M1 Analyse Fonctionnelle Une introduction au cours Année 2000-2001

Université de Nantes Département de Mathématiques Maîtrise de Mathématiques M1 Analyse Fonctionnelle Une introduction au cours Année 2000-2001 A. Morame et X. P. Wang E.Mail : morame@math.univ-nantes.fr et wang@math.univ-nantes.fr ésumé Ce manuel n est pas le polycopié du cours d Analyse Fonctionnelle de M1. Il a pour but de rappeler les notions essentielles vues en D.E.U.G. et en Licence de Mathématiques qui interviennent couramment dans le cours de Maîtrise d Analyse Fonctionnelle et dans les Exercices du même cours. Les parties de ce cours qui ont un lien immédiat avec ces rappels seront juste évoqués, quand leur définition ne nécessite que ce qui a été déjà acquis en Licence. Les démonstrations des résultats vues par tous les étudiants issus de la Licence 1999/2000 de Nantes, où qui seront sûrement vues dans le cours de M1 cette année, ne seront pas dévéloppées. Seules les démonstrations des cours optionnels de la Licence de Mathématiques de Nantes seront esquissées. Le manuel de référence du Cours de M1 est le livre de H. Brezis [3] et [4], on peut consulter aussi celui de W. udin [9] dont le niveau est entre la Licence et la Maîtrise et qui est moins complet pour le cours de M1.

Table des matières 1 Les Préliminaires indispensables 3 1.1 De la Topologie................................. 3 1.2 Quelques propriétés des espaces vectoriels.................. 9 1.3 Les espaces vectoriels de dimension finie................... 14 2 Quelques bonnes surprises et gags 18 2.1 Sur la continuité des applications linéaires.................. 18 2.2 Sur les formes linéaires et la dualité...................... 19 2.3 Les fonctions continues sur un compact.................... 21 3 ésultats des cours optionnels de la Licence 22 3.1 Quelques rappels sur l intégrale de Lebesgue................. 22 3.2 Série de Fourier à la mode Maîtrise..................... 29 3.3 Transformation de Fourier : un aperçu.................... 32 3.4 Fonctions holomorphes............................. 36 3.5 Les polynômes orthogonaux.......................... 37 4 Plan du cours de M1 1999/2000 40 2

1 Les Préliminaires indispensables 1.1 De la Topologie Nous rappelons que le manuel de référence de la topologie générale est le livre de G. Choquet [6], (ou J. Dixmier [7]), on peut aussi consulter les ouvrages du niveau d Analyse Fonctionnelle du niveau de la Licence de Math. [10], [12] et [11]. Définition 1.1 Si E est un ensemble, une topologie sur E est la donnée d un ensemble O(E) de parties de E, (c est-à-dire dont les éléments sont des sous-ensembles de E), ces parties de E, éléments de O(E), sont appelées les ouverts de E et doivent satisfaire aux trois propriétés suivantes : i) Toute union (finie ou non) d ouverts est un ouvert ii) Toute intersection finie d ouverts est un ouvert iii) E et l ensemble vide sont des ouverts Dans ce cas, le couple (E, O(E)) est appelé espace topologique. Si (E, O(E)) est un espace topologique, une partie A de E, A E, est dite un fermé de E si et seulement si son complémentaire dans E, E \ A est un ouvert. Des égalités bien connues E \ A i = (E \ A i ) et E \ A i = \ A i ), i I i I i I i I(E on déduit des propriétés des ouverts celles ci-dessous des fermés : a) Toute union finie de fermés est un fermé b) Toute intersection (finie ou non) de fermés est un fermé c) E et l ensemble vide sont des fermés Si (E, O(E)) est un espace topologique et x un point de E, x E, un voisinage de x est un ouvert contenant x; une base de voisinage de x est un sous-ensemble B de O(E) tel que pour tout voisinage V x de x il existe B B inclus dans V x : B V x. Si A est une partie de E, A E, la fermeture de A est le plus petit fermé contenant A, il est noté A et il est donné par A = F F F(E), A F si F(E) désigne l ensemble de tous les fermés de E. L intérieur de A, noté A, est le plus grand ouvert contenu dans A, il est donné par Ȧ = O O O(E), O A Une partie A de E est dite dense dans E si et seulement si A = E. 3

Définition 1.2 Si (E, O(E)) et (H, O(H)) sont deux espaces topologiques et f : E H une application de E dans H, on dit que f est continue au point e E si et seulement si, pour tout voisinage W f(e) de f(e) il existe un voisinage V e de e tel que f(v e ) W f(e). Si f est continue en tout point de E on dit seulement que f est une application continue de E dans H. Le théorème de caractérisation des applications continues est le suivant. Théorème 1.3 Soit (E, O(E)), (H, O(H)) deux espaces topologiques et f : E H une application de E dans H. Alors f est continue si et seulement si l une des deux propriétés suivantes est satisfaite : i) Pour tout ouvert O de H, O O(H), f 1 (O) est un ouvert de E, f 1 (O) O(E). ii) Pour tout fermé F de H, f 1 (F) est un fermé de E. Nous rappelons que si f : E H est une application et si A E et B H, alors f(a) = {y H; a A t.q. f(a) = y} = {f(a); a A} est l image de A par f et f 1 (B) = {x E t.q. f(x) B} est l image inverse de B par f. Si (E, O(E)) est un espace topologique et si A E est une partie de E, si on définit O(A) par O(A) = {A O; O O(E)}, alors (A, O(A)) est un espace topologique, on dit que la topologie ainsi définie sur A est celle induite par E. Tout ouvert de A n est pas forcément un ouvert de E, sauf si A est un ouvert de E. De même tout fermé de A n est pas forcément un fermé de E, sauf si A est un fermé de E. Dorénavant on dira que E est un espace topologique, à la place de (E, O(E)) est un espace topologique. Définition 1.4 Deux espaces topologiques E et H sont dits homéomorphes s il existe une bijection entre E et H qui soit continue ainsi que son inverse. Si f : E H est une telle bijection, alors i) Pour tout A E, f(a) est un ouvert de H si et seulement si A est un ouvert de E ii) Pour tout A E, f(a) est un fermé de H si et seulement si A est un fermé de E appelons qu un espace topologique E est dit séparé si et seulement si, pour tout couple d éléments distincts de (a, b) de E il existe un voisinage V a de a et un V b de b t.q. V a V b =. Une suite d éléments de E est une application s : N E que l on note par son image (e n ) = (e n ) n N, si s(n) = e n, n N. 4

Une sous-suite de (e n ) est une suite s p : N E où p : N N est une application strictement croissante, la sous-suite se note alors (e p(j) ) = (e p(j) ) j N. Une suite (e n ) d un espace topologique E est dite convergente de limite e, (e E), si pour tout voisinage V e de e, il existe M N tel que n > M, e n V e. Si de plus E est séparé, la limite, (si elle existe), est forcément unique. Définition 1.5 Un espace topologique E est dit compact s il est séparé et si pour tout recouvrement de E, E = O i par une famille {O i ; i I} ouverts de E, on peut en i I extraire un recouvrement fini : E = O i où J est un sous-ensemble fini de I. i J Théorème 1.6 de Bolzano-Weierstrass Soit K un espace topologique séparé. Si K est compact, alors toute suite de K admet une sous-suite convergente. Si K est un espace métrique tel que toute suite de K admet une sous-suite convergente, alors K est compact. Une partie A d un espace topologique E, A E est dit compacte, si A muni de la topologie induite de E est un espace topologique compact. On a les caractérisations suivantes des compacts. Proposition 1.7 Une partie A d un espace topologique séparé E est compact si pour tout recouvrement de A, A O i par une famille {O i ; i I} d ouverts de E, on i I peut en extraire un recouvrement fini : A O i où J est un sous-ensemble fini de I. i J Proposition 1.8 Si E est un espace topologique séparé et si A E est un compact, alors A est forcément un fermé de E. De plus, tout fermé inclus dans A est aussi compact. Un dernier résultat sur les compacts à savoir est Théorème 1.9 Soit f : E H est une application continue. Si H est séparé et si A E est un compact de E, alors f(a) est un compact de H. Les espaces topologiques les plus courants sont des espaces métriques dont nous rappelons la définition. Définition 1.10 Soit E un ensemble. Une distance sur E est une application d : E E + satisfaisant aux trois propriétés suivantes : i) {d(x, y) = 0} {x = y} (séparabilité) ii) d(x, y) = d(y, x) (symétrie) 5

iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) Dans ce cas le couple (E, d) est appelé espace métrique, d(x, y) est appelé distance entre x et y. Pour tout a E et pour tout r > 0, B(a, r) = {x E; d(a, x) < r} est appelé boule ouverte de rayon r et de centre a, et B(a, r] = {x E; d(a, x) r} est appelé boule fermée de rayon r et de centre a On définit alors les ouverts d un epace métrique (E, d) par : O E est un ouvert si et seulement si pour tout point a O, il existe r a > 0 tel que B(a, r a ) O. Le postulat i) de la Définition (1.10) implique que La topologie ainsi définie d un espace métrique est forcément séparée. On vérifie alors facilement que, si a E et r > 0 alors B(a, r) B(a, r]. Il est immédiat que toute partie A d un espace métrique E, A E, est aussi un espace métrique, la topologie associée est celle induite de E. Il est clair aussi que et C sont des espaces métriques, si la distance est donnée par d(a, b) = a b. (Nous verrons qu il en sera de même, pour tout espace vectoriel normé sur ou sur C). On a aussi la nouvelle façon de caractériser la convergence d une suite (a n ), d un espace métrique E, vers a par : { lim n a n = a } { ǫ > 0, N ǫ N t.q., n > N ǫ d(a, a n ) < ǫ} ce qui donne la nouvelle caractérisation de la continuité sur un espace métrique : Proposition 1.11 Soit f : E H une application entre un espace métrique E et un espace topologique H. Alors f est continue en un point a E, si et seulement si pour toute suite de points de E, (a n ) qui converge vers a, on a la suite de H (f(a n )) qui converge vers f(a). appelons sa démonstration. On démontre d abord que si f est un application entre deux espaces topologiques E et H et si f est continue au point a, alors toute suite de points de E, (a n ) qui converge vers a, la suite de H (f(a n )) converge aussi vers f(a). Soit (a n ) est suite de E qui converge vers a, alors si V f(a) est un voisinage de f(a), la continuité de f au point a entraîne l existence d un voisinage O a de a tel que f(o a ) V f(a). Comme (a n ) converge vers a, il existe N tel que n > N, a n O a, ce qui donne, compte tenu de l inclusion précédente, que n > N, f(a n ) V f(a). La suite (f(a n )) converge donc vers f(a). Pour la réciproque, l hypothèse E espace métrique est nécessaire. Soit f : E H une application entre un espace métrique E et un espace topologique H. Soit a E tel que pour toute suite (a n ) de E qui converge vers a, la suite (f(a n )) converge vers f(a). 6

Montrons par l absurde que f est continue au point a. Soit V f(a) tel que f 1 (V f(a) ) ne soit pas un voisinage de a, ce qui signifie, vu que E est un espace métrique, qu aucune boule ouverte de centre a n est incluse dans f 1 (V f(a) ). Pour tout entier n > 0, il existe alors a n B(a, 1) tel que f(a n n) / V f(a). La suite (a n ) converge vers a sans que la suite (f(a n )) converge vers f(a), ce qui contredit l hypothèse de départ De la caractérisation de la continuité donnée dans la Proposition (1.11), on voit tout de suite que, dans un espace métrique E, pour tout a E la fonction d a : E +, d a (x) = d(a, x), est continue, et même uniformément continue, (les inégalités triangulaires d(a, x) d(a, y) + d(y, x) = d(a, y) + d(x, y) et d(a, y) d(a, x) + d(x, y) donnent celle d(a, x) d(a, y) d(x, y) ). Définition 1.12 Soient (E, d E ) et (H, d H ) deux espaces métriques et f : E H une application de E dans H. On dit que f est uniformément continue si et seulement si on a ǫ > 0, η ǫ > 0 t.q. (x, y) E 2, d E (x, y) < η ǫ d H (f(x), f(y)) < ǫ. Cette définition est à différencier de la suivante Définition 1.13 Soit (f n ) une suite d applications d un ensemble E vers un espace métrique (H, d H ). Si f est une application de E vers H; on dit que la suite (f n ) converge uniformément vers f si et seulement si ǫ > 0, N ǫ t.q. x E, n > N ǫ d H (f n (x), f(x)) < ǫ De cette dernière définition on a le théorème bien connu Théorème 1.14 Soit (f n ) une suite d applications continues d un espace topologique E vers un espace métrique (H, d H ), qui converge uniformement vers f. Alors f est aussi continue. appelons la preuve Soit a E et soit V f(a) un voisinage de f(a), il contient alors une boule ouverte B(f(a), r), (r > 0). La convergence uniforme entraîne l existence d un entier n 0 tel d H (f n0 (x), f(x)) < r/3, x E. Mais f n0 est continue au point a, il existe alors un voisinage de a, O a tel que f n0 (x) B(f n0 (a), r/3), x O a. Si x O a, on a alors d H (f(x), f(a)) < d H (f(x), f n0 (x)) + d H (f n0 (x), f n0 (a)) + d H (f n0 (a), f(a)) r/3 + r/3 + r/3 = r, on a bien f(o a ) B(f(a), r) V f(a) 7

On a une nouvelle façon de caractériser la fermeture A d une partie A d un espace métrique E par : A est constitué des points a E tels qu il existe une suite (a n ) de A qui converge vers a. On a aussi la nouvelle caractérisation des espaces métriques compacts : Théorème 1.15 Soit E un espace métrique et A une partie de E. Alors A est compact si et seulement si, pour toute suite (a n ) de A, on peut extraire une sous-suite qui converge dans A. et un autre théorème important Théorème 1.16 Soient E et H deux espaces métriques et f : E H une application continue de E dans H. Si E est compact, alors f est uniformément continue. Voici une définition importante pour le cours de M1. Définition 1.17 Soit E un espace métrique. Une suite (x n ) de E est dite une suite de Cauchy si et seulement si on a ǫ > 0, N ǫ > 0 t.q. n > N ǫ et m > N ǫ d(x n, x m ) < ǫ. E est dit complet si et seulement si toute suite de Cauchy de E admet une limite. Des définitions précédentes, on voit facilement qu un espace métrique compact est toujours complet. appelons enfin la notion de limite-sup et celle de limite-inf. Soit (a n ) est une suite de nombres réels. La limite-inf de (a n ) existe toujours mais peut être égale à, si (a n ) n est pas minorée, et à +, si lim n a n = +. C est la limite de la suite croissante (b n ), où b n = inf{a k ; k n}, (si la suite (a n ) n est pas minorée, alors n, b n = ). La limite-inf est notée liminf a n ou lim inf n a n : liminf a n = lim inf n a n = lim n (inf k n a k). La limite-sup de (a n ) existe toujours mais peut être égale à +, si (a n ) n est pas majorée, et à, si lim n a n =. C est la limite de la suite décroissante (c n ), où c n = Sup{a k ; k n}, ( si la suite (a n ) n est pas majorée, alors n, c n = + ). La limite-sup est notée limsup a n ou lim sup a n : n limsup a n = lim sup a n = lim n (sup n k n a k ). 8

1.2 Quelques propriétés des espaces vectoriels Nous considérerons que des espaces vectoriels sur un corps K qui sera ou C. Soit (E, +,.) un espace vectoriel sur un corps K. Une norme sur E est une fonction positive sur E, N : E + satisfaisant i) N(x + y) N(x) + N(y), x, y E, (inégalité triangulaire) ii) N(λ.x) = λ N(x), (λ, x) K E, (homogénéité) iii) N(x) = 0 x = 0 (non dégénérescence) Si la fonction positive N vérifie seulement i) et ii), on dit que c est une semi-norme, et dans ce cas N = N 1 ({0}) est un sous-espace vectoriel de E. Une norme sur un espace vectoriel (E, +,.) sera notée le plus souvent. et on dira simplement que (E,. ) est un espace vectoriel normé. Le point. de la multiplication externe de E par les scalaires de K sera omis et on omettra aussi, si ça ne porte pas à confusion, la flèche sur l élément de neutre de E : 0 = 0. Si (E,. ) est un espace vectoriel normé, alors c est aussi un espace métrique, la distance est définie par d(x, y) = x y, (x, y) E 2. La boule ouverte de centre a E et de rayon r > 0 est alors définie par B(a, r) = {x E; x a < r} et la boule associée fermée est la fermeture de la boule ouverte, B(a, r) = B(a, r] = {x E; x a r}. A E sera un ouvert de l espace vectoriel normé (E,. ) si et seulement si x A, r x > 0 t.q. B(x, r x ) A. Une suite (x n ) de l espace vectoriel normé (E,. ) converge vers a E si et seulement si lim n x n a = 0. Si A E, sa fermeture A est l ensemble des vecteurs de E qui sont limites de suite de A. Une suite (x n ) d un espace vectoriel normé (E,. ) est une suite de Cauchy si est seulement si ǫ > 0, N ǫ N t.q. n, k > N ǫ, x n x k < ǫ. Un espace vectoriel normé (E,. ) est complet si toute suite de Cauchy de E est convergente, dans ce cas on dit que (E,. ) est un espace de Banach. Un résultat important sur les séries normalement convergentes dans les espaces de Banach. Définition 1.18 Soit (E;. ) un espace vectoriel normé sur K. Soit x n une série de vecteurs de E. n N Si la série de réels positif n N x n est convergente, alors la suite des sommes partielles (S N ) = ( N x n ) N est une suite de Cauchy de E. n=1 9

Si elle converge vers une limite S, on dit que la série x n converge normalement n N vers S + et on écrit S = x n. n=1 La Proposition suivante découle immédiatement de la définition précédente. Proposition 1.19 Soit (E;. ) un espace de Banach sur K. Soit x n une série de vecteurs de E, telle que x n < +. n N n N Alors la série x n converge normalement. n N Un exemple important d espace de Banach est l espace vectoriel des fonction continues sur un espace compact, si l espace des fonctions continues est muni de la norme uniforme. Théorème 1.20 Soit X un compact et C(X; K) l espace vectoriel sur K des fonctions continues sur X à valeurs dans K, avec K = ou K = C. Alors f = sup f(x) x X est fini, ceci f C(X; K), et. définit sur C(X; K) une norme appelée norme uniforme. De plus C(X; K) muni de la norme uniforme. est un espace de Banach. Preuve Le fait que l image d un compact par une fonction continue soit encore un compact fait que, pour f C(X; C), I f = { f(x) ; x X} est un compact de [0, + [ donc un borné, par conséquent f = Sup I f est borné. De plus, on peut même dire que le maximum f de la fonction continue sur le compact X, x f(x) est atteint, (ainsi que son minimum). De part la définition de la norme uniforme, on a bien l homogénéité λf = λ f, (λ, f) K C(X; K), ainsi que la non-dégénérescence, f = 0 f(x) = 0 x X. L inégalité triangulaire f + g f + g résulte du fait que f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g, ceci x X. Le fait que (C(X; K),. ) soit un espace vectoriel normé est donc démontré. Prouvons qu il est complet. Soit (f n ) une suite de Cauchy de (C(X; K),. ), alors, pour tout x X fixé, (f n (x)) est une suite de Cauchy de K = ou K = C, donc K est complet, par conséquent la suite de Cauchy de K, (f n (x)) converge vers un élément de K que nous notons f(x). On a ainsi défini une fonction sur X, f : X K, x f(x), x X. Montrons que la suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur X vers f. 10

Soit ǫ > 0. L hypothèse (f n ) suite de Cauchy entraîne l existence d un entier N ǫ tel que f n (x) f k (x) f n f k < ǫ, n, k > N ǫ. On fait tendre k vers l infini et on trouve f n (x) f(x) ǫ, n > N ǫ, soit f n f ǫ, n > N ǫ. La suite (f n ) converge donc uniformément sur X vers f, comme chaque f n est continue sur X, on en déduit grâce au Théoreme (1.14) que f l est aussi. On a bien f C(X; K) et lim n f n f = 0 Si E est un espace vectoriel et si. 1 et. 2 sont deux normes sur E, on dit qu elles sont équivalentes si et seulement si C 1 et C 2 > 0 t.q. C 1 x 1 x 2 C 2 x 1 x E. Dans ce cas toute boule ouverte de l une des deux normes contient une boule ouverte de l autre norme, et donc les ouverts associés à chacune des normes sont les mêmes : deux normes équivalentes sur E définissent la même topologie sur E. Dans un espace vectoriel normé (E,. ), un cas particulier de sous-espaces vectoriels de E qui sont intéressants est celui des sous-espaces dense dans E. appelons leur définition et leur caractérisation. Définition 1.21 Si (E,. ) est un espace vectoriel normé, un sous-ensemble de E E E est dit dense dans E si et seulement si tout élément de E est limite d une suite de E. Autrement dit, x E et ǫ > 0, x ǫ E t.q. x x ǫ < ǫ. Dans le cas de l espace de Banach de fonctions continues sur un compact X, C(X; K) qu on a déjà vu, un théorème important de caractérisation de ses sous-espaces denses est le Théorème de Stone-Weierstrass. Théorème 1.22 Soit K = ou C, X un compact. On considère l espace vectoriel sur K de fonctions continues sur X à valeurs dans K, muni de la norme uniforme, C(X; K). Soit F C(X; K) un sous-espace vectoriel de C(X; K) vérifiant i) F est une sous-algèbre de C(X; K) : F est un sous-espace vectoriel de C(X; K) tel que f(x)g(x) F f, g F. ii) F sépare les points de X : x, y X, x y, f F t.q. f(x) f(y). iii) Les fonctions constantes sont dans F. iv) Si K = C, f F, f F. Alors F est dense dans C(X; K). Comme ce théorème est important et qu il n est pas sûr que sa démonstration soit faite en licence, nous rappelons comment il se démontre. Plan de la preuve 11

1) Si K = C, on se ramène au cas réel. On décompose F en sa partie réelle et celle imaginaire, F = F r + if i, alors F r et F i sont deux sous-algèbres de C(X; ) qui satisfont les hypothèses du théorème. En effet, faisons la vérification pour F r. Comme les fonctions constantes sont dans F, les fonctions constantes réelles sont donc dans F r, en particulier F r est non vide. Si g 1, g 2 F r, alors il existe h 1, h 2 F i tels que f 1 = g 1 + ih 1 F et f 2 = g 2 + ih 2 F. Si λ 1, λ 2, alors F étant un sous-espace vectoriel, on a λ 1 f 1 + λ 2 f 2 F, et donc e(λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ) = λ 1 g 1 + λ 2 g 2 F r : F r est bien un sous-espace vectoriel de C(X; ). De plus F sous-algèbre implique que f 1 f 2 F et donc e(f 1 f 2 ) = g 1 g 2 h 1 h 2 F r, et comme F est invariant par conjugaison, f 2 F, ce qui donne que e(f 1 f 2 ) = g 1 g 2 +h 1 h 2 F r. Comme on sait déjà que F r est un sous-espace vectoriel, on trouve que g 1 g 2 = 1(g 2 1g 2 h 1 h 2 ) + 1(g 2 1g 2 + h 1 h 2 ) F r : F r est bien une sous-algèbre de C(X; ). Comme F sépare les points de X, si x, y X, x y, alors f F t.q. f(x) f(y). Si e(f(x)) e(f(y)), alors F r sépare les deux points x et y, autrement e(if(x)) e(if(y)) et on aboutit à la même conclusion. F r sépare donc les points de X. Deuxième étape 2) On démontre que tout sous-algèbre F de C(X; ), sa fermeture F, ( dans C(X; )), est une sous-algèbre fermée de C(X; ), vérifiant sup(f, g) F et inf(f, g) F ceci f, g F. 2,a) En effet, il est clair que F est une sous-algèbre fermée de C(X; ). 2,b) Si f F, montrons que f F. Comme F est un sous-espace vectoriel, on peut se ramener à f < 1, en considérant f/( f + 1). Alors, pour tout ǫ > 0, et pour tout x dans X, la série de fonctions + (1 + ǫ) 1/2 a j [(f 2 (x) 1)/(1 + ǫ)] j converge uniformément vers (f 2 (x) + ǫ) 1/2, si + j=0 j=0 a j x j = (1 + x) 1/2 pour x ] 1, 1[, ( a 0 = 1, a j+1 = 1 2 (1 1).. 2.(1 j)/(j + 1)!). 2 Comme F est une sous-algèbre et que les constantes sont dans F, f F f 2 1 F et donc [(f 2 (x) 1)/(1 + ǫ)] j F pour tout j. Par conséquent comme F est un sous-espace fermé de l espace vectoriel normé complet (C(X; );. ), (F;. ) est aussi un espace vectoriel normé complet. + La série (1 + ǫ) 1/2 a j [(f 2 (x) 1)/(1 + ǫ)] j étant normalement convergente dans j=0 (F;. ), sa limite sera donc dans F : (f 2 (x) + ǫ) 1/2 F. 12

On a donc démontré que, pour tout ǫ > 0, (f 2 (x) + ǫ) 1/2 F. Mais f C(X; ) et pour tout ǫ > 0, 0 < (f 2 (x) + ǫ) 1/2 f < ǫ, soit (f 2 (x) + ǫ) 1/2 f < ǫ, et donc f F. 2,c) Soit maintenant f et g F, alors sup(f, g) = 1[(f + g) + f g ] et inf(f, g) = 1 [(f + g) f g ]. 2 2 Comme F est un sous-espace vectoriel f g F, et donc d après le point 2, b) f g F. Le fait que F soit un espace vectoriel permet alors de conclure : sup(f, g) et inf(f, g) F. Troisième étape 3) Montrons que, pour tout x et y X, x y et pour tout α et β, il existe f F tel que f(x) = α et f(y) = β. Soit x, y, α et β comme ci-dessus. Comme F sépare les points de X, il existe g F tel que g(x) g(y). Comme les constantes sont dans le sous-espace vectoriel F, quitte à ajouter une constante à la fonction g, on peut supposer que g(x) g(y) et g(x)g(y) 0, donc le système (ug(x) + vg 2 (x) = α ug(y) + vg 2 (y) = β ) admet une solution (u, v). Comme F est une algèbre, f = ug + vg 2 f(x) = α et f(y) = β. Quatrième et dernière étape F et satisfait 4) Pour montrer que F est dense dans (C(X; );. ), il suffit de prouver que F est dense dans (C(X; );. ). Soit f C(X; ). Il reste à montrer que, pour tout ǫ > 0, il existe f ǫ F, tel que f f ǫ < ǫ. Soit ǫ > 0. Soit a X. Alors d après le point 3), pour tout y X, il existe g y F tel que f(a) = g y (a) et f(y) = g y (y). Comme g y f est une fonction continue, O y = {x X; g y (x) f(x) < ǫ} est un ouvert de X qui, de plus, est non vide car il contient a et y. Quand on fait varier y sur tout X, les ouverts O y forment un recouvrement de X, et comme X est compact, on peut en extraire un recouvrement fini : il existe un nombre n fini de points de X, {y 1,...,y n } tel que X = O yj. Autrement dit x X, j {1,..., n} t.q. g yj (x) < f(x) + ǫ. Mais d après le point 3), h a = inf(g y1, g y2,...,g yn ) F et cette fonction vérifie j=1 h a (x) < f(x) + ǫ, x X. (1.1) Comme pour tout y X, g y (a) = f(a), on a forcément h a (a) = f(a), par conséquent, comme h a f est une fonction continue, Ω a = {x X; h a (x) f(x) > ǫ} est un ouvert de X qui contient a. Le même raisonnement fait avec les ouverts O y, s applique avec ceux Ω a quand on fait varier le point a sur tout X, il existe donc un nombre fini de m points de X, {a 1,...,a m }, tel que X = Ω aj. j=1 13

Autrement dit x X, j {1,..., m} t.q. h aj (x) > f(x) ǫ. Mais d après le point 3), f ǫ = sup(h a1, h a2,..., h am ) F et cette fonction vérifie f ǫ (x) > f(x) ǫ, x X. (1.2) Mais d après (1.1) et la définition de f ǫ ci-dessus on a aussi f ǫ (x) < f(x) + ǫ, x X. (1.3) Les inégalités (1.2) et (1.3) montrent que f f ǫ < ǫ, et on sait que f ǫ F, C.Q.F.D. 1.3 Les espaces vectoriels de dimension finie Nous recommandons vivement de revoir le cours et les exercices d Algèbre linéaire de D.E.U.G. A1,2. En particulier, les notions suivantes suivantes seront doivent bien être comprises : dual d un espace vectoriel, base duale, transpos ee d une application linéaire, projection sur un sous-espace parallèlement à un sous-espace complémentaire, espace euclidien, espace hermitien, adjoint d une application linéaire, projection orthogonale, groupe linéaire d un espace vectoriel de dimension n, le groupe orthogonal d un espace euclidien de dimension n, le groupe unitaire d un espace hermitien de dimension n. Ces révisions vous seront aussi utiles pour passer les concours nécessitant la Licence ou la Maîtrise de Math.. Nous recommandons pour cela les ouvrages suivants [1] Tome 1, 2 et [8] Tome 1, 2. Un exercice dont on peut trouver la solution dans les manuels conseillés ci-dessus, et qu il faut savoir faire tout seul est le suivant. Exercice 1.23 Soit 1 p et n N. K désignera soit le corps ou C. On définit sur K n x p = ( n j=1 x j p ) 1/p. i) Montrer que. 1,. et. 2 sont des normes et que K n est complet pour ces normes. ii) On suppose 1 < p <. Soit q le conjugué de p, 1 p + 1 q = 1. Etablir que (a + b) p 2 p 1 (a p + b p ), a, b 0, (utiliser les propriétés de la fonction f p (t) = t p ). Etablir que ab ap + bq, a, b 0. p q n iii) Etablir l inégalité de Hölder x j y j x p y q et l inégalité de Minkowski x + y p x p + y p, ceci x, y K n. (Pour Minkowski, utiliser Hölder). j=1 En déduire que. p est une norme, (norme p), et vérifier qu elle est équivalente à la norme. 14

iv) Soit A M n,k (K) une matrice n k, considérée comme un élément de L(K k, K n ). Trouver sa norme si on munit K k et K n de la norme, de la norme 1 puis de la norme 2. v) Vérifier que N(A) = (Tr(A A)) 1/2, A M n (K) définit bien une norme sur M n (K), mais que ce n est pas une norme matricielle, (une norme d opérateur). Cet exercice est très utile pour comprendre les espaces l p (Γ), si Γ est un ensemble dénombrable. Nous rappelons qu un ensemble Γ est dit dénombrable si et seulement s il existe une injection J : Γ N. Dans ce cas, il est, soit fini soit en bijection avec N. (anger par exemple J(Γ) en ordre croissant. Si Γ est infini, on obtient une suite strictement croissante d entiers (k n ) n N, n,! γ n Γ t.q. J(γ n ) = k n, la bijection est alors S : N Γ, S(n) = γ n ). Quelques propriétés des ensembles dénombrables - Si A et B sont dénombrables, alors A B est dénombrable. Pour s en convaincre, il suffit de vérifier que N 2 est dénombrable. On considère par exemple la relation d ordre sur N 2, (i, j) < (k, l) si et seulement si Max{i, j} < Max{k, l} ou Max{i, j} = Max{k, l}, et min{i, j} < min{k, l}, enfin ou i = l < j = k. On range les éléments de N 2 en ordre strictement croissant et on obtient une suite ((i n, j n )) n N, d ou l injection j : N 2 N, J((i, j)) = n si (i, j) = (i n, j n ). - Si A 1,..., A n sont n ensembles dénobrables, alors leur produit A 1 A 2... A n est aussi dénombrable. Ceci résulte de la dernière propriété. - Si B, C A sont deux sous-ensembles d un ensemble A, alors leur union B C est aussi dénombrable. Pour s en convaincre, il suffit de supposer B et C disjoints, d ajouter à B un élement supplémentaire b et à C aussi c et supposer b c. B = B {b} et C = C {c} sont disjoints et dénombrables, (donc B C est aussi dénombrable), et il existe une injection I : B C B C, définie par : I(x) = (x, c) si x B et I(x) = (b, x) si x C. - Des propriétés ci-dessus, on trouve que Z et Q sont dénombrables. Quand un ensemble dénombrable Γ est infini, il existe donc une bijection T : Γ N, on peut donc indexer ses éléments par N : Γ = {γ n ; n N}, si par exemple T(γ n ) = n, n N. Si 1 p < +, l espace l p (Γ) est l espace des suites réelles ou complexes (x γ ) γ Γ, ( indexées par Γ), et tel que la série γ Γ 15 x γ p = + n=0 x γn p soit convergente.

Pour l (Γ), on impose seulement que la suite (x γ ) γ Γ soit bornée : C > 0 t.q. x γ C, γ Γ. L exercice ci-dessous établit les propriétés utiles des espaces l p ; il sera traité en T.D.. Exercice 1.24 Soit l (N) l espace vectoriel des suites bornées, c(n) et c 0 (N) les sous espaces de celles convergentes et de celles à limite nulle. i) Montrer que l (N) est un Banach pour la norme du Sup : x = sup n x n. ii) Montrer que c 0 (N) et c(n) sont deux sous espaces fermés de l (N) et qu ils sont séparables. Soit A = {x n = (x n j ) j ; n N} un sous-ensemble dénombrable de l (N). Soit x = (x n ) défini par x n = x n n + 1, si xn n 1, et x n = 0 autrement. Démontrer que x n est pas dans la fermeture de A. En déduire que l (N) n est pas separable. iii) Montrer que c(n) = c 0 (N) K, (K est identifié aux suites constantes). Soit j : c(n) c 0 (N), (j(x)) 0 = lim x n, et (j(x)) k+1 = x k lim n x n k N. n Démontrer que c est un isomorphisme non isométrique. Soit p 1 et l p (N) l ensemble des suites x = (x n ) tel que x p := ( x n p ) 1/p <. n=0 iv) Démontrer que que (l 1 (N);. 1 ) est un Banach qui s injecte continûment dans c 0 (N). v) Etablir que (l p (N);. p ) est un e.v.n.. Montrer l injection continue de l p (N) dans l p+ǫ (N), ǫ > 0. vi) Montrer que l p (N) est un Banach. En déduire que l 2 (N) est un Hilbert isométrique à L 2 ([0, 1]). vii) Soit B := {δ n } la base formelle canonique des l p (N). Démontrer qu elle est totale dans l p (N), (c est à dire que c est une base de Schauder), si 1 p < +. Démontrer qu il en est de même dans c 0 (N). Soit δ la suite constante de limite 1. On considère B = B {δ }, démontrer que c est une base totale de c(n). viii) Démontrer que (l 1 (N)) = l (N). Justifier que l injection continue de l 1 (N) dans (l (N)) n est pas un isomorphisme de Banach. Soit p, 1 < p < et q son conjugué. Prouver que l q (N) s injecte isométriquement dans (l p (N)). Soit e (l p (N)) et soit la suite x = (x n ), x n =< e, δ n >. Démontrer que, N pour tout entier N, x n q e q. En déduire que (l p (N)) = l q (N). n=0 ix) Démontrer que l injection canonique de l 1 (N) dans (c 0 (N)) est en fait un isomorphisme. Prouver que (c(n)) est isomorphe à l 1 (N). Si 1 p, l espace l p (N) est-il réflexif? 16

Dans cet exercice apparait la définition d espace vectoriel normé, (ou seulement d espace métrique), séparable. Un espace métrique E est dit séparable si et seulement si, il existe un sous-ensemble de E, D qui est dénombrable et dense dans E. Parmi les espaces de Banach séparables, il y a ceux qui resemblent le plus aux espaces vectoriels de dimension finie, ce sont ceux qui admettent une base de Schauder. appelons quelques notions sur les bases de Schauder. Soit H un espace vectoriel sur le coprs K et B = (e n ) n N une suite de vecteurs de H. Le sous espace vectoriel engendré par B = (e n ) n N est E = E n, où E n = V ect{e 0,...,e n } est le sous-espace vectoriel engendé par les n N n + 1 vecteurs {e 0,..., e n }. Autrement dit x E si et seulement s il existe m N et (λ 0,...,λ m ) K m+1 tel m que x = λ j e j. j=0 Attention, l intersection (fini ou infini) de sous-espaces vectoriels est toujours un sousespace vectoriel, par contre l union de sous-espaces vectoriels est rarement un sous-espace vectoriel. Ici E n est un sous-espace vectoriel que parce qu il est l union d une suite croissante des sous-espaces vectoriels : E n E n+1, n N. Il est facile d établir la propriété suivante : Proposition 1.25 Un espace de Banach (H,. ) qui n est pas de dimension finie est séparable si et seulement si on peut lui associer une suite de vecteurs de H, B = (e n ) n N telle que, i) pour tout n N, {e 0,...,e n } est libre ii) le sous-espace vectoriel engendré par B = (e n ) n N, E = n N V ect{e 0,...,e n } est dense dans H. Pour la démonstration, nous la laissons en exercice. (Indication Voir que dénombrable et dense dans ). On peut alors donner la défintion suivante. Q est Définition 1.26 Une suite de vecteurs B = (e n ) n N d un espace de Banach (H,. ) est une base de Schauder de H, si et seulement si x H, il existe une unique suite de C, (λ n ) tel que x = (c est-à-dire que lim x N λ n e n = 0). N n=0 + n=0 λ n e n, Dans le cas d un espace de Hilbert on a aussi la définition suivante. Définition 1.27 Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire noté (. ;. ). 17

Une suite de vecteurs orthonormés de H, B = (e n ) n N est dite une base hilbertienne de H, si c est une base de Schauder. C est équivalent à écrire que (e n ; e k ) = δ n (k) et x H, lim N x N (x; e k )e k = 0. (δ a désigne le symbole de Kronecker, ou fonction delta de Kronecker, δ a (a) = 1 et δ a (x) = 0 si x a). La notion d espace vectoriel normé réflexif qui apparait dans l Exercice (1.24) est basé sur la dualité qui sera introduite dans le chapitre suivant. k=0 2 Quelques bonnes surprises et gags 2.1 Sur la continuité des applications linéaires Sur un espace vectoriel E, qui n est pas de dimension finie, deux normes ne sont plus obligatoirement équivalentes; la continuité sur E dépendra donc de la norme. Si E et F sont deux espaces vectoriels normés, (sur le même corps), et si u est une application linéaire entre E et F, u Lin(E; F), alors u n est pas forcément continue. appelons le Théorème Théorème 2.1 Soit (E,. E ) et (F,. F ) deux espaces vectoriels normés et u End(E; F). Alors on a les équivalences suivantes i) u est continue ii) u est continue à l origine 0 u(x) iii) u = sup F x E\{0} x E est fini. Dans ce cas on écrit que u L(E; F). Exercice 2.2 Sous les hypothèses ci-dessus, si E est de dimension finie, prouver que u est forcément continu. Trouver un contre exemple où F est de dimension finie mais pas E, et où u n est pas continue. Exercice 2.3 Dans le cadre du Théorème (2.1), prouver que (L(E; F),. ) est un espace vectoriel normé, la norme étant définie dans ii) du Théorème (2.1). Prouver les égalités suivantes, pour u L(E; F), u = sup u(x) F = u = sup u(x) F x E; x E =1 x E; x E 1 18

Exercice 2.4 Soit (E,. E ) et (F,. F ) deux espaces vectoriels normés et u End(E; F) une application linéaire supposée bijective. Montrer que u et u 1 sont continus si et seulement s il existe deux constantes c et C strictement positives tel que c x E u(x) F C x E, x i ne. Un théorème intéressant est Théorème 2.5 Soit (E,. E ) et (F,. F ) deux espaces vectoriels normés, sur ou sur C, tel que F soit un espace de Banach. Alors L(E; F) est aussi un espace de Banach. emarque 2.6 Si u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés, u End(E; F), alors dire que u est continue est équivalent à dire qu il existe une constante C > 0 tel que u(x) F C x E, x E. Autrement dit, que u(b E (0, 1)) B F (0, C), si B H (a, r) désigne la boule de H centrée en a et de rayon r. Cette denière remarque permet de mieux comprendre le Corollaire du Théorème de l application ouverte. Théorème 2.7 Théorème de l application ouverte. Soit E et F deux espaces de Banach et u L(E; F), une application linéaire et continue. Alors u est surjective si et seulement il existe r > 0 tel que u(b E (0, 1)) B F (0, r) Corollaire 2.8 Soit u L(E; F) une application linéaire et continue entre deux espaces de Banach E et F. Si u est est bijective, alors son inverse est forcément continue : u 1 L(F, E). 2.2 Sur les formes linéaires et la dualité Soit (H,. ) un espace vectoriel normé sur le corps K(= ou C). Si f H = L(H; K), on dit que f est une forme linéaire et continue sur H. (C est une fonction sur H qui est linéaire et continue). L action de f sur H se note des fois : f(x) =< x; f >=< x; f > H,H, x H. H = L(H; K) est appélé espace dual de l espace vectoriel normé H, c est aussi un espace vectoriel normé. 19

On peut donc condidèrer le dual de H qui est noté H et qui est appélé bidual de H. On a une injection continue, canonique : J : H H, J(x)(f) =< f; J(x) > H,H := f(x) =< x; f > H,H, ceci x H, f H. Dans le cas où H est de dimension finie, alors H, H et H ont toujours la même dimension, ce qui entraîne que l injection canonique J est en fait un isomorphisme. Ceci n est pas toujours le cas quand H n est plus de dimension finie. Un espace vectoriel normé H, tel que son injection canonique dans son bi-dual soit un isomorphisme, est appelé espace réflexif. Un espace hemitien ou pré-hilbertien est un espace vectoriel H sur C, muni d un produit scalaire (. ;. ) : H 2 C, tel que : - Pour tout y H (fixé), (. ; y) : H C soit une forme linéaire. - (x; y) = (y, x), (x, y) H 2 - (x; x) > 0, x 0, x H Dans ce cas x := (x, x), x H, définit une norme sur H et on dit simplement que (H,. ) est un espace pré-hilbertien, et on a l inégalté de Cauchy-Schwarz (x; y) x y, x, y H. Dans le cas où le corps est au lieu de C, on dit que (H,. ) est un espace euclidien, quand il est en plus de dimension finie, si non on l appelle seulement espace pré-hilbertien réel. Un espace pré-hilbertien complet est appelé un espace de Hilbert, un espace préhilbertien réel complet est aussi appelé un espace de Hilbert réel. Un espace de Hilbert est toujours réflexif. Ceci découle du Théorème 2.9 Théorème de représentation de iesz Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire (. ;. ). Alors il existe un isomorphisme isométrique entre les deux espaces vectoriels normés H et son dual H, I : H H, < a; I(x) > H,H := (a; x), x, a H et I(x) H = x H, x H. Autrement dit, si f H,!x f H t.q. f(a) = (a; x f ) a H. Nous rappelons que, dans le cas d un espace de Hilbert (H; (. ;. ) ), pour tout opérateur continu sur H, u L(H), il existe un unique opérateur continu sur H, appelé adjoint de u et noté u, (u L(H)), et qui est entièrement défini par la relation de dualité : (u(x); y) = (x; u (y)), x, y H. (2.4) 20

u et u ont toujours la même norme. u est dit auto-adjoint si et seulement si u = u. 2.3 Les fonctions continues sur un compact Soit X un compact, et (C(X; K),. ), l espace de Banach des fonctions continues sur X à valeurs dans K = ou K = C. Un problème interessant est de savoir caractériser les compacts de C(X; K). Pour ça on a besoin de quelques définitions. Un sous-ensemble A d un espace topologique E, A E, est dit relativement compact si et seulement si sa fermeture A est compacte. Les ensembles relativement compacts de n sont donc les ensembles bornés. Attention, dans un espace vectoriel normé, les bornés-fermés ne sont pas toujours compacts, sauf quand l espace vectoriel est de dimension finie. Une deuxième définition est relative à la continuité. Soit (Y, d) un espace métrique, et f C(Y ; K) une fonction continue sur Y. appelons que f est dit uniformément continue sur Y si et seulement ǫ > 0, η = η(ǫ) > 0 t.q. f(x) f(y) < ǫ x, y Y, d(x, y) < η(ǫ). Une famille A F(Y ; K) de fonctions sur Y est dite équicontinue au point a Y si et seulement si ǫ > 0, η = η(ǫ, a)) > 0 t.q. f(x) f(a) < ǫ x Y, d(x, a) < η(ǫ, a) et f A. (Dans ce cas, chaque fonction f A est continue au poit a). Une famille A C(Y ; K) de fonctions continues sur Y est dite équicontinue sur Y si et seulement si elle est équicontinue en tout point de Y. Un résultat vu en D.E.U.G. est Théorème 2.10 Soit (Y ; d) un espace métrique et une suite de fonctions sur Y, (f n (x)). Si la suite a une limite f(x) et si la suite des fonctions est équicontinues sur Y, alors la limite f(x) est continue sur Y. Une famille A C(Y ; K) de fonctions continues sur Y est dite uniformément équicontinue sur Y si et seulement si ǫ > 0, η = η(ǫ) > 0 t.q. f(x) f(y) < ǫ x, y Y, d(x, y) < η(ǫ) et f A. Un théorème à bien comprendre les hypothèses et à les retenir est 21

Théorème 2.11 d Ascoli Soit (X, d) un espace métrique et compact et soit (C(X; K),. ), l espace de Banach des fonctions continues sur X à valeurs dans K = ou K = C, muni de la norme Sup. Soit A C(X; K) un sous-ensemble borné dans (C(X; K),. ). On suppose de plus que A soit une famille de fonctions uniformément équicontinue sur Y. Alors A est relativement compact dans (C(X; K),. ). Encore une fois attention, le théorème d Ascoli ne permet de caractériser que les ensembles relativement compacts de (C(X; K),. ), (avec X compact et métrique), et non les ensembles relativement compacts de n importe quel espace de Banach. 3 ésultats des cours optionnels de la Licence 3.1 Quelques rappels sur l intégrale de Lebesgue Sur ce sous-chapitre, nous indiquons simplement le schéma dont découlent les résultats à savoir (sans démonstration). Pour ceux qui n ont pas vu ces résultats en Licence et qu il veulent avoir une idée des démonstrations, nous les renvoyons au livre de W. udin [9] ou à celui de H. Buchwalter [5]. appel sur la mesure abstraite Pour plus de développement sur ce sous-paragraphe, et pour les détails des preuves sur les propriétés des mesures qui vont suivre, nous renvoyons au livre de [2]. Soit Ω un ensemble et P(Ω) l ensemble des parties de Ω, (A P(Ω) si et seulement si c est un sous-ensemble de Ω, A Ω). A P(Ω), son complémentaire dans Ω sera noté Ω \ A Une tribu sur Ω est une classe T (Ω) de sous-ensenbles de Ω satisfaisant aux 3 propriétés suivantes : i) Ω T (Ω) ii) A T (Ω) = Ω \ A T (Ω) iii) Pour toute suite (A n ), A n T (Ω) n N, alors A i T (Ω) Une tribu est aussi appelée une σ-algèbre, (sigma-algèbre). emarquez que dans une tribu T (Ω), en passant au complémentaire, on a aussi iv) T (Ω) v) A i T (Ω), si A n T (Ω) n N, vi) i=0 N A i T (Ω) et i=1 i=0 i=0 N A i T (Ω), si A 1, A 2,...,A N T (Ω). 22

Il est clair que P(Ω) est la plus grande tribu et {Ω, } la plus pétite. Si Ω est un espace topologique, la plus petite tribu contenant les ouverts de Ω est appelée la tribu borélienne de Ω, (dans la suite, on la notera T B (Ω)). On démontre que la tribu borélienne de est aussi celle engendrée par les intervalles de, et plus généralement la tribu borélienne de n est engendrée par les pavés I 1 I 2... I n, (le I i étant des intervalles). Si T (Ω) est une tribu, les éléments de T (Ω) sont appelés les ensembles mesurables, si T (X) est une tribu sur un deuxième ensemble X, et si F : Ω X est une application, alors F est dit mesurable si et seulement si F 1 (B) T (Ω), B T (X). Dans le cas où X est un espace topologique, on sous-entendra toujours que X est muni de sa tribu borélienne. Par exemple si f : Ω K est une fonction à valeurs dans K = ou K = C, alors f est une fonction mesurable si et seulement si f 1 (M) T (Ω) pour tout sous-ensemble mesurable M de K. Les fonctions étagées sont toujours mesurables : une fonction f est dite étagée, et on écrira que f Etag(Ω; K), si et seulement si, il existe un entier N et A 1,...,A N dans T (Ω) et N scalaires λ 1,...,λ N ( K), tel que f(ω) = N λ i χ Ai (ω), ω Ω i=1 (χ A est la fonction caractéristique de A, celle qui vaut 1 dans A et 0 dans Ω \ A.) La limite d une suite de fonctions mesurable est aussi mesurable. Un espace mesuré est la donnée d un triplet (Ω, T (Ω), P) où Ω est un ensemble, T (Ω) une tribu sur Ω et P : T (Ω) [0, + ] est une mesure, c est à dire vérifiant P( A i ) = i=0 + i=0 P(A i ), si A n A k = n k, (3.5) emarquez que l on a forcément P(A) P(B), si A B. On peut avoir P(D) = +, (pour un D T (Ω)). On suppose toujours qu il existe A T (Ω) tel que A et P(A) < +, alors on a forcément P( ) = 0. emarquez que si (Ω, T (Ω), P) est un espace mesuré et si E est un ensemble mesurable, E T (Ω), alors (E, E T (Ω), P) est aussi un espace mesuré. La mesure de Lebesgue sur est celle associée à l espace mesuré (, T B (), m) avec m(]a, b[) = b a. 23

La mesure de Lebesgue sur n est celle associée à l espace mesuré ( n, T B ( n ), m) n avec m(]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [... ]a n, b n [) = (b i a i ). i=1 Si O est un ouvert de n,, alors T B (O) = O T B ( n ), la mesure de Lebesgue sur O est celle sur n restreinte à O. On note tout simplement L p (O), L p (O), (au lieu de L p (O; dm(x)), L p (O; dm(x))). Soit un espace mesuré (Ω, T (Ω), P). Si h = N i=1 λ iχ Ai est une fonction en étagée, h Etag(Ω; C), alors on définit l intégrale de h par N h(ω)dp(ω) := λ i P(A i ). Ω Si f : Ω + est une fonction mesurable et positive, on écrira que f M(Ω; + ), alors on peut définir son intégrale f(ω)dp(ω) := sup h(ω)dp(ω) (3.6) Ω h Etag(Ω; + ); h f Ω Quand l intégrale est finie, on dit alors que f est intégrable. Théorème 3.1 de Beppo-Levi Soit (f n ) une suite croissante de fonctions mesurables et positives sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P) et soit f sa limite. Alors f(ω)dp(ω) = lim f n (ω)dp(ω) m Ω Ω Cette proprété de Beppo-Levy permet de mieux calculer l intégrale d une fonction mesurable et positive à partir de celles des fonctions en étagée dans la formule (3.6). Un Lemme important est le Lemme de Fatou. Lemme 3.2 de Fatou i=1 Soit (f n ) une suite de fonctions mesurables et positives sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P) et soit f sa limite-inf : f(ω) = lim inf f n (ω). n Alors f(ω)dp(ω) lim inf f n (ω)dp(ω). Ω m Ω appelons que, pour une suite de réel (a n ), sa limite-inf et sa limite-sup sont, respectivement, la limite de la suite croissante (c n ), c k = inf{a n ; n k}, et de la suite décroissante (b n ), b k = Sup{a n ; n k} : lim inf a n = lim inf{a n ; n k}, n k lim sup a n = lim Sup{a n ; n k}. n k Si f : Ω est une fonction mesurable, alors f = f + f et f + = Max(f, 0) et f = Max( f, 0) sont positives et mesurables. 24

Comme f + f = 0 et que f = f + + f, alors f est intégrable si et seulement f + et f le sont, ce qui permet de donner la définition suivante : une fonction réelle et mesurable f = f + f est dite intégrable si et seulement si f = f + + f est intégrable (dans le sens de (3.6)), et dans ce cas son intégrale est f(ω)dp(ω) := f + (ω)dp(ω) f (ω)dp(ω) (3.7) Ω Dans le cas complexe on a aussi : Ω une fonction complexe et mesurable f = f + if I est dite intégrable si et seulement si sa partie réelle f et sa partie imaginaire f I sont intégrables, (ce qui est équivalent à dire simplement que f est mesurable et f est intégrable), dans ce cas son intégrale est f(ω)dp(ω) := f (ω)dp(ω) + i f I (ω)dp(ω). (3.8) Si f est intégrable, on a toujours Ω Ω Ω f(ω)dp(ω) Ω Ω Ω f(ω) dp(ω). Les fonctions intégrables forment un espace vectoriel sur K noté L 1 (Ω; dp(ω)). On a le théorème de convergence dominée de Lebesgue Théorème 3.3 de Lebesgue Soit (f n ) une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P) tel i) f(ω) = lim n f n (ω) existe p.p. sur Ω. ii) Il existe une fonction intégrable g L 1 (Ω; dp(ω)), tel que n N, f n (ω) g(ω) p.p. sur Ω. Alors les f n et f sont intégrables sur Ω et f(ω)dp(ω) = lim m Ω Ω f n (ω)dp(ω). Si 1 p < +, les fonctions mesurables f telles que f p L 1 (Ω; dp(ω)) forment aussi un espace vectoriel sur K noté L p (Ω; dp(ω)). On note alors f p := ( f(ω) p dp(ω)) 1/p, f L p (Ω; dp(ω)) (3.9) Ω appelons qu une propriété sur Ω est dite vérifiée presque partout, (p.p.) si elle est vérifiée sur Ω \ A avec A T (Ω) et P(A) = 0. Les fonctions mesurables f telles qu il existe une constante C > 0, telle que f(ω) C p.p. sur Ω forment aussi un espace vectoriel sur K noté L (Ω; dp(ω)). On note aussi f := Inf{C; C > 0 et f(ω) C p.p.}, f L (Ω; dp(ω)) (3.10) 25

On a l inégalité de Hölder : f L p ((Ω; dp(ω)), g L q ((Ω; dp(ω)), p, q [1, + ], 1 p +1 q = 1 = fg L1 ((Ω; dp(ω)) f(ω)g(ω)dp(ω) f p g q, (si 1 Ω p + 1 = 1). (3.11) q Un sous-espace commun à tous ces espaces L p (Ω; dp(ω)), (1 p ), est Etag(Ω; K) L 1 (Ω; dp(ω)) et le plus intéressant, celui des fonction nulles presque partout N(Ω; dp(ω)) = {f : Ω K, f = 0 p.p.}. Pour 1 p, L p (Ω; dp(ω)) := L p (Ω; dp(ω))/n(ω; dp(ω)) est l espace vectoriel quotient par les fonctions nulles presque partout. Les espaces (L p (Ω; dp(ω));. p ) sont des espaces vectoriels normés et complets, (des Banach). (L 2 (Ω; dp(ω));. 2 ) est un espace de Hilbert. Enfin rappelons la définition d une mesure produit. Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés, soit sur X Y la tribu T (X Y ) engendré par T (X) T (Y ), et notée T (X) T (Y ). Il existe une unique mesure sur (X Y, T (X) T (Y )), noté µ ν, et appelé mesure produit de µ et ν, tel que µ ν(a B) = µ(a)ν(b), (A, B) T (X) T (Y ). (3.12) Théorème 3.4 de Fubini pour les fonctions positives Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés et soit l espace mesuré produit (X Y, T (X) T (Y ), µ ν). Soit f(x, y) une fonction mesurable et positive sur X Y. Alors, pour presque tout y Y fixé, la fonction f(., y) : X C est mesurable sur X et y f(x, y)dµ(x) est une fonction mesurable sur Y. X De même, pour presque tout x X fixé, la fonction f(x,. ) : Y C est mesurable sur Y et x f(x, y)dν(y) est une fonction mesurable sur X. Y De plus f(x, y)dµ ν(x, y) = ( f(x, y)dν(y))dµ(x) = X Y Théorème 3.5 de Fubini X Y Y ( f(x, y)dµ(x))dν(y). X Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés et soit l espace mesuré produit (X Y, T (X) T (Y ), µ ν). Soit f(x, y) une fonction intégrable sur X Y. Alors, pour presque tout y Y fixé, la fonction f(., y) : X C est intǵrable sur X et y f(x, y)dµ(x) défini p.p. se prolonge en une une fonction intégrable sur Y. X De même, pour presque tout x X fixé, la fonction f(x,. ) : Y C est intégrable sur Y et x sur X. Y f(x, y)dν(y) défini p.p. se prolonge en une une fonction intégrable 26