Angles orientés de vecteurs

1ère S Chapitre : Angles orientés Exercices - p.1/ Angles orientés de vecteurs Objectif n 1 : unités de mesure d'angles Définition : dans un repère orthonormé (O; I ; J ), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. Sur ce cercle, on convient d'appeler sens direct le sens inverse des aiguilles d'une montre ; le sens indirect est donc le sens des aiguilles d'une montre. Sur un cercle trigonométrique, chaque point M est repéré par la mesure de l'angle de sommet O qu'il forme avec le point I. Exemple : sur le cercle trigonométrique ci-contre, le point M est repéré par un angle de 5. On note cela : M ( 5 ). Exercice 1 Sur le cercle trigonométrique précédent, placer les points suivants. I ' (180 ) I ' ' ( 180 ) J ' ( 90 ) B(0 ) C ( 150 ) D(70 ) Que remarque-t-on pour les points D et J '?... Exercice Le rayon du cercle trigonométrique étant égal à 1, son périmètre est égal à : 1=. La longueur du demi-cercle est donc égale à : =. A partir de ce résultat, les mathématiciens ont créé une nouvelle unité de mesure pour les angles, appelée radian (rad en abrégé). Ainsi, on associe les mesures 180 (demi-cercle) et rad et on procède par proportionnalité pour les autres mesures. Par exemple, 5 5 180 rad est égal à : = 75. 1 1 Inversement, pour convertir les degrés en radians, on peut utiliser le tableau de proportionnalité ci-dessous. En faisant un produit en croix, on démontre par exemple que 15 est égal à : 15... rad ; c'est à dire, après simplification : 180 rad. Mesures en degrés ( ) 180 15 Mesures en radians (rad)? 1) Convertir en degrés les mesures ci-dessous données en radians. Préciser le calcul effectué pour 9 rad. Mesures en radians 5 1 Mesures en degrés 180 75.................. ) Convertir en radians les mesures ci-dessous données en degrés. Préciser le calcul effectué pour 150. Mesures en degrés 180 15 15 0 5 150 Mesures en radians 5 9............ 5 Exercice Désormais, sauf précision contraire, l'unité de mesure des angles sera par défaut le radian. 1) Placer les points A(), B ( ) et C ( ) sur le cercle trigonométrique ci-contre. ) Sachant que le cercle trigonométrique ci-contre a été découpé en secteurs angulaires égaux, placer les points D ( 1) (, E 5 1 ) (, F 15 1 ) ( et G 9 1 ). Compléter : les points et sont confondus et. ) Compléter : = 1. En déduire la position du point H ( ). ) De la même façon, placer les points K( 7 ) et L ( 7 ). O J I

1ère S Chapitre : Angles orientés Exercices - p./ Exercice Sur le cercle trigonométrique ci-contre, se trouve un point A( x). En utilisant uniquement le compas, placer les points associées aux mesures suivantes. B( x) C ( x ) D(+x ) E ( + x ) F ( x) Objectif n : mesure principale d'un angle Exercice 5 J 1) A l'aide du compas, construire sur le cercle trigonométrique ci-dessous le point A tel que le triangle IAO soit un triangle équilatéral direct (c'est à dire que l'on passe de I à A et à O en tournant dans le sens direct). Déterminer la mesure associée au point A, en degrés et en radians. ) A l'aide du compas, placer sur le cercle trigonométrique le point B ( ). I O I ) Placer les points suivants : C () D( 7 ) E (11 ) F (18 ) G( ) H( ) ) Placer sur le cercle trigonométrique les points K (1770 ) et L( 0 ). 5) Décrire la méthode utilisée. J Exercice 1) Le tableau ci-dessous contient 1 mesures d'angles. Chaque mesure de la première ligne est associée à une mesure de la deuxième ligne, de sorte que ces deux mesures soient celles d'un même angle. Par exemple, 50 et 10 sont deux mesures d'un même angle puisque : 10= 50+ 0. Trouver les 5 autres paires de mesures associées. Justifier par un calcul. 10 50 15 7 70 180 705 0 10 180 7 50 ) Lorsqu'une mesure appartient à l'intervalle ] 180 ; 180 ] (bien observer le sens des crochets!) on dit que c'est la mesure principale de l'angle. Par exemple, 50 et 10 sont deux mesures d'un même angle mais 50 est la mesure principale de cet angle puisque : 50 ] 180 ; 180 ]. Pour chaque paire de mesures associées de la question précédente, entourer la mesure principale. ) Déterminons la mesure principale associée à 51. Pour cela, on détermine le nombre de «tours complets» (0 ) contenus dans 51 en faisant la division : 51 1 (arrondi à l'unité). 0 Il y a donc 1 «tours complets» dans 51. Pour trouver la mesure principale correspondante, il suffit de soustraire ces 1 «tours complets» à 51. On obtient : 51 1 0= 17. On a bien : 17 ] 180 ; 180 ] ; 17 est donc la mesure principale de l'angle. Attention! bien que 17 et 51 soient associés au même angle, on ne peut toutefois pas écrire : 17 = 51 ; en effet, ces deux nombres ne sont pas égaux mais sont deux mesures différentes d'un même angle. On écrit donc : 17 = 51 [0 ] pour montrer que 17 et 51 sont deux mesures d'un même même angle, à plusieurs tours complets prés (c'est à dire à plusieurs fois 0 prés). La notation [0 ] se lit «modulo 0». On donne ci-dessous mesures d'angles. Entourer celles qui sont des mesures principales. Pour toutes les autres, déterminer la mesure principale associée. 51 180 157 180 8 17

1ère S Chapitre : Angles orientés Exercices - p./ Exercice 7 1) Le tableau ci-dessous contient 0 mesures d'angles. Chaque mesure de la première ligne est associée à une mesure de la deuxième ligne, de sorte que ces deux mesures soient celles d'un même angle. Par exemple, et 5 sont deux mesures d'un même angle puisque : 5 = + = +. Trouver les 9 autres paires de mesures associées. 0 5 7 9 5 1 7 ) Lorsqu'une mesure appartient à l'intervalle ] ; ] on dit que c'est la mesure principale de l'angle. Par exemple, et 5 chaque paire de mesures associées de la question précédente, entourer la mesure principale. sont deux mesures d'un même angle mais est la mesure principale de cet angle puisque : ] ;]. Pour ) Déterminons la mesure principale associée à 1. Pour cela, on détermine le nombre de «tours complets» () 1 contenus dans 1 en faisant la division : = 1 1 = 1 1 = 1 1 (arrondi à l'unité). Il y a donc «tours complets» dans 1 «tours complets» à 1 On a bien : ] ; ] ;. On obtient : 1. Pour trouver la mesure principale correspondante, il suffit de soustraire ces = 1 est donc la mesure principale de l'angle. 7 = 1 =. Attention! bien que 1 et soient associés au même angle, on ne peut toutefois pas écrire : 1 = ; en effet, ces deux nombres ne sont pas égaux mais sont deux mesures différentes d'un même angle. On écrit donc : 1 = 1 [ ] pour montrer que et sont deux mesures d'un même même angle, à plusieurs tours complets prés (c'est à dire à plusieurs fois prés). La notation [ ] se lit «modulo». On donne ci-dessous mesures d'angles. Entourer celles qui sont des mesures principales. Pour toutes les autres, déterminer la mesure principale associée. 7 11 5 1 8 8

1ère S Chapitre : Angles orientés Exercices - p./ Objectif n : angles orientés de vecteurs Exercice 8 1) Considérons le triangle direct ABC ci-dessous. La mesure de l'angle ^BAC est de 50. On dit que l'angle orienté de vecteurs ( AC ; AB) mesure 50 puisqu'on passe de AC à AB en tournant autour de A dans le sens indirect. De la même façon, on a : ( AB; AC )=+50 ; en effet, on passe de AB à AC en tournant autour de A dans le sens direct. Par opposition aux angles orientés (avec un signe), on dit que ^BAC est un angle géométrique (sans signe). angle géométrique ^BAC angle orienté ( AC ; AB) angle orienté ( AB; AC ) Sur le triangle DEF ci-dessous, déterminer en degrés et à l'aide du rapporteur les angles demandés. Angles géométriques ^EDF =... ^DFE =... ^D E F =... ) Pour mesurer un angle orienté formé par deux vecteurs qui n'ont pas la même origine, il suffit de les remplacer par des vecteurs qui ont la même origine. Par exemple, pour mesurer l'angle orienté ( AB; CD) ci-contre, on peut créer un point A' tel que : CD= AA' ; on a alors : ( AB ; CD)=( AB ; AA ' ). Mesurer à l'aide du rapporteur puis compléter en degrés : ( AB ; CD)=( AB ; AA ' )=.... Angles orientés ( DE ; DF ) =... ( FE ; FD) =... ( ED ; EF ) =... ) Déterminer en degrés la mesure principale de l'angle orienté ( u; v) dans chacune des figures ci-dessous. Vecteurs colinéaires et de sens opposés Vecteurs colinéaires et de même sens Compléter la propriété suivante. Propriété : soient u et v deux vecteurs non nuls : ils sont colinéaires et de même sens si et seulement si : ( u; v)= ; ils sont colinéaires et de sens opposé si et seulement si : ( u; v)=....

1ère S Chapitre : Angles orientés Exercices - p.5/ Exercice 9 1) A l'aide du rapporteur, déterminer en degrés la mesure principale de chacun des angles orientés suivants. ( u; v) = ( v ; w ) = ( u; w) =... Par quel calcul aurait on pu obtenir la mesure de ( u; w) à partir des mesures de ( u; v) et ( v ; w )? ( u; w)=( u ; v )...( v ; w ). ) L'observation précédente met en évidence une relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs. Par exemple, considérons points A, B, C et D tels que : ( AB; AC )= ; et : ( AC ; AD)=. On a alors : ( AB ; AD)=( AB ; AC )+( AC ; AD)= +(... )= 1...... = 1 1. Écrire plus simplement les expressions ci-dessous en utilisant la relation de Chasles. ( RS ; RT )+( RT ; RK )= ( LM ; LR)+( LB ; LM )= ( KC ; KM )+( KM ; KJ )+( KV ; KC )= Exercice 10 A, B, C, D et E sont 5 points distincts tels que ( AB; AE ), ( AB; AD) et ( AD; AC ) mesurent respectivement, 5 1. 1) Compléter : ( AC ; AD) et ( AD; AC ) sont orientés de sens contraire donc : ( AC ; AD)=. On dit que les deux angles ( AC ; AD) et ( AD; AC ) sont opposés. ) Compléter : ( AD; AB) et ( AB; AD) sont... donc : ( AD; AB)=. ) A l'aide de la relation de Chasles, compléter : ( AC ; AE )=( AC ;...)+( AD ;...)+( AB ;...). En déduire une mesure de ( AC ; AE). Quelle est la mesure principale de ( AC ; AE )? et ) Que peut on en déduire pour les vecteurs AC et AE? Et pour les points A, C et E? 5) Compléter la propriété suivante. Propriété : trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si : ( AB ; AC )=...[...]. Exercice 11 Soient u et v deux vecteurs non nuls. 1) Compléter : u et u sont colinéaires et de sens opposés donc : ( u; u)=.... D'après la relation de Chasles on a : ( u; v)=( u;...)+( u ;...)=( u; v)+.... ) Démontrer de la même façon que l'on a : ( u; v)=( u ; v )+. ) Démontrer de la même façon que l'on a ( u; v)=( u ; v). ) Récapitulons : ( u; v)=( u; v)+ ( u; v )=( u; v )+ ( u; v)=... 5) Supposons que l'on ait : ( u; v)= ( u ; v), ( u ; v ), ( v ; u). Déterminer une mesure de chacun des angles suivants : ( v ; u), ( u; v ), ) Soient A, B, C et D quatre points distincts tels que : ( AB ; CD)=. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants : ( BA ; CD)= ( CD ; AB )= ( BA ; DC )= ( AB ; DC)=

1ère S Chapitre : Angles orientés Exercices - p./ Exercice 1 Soit ABC un triangle direct (c'est à dire que l'on passe de A à B et à C en tournant dans le sens direct). 1) Faire une figure à main levée. ) Compléter : les trois sommets du triangle forment les trois angles suivants, orientés dans le sens direct : ( AB ; AC ), ( CA ;...) et (...;...). ) Démontrons que la somme des trois angles orientés dans le sens direct est égale à. Compléter : ( AB; AC )+( CA; CB)+( BC ; BA)=( AB; AC )+( AC ; CB )+...+( CB; BA)+...=( AB; AC )+( AC ; CB)+( CB ; BA)+.... Or, d'après la relation de Chasles, on a : ( AB; AC )+( AC ; CB)+( CB ; BA)+...=( AB; )+. Les vecteurs AB et BA étant... de sens opposés, on a : ( AB ; BA)=. Finalement : ( AB; AC )+( CA; CB)+( BC ; BA)= + = = [ ]. Ainsi, on obtient la propriété suivante : dans un triangle, la somme des angles orientés dans le sens direct est égale à.. ) De la même façon, on pourrait démontrer que la somme des angles orientés dans le sens indirect est aussi égale à, c'est à dire : ( AC ;...)+(...;...)+(... ;...)=.... En conclusion, on obtient la propriété suivante. Propriété : dans un triangle, la somme des angles orientés dans le même sens est égale à Ceci démontre la propriété suivante vue au collège :...... Exercice 1 Soit ABC un triangle direct. I est le milieu de [ BC ] et on a : ( IA; IB)=. 1) Que peut on dire des vecteurs IB et IC? En déduire la mesure principale de ( IB ; IC ) et ( IC ; IB). ) Déterminer une mesure de chacun des angles ci-dessous : ( AI ; IB), ( AI ; IC ), ( IA; CB ). Exercice 1 ABCD est un carré indirect de côté ; CED est un triangle équilatéral direct ; CBF est un triangle équilatéral indirect. 1) Faire une figure. ) Déterminer la mesure principale de chacun des angles ci-dessous : ( DE ; DC), ( DE ; DA), ( CF ; CE ), ( ED ; EA) (aide : quelle est la nature du triangle ADE?), ( EF ; EC ). ) Démontrer que E, F et A sont alignés. Exercice 15 OCB est un triangle équilatéral tel que : ( OB; OC )=. AOB et DOC sont deux triangles rectangles isocèles tels que : ( OA; OB)=( OC ; OD)= 1) Faire une figure.. H est le milieu de [ BC ]. ) Déterminer la mesure principale de ( OA; OH ), ( OD ; OB ), ( AD; AO) et ( AB; CD). ) Démontrer que ( AD) et (OH ) sont perpendiculaires. Exercice 1 ABCD est un polygone tel que les angles ( AB; AD),( BA ; BC )et( DA ; DC) mesurent respectivement, et. a) Dessiner ce polygone tel que AB = cm et AD = cm. b) Déterminer des mesures de ( CB ; AB) et ( AD ; CD). c) En utilisant Chasles et les questions précédentes, calculer la mesure principale de ( CB ; CD).