Licence IOVIS 2011/2012 Optique géométrique Lucile Veissier lucile.veissier@spectro.jussieu.fr
Table des matières 1 Systèmes centrés 2 1.1 Vergence................................ 2 1.2 Eléments cardinaux.......................... 3 1.2.1 Plans focaux et foyers.................... 3 1.2.2 Plans principaux et points principaux........... 4 1.2.3 Points nodaux........................ 4 1.3 Formules de conjugaison....................... 5 1.3.1 Formules de Descartes.................... 5 1.3.2 Formules de Newton..................... 5 1.4 Constructions géométriques..................... 5 1.4.1 Constructions à l aide des trois rayons particuliers.... 5 1.4.2 Construction àl aide des foyers secondaires......... 6 1.5 Association de systèmes centrés - Formules de Gullstrand.... 7 2 Dioptres 8 2.1 Loi de Snell-Descartes........................ 8 2.2 Vergence................................ 9 2.3 Eléments cardinaux.......................... 10 2.4 Relation de conjugaison....................... 10 2.5 Constructions géométriques..................... 10 3 Lentilles 11 3.1 Lentilles épaisses........................... 11 3.2 Lentilles minces............................ 11 3.2.1 Vergence........................... 12 3.2.2 Eléments cardinaux..................... 12 3.2.3 Relations de conjugaison................... 12 3.2.4 Constructions géométriques................. 13 4 Miroirs 14 4.1 Vergence................................ 14 4.2 Eléments cardinaux.......................... 15 4.3 Relation de conjugaison....................... 15 4.4 Constructions géométriques..................... 16 1
1 Systèmes centrés Un système centré est formé de plusieurs surfaces réfringentes ou réfléchissantes (dioptres ou miroirs), telles que l ensemble présente une symétrie autour d un axe de révolution Oz, l axe optique (cela signifie que leurs axes sont confondus). Dans l ensemble de ce cours, on se place bien sûr dans l approximation de Gauss, ce qui signifie qu on considère que les angles d incidence des rayons sont faibles et que leurs points d incidence sont proches de l axe optique. Figure 1 Système centré placé entre un milieu d indice n et un milieu d indice n. 1.1 Vergence La vergence est un paramètre qui caractérise les propriétés de focalisation d un système centré. Il s agit d une grandeur algébrique, homogène à l inverse d une longueur, et elle s exprime en dioptries (δ). Si V > 0, le système est convergent. Un rayon arrivant parallèlement à l axe optique émerge en se rapprochant de l axe, pourvu qu il émerge du même côté de l axe optique que le rayon incident. Si V < 0, le système est divergent. Un rayon arrivant parallèlement à l axe optique émerge en s éloignant de l axe, pourvu qu il émerge du même côté de l axe optique que le rayon incident. Enfin si V = 0, le système est afocal. Un rayon arrivant parallèlement à l axe optique émerge toujours parallèle à l axe. Figure 2 Système centré (a) convergent, (b) divergent, (c) afocal. 2
1.2 Eléments cardinaux 1.2.1 Plans focaux et foyers Les plans focaux sont deux plans situés dans les espaces objet et image, dont les intersections avec l axe optique sont les foyers principaux objet F et image F. Tout rayon incident, issu de F, émerge parallèlement à l axe optique. Tout rayon incident, parallèle à l axe optique, émerge en convergent vers F. Figure 3 Foyers objet et image. On définit les distances focales image et objet comme étant les quantités algébriques suivantes : f = n V f = n V (1a) (1b) où n et n sont les indices des milieux situés avant et après le système. Si les deux milieux sont identiques, les distances focales sont opposées. Si V > 0, on a f > 0 et f < 0, alors que si V < 0, on a f < 0 et f > 0. En pratique, on utilise surtout la distance focale image f pour caractériser le système. Les plans focaux sont également l ensemble des foyers secondaires objets et images, F S et F S (aussi parfois notés Φ et Φ ). Ces foyers secondaires sont associés à des faisceaux de rayons lumineux parallèles entre eux mais non parallèles avec l axe optique. Figure 4 Exemple d un foyer secondaire image. 3
1.2.2 Plans principaux et points principaux Les plans principaux ou unitaires sont des plans conjugués tels que le grandissement transversal γ est égal à l unité. Le plan principal image est défini comme l ensemble des points où se croisent les rayons incidents parallèles à l axe avec les rayons émergents correspondants. Le plan principal objet est défini comme l ensemble des points où se croisent les rayons émergents parallèles à l axe avec les rayons incidents correspondants. Les intersections de ces plans avec l axe optique sont notées H et H et obéissent aux relations suivantes : HF = f (2a) H F = f (2b) Figure 5 Points principaux objet et image. 1.2.3 Points nodaux Il s agit de deux points conjugués sur l axe optique, N et N, tel qu un rayon incident passant par N émerge de N parallèlement à sa direction initiale. On a la relation suivantes : Figure 6 Points nodaux. HN = H N = f + f (3) Ainsi, si les deux milieux extrêmes sont de même indice, les points nodaux sont confondus avec les points principaux. 4
1.3 Formules de conjugaison 1.3.1 Formules de Descartes On considère un système centré transformant un objet AB situé au point A en une image A B située au point A. La relation de Descartes, qui relie la position de l objet p = HA à la position de l image associée p = H A, est une relation de conjugaison avec origine aux sommets. Elle s écrit : n p n p = V (4) Si les milieux extrêmes sont identiques, la relation se simplifie : 1 p 1 p = 1 f Le grandissement transverse, défini comme γ = A B AB, s exprime : γ = n n p p (5) 1.3.2 Formules de Newton La formule de Newton est une relation de conjugaison avec origine aux foyers. Elle relie les quantités σ = F A et σ = F A de la façon suivante : σσ = ff (6) Si les milieux extrêmes sont identiques, elle se réduit à : σσ = f 2 Le grandissement s écrit quand à lui : 1.4 Constructions géométriques γ = σ f (7) La construction géométrique est indispensable pour visualiser et vérifier les résultats obtenus par le calcul. 1.4.1 Constructions à l aide des trois rayons particuliers On considère toujours un objet AB avec A sur l axe optique et B en dehors, son image associée sera A B. Pour diminuer les risques d erreur, il est préférable de tracer les trois rayons particuliers suivants : 1. Le rayon issu du point B parallèle à l axe optique émerge à partir du plan principal image à la même hauteur, en passant par le foyer image F. 5
2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l axe optique, à partir du point du plan principal image situé à la même hauteur que l intersection du rayon incident avec le plan principal objet. 3. Le rayon issu de B passant par le point nodal N ressort parallèlement à lui-même à partir du point nodal N. Figure 7 Construction géométrique de l image A B associée à l objet AB grâce aux trois rayons particuliers décrits ci-dessus. 1.4.2 Construction àl aide des foyers secondaires Lorsqu on veut tracer l évolution d un rayon quelconque à travers un système optique, ou retrouver le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, les foyers secondaires images ou objets sont très utiles. Dans le cas où on cherche le rayon émergent associé à un rayon incident quelconque, on trace alors le rayon parallèle au rayon incident, mais passant par le point nodal objet N. Celui-ci émerge avec le même angle par rapport à l axe optique à partir du point nodal image N, et croise le plan focal image au foyer secondaire image F S. Il est alors possible de tracer le rayon émergent à partir du plan principal image, à la même hauteur que le croisement entre le rayon incident et le plan principal objet, et passant par le foyer secondaire image F S. Figure 8 Construction du rayon émergent associé à un rayon incident quelconque (en bleu), à l aide du foyer secondaire image. On s est placé dans le cas particulier où les milieux extrêmes sont de mêmes indices et où donc les points nodaux objet et image sont confondus avec les points principaux objet et image respectivement. Si on cherche le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, il s agit de la même opération en sens inverse. On trace alors le rayon parallèle 6
au rayon émergent, mais passant par le point nodal image N. Celui-ci arrive sur le système avec le même angle par rapport à l axe optique jusqu au point nodal objet N, et croise le plan focal objet au foyer secondaire objet F S. Il est alors possible de tracer le rayon incident recherché arrivant sur le plan principal objet, à la même hauteur que le croisement entre le rayon émergent et le plan principal image, et passant par le foyer secondaire objet F S. 1.5 Association de systèmes centrés - Formules de Gullstrand On considère l association de deux systèmes centrés, indicés 1 et 2, séparés par un millieu d indice n. On introduit la distance optique : e = H 1 H 2. La vergence du système total s exprime grâce à la formule de Gullstrand : V = V 1 + V 2 e n V 1V 2 (8) Il en découle l expression suivante pour la distance focale du système total : avec = F 1 F 2. f = f 1f 2 (9) 7
2 Dioptres Un dioptre est une surface séparant deux milieux homogènes d indices différents. Pour rappel, l indice de réfraction d un milieu est défini par n = c v où c est la vitesse de la lumière dans le vide, et v celle de la lumière dans le milieu en question. Par exemple, l indice de l air vaut pratiquement 1, l indice de l eau est de 1.33 et celui du verre est de 1.5. Figure 9 Dioptre sphérique de sommet S et de centre C. 2.1 Loi de Snell-Descartes Au niveau du dioptre, on assiste à un phénomène de réfraction, ou bien dans certains cas, à un phénomène de réflexion totale interne. Ceci peut être calculé grâce à la loi de Snell-Descartes. Figure 10 Réfraction au niveau d un dioptre. On considère un dioptre séparant un milieu d indice n 1 d un milieu d indice n 2 (voir figure 10). Un rayon incident formant un angle i 1 avec la normale au dioptre, ressort avec un angle i 2 par rapport à la normale, selon la relation : n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 (10) On remarque que si n 2 > n 1, alors i 2 < i 1. Pour trouver l expression de l angle limite de réflexion totale, on pose i 2 = 90 et n 1 > n 2 (d après la remarque précédente, il ne peut y avoir réflexion totale que dans cette condition). On obtient alors : ( ) i lim n2 1 = arcsin (11) n 1 8
2.2 Vergence On considère un dioptre sphérique séparant un milieu d un indice n d un second milieu d indice n. Ce dioptre a pour sommet S et pour centre C, et on définit le rayon de courbure du dioptre comme étant la grandeur alébrique : R = SC. La vergence est donnée par la formule suivante : V = n n R (12) Figure 11 A gauche, schéma d un dioptre convergent (V > 0), à droite celui d un dioptre divergent (V < 0). On peut parler de dioptre convexe ou concave en considérant toujours le côté sur lequel arrivent les faisceaux lumineux. Un dioptre convexe est arrondi vers l extérieur, alors qu un dioptre concave est arrondi vers l intérieur. Par exemple, sur la figure 11, le dioptre de gauche est convexe alors que le dioptre de gauche est concave. Cependant, un dioptre convexe n est pas forcément convergent. En effet, si un dioptre convexe air/verre est convergent, un dioptre verre/air convexe est divergent. Les distances focales objet et image sont définies comme étant : f = n V (13a) f = n (13b) V Ces expressions peuvent être retrouvées en appliquant la relation de conjugaison à une image à l infini dont l objet associé est F, et à un objet à l infini dont l image associée sera F. On remarque que les distances f et f ne seront jamais égales car n et n sont différents par définition même du dioptre. Dioptre plan Dans le cas du dioptre plan, le rayon de courbure est infini. Ainsi la vergence est nulle, et les foyers sont rejetés à l infini. Le système est donc afocal. 9
2.3 Eléments cardinaux Les points principaux, H et H, sont confondus au sommet S du dioptre. Ainsi, les distances focales objet et image correspondent aux distances SF et SF respectivement. On remarque également que les points nodaux, N et N, sont confondus avec le centre C du dioptre, ce qui signifie qu un rayon passant par C gardera la même inclinaison par rapport à l axe optique en tranversant le dioptre. 2.4 Relation de conjugaison La relation de conjugaison de Descartes (voir 1.3.1) appliquée au dioptre sphérique s écrit : n p n p = n n R où ici p = SA et p = SA. Le grandissement s exprime toujours : γ = n n p p (14) (15) Cas du dioptre plan La relation de conjugaison devient : et le grandissement vaut : γ = 1. n p = n p 2.5 Constructions géométriques On considère un objet AB avec A sur l axe optique et B en dehors, son image associée sera A B. Les trois rayons particuliers à tracer dans le cas du dioptre sont : 1. Le rayon issu du point B parallèle à l axe optique émerge en passant par le foyer image F. 2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l axe optique. 3. Le rayon issu de B passant par le centre C du dioptre ressort parallèlement à lui-même. 10
3 Lentilles Une lentille est formée de deux dioptres sphériques qui délimitent un milieu d indice n. Dans ce cours, nous considèrerons le cas de lentilles plongées dans l air. Figure 12 Schéma d une lentille d indice n composée de deux dioptres de sommets S 1 et S 2. Il existe 6 types de lentilles, différenciées par les formes des deux faces. Figure 13 Les différents types de lentilles. 1 : lentille biconvexe, 2 : lentille convexe-plan, 3 : ménisque convergent, 4 : lentille biconcave, 5 : lentille planconcave, 6 : ménisque divergent. 3.1 Lentilles épaisses Lors de l étude d une lentille épaisse, on la considère comme l association de deux dioptres, air/verre, puis verre/air, de rayons de courbures R 1 et R 2. On utilise donc la relation de conjugaison de Descartes pour le dioptre deux fois, en faisant attention à la distance séparant les deux sommets des dioptres, notée généralement e = S 1 S 2. On peut également calculer la vergence de la lentille grâce à la formule de Gullstrand et trouver la position des éléments cardinaux de celle-ci. 3.2 Lentilles minces Une lentille est considérée mince lorsque son épaisseur est petite devant les rayons de courbures de ses faces, ainsi que devant la différence des rayons de courbures, soit : e R 1, R 2, R 2 R 1. Les sommets des deux diotpres sont alors confondus au point O appelé le centre de la lentille. 11
3.2.1 Vergence La vergence d une lentille mince est donnée par : V = (n 1)( 1 R 1 1 R 2 ) (16) On peut retrouver cette formule grâce à la formule de Gullstrand, en négligeant le dernier terme contenant l épaisseur e. Lorsque V > 0, la lentille est convergente, c est-à-dire qu elle transforme un objet réel situé à l infini en une image réelle située en aval de la lentille. Lorsque V < 0, la lentille est divergente, elle tranforme un objet réel situé à l infini en une image virtuelle située en amont de la lentille. Figure 14 A gauche, schéma d une lentille mince convergente (V > 0), à droite celui d une divergente (V < 0). Remarque Contrairement aux dioptres, les propriétés de convergence ou de divergence des lentilles sont intrinsèques, elles ne changent pas en fonction du sens de propagation de la lumière. 3.2.2 Eléments cardinaux Comme on considère des lentilles minces plongées dans l air, les distances objet et image focales sont définies par : f = 1 V (17a) f = 1 V (17b) Dans le cas de la lentille mince, les points principaux et nodaux sont confondus avec le centre O (ce qui n est pas le cas pour une lentille épaisse). On a donc les relations : f = OF et f = OF. 3.2.3 Relations de conjugaison Formule de Descartes Pour une lentille mince, la relation de conjugaison de Descartes est la suivante : 1 p 1 p = 1 f (18) 12
avec p = OA et p = OA. Le grandissement vaut simplement : γ = p p (19) Formule de Newton La formule de Newton garde la même forme : σσ = ff (20) avec cette fois f = OF et f = OF. Le grandissement reste aussi : γ = σ f. 3.2.4 Constructions géométriques On considère un objet AB avec A sur l axe optique et B en dehors, son image associée sera A B. Les trois rayons particuliers à tracer dans le cas du dioptre sont : 1. Le rayon issu du point B parallèle à l axe optique émerge en passant par le foyer image F. 2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l axe optique. 3. Le rayon issu de B passant par le centre O de la lentille ressort parallèlement à lui-même. 13
4 Miroirs Un miroir est formé d une surface réfléchissante imposant à la lumière un changement de sens de propagation. Ainsi, un rayon arrivant sur la surface d un miroir, qu il soit plan ou sphérique, avec un angle i 1 par rapport à la normale repartira dans le sens opposé avec un angle i 2 = i 1. On peut retrouver cette égalité à partir la loi de Snell-Descartes et en posant n 2 = n 1, le changement de signe provenant du changement de sens de parcours de la lumière. Figure 15 Réflexions sur un miroir plan et sur un miroir sphérique. Important Les quantités algébriques sont évaluées dans le sens de propagation de la lumière. Etant donné qu il y a réflexion dans le cas du miroir, on va également inverser le signe de ces quantités algébriques selon qu elles correspondent à un rayon incident ou à un rayon réfléchi. Par exemple, la position de l objet sera évaluée dans le sens gauche droite, et la position de l image dans le sens droite gauche. 4.1 Vergence On considère un miroir de sommet S et de centre C, plongé dans un milieu d indice n. Comme pour le dioptre on définit le rayon de courbure du miroir comme étant R = SC. La vergence est définit pour un miroir de la façon suivante : V = 2n R (21) Pour la suite on se place dans le cas particulier mais très fréquent où le miroir est plongé dans l air. On a alors : V = 2 R (22) Dans le cas V > 0, le miroir est convergent, dans le cas V < 0, le miroir est divergent. Le miroir possède une seule face réfléchissante, qui est donc orientée vers les rayons incidents. Cette asymétrie a pour conséquence qu un miroir concave (R < 0) sera forcément convergent (et vice-versa), et qu un miroir convexe (R > 0) sera forcément divergent. Ceci n était pas le cas pour le dioptre. 14
Figure 16 A gauche, schéma d un miroir mince convergent (V > 0), à droite celui d un divergent (V < 0). Miroir plan Dans le cas d un miroir plan, le rayon de courbure R est infini, on a donc une vergence nulle. Le système est alors afocal. 4.2 Eléments cardinaux Les expressions des distances focales objet et images sont : f = R 2 (23a) f = R 2 (23b) De façon similaire au cas du dioptre, les points principaux d un miroir sont confondus avec le sommet S et les points nodaux avec le centre C. Alors les distances focales valent également f = SF et f = SF. On remarque qu elles sont de signe opposé mais de même valeur absolue. Etant donné qu on évalue de façons opposées les distances algébriques pour les rayons incidents et réfléchis, on en déduit que les foyers objet et image sont confondus au centre de [SC]. Miroir plan Bien évidemment, pour un miroir plan le centre C ainsi que les foyers sont rejetés à l infini. 4.3 Relation de conjugaison On considère un miroir plongé dans l air, de sommet S et de centre C. La relation de conjugaison de Descartes a la forme suivante : 1 p 1 p = 2 R (24) avec p = SA et p = SA (quantités algébriques évaluées selon le sens de propagation, qui change à la réflexion!). 15
Le grandissement s écrit quand à lui : γ = p p (25) Miroir plan Pour un miroir plan, la relation de conjugaison devient : et le grandissement γ vaut toujours 1. p = p 4.4 Constructions géométriques On considère un objet AB avec A sur l axe optique et B en dehors, son image associée sera A B. Les trois rayons particuliers à tracer pour trouver l image formée par le miroir sont : 1. Le rayon issu du point B parallèle à l axe optique émerge en passant par le foyer image F. 2. Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à l axe optique. 3. Le rayon issu de B passant par le centre C du miroir est non dévié. 16