont déterminées en fonction d eux. Solutions x 2, x 3, x 5 R arbitraires, x = 5 2x 2 x 3 + x 5, x 4 = 2 3x 5 Par exemple, pour x 2 =, x 3 = 3 et x 5 = 2 on obtient la solution x = 5 2 3 + 2 = 2, x 2 =, x 3 = 3, x 4 = 2 3 2 = 4, x 5 = 2 mais il y en a beaucoup d autres. 6.3 Trouver toutes les solutions d un système d équations linéaires Étant donné un système d équations linéaires, notre stratégie pour trouver toutes ses solutions va être de procéder en deux pas : Premier pas Construire un système d équations linéaires qui. est en forme échelonnée, et 2. est équivalent au système original, dans le sens qu il a exactement le même ensemble de solutions. Second pas Trouver les solutions du système échelonnée, comme expliqueé dans la section 6.2. Nous allons à présent expliquer le premier pas. Observation Les opérations suivantes ne changent pas l ensemble de solutions d un système d équations linéaires (A) Échanger deux lignes (B) Multiplier ou diviser tous les nombres dans une ligne par un nombre réel différent de 0 (tous par le même nombre) (C) Modifier une ligne en y additionnant un multiple d une autre ligne. 3
Théorème 6.2 On peut transformer tout système d équations linéaires vers un système en forme échelonnée par une succession de modifications des types (A), (B), et (C). Plutôt que démontrer le résultat rigoureusement, on va donner un Exemple Le système étudié en Section 6. pour trouver le bon nombre de gateaux. La stratégie est de transformer ce système d abord en un système en forme échelonnée, et ensuite en un système échelonné réduit. x x 2 x 3 2 5 L 3 3 20 L 2 L 2 L (operation (C)) 2 2 8 30 L 3 L 3 2L (operation (C)) 2 5 0 2 5 0 2 6 0 L 3 L 3 + 2L 2 2 5 0 2 5 0 0 0 0 L 3 2 5 0 2 5 0 0 L 3 0 (operation (B)) Nous avons déjà réussi à transformer le système vers une forme échelonnée. On voit déjà qu il y aura trois colonnes rouges. Persévérons pour obtenir une forme échelonnée réduite : 2 5 L L L 3 0 2 5 L 2 L 2 2L 3 0 0 2 0 4 L L 2L 2 0 0 3 0 0 0 0 8 0 0 3 0 0 Et on trouve notre systéme échelonné réduit qui a évidemment exactement une solution (x, x 2, x 3 ) = (8, 3, ) Remarque Dans chaque tableau, la position qui est soulignée s appelle le pivot du tableau. C est la position qu on peut utiliser au pas suivant pour faire disparaitre (remplacer par 0) des nombres au-dessus ou en-dessous du pivot. La méthode qu on a utilisé s appelle la méthode du pivot de Gauss. Remarque Il est fortement déconseillé d essayer de faire plusieurs pas en un seul pour calculer plus vite. On se trompe très facilement. 32
Exemple 2 Le système x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 9 2x + 4x 2 + 2x 3 + 6x 4 + 6x 5 = 42 se résout de la façon suivante : x x 2 x 3 x 4 x 5 2 2 5 9 2 4 2 6 6 42 L 2 L 2 2L 2 2 5 9 0 0 0 2 6 4 L 2 L 2 /2 2 2 5 9 L L 2L 2 0 0 0 3 2 2 0 5 0 0 0 3 2 et nous avons déjà vu en Section 6.2 que l ensemble des solutions du système est { (5 2x 2 x 3 + x 5, x 2, x 3, 2 3x 5, x 5 ) x 2, x 3, x 5 R} Remarque Si, dans toutes les équations d un système d équations linéaires, le second membre est égal à 0, alors le système a au moins une solution, à savoir la solution triviale x = 0,...,x n = 0. Un tel système d équations linéaires s appelle un système homogène. Par exemple, x + 2x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 = 0 2x + 4x 2 + 2x 3 + 6x 4 + 6x 5 = 0 est un système homogène. On voit immédiatement que x = 0,..., x 5 = 0 est une solution. En fait, en comparant avec l Exemple 2, vous pouvez rapidement trouver l ensemble de toutes les solutions (exercice!). Résumé Pour trouver l ensemble de toutes les solutions d un système d équations linéaires donné, il faut d abord transformer le système en forme échelonnée réduite. En regardant ce système échelonné, on peut distinguer deux cas :. Il n y a aucune solution ( le système est incohérent ). Ceci est le cas si et seulement si, dans le système échelonné, on voit que la dernière colonne ( noire ) est plus longue que les autres colonnes ( rouges et bleues ). Autrement dit, si et seulement si dans la forme échelonnée on voit une équation du type 0 x +...+0 x n =, où est un nombre différent de 0. 2. Il y a des solutions ( le système est cohérent ). On distingue deux souscas : (a) Il y a exactement une solution. Ceci est le cas si dans le système échelonné la dernière colonne n est pas plus longue que les colonnes précédentes et en plus il n y a pas de colonne bleue. (b) Il y a beaucoup (en fait, une infinité) de solutions. Ceci est le cas si dans le système échelonné la dernière colonne n est pas plus longue 33
que les colonnes précédentes et en plus il y a au moins une colonne bleue. Dans ce cas, pour paramétrer l ensemble des solutions, on utilise les variables correspondants aux colonnes bleues comme variables libres. 6.4 Un point de vue graphique Regardons l ensemble des points de coordonnées (x, y) dans le plan tel que l équation 2x + 3y = 0 est satisfaite. Il s agit d une droite traversant le point (0, 0) et perpendiculaire au vecteur (c.à.d., la flèche) du point (0, 0) vers le point (2, 3) (on peut la comprendre comme le graphe de la fonction y = 2 3 x). 5 0 5 Figure 25: L ensemble des solutions des équations 2x+3y = 0 (bleu), 2x+3y = 3 (violet), 2x + 3y = 6 (rose), et 2x + 3y = 9 (rouge). L ensemble des solutions de l équation 2x + 3y = c où c est un nombre réel, est de nouveau une droite, qui est parallèle à la droite précédente. On peut la comprendre comme le graphe de la fonction y = 2 3 x+ c 3 Regardons ensuite l ensemble des solutions du système d équations linéaires 2x + 3y = 9 3x y = 8 Un tel point (x, y) doit satisfaire les deux équations, c.à.d. il doit appartenir aux deux droites, il doit être dans l intersection des deux droites. On voit dans le dessin (et on vérifie facilement par les méthodes de la section 6.3) qu il y a une unique solution, x = 3, y = (voir Figure 26(a)). En revanche, le système 2x + 3y = 9 3x y = 8 x 2y = 2 34
5 5 0 5 0 5 Figure 26: (a) Un système linéaire avec 2 inconnues x, y et deux équations. (b) Avec une troisième équation. n a pas de solution graphiquement, les trois droites ne se rencontrent pas dans un seul point (Figure 26(b)). Généralisations en dimension supérieure Regardons une équation linéaire avec trois inconnues x, y et z, par exemple x + 2y + z = 5 L ensemble des solutions est un plan dans l espace R 3, perpendiculaire au vecteur de (0, 0, 0) vers (, 2, ). Du coup, rechercher les solutions d un système de trois équations (comme par exemple notre système gâteaux ) revient à rechercher le point d intersection de trois plans dans l espace. En général, trouver les solutions d un système avec n inconnues et k équations revient à rechercher les intersections de k hyperplans dans l hyperespace R n. Ici l imagination géométrique devient plus difficile... 7 Programmation linéaire Dans la section 6 nous avons appris comment trouver les solutions de systèmes d équations linéaires. Dans cette section nous allons regarder des systèmes d équations et inéquations linéaires. On tombe sur des problèmes d une grande importance pratique. 7. Régions du plan définies par des inéquations Quel est l ensemble des points (x, y) dans le plan avec 2x + 3y? Si vous avez compris la Figure 25, vous saurez que la réponse est : le demi-plan gris dans la Figure 27(a). De façon semblable, l ensemble des points avec x+y 2 est indiqué dans la Figure 27(b). Donc l ensemble de tous les points (x, y) satisfaisant les quatre inéquations x 0 et y 0 et 2x + 3y et x + y 2 est l ensemble gris dans la Figure 28. 35
5 5 0 5 0 5 Figure 27: (a) Les points avec 2x + 3y (b) Les points avec x + y 2. 7.2 Maximiser des fonctions Exemple Une entreprise d importation veut importer deux matériaux : bois et coton. Elle gagne d par tonne de bois importé et 3d par tonne de coton importé. L entreprise essaie de maximiser son profit : f(x) = x + 3y à maximiser Or, il y a des contraintes pratiques :. Bien évidemment, les quantités importés ne peuvent pas être négatives, donc : x 0 et y 0. 2. Dû à des restrictions de volume des conteneurs, on doit avoir 2x+3y 3. À cause d autres réstrictions pratiques, on exige que y x + 2 (c.à.d. x + y 2). Quelle quantité x de bois et y de coton doit l entreprise importer? Nous n allons pas discuter des façons de trouver des réponses à ce genre de question par un calcul algébrique. (En fait, les algorithmes qui répondent à ce genre de question en toute généralité sont assez compliqués.) Nous allons juste discuter comment on peut répondre dans le cas présent, par une simple étude graphique. L ensemble des couples (x, y) satisfaisant les 4 restrictions x 0, y 0, 2x + 3y et x + y 2 de l énoncé a déjà été discuté dans la Section 7., il s agit exactement de la région grise dans la Figure 28. La Figure 28 montre le problème d optimisation : pour tout profit P, l ensemble des points (x, y) où f(x, y) = P est une droite perpendiculaire sur le vecteur de direction (, 3) (dessiné en bleu). Pour différentes valeurs de P on obtient des différentes droites, toutes parallèles. On cherche à maximiser le profit P, donc on cherche la droite qui est aussi loin que possible dans la direction de la flèche bleue tout en ayant encore au moins un point dans l ensemble gris. 36