Ruhr Universität Bochum Wintersemester /3 Lösung Nachrichtentechnik 9..3 Time Limit: Minutes. (a) Mit P (Y = y X = const.) = folgt y= P (Y = X = ) = P (Y = X = ) P (Y = X = ) = () P (Y = X = ) = [P (Y = X = ) + P (Y = X = )] P (Y = X = ) = () P (Y = X = ) = [P (Y = X = ) + P (Y = X = )] P (Y = X = ) = 4 (3) Abbildung Mit H(Y X = x) = P (Y = y X = x) log P (Y = y X = x) y=
Nachrichtentechnik Lösung - Page of 9..3 folgt H(Y X = ) = log + log = (4) H(Y X = ) = 4 log 4 + 4 log 4 + log = 3 (5) H(Y X = ) = 4 log 4 + 4 log 4 + log = 3 (6) H(Y X) = Es sei S = β + γ. Mit S = α folgt P (X = x)h(y X = x) x= = α + β 3 + γ 3 = α + 3 (β + γ) (7) H(Y X) = α + 3 ( α) = 3 α Da die Funktion H(Y X) eine monoton fallende Funktion mit α darstellt, ist das Maximum von H(Y X) erreicht, wenn α minimal ist. Daher folgt α = und β + γ =. Somit erhalten wir im Maximum H(Y X) = 3. (b) Mit P (Y = y) = x= P (Y = y X = x) gilt: Somit folgt H(Y ) = P (Y = y) log P (Y = y) y= ( = α + ) ( (β + γ) log 4 α + (β + γ) 4 P (Y = ) = α + 4 β + 4 γ (8) P (Y = ) = α + 4 β + 4 γ (9) P (Y = ) = β + γ () ) ( β + ) ( γ log β + ) γ
Nachrichtentechnik Lösung - Page 3 of 9..3 (c) C = max P X (x) I(X; Y ) () Aufgrund der Symmetrie des Kanals hinsichtlich der Eingänge X = und X = hat nur die Summe der Auftrittswahrscheinlichkeiten von X = und X = Einfluss auf die Transinformation I(X; Y ). Somit können wir auch γ = β annehmen. γ = β = α H(Y ) γ=β = (α + ) log 4 α + + α log α H(Y X) γ=β = α + 3 () (3) Da die Transinformation eine konkave Funktion hinsichtlich P X mit festen P Y X darstellt läst sich mit das Maximum bestimmen. Es gilt d dα I(X; Y ) = d dα H(Y ) d dα H(Y X) =! (4) Weiterhin folgt Es folgt d dα H(Y ) = log 4 + log α + + + 4 (α + )α 4 (α + ) ln }{{} ln α + α α ( α) ln = log 4 α + log α d H(Y X) = dα } {{ } ln (5) (6) d dα I(X; Y ) = log 4 α + log α +! = (7)
Nachrichtentechnik Lösung - Page 4 of 9..3 ( ) 4 log α+ α ( ) ( α) log + α ( α) + α! =! =! = α opt = 3 5 β opt + γ opt = 5 Eine mögliche Loesung ist daher β opt = γ opt = 5.
Nachrichtentechnik Lösung - Page 5 of 9..3. (a) Abbildung 3 Abbildung Region R Region R3 Region R Abbildung 3 (b) P e 3 i= k= k i 3 p(a i,k ) p(s i ), } {{ } P e(s i ) wobei für AWGN mit der Varianz N, P (A i,k) = erfc ( di,k N Da d i,k = d k,i, die Distanzen zwischen den Signalpunkte ergeben sich wie folgt P (A, ) = P (A, ) (8) P (A,3 ) = P (A 3, ) (9) P (A,3 ) = P (A 3, ) () ) ()
Nachrichtentechnik Lösung - Page 6 of 9..3 Abbildung 4 d, = a () d,3 = a (3) a d,3 = (4) (5) Erhalten wir P (A, ) = P (A, ) = ( ) a erfc N P (A,3 ) = P (A 3, ) = ( ) a erfc N ( P (A,3 ) = P (A 3, ) = ) a erfc 4 N Mit p(s ) = p(s ) = p(s 3 ) = 3 gilt P e 3 [P (A,) + P (A,3 ) + P (A, ) + P (A,3 ) + P (A 3, ) + P (A 3, )] [ = ( ) ( ) ( )] a a a erfc 3 + erfc + erfc N N 4 N (6)
Nachrichtentechnik Lösung - Page 7 of 9..3 3. (a) Es gilt Somit folgt für i = g i (t) φ i (t) = g i(t) dt i g i (t) = s i (t) c i,j φ j (t) c i,j = j= s i (t)φ j (t)dt s (t) φ (t) = s i(t) dt = s (t) T Die Funktion φ (t) ist in Abbildung 5 dargestellt Weiterhin folgt c, = s (t)φ (t)dt = T Abbildung 5 c, = g (t) = s (t)φ (t)dt = T Weiterhin folgt c 3, = Für das in Abbildung 6 ermittelte g 3 (t) gilt: s 3 (t)φ (t)dt = T
Nachrichtentechnik Lösung - Page 8 of 9..3 Abbildung 6 g 3 (t) = φ (t) = g 3(t) T φ (t) ist in Abbildung 7 dargestellt. g 3 (t) dt = T (7) Abbildung 7 c 3, = s 3 (t)φ (t)dt = T c 4, = c 4, = g 4 (t) = s 4 (t)φ (t)dt = T s 4 (t)φ (t)dt = T (b) Da s (t) und s (t) kollinear zu φ (t) sind (und damit orthogonal zu φ (t)), folgt c, = c, =. ( ) ( ) ( ) ( ) T T T Somit erhalten wir s =, s =, s 3 = T, s 4 = T T
Nachrichtentechnik Lösung - Page 9 of 9..3 Abbildung 8 Abbildung 8 (c) Eine Verschiebung ändert nicht die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit. Wir verschieben die Signalraumkonstellation so, dass es punktsymmetrisch ist. Die euklidische Distanz zwischen Signalpunkten soll jeweils gleich bleiben. Die Signalenergie wird minimal, wenn die Signale mittelwertsfrei sind. Abbildung 9
Nachrichtentechnik Lösung - Page of 9..3 4. X {,, 3, 4, 5, 6} { 9, 9, 3, 9, 4 7, 7 } (a) Mit l i = log p i folgt l = 4, l = 3, l 3 =, l 4 = 4, l 5 = 3, l 6 = 4 Daher L = 4 9 + 3 9 + 3 + 4 9 + 3 4 7 + 4 7 = 8 7 (b) Durch Codierung längerer Sequenzen (X, X,..., X n ) kann man die mittlere Länge reduzieren. Es gilt H(X) L H(X) + n (8) (c) Die untere Schranke ist H(X) = H([ 9, 9, 3, 9, 4 7, 7 ]). 6 i= l i! 6 (9) Die Kraft-Ungleichung wird erfüllt. Daher existiert ein präfixfreie Code mit dieser Codewortlänge. (d) Anzahl der Symbole! = (D )K + 3 3 : : 5 5: 3 4 6 3 3 : 4: 6: 7 7: 3 Abbildung (e) Aus Abbildung folgt d H (, ) = d H (, ) = d H (3, 3) = d H (6, ) = d H (5, ) = d H (4, 3) =
Nachrichtentechnik Lösung - Page of 9..3 6 5 3 4 Abbildung 3 Somit gilt Es folgt P (x, ˆx) x= x= x=3 x=4 x=5 x=6 ˆx = 9 7 4 ˆx = 9 7 ˆx = 3 3 9 E[d H (x, ˆx)] = P (x, ˆx)d H (x, ˆx) = 9 + 4 7 + 7 = 3 (3) (f) I(X; ˆX) = H( ˆX) H( ˆX X) }{{} = H( ˆX) ( 5 = H 7, 7, ) 7 (3)