Chapitre 1: Matrices

Chapitre 1: Matrices

Définition Matrice M de dimensions (m,n) = «Tableau à deux dimensions» avec m lignes et n colonnes Exemple : M est une matrice (4,3) à coefficients dans R M 1 6.4 3 3 8 2 = 2 4 9 1.1 0 1 Si m=n, la matrice est dite carrée et d ordre n. 2

Notations ( ) 1 1 A = a ij i m j n où i est le numéro de ligne et j le numéro de colonne M m n ( K ) : ensemble des matrices de dimensions (m,n) à coefficients dans K (soit R soit C) M n ( K ) : ensemble des matrices carrées de dimension n à coefficients dans K (soit R soit C) 3

Matrices particulières Matrice nulle notée 0 de l ensemble M mn (K) avec tous les coefficients nuls Matrice unité ou identité notée I n de l ensemble M n (K) telle que : I 3 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 Matrice carrée d ordre 0 est un nombre Matrice avec n lignes et 1 colonne: vecteur-colonne 4

Algèbre des matrices 1. Multiplication par un scalaire 2. Addition (ou soustraction) 3. Egalité 4. Produit de deux matrices 5. Transposition de matrice 6. Matrice inversible 5

Multiplication par un scalaire Soit La matrice A de M mn (K) et soient λ, α et β scalaires de K, λ A = λ a ( ij ) i, j Propriétés: λ ( A + B ) = λ A + λ B ( α + β ) A = α A + β A α ( β A ) = ( α β ) A 6

Addition (ou Soustraction) Soient 2 matrices A et B de M mn (K) de mêmes dimensions C=A+B : tous les coefficients c ij = a ij + b ij 1 2 7 8 0 6 C = A + B = + = 4 1 0 2 1 2 D=A-B : tous les coefficients d ij = a ij b ij 1 2 7 8 0 6 D = A B = = 4 1 0 2 1 2 7

Addition (ou Soustraction) Propriétés de l addition: Associativité : A + (B + C) = (A + B) + C Commutativité : A + B = B + A Elément neutre : A + 0 = 0 + A = A avec la matrice nulle. Elément symétrique : A + (-A) = 0 8

Egalité de deux matrices Soient A et B deux matrices, Elles sont égales ssi elles ont les mêmes dimensions et si leurs coefficients sont tous égaux terme à terme de même ligne et même colonne. 9

Produit de deux matrices (1) Le produit AB de 2 matrices A et B n est possible que si B a autant de lignes que A a de colonnes. Si A M mn (K), il faut que B M np (K), avec p et m quelconques et C=AB M mp (K). le coefficient c ij de C est obtenu n en sommant les produits des éléments i, j, c ijde = la ième a ik b kligne j de A par les k = 1 éléments de la jème colonne de B. 10

Produit de deux matrices (2) b b b 1 1 1 2 1 3 b b b 2 1 2 2 2 3 b b b 3 1 3 2 3 3 a 1 2 a 1 2 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 2 3 c 2 2 c 2 2 = a 2 1b1 2 + a 2 2 b 2 2 + a 2 3 b 3 2 Remarque : Le produit matriciel n est pas commutatif. AB BA même si les matrices sont carrées 11

Produit de deux matrices (3) 1 3 4 0 1. = 4 0 1 3 2 4 0 1 1 3. = 1 3 2 4 0 1 2 0 3 0 1 1 2 1. 1 0 2 = 0 1 1 1 0 1 3 0 1 1 2 0 1 0 2. 1 2 1 = 1 0 1 0 1 1 12

Produit de deux matrices (4) Propriétés: Soient 3 matrices A, B et C, si les produits matriciels sont possibles: (AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC La matrice unité est l élément neutre du produit matriciel : A.I n = I n.a = A 13

Transposition de matrice (1) On appelle transposée d une matrice A de dimensions (m,n) et de coefficient a ij la matrice notée t A obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de même indice i de A : t i, j a = a ij ji Exemple: t 4 0 1 = 1 3 2 14

Propriétés: Transposition de matrice (2) t ( t A) = A t ( α A ) = α. ( ) t A A + B = A + B t t t t ( A B ) = t B. t A attention à l ordre du produit 15

Matrice inversible Soit une matrice carrée A M n (K) On dit que A est inversible si et seulement s il existe une matrice de M n (K) notée A -1 telle que : A.A -1 = A -1.A = I n Remarque: les 2 produits doivent être vérifiés pour que la matrice A -1 soit considérée l inverse de la matrice A. 16

Déterminant de matrices carrées (1) Le déterminant d une matrice carrée M est un nombre noté det(m). M 1 1 1 2 = m 2 1 m 2 2 Déterminant d une matrice d ordre 2 de d e t( ) m m m 1 1 1 2 M = = m 1 1m 2 2 m 2 1m 1 2 m 2 1 m 2 2 m Exemple : 2 3 d e t( M ) = = 3 1 17

Déterminant de matrices carrées (2) Déterminant de matrice d ordre 3 telle que: m m m 1 1 1 2 1 3 = 2 1 2 2 2 3 M m m m m m m 3 1 3 2 3 3 On va se ramener à des calculs de déterminants d ordre 2 en développant le déterminant sur la première ligne ou la première colonne de la matrice. 18

Déterminant de matrices carrées (3) Développement sur la première colonne de la matrice M: m m m m m m d e t( M ) = ( 1) m + ( 1) m + ( 1) m 1+ 1 2 2 2 3 2 + 1 1 2 1 3 3 + 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 m 3 2 m 3 3 m 3 2 m 3 3 m 2 2 m 2 3 d e t( M ) = m ( m m m m ) m ( m m m m ) + m ( m m m m ) 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 2 1 1 2 3 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 3 2 2 1 3 19

Déterminant de matrices carrées (4) Exemple: 1 2 0 1 2 1 = 0 1 1 3 0 1 1 0 2 = 1 0 1 20

Déterminant de matrices carrées (5) Propriétés: det(a.b) = det(a). det(b) det( t A) = det(a) Si la matrice contient une ligne ou une colonne de 0, le déterminant est nul. Le déterminant d une matrice diagonale est le produit des coefficients de la diagonale. det(a -1 ) = (det(a)) -1 21

Théorème Soit M une matrice d ordre n, M est inversible si son déterminant det(m) est non nul. 22

Applications aux systèmes linéaires d équations Soit un système linéaire de n équations à n inconnues (x 1, x 2,, x n ) tel que: a x + a x + L + a x = b a x + a x + L + a x = b L L L L L a x + a x + L + a x = b 1 1 1 1 2 2 1n n 1 2 1 1 2 2 2 2 n n 2 n 1 1 n 2 2 n n n n Sous forme matricielle : A.X=B où : A=(a ij ) est la matrice d ordre n des coefficients a ij, B le vecteur colonne (n,1) des solutions X le vecteur colonne (n,1) des inconnues. 23

Applications aux systèmes linéaires d équations Exemple: Soit le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues suivant: Sous forme matricielle: A X x + 2 y = 5 2 x + 3 y = 8 1 2 x 5 = = B = 2 3 y 8 X=A -1.B 24

Applications aux systèmes linéaires d équations Règle de Cramer : Le système AX=B a une solution X (vectorielle unique) si et seulement si la matrice A est inversible c est-à-dire si det(a) non nul. Dans ce cas, on a directement la solution du système : i, x = i d e t( A ) d e t( A ) i où A i est la matrice dans laquelle on a remplacé la colonne i par le vecteur B. 25

Applications aux systèmes linéaires d équations Exemple (suite) 1 2 d e t( A ) = = 1 2 3 donc la matrice A est inversible 5 2 1 5 d e t( A 1 ) = = 1 5 1 6 = 1 e t d e t( A 2 ) = = 8 1 0 = 2 8 3 2 8 x d e t( A ) d e t( A ) 1 e t y = 2 d e t( A ) d e t( A ) = 1 = 2 = 26

Applications aux systèmes linéaires d équations Règle de Cramer (suite): Si det(a)=0, le système a une infinité ou zéro solution(s). La règle de Cramer ne peut permettre de conclure. 27

Inverse d une matrice d ordre 2 Soit une matrice M d ordre 2 définie par M a b = c d Elle est inversible si et seulement si det(m)=ad-bc 0. Si elle est inversible, son inverse s écrit : M d b = d e t( M ) c a 1 1 28

Déterminant mineur et comatrice Le déterminant mineur d une matrice d ordre n est le déterminant de la matrice obtenue en enlevant la ligne i et la colonne j de la matrice M. On le note D ij (M). Le nombre M ij = (-1) i+j D ij (M) est appelé le cofacteur d indice (i,j). La matrice des cofacteurs est appelée la comatrice de M et on la note com(m) 29

Déterminant mineur et comatrice (suite) 30

Inverse d une matrice d ordre 3 Une matrice M d ordre 3 est inversible si et seulement si det(m) 0 Si elle est inversible, son inverse s écrit: M = 1 1 d e t( M ) c o m ( M ) où com(m) est la comatrice de la matrice M. t 31