(Risque de migration) J.Janssen,Solvay Business School, Brussels R.Manca,La Sapienza, Roma

(Risque de migration) J.Janssen,Solvay Business School, Brussels R.Manca,La Sapienza, Roma Giuseppe Di Biase, Università G. D Annunzio di Chieti, Chieti Guglielmo D Amico, Università G. D Annunzio di Chieti, Chieti 1

1. Mo&va&on Surveillance du risque de défaut (entreprises publiques ou privées, pays): via agences de notation par rating Utilisation Bâle II (modèle standard et IRB) Impact sur la valeur du spread pour obligations, dérivés de crédit (CDS, ) Impact sur les dettes souveraines Impact sur l avenir de l EURO 2

1. Mo&va&on Point essentiel: étude de la migration ou de l évolution dynamique du rating en particulier des Downgrading (dégradation d une note) Upgrading (amélioration d une note) Par modélisation stochastique: modèle à états et discret dans le temps BD utilisée(par secteurs économiques): Standard and Poors 3

2.Grades principaux SP AAA Risque très limité, quasi nul AA Idem mais volatilité plus forte A Plus sensible à la dégradation de l env. économique BBB Plus sensible que A à la dégradation de l env. économique BB Remboursement incertain B Paiements non assurés CCC Ris. de défaut important D Retard de paiement ou défaillance NR «not reported» 4

2.Grades intermédiaires AAA- AA+ AA- BBB+ BBB- BB+ BB- CCC+ CCC- +:upgrading (perspective positive) - :downgrading (perspective négative) 5

2. Exemple Matrice de transi&on d un ra&ng (Standard et Poors (1998)avec NR) effect if AAA AA A BBB BB B CC C D N.R. TOT AL 165 AAA 90.3 6.1 0 0.61 0 0 0 0 3.03 100 560 AA 0.18 90 5.71 0.18 0 0 0 0 4.29 100 1095 A 0.09 1.5 87.22 5.11 0.18 0 0 0 5.94 100 896 BBB 0 0 2.79 84.93 4.46 0.67 0.22 0.34 6.59 100 619 BB 0.32 0.2 0.16 5.33 75.4 5.98 2.75 0.65 9.21 100 4 649 B 0 0 0.15 0.62 6.16 76.3 5.09 4.47 7.24 100 30 CC 0 0 3.33 0 0 20 33.3 36.6 6.67 100 C 7 N.R. 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 4014

2. Exemple Matrice de transi&on d un ra&ng (Standard et Poors sans NR, plus récente) AAA AA A BBB BB B C D AAA 0,64859 0,19961 0,07208 0,04323 0,02082 0,01169 0,00282 0,00116 AA 0,06997 0,6284 0,24854 0,03311 0,01161 0,00572 0,00205 0,0006 A 0,03018 0,13885 0,62581 0,17556 0,01653 0,00909 0,00286 0,00112 BBB 0,02146 0,03662 0,18884 0,54122 0,17644 0,02632 0,007 0,0021 BBB 0,00955 0,0221 0,04181 0,26564 0,38048 0,25197 0,02462 0,00383 B 0,00561 0,01021 0,02177 0,03455 0,2196 0,46317 0,22682 0,01827 C 0,0026 0,00724 0,01498 0,02008 0,02453 0,17059 0,45941 0,30057 D 0 0 0 0 0 0 0 1 7

3.Approche de base dans Bâle II Approche standard notion de risque pondéré (ratio McDonough) AAA AA A+ A- BBB +BBB - BB +B- CCC +C N R 0 20 50 100 150 100 Souverain 20 50 50 100 150 50 Banques 1 20 50 50 100 100 50 Banques 2 20 50 BBB+ 100 à BB- 100 B+ à C 150 100 Entreprises 8

3.Approche de base dans Bâle II(IRB) (i) La probabilité de défaut (PD) (ii) l exposition au défaut (EAD) (ii) la perte en cas de défaut (LGD) (iii) L expected loss (EL) se calcule comme suit : EL=PDxEADxLGD Avec système de notation interne et à chaque degré est associée un PD. Si pas de PD fiable, retour à une notation externe 9

4.Trajectoire en temps con&nu d une évolu&on de ra&ng

4.Trajectoire en temps discret d une évolu&on de ra&ng

4.Comparaison des deux Modèles

4.Temps d Observa&on de S&P

4.Les 3 trajectoires 14

5. Type de modélisa&on Utiliser un modèle à un nombre finis d états avec temps de séjour aléatoire dans chaque état Modélisation semi- markovienne Homogène dans le temps Non- homogène 15

6. Processus semi- markoviens (1) 16

6. PSM (2) Un espace de probabilité complet Un processus stochastique bidimensionnel : à valeurs dans L ensemble S appelé ensemble des états possibles, représente en fait les notes ou ratings que peut attribuer l agence de notation, la note attribuée en t=n ou à la nième transition et X n le temps de séjour dans l état soit le temps entre deux attributions successives de notes par l agence. Nous supposons que l échelle des temps est discrète, avec l année comme unité, et donc que les v.a. X n prennent leurs valeurs dans l ensemble des nombres naturels. 17

6.PSM (3) Nous définissons aussi les v.a. T n représentant les instants de transition et donc définies par : T = X +... + X, n 1 T = X = 0, ps.. 0 0 Nous décrirons l évolution stochastique du processus ( ) n ( n, n, 0) J T n par le noyau matriciel mxm Q fonction d une variable temporelle dans le cas homogène et de deux dans le cas non homogène : Q ij (t) = P[ J n+1 = j, T n+1 -T n t J n = i] (2.1) Q ij (s,t) = P[ J n+1 = j, T n+1 t J n = i, T n =s] (2.2) 18

PSM(3):propriété semi markovienne cas homogène Jn : Ω S T : n Ω P Jn+ 1 = j, Tn+ 1 Tn t Jn = i = P Jn+ 1 = j, Tn+ 1 Tn t ( Jk, Tk), k n, Jn = i ( = Q ( t)) ij

PSM(3):propriété semi markovienne cas non- homogène Jn : Ω S T : n Ω P Jn+ 1 = j, Tn+ 1 t Jn = i, Tn = s = P Jn+ 1 = j, Tn+ 1 t ( Jk, Tk), k n, Jn = i, Tn = s, s< t ( = Q (, s t)) ij

PSM(4): CM Incluse Sans tenir compte des instants de transitions, on observe seulement les changements de rating: chaîne de Markov incluse: ( Jn, n = 0,1,...) Les probabilités de transition en une étape sont alors données par: p ij (s)= p ij = lim t Q ij (t); i, j I, t (2.3) lim Q ij (s,t); i, j I, s, t, s t t (2.4) où P et P(s) = [p ij (s)] sont en fait les matrices des probabilités de transition = pij de la chaîne de Markov ( ) ( n, 0) J n respectivement homogène ou non homogène. 21

PSM(5):F.dist.des temps de séjour Il est aussi nécessaire d introduire les probabilités que le système quitte un état i avant une période t, dans le cas homogène et entre les instants s et t dans le cas non homogène, soit : H i (t) = P[ T n+1 - T n t J n = i], (2.5) H i (s,t) = P[ T n+1 t J n = i, T n =s]. (2.6) ou H () t = P[ X t J = i], i n+ 1 n H (,) s t = P[ X t s J = i, T = s]. i n+ 1 n n De la définition des noyaux semi markoviens homogènes et non homogène, il résulte que: m H i (t) = Q ij (t), (2.7) j = 1 m H i (s,t) = Q ij (s,t). (2.8) j = 1 22

PSM(6):D.cond. des temps de séjour On peut aussi définir les probabilités conditionnelles des temps de séjour X n sous la condition de connaître la future transition : G () t = P[ X t J = i, J = j], ij n+ 1 n n+ 1 G (,) s t = P[ X t s J = i, J = j, T = s], ij n+ 1 n n+ 1 n soit G ij (t)=p[[ T n+1 - T n t J n = i, J n+1 = j ], (2.9) G ij (s,t)=p[ T n+1 t J n = i, J n+1 = j, T n =s]. (2.10) 23

PSM(7):D. cond. Des temps de séjour De la définition des noyaux semi markoviens homogènes et non homogène, il résulte que: G ij Qij ( t ) / pij if pij 0, Gij () t = 1 if pij = 0, Qij ( s, t ) / pij ( s) if pij ( s) 0, (,) s t = 1 if pij ( s) = 0. (2.11) (2.12) 24

PSM(8): le processus semi- markovien Z Pour définir ce qu est un processus semi-markovien (PSM), il faut introduire le processus de comptage du nombre total de transitions dans (0,t], ( Nt ( ), t 0) défini comme suit { } Nt () = sup n Tn t (2.13) et représentant donc le nombre total de transitions effectuées dans l intervalle de temps [0,t]. Le processus semi-markovien Z = ( Z( t), t 0) associé au noyau homogène ou non homogène Q est alors défini comme suit : Zt () = J, t. N() t Il est clair que Z(t) représente l état occupé en t, soit pour les ratings, la note valable en t. 25

7. PSM(9)):trajectoire 26

7. PSM (10)Probabilités de transi&on Les probabilités de transition du PSM sont évidemment essentielles ; elles sont définies par : φ ij ( t) = P [ Z( t) = j Z(0) = i], (2.14) [ ] φ ij (,) st = P Zt () = j Z() s = i. (2.15) et vérifient les équations d évolution suivantes (cf. Janssen & Manca (2007)) φ () t = δ (1 H ()) t + b ( ϑ) φ ( t ϑ), (2.16) ij ij i iβ β j β= 1ϑ= 1 φ (,) st δ (1 H(,)) st b (, sϑ) φ ( ϑ,) t ij ij i iβ β j β= 1ϑ= s+ 1 m m t t = + (2.17) 27

PSM (11)Probabilités de transi&on en temps discret δ ij représentant le symbole de Kronecker et les fonctions b ij étant définies comme suit : Qij ( t ) Qij ( t 1) if t > 0, bij () t = P[ Jn+ 1 = j, Tn + 1 Tn = t Jn = i] = 0 if t = 0, Qij ( s, t ) Qij ( s, t 1) if t > s, bij (,) s t = P[ Jn+ 1 = j, Tn + 1 = t Jn = i, Tn = s] = 0 if t = s. (2.18) (2.19) 28

10 Calibra&on d un modèle PSM Estimer le noyau Q (Q(s)) ou séparément les matrices P et G (P(s) et G(s)) Difficultés nécessite une BD étoffée surtout pour le modèle non homogène, problème de l horizon historique, Application sur les données de S&P (cfr section 15 Exemples) 29

11.HSMP RELIABILITY MODEL 1 I = { 1, K, m} Z { Z(), t t 0} = State evolution I = U UD, = U I D, U, U I Rt () = P Zu ( ) U: u 0, t ( ] Reliability function [ ] At () = P Z() t U, Availability function Mt () = 1 PZu ( ) D, u 0, t. Maintainability function ( ]

11. HSMP RELIABILITY MODEL 2 Ai () t = φij () t j U r Rk() t = φkj() t j U imbedded MC with : p = δ if i D ij ij m Mk() t = φkj() t j U imbedded MC with : p = δ if i U ij ij

I = U 12. HSMP reliability credit risk model { AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, D} { AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC }, D { D} = = S&P rating states M Has not sense; A=R in reliability credit risk model [ ] ϕ ij () n+ 1 n, n+ 1 n t = P J = j J = i T T > t ϕ () t ij = pij Qij () t 1 H ( t) i

12.HSMP reliability credit risk model results φ ij () t probability to stay in the rating class j after a time t starting in the class i at time 0 R() t A() t φ () t = = i i ij j U probability to never go to the default state during a time t 1 H ( t) i no new rating evaluation in a time t ϕ () t ij probability to get the rank j at the next rating evaluation if the previous state was i

12. Cas non homogène 1) (), t φ (,) φ représentent les probabilités d avoir le rating the j en t partant de ij ij st l état state i au temps 0 dans le cas homogène ou au temps s dans le cas non homogène et deviennent ici : R R 1') φ (), t φ (,) s t, se définissent comme en 1) mais sont calculées avec les états de ij ij D rendus absorbants et ainsi représentent les probabilités d être dans un bon état j cette fois M M 1") φ () t, φ (,) st,se définissent comme en 1) mais sont calculées avec les états de ij ij U rendus absorbants et ainsi représentent les probabilités d être dans un mauvais état j cette fois. 34

12.Cas non homogène (2) 2) Les fonctions1 Hi ( t), 1 H i ( s, t), représentant le probabilités qu il n y pas de nouveau rating dans (0,t) ou dans le cas non homogène dans (s,t); deviennent quant à elles : R i M i R i M i 2') 1 H ( t), 1 H ( s, t), avec les mauvais états absorbants ; 2") 1 H ( t), 1 H ( s, t), avec les bons états absorbants. 35

12 Cas non homogène (3) 3) On peut aussi donner la probabilité que le prochain rating soit j étant donné qu il n y ait pas eu de changement dans (0,t) ou dans (s,t) dans le cas non homogène en utilisant les formules générales suivantes : [ ] ϕ ij () n+ 1 n, n+ 1 n t = P X = j X = i T T > t = [ s ] ϕ ij ( st,) = P Jn+ 1 = j Jn i, Tn + 1 t, Tn pij Qij () t 1 H ( t) pij () s Qij (,) s t = > = =. 1 H ( st, ) i i (4.1) 36

13.Interpréta&on en termes de ra&ng 4) Les fonctions Ai() t = φi j (), t Ai(, s t) = φij (, s t), i S représentent les j U probabilités qu au temps t, le rating ne soit ni D ni NR, partant de l état i au temps 0 dans le cas homogène ou au temps s dans le cas non homogène 5) Les fonctions R() t = φ () t, R(,) s t = φ (, s t), i U, représentent les i j U ij i probabilités que dans l intervalle (0,t) ou, dans le cas non homogène (s,t) t, le rating ne soit ni D ni NR, partant d un bon état. j U j U ij 37

Remarque Remarque pour le modèle sans état NR: La maintainability function M n a évidemment plus d intérêt car D est le seul absorbant et quend la note D est attribuée, le processus se termine donc. De plus, dans le cas considéré ici, l availability function A correspond à la fonction de fiabilité 38

14.Probability No Movements Probability to go in the next transition to a state j conditioned to no movements up to time t pij () s Qij (,) s t ϕij ( st, ) = ; homogeneous case 1 H ( s, t) i pij () s Qij (,) s t ϕij ( st, ) = ; non-homogeneous case 1 H ( s, t) i 39

15. Three Examples I.Homogeneous SMP II.Non- Homogeneous SMP III. Spread Calculation by Means of DT Non- Homogeneous Semi- Markov Non- Discounted Reward Processes 40

Data Of The Examples The entire S&P historical database from 1923 up to 2007 was used for the construction of the matrices of the Markov renewal process. Given that before 1980 the database was really poor we skipped them For the construction of the spreads a small Bloomberg database was used. In this database the data of the spreads in function of the rating was given. The data refer to one month of 2004 41

Example I: Homogeneous Case 42

Wai&ng Time D.F. 43

Surviving Probabili&es 44

Probabili&es Next Transi&on I 45

Probabili&es Next Transi&on II 46

Probabili&es Next Transi&on III 47

Evolu&on Equa&on 48

Availability Without NR 49

Example II: Non- Homogeneous case 50

NH Embedded M.C. II 51

NH Embedded MC III 52

Surviving Probabili&es 53

Next Transi&on Acer No Move I 54

Next Transi&on Acer No Move II 55

Next Transi&on Acer No Move III 56

Next Transi&on Acer No Move IV 57

Next Transi&on Acer No Move V 58

Next Transi&on Acer No Move VI 59

Evolu&on Equa&on I 60

Evolu&on Equa&on II 61

Evolu&on Equa&on III 62

Evolu&on Equa&on IV 63

Evolu&on Equa&on V 64

Evolu&on Equa&on VI 65

Reliability with D Absorbing 66

Example III: Spread Evolu&on Problem: Measure of the spread in function of the rating Mean total spread paid in a time T Yearly spread Mean yearly spread Non- Homogeneous Non- Discounted Semi- Markov Reward Processes Spread as permanence rewards 67

DTNHSMRewP Not- Discounted V (,) s t = (1 H (,)) s t ψ ( t s) + i i i t b (, s ϑψ ) ( ϑ s) + b (, s ϑ) V ( ϑ,). t iβ i iβ β β Eϑ= s β Eϑ= s Fixed permanence rewards t La partie de l'image avec l'id de relation rid6 n'a pas été trouvée dans le fichier. Non- homogeneous permanence rewards 68

Spread Ra&ng Model { AAA, AA, A, BBB, BB, B, C, D} { } { } E= U = AAA, AA, A, BBB, BB, B, C, D= D. [ ] P Zt ( ) DZs ( ) = i= φij ( st, ) = 1 φid( st, ) t j D φij ( ϑ, t) φij (,) st = 1 φ ( ϑ, t) id t 1 Hi ( s, t) Vi(,) s t = ψ i ( t s) + 1 φid ( st, ) t (, ) t biβ s ϑ biβ(, s ϑ) t ψi ( ϑ s) + Vβ ( ϑ, t). β Dϑ= s 1 φid ( st, ) β Dϑ= s 1 φid ( st, ) 69

Mean Total Spreads Mean total spreads that are paid for the given time & rating 70

Yearly Spread Time AAA AA A BBB BB B CCC Time AAA AA A BBB BB B CCC 0-19 59.35 81.02 165.12 181.35 444.43 708.91 825.60 10-19 28.17 40.06 64.68 164.27 342.89 611.47 939.19 0-20 63.13 85.79 167.14 185.32 417.46 634.02 708.84 10-20 31.55 43.19 70.84 184.81 365.81 608.83 729.23 0-21 78.93 107.44 210.77 232.86 534.85 822.84 934.06 10-21 38.69 54.46 88.59 229.64 446.37 754.17 1014.64 0-22 93.71 125.62 234.00 258.45 557.38 832.20 928.23 10-22 47.43 67.87 107.62 267.78 488.70 786.09 983.21 0-23 98.24 130.15 234.45 258.65 536.14 786.17 868.39 10-23 51.43 73.09 114.31 274.07 481.36 750.99 903.84 0-24 99.68 131.36 234.03 257.93 528.62 771.80 851.00 10-24 52.93 74.85 116.14 275.39 476.02 737.04 883.52 0-25 100.49 130.66 224.87 247.18 487.75 701.14 767.44 10-25 54.39 77.56 118.36 267.36 445.16 672.05 787.17 0-26 107.47 139.06 235.44 258.49 499.13 711.00 775.05 10-26 58.29 83.82 127.65 281.63 458.99 681.92 789.91 0-27 132.79 166.76 265.09 288.77 527.74 736.77 796.75 10-27 78.61 109.25 156.99 314.77 489.46 704.97 802.08 0-28 184.34 221.51 321.33 345.74 575.94 773.99 823.64 10-28 122.98 160.90 214.87 377.46 542.98 738.61 807.68 5-19 42.23 59.43 129.98 201.56 372.79 793.04 913.19 15-19 22.56 22.60 50.86 156.56 315.43 691.14 1632.12 5-20 46.23 63.92 134.67 211.93 363.33 693.37 767.26 15-20 26.41 26.07 55.07 176.89 375.97 778.72 1570.08 5-21 57.64 79.97 169.07 264.33 458.97 907.63 1020.62 15-21 32.55 32.70 67.98 223.04 457.23 902.93 1660.04 5-22 70.92 96.08 191.74 295.58 486.32 909.16 1006.23 15-22 44.56 42.88 85.20 265.84 537.13 956.77 1521.41 5-23 75.85 101.33 194.63 296.31 472.01 854.55 937.41 15-23 49.87 47.31 92.29 277.65 541.72 915.51 1297.60 5-24 77.47 102.89 195.04 295.39 466.30 838.05 918.04 15-24 51.84 48.94 94.99 279.30 536.12 896.14 1261.27 5-25 79.61 104.27 189.94 282.47 433.24 758.17 825.46 15-25 53.48 51.16 99.72 273.44 505.18 811.36 1097.56 5-26 85.67 111.87 200.30 295.09 445.14 767.02 832.33 15-26 57.44 54.83 109.43 290.13 521.16 818.53 1090.78 5-27 110.32 138.81 230.12 326.39 474.27 790.75 853.16 15-27 75.90 75.96 139.92 326.41 552.65 834.69 1092.60 5-28 160.82 192.71 287.37 384.80 524.87 822.28 876.59 15-28 120.19 121.06 200.90 395.07 609.13 852.39 1061.81 Spreads Paid Starting From a Rating 71

Yearly Mean Spread Time AAA AA A BBB BB B CCC Time AAA AA A BBB BB B CCC 0-19 49.42 65.53 111.57 126.21 229.79 325.74 394.13 10-19 26.42 38.04 61.07 146.87 269.35 448.12 665.09 0-20 53.65 70.51 117.66 133.01 236.85 330.56 394.83 10-20 29.60 41.92 66.52 158.74 281.29 459.77 650.79 0-21 63.73 82.96 134.19 151.21 258.09 350.81 410.68 10-21 35.43 50.86 79.90 185.37 311.65 492.19 645.87 0-22 75.25 96.31 149.50 167.43 273.10 362.10 417.18 10-22 42.97 62.27 94.49 209.06 334.46 509.35 635.77 0-23 77.80 98.18 147.93 164.91 260.21 339.25 387.14 10-23 45.77 65.68 97.80 207.06 320.40 476.60 580.12 0-24 77.44 96.81 143.36 159.29 246.42 317.98 360.83 10-24 46.36 66.10 97.04 200.81 302.88 443.84 534.07 0-25 79.33 98.13 141.75 156.72 235.06 298.42 335.69 10-25 47.83 68.77 99.60 197.13 287.92 411.97 487.45 0-26 84.47 104.05 148.36 163.61 240.01 300.66 335.64 10-26 50.81 73.68 106.51 205.54 293.26 409.99 478.07 0-27 103.68 123.98 166.47 181.07 250.08 303.53 333.52 10-27 67.61 94.19 128.02 221.96 300.26 400.48 456.00 0-28 149.26 172.72 218.56 234.40 304.63 357.55 386.11 10-28 107.57 139.89 179.07 279.97 358.96 455.32 503.53 5-19 39.32 51.89 96.36 152.45 228.28 391.92 425.70 15-19 22.55 22.59 50.79 145.06 299.52 608.27 1220.90 5-20 43.26 56.43 102.27 161.14 235.58 393.77 423.05 15-20 26.22 26.02 54.78 155.00 336.39 631.42 1138.97 5-21 52.15 67.48 118.16 183.16 257.77 411.89 434.73 15-21 31.62 32.38 66.77 186.51 381.52 673.46 1067.55 5-22 63.11 80.15 133.54 201.89 273.71 420.60 437.66 15-22 42.24 41.62 81.34 215.81 430.01 703.03 980.43 5-23 66.14 83.02 133.49 197.73 261.36 391.64 404.20 15-23 46.13 44.93 85.79 219.61 416.99 657.37 829.81 5-24 66.34 82.58 130.10 190.17 247.75 365.46 375.85 15-24 46.89 45.83 86.67 213.42 393.72 608.53 745.86 5-25 68.64 84.75 129.81 185.60 236.64 340.58 348.43 15-25 48.09 47.79 90.97 210.81 372.64 557.08 657.57 5-26 73.27 90.41 136.65 192.79 241.92 340.94 347.32 15-26 50.98 50.70 98.81 221.53 376.57 545.89 626.23 5-27 92.89 110.84 155.93 208.64 252.24 338.96 343.28 15-27 65.67 68.83 122.49 239.84 376.02 514.81 573.21 5-28 137.55 158.55 207.96 264.03 307.44 392.66 394.97 15-28 105.76 109.24 176.07 303.21 438.45 562.13 595.25 Mean of the Spreads Paid Yearly 72

References Altman, E. I.(1998). The importance and subtlety of credit rating migration. Journal of Banking and Finance, v. 22, 1231-1247. Biffi E., D Amico G., Di Biase G., Janssen J., Manca R., Silvestrov D.(2008). Monte Carlo semi- Markov methods for credit risk migration models and Basel II rules I. Journal of Numerical and Applied Mathematics, 96, 28-58. Biffi E., D Amico G., Di Biase G., Janssen J., Manca R., Silvestrov D.(2008). Monte Carlo semi- Markov methods for credit risk migration models and Basel II rules II.. Journal of Numerical and Applied Mathematics, 96, 59-86. Bluhm, C., Overbeck, L., Wagner, C. (2002). An introduction to credit risk management, Chapmann & Hall. Carty, L., Fons, J. (1994).Measuring changes in corporate credit quality. The Journal of Fixed Income v. 4, 27-41. Cinlar, E. (1975).. Introduction to stochastic processes. Prentice Hall, NY. Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2000). A comparative analysis of current credit risk models. Journal of Banking and Finance, v. 24, 59-117. D'Amico G, Janssen J, Manca R. (2005) Homogeneous semi- Markov reliability models for credit risk Management. Decision in Economic and Finance, vol 28, 79-93. D'Amico G, Janssen J, Manca R. (2006) Credit risk migration semi- Markov models: a reliability approach. Computational Economics, vol 29, 119-138. D'Amico G, Janssen J, Manca R. (2005) Initial and Final Backward and Forward Discrete Time Non- Homogeneous Semi- Markov Credit Risk models. Methodology and Computing in Applied Probability, 12; p. 215-225 (2010)- D'Amico G., Janssen J. and Manca R (2009) Semi- Markov reliability models with recurrence times and credit rating applications, Journal Of Applied Mathematics & Decision Sciences Volume 2009, Article ID 625712, 17 pages- D'Amico G, Janssen J, Manca R. (2011). Discrete Time Non- Homogeneous Semi- Markov Reliability Transition Credit Risk Models and the Default Distribution Functions. Computational Economics, vol 38, 465-481 ISSN: 0927-7099- D'Amico G, Janssen J, Manca R. (2011)A non- homogeneous semi- Markov reward model for the credit spread computation (with D Amico G., Janssen J.) International Journal of Theoretical and Applied Finance,(2011) vol 14, 221-238. Hu, Y., Kiesel, R., Perraudin, W. (2001). The estimation of transition matrices for sovereign credit ratings. Journal of Banking and Finance, v. 26, 1383-1406. Janssen J., Manca R., (2001). Numerical solution of non homogeneous semi- Markov processes in transient case. Methodology and Computing in Applied Probability. V. 3, 271-293,. Janssen, J., Manca, R., (2006). Applied semi- Markov Processes, Springer, New York. Jarrow, A. J., Lando, D., Turnbull, S. M. (1997). A Markov model for the term structure of credit risk spreads. The Review of Financial Studies, v. 10, 481-523. Kavvathas, D. (2001). Estimating credit rating transition probabilities for corporate bonds. Working Papers University of Chicago. Koopman, S. J., Lucas, A., Monteiro, A. (2005). The multi- state latent factor intensity models for credit rating transitions, Tinbergen Institute Discussion Paper. Lando, D., Skodeberg, T. M. (2002). Analyzing Rating transitions and rating drift with continuous observations. Journal of Banking and Finance, v. 26, 423-444. Nickell, P., Perraudin, W., Varotto, S. (2000). Stability of rating transitions. Journal of Banking and Finance, v. 24, 203-227. Planchet, F., P. Thérond et Jacquemain, J., (2005), Modèles financiers en assurance, Economica, Paris. Roncalli, Thierry (2009). La gestion des risques financiers, Economica, Paris. Standard & Poors Credit Review (1993). Corporate default, rating transition study updated. Mc Graw Hill, New York. Standard & Poors (2001). Rating Performance 2000 Default, Transition, Recovery, and Spreads. Mc Graw Hill, New York. 73