Exercices 4 Nombres réels La maîtrise des inégalités et de la notion de borne supérieure est un préalable incontournable à l étude de l analyse réelle. 4 Nombres réels.......................................................................... 1 Calculs............................................................................ 2 Inégalités.......................................................................... 3 Intervalles......................................................................... 4 Bornes supérieures et inférieures.................................................... 5 La partie entière................................................................... 6 Indications........................................................................ 1 2 2 4 5 6 8
Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et. Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés et sont particulièrement délicats. 1. Calculs 1. [ Un classique ] ( ind ) Soient a, b, c et d, quatre réels vérifiant a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ab + bc + cd + da. Montrer que a = b = c = d. 2. [ Astucieux ] ( ind ) Soient n N et (x 1,..., x n ) R n. Prouver que x k = x 2 k = n = k 1,n, x k = 1. 3. [ Somme parallèle, d après X PC-1999 ] ( ind ) Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. On pose a b = ab, nombre appelé somme parallèle de a et b a + b Ce réel est la valeur de la résistance équivalente à deux résistances de valeurs a et b montées en parallèle. a) Vérifier que la loi est associative, ie pour tout (a,b,c) ( R 3, +) a (b c) = (a b) c. b) Montrer que, pour tout x R, (a b)x 2 ( = min au 2 + bv 2). (u,v) R 2 u+v=x On déterminera les couples (u 0, v 0 ) tels que u 0 + v 0 = x en lesquels ce minimum est atteint. c) Soient n N et (a 1,..., a n,b 1,...,b n ) ( R +) 2n. En utilisant la question (b), montrer que ( ) ( ) (a k b k ) a k b k 2. Inégalités 4. [ Minoration d un produit ] ( ind ) n a) Soient n N et x 1,..., x n des réels positifs. Montrer que (1 + x k ) 1 + x k. b) Soient n N et y 1,..., y n des réels supérieurs ou égaux à 1. Déduire de la question précédente que n n + y k 1 + y k LLG PCSI 2 Exercices 4 2
5. [ Une inégalité posée aux concours ] ( ind ) Prouver que n 1, 1 3... (2n 1) 1 2 4 2n 3n + 1 6. [ Inégalités de Bernoulli ] ( ind ) Prouver que a ]0,1[, n 2, 1 na < (1 a) n 1 < 1 + na 7. [ Une inégalité sans intérêt! ] ( ind ) Prouver que (x, y) R 2, 1 + x y 1 ( 1 + y 1 ) (1 + x 1 ). 8. [ Inégalités ] ( ind ) Soient a et b dans R +. Établir les inégalités suivantes : ( 1 a) (a + b) a + 1 ) 4 ; b) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ; c) a + b b a 2 b. 9. [ Les yeux en face des trous ] ( ind ) Soient (a,b,c) R 3 tels que a 2 + b 2 + c 2 = 1. Prouver que 1 ab + bc + ac 1. 10. [ Une petite inégalité ] ( ind ) Soit n un entier pair. Prouver que x R, 1 + x + + x n > 0. 11. [ Une belle inégalité ] ( ind ) Soient a et b deux réels positifs. Établir que (a + b) 4 8 ( a 4 + b 4). 12. [ Une inégalité ] ( ind ) Montrer que n 1, ) (1 + )(1 113 + 123 (1 + 1n ) 3 < 3 1 n 13. [ La troisième inégalité de Cauchy ] ( ind ) a) Soient n N, α 1,..., α n et β 1,..., β n des réels strictement positifs. Montrer que ( ) αj min α ( ) 1 + + α n αj max 1 j n β j β 1 + + β n 1 j n β j b) Soient m N, P(X) = p m X m + + p 1 X + p 0 un polynôme à coefficients strictement positifs. Établir que, pour tout 0 < x y, ( ) x m P(x) y P(y) 1 LLG PCSI 2 Exercices 4 3
14. [ L inégalité arithmético-géométrique ] ( ind ) La preuve exposée ici est dûe à Pólya. Soit n 1. On veut monter que ( (x 1, x 2,..., x n ) (R + ) n x1 + x 2 + + x n, x 1 x 2 x n n a) Montrer que x > 0, ln(x) x 1. b) En déduire l inégalité en considérant les x i m où m := x 1 + + x n. n ) n 15. [ X-PC 2013 ] ( ind ) Soient n N, (a 0,..., a n ) R n+1 + et P(X) = a 0 + a 1 X + + a n X n. Montrer que (b,c) R 2 +, P(b)P(c) P ( bc ) 16. [ Une belle inégalité ] ( ind ) Soient n N et (x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n ) R 2n tels que x 1 x 2 x n et y 1 y 2 y n. Montrer que ( )( ) 1 x i y i x i y i n i=1 i=1 i=1 17. [ Technique ] ( ind ) Soit n 2. Prouver que 2 n(n 1) ( n 1 k n k ) 2 n 1 k (n k) 2 18. [ X-PC 1998, inégalité du réordonnement ] ( ind ) Soient des réels x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n tels que x 1 x 2 x n et y 1 y 2 y n. Soit (z 1, z 2,..., z n ) une permutation de (y 1, y 2,..., y n ). Montrer que (x i y i ) 2 (x i z i ) 2 i=1 i=1 3. Intervalles 19. [ De la méthode ] ( ind ) Soient a b. Pour tout λ [0,1], on pose a λ = λa + (1 λ)b et b λ = λb + (1 λ)a. a) Positionner ces deux nombres sur le segment [a,b]. On distinguera les cas λ 1/2 et λ > 1/2. b) On suppose a et b positifs. Montrer que pour tout réel λ [0,1], a λ + b λ a + b. LLG PCSI 2 Exercices 4 4
20. [ Le principe des tiroirs ] ( ind ) Soit n 1. a) Un peu de Mathématiques domestiques : une commode à n tiroirs contient n +1 chaussettes. Que peut-on en déduire? b) Soient x 1,..., x n+1 [0,1]. Prouver qu il existe deux entiers 1 i j n + 1 tels que x i x j 1 n 4. Bornes supérieures et inférieures 21. [ Un classique ] ( ind ) Soit Existence et calcul de inf(a). { ( 1 A = (x 1 + x 2 + + x n ) + 1 + + 1 ) ;(x 1, x 2,..., x n ) ( } R ) n + x 1 x 2 x n 22. [ Calcul d une borne supérieure ] ( ind ) a) Établir que, pour tout x ] 1,+ [, ln(1 + x) x. b) Soit {( ) m + n + 1 m+n A = ;(m,n) ( N ) 2} m + n Déduire du a) que A est une partie majorée de R et calculer sup(a). 23. [ Keep cool ] ( ind ) Soient A et B deux parties non vides et bornées de R. Montrer que A B est non vide et bornée et que sup(a B) = max ( sup(a),sup(b) ) et inf(a B) = min(inf(a),inf(b)) 24. [ Foolish bornes ] ( ind ) Etudier l existence puis déterminer le cas échéant les bornes supérieure et inférieure des ensembles suivants : a) A = {2 1n } ; n N ; b) B = {1 1n 1m } ; n,m Z ; { c) C = 1 1 } n m ; n m,m,n Z ; { } pq d) D = p 2 + q 2 ; (p, q) N N ; { 2 n } e) E = 2 m ; (n,m) N ; + 3n+m { n + 2 f) F = n + 1 + q 1 } ; (n, q) N2 ; q + 1 { mn g) G = m 2 + n 2 + mn ; m,n N }. LLG PCSI 2 Exercices 4 5
25. [ Bornes d une somme de parties ] ( ind ) Soient A et B des parties non vides de R. On définit A + B = { a + b ; (a,b) A B }. Montrer que si A et B sont bornées, alors A + B l est aussi et que inf(a + B) = inf(a) + inf(b) et sup(a + B) = sup(a) + sup(b). 26. [ Minimax ] ( ind ) Existence et calcul de δ = inf t R ( sup x [0,1] ( x 2 + t x )) et ν = inf t R ( sup x [0,1] x 2 + t x ). 27. [ X-PC 2000 ] ( ind ) Soit f : R R une fonction croissante telle que f ( 1) > 1 et f (1) < 1. Montrer que f a un point fixe, c est-à-dire qu il existe x 0 R tel que f (x 0 ) = x 0. 5. Partie entière 28. [ Calcul d une partie entière ] ( ind ) 10000 1 On se propose de calculer la partie entière du réel α =. k a) Établir que n 1, b) En déduire α. 1 < 2( n + 1 n) < 1. n + 1 n 29. [ Ne pas s embrouiller I ] ( ind ) nx Prouver que x R et n 1, = x. n 30. [ Ne pas s embrouiller II ] ( ind ) x + 1 x Prouver que x R, + = x. 2 2 31. [ Partie entière ] ( ind ) Soient x et y deux nombres réels. Établir que x + y + x + y 2x + 2y. 32. [ Une partie entière ] ( ind ) Soit n N. a) Montrer que ( 2 + 3 ) n ( ) n + 2 3 est un entier naturel pair. (2 ) n b) En déduire que + 3 est un entier naturel impair. LLG PCSI 2 Exercices 4 6
33. [ Une addition par paliers ] ( ind ) k a) Soit m N. Déterminer les entiers naturels k tels que = m. b) Soit n 0. Calculer en fonction de n, u n = n 2 +2n k=0 k. 34. [ Une généralisation ] ( ind ) Soit n N. Établir que x R, n 1 k=0 x + k = nx. n LLG PCSI 2 Exercices 4 7
6. Indications 1. [ Un classique ] Développer (a b) 2 + (b c) 2 + (c d) 2 + (d a) 2. 2. [ Astucieux ] Que dire de la somme (x k 1) 2? k =1 3. [ Somme parallèle, d après X PC-1999 ] a) Simple vérification. b) Étudier les variations de la fonction définie sur R par f : u au 2 + b(x u) 2. ( ) bx c) On trouve (u 0, v 0 ) = a + b, ax. a + b d) Pour (u, v) R 2 tel que u + v = x, on k 1,n, (a k b k ) x 2 a k u 2 + b k v 2. En déduire l inégalité. 4. [ Minoration d un produit ] Raisonner par récurrence sur n. 5. [ Une inégalité posée aux concours ] Raisonner par récurrence. 6. [ Inégalités de Bernoulli ] Raisonner (par exemple) par récurrence. 7. [ Une inégalité sans intérêt! ] Il suffit d appliquer judicieusement l inégalité triangulaire. 8. [ Inégalités ] Pour le b), commencer par établir que, pour tous x et y positifs x + y 2 x y. 9. [ Les yeux en face des trous ] Appliquer l inégalité de Cauchy-Schwarz. 10. [ Une petite inégalité ] Appliquer la formule de la série géométrique. 11. [ Une belle inégalité ] Appliquer judicieusement l inégalité de Cauchy-Schwarz. LLG PCSI 2 Exercices 4 8
12. [ Une inégalité ] Raisonner par récurrence sur n. 13. [ La troisième inégalité de Cauchy ] Remarquer que, k 1,n, min 1 j n ( αj β j ) α k β k max 1 j n ( αj β j ). 14. [ L inégalité arithmético-géométrique ] L inégalité est banale si l un des x i est nul. Sinon, remarquer que i=1 ( xi m 1 ) = 0. 15. [ Une belle inégalité ] On examinera (x i x j )(y i y j ). 1 i,j n 16. [ Technique ] Appliquer l inégalité de Cauchy-Schwarz. 17. [ X-PC 1998, inégalité du réordonnement ] Se ramener à prouver que x i z i x i y i i=1 Montrer que si i < j et z i < z j, on peut augmenter la somme n i=1 x i z i en permutant z i et z j. Conclure par récurrence sur n. i=1 18. [ De la méthode ] Les nombres a λ et b λ sont symétriques par rapport au milieu a+b 2 de [a,b]. Si λ 1/2, a λ est du côté de b, sinon du côté de a. Pour le c), on pourra élever au carré avec les précautions d usage. 19. [ Le principe des tiroirs ] Il y a au moins un tiroir qui contient deux chaussettes. Troquer les tiroirs contre des intervalles de longueur 1 n pour résoudre le b). 20. [ Un classique ] Pensez à l inégalité de Cauchy-Schwarz. 21. [ Calcul d une borne supérieure ] ln(1 + x) On trouve sup(a) = e. On pourra utiliser, après justification, x x 0 1. 22. [ Keep cool ] S en tenir aux définitons : ne surtout pas utiliser les caractérisations! LLG PCSI 2 Exercices 4 9
23. [ Foolish bornes ] Prouver que les ensembles sont bornés puis que a) sup(a) = 2, inf(a) = 1 ; b) sup(b) = 3, inf(b) = 1 ; c) sup(c) = 2 inf(c) = 0 ; d) sup(d) = 1 2, inf(d) = 0 ; e) sup(e) = 1 2, inf(e) = 0 ; f) sup(f) = 3, inf(f) = 2 ; g) sup(g) = 1, inf(g) = 0. 3 24. [ Bornes d une somme de parties ] Revenir à la caractérisation epsilonesque. 25. [ Minimax ] Remarquer d abord que δ 0 puis que 0 est atteint pour une certaine valeur de t. Posez-vous la question suivante : à t fixé, à quoi ressemble le graphe de x x 2 + t x sur [0,1]? La borne supérieure est calculable en fonction de t. On trouve ν = 3 2 2. 26. [ X-PC 2000 ] Considérer A = { x [ 1,1]; f (x) x }. Que pensez-vous de sup(a)? 27. [ Calcul d une partie entière ] On trouve α = 198. 28. [ Ne pas s embrouiller I ] Étudier la différence des deux membres : symétries, etc. 29. [ Ne pas s embrouiller II ] Étudier la différence des deux membres : symétries, etc. 30. [ Partie entière ] Se ramener à (x, y) [0,1[ 2. 31. [ Une partie entière ] Appliquer la formule du binôme au a). Remarquer que 0 < 2 3 < 1 au b). 32. [ Une addition par paliers ] Il faut aller de m 2 en (m + 1) 2 dans le b). 33. [ Une généralisation ] Étudier la différence des deux membres : symétries, etc. LLG PCSI 2 Exercices 4 10