CORRECTION DU BREVET BLANC N du 7/0/00 A. Partie numérique (sur 4 points) Exercice ( points) (4, points) Ecrire sous la forme d une fraction irréductible les quatre nombres suivants : A 9 7 7 4 7 7 B 7 4 77 7-4 8 7 9 97 4 4 4 47-7 7 49 0 8 7 A 8 7 8 B 49,0 700 C 4,80 0 7 48 48 C 48 D 4 9 4 8 4 7 D 7 Exercice (4, points) On donne A x x x a) Développer et réduire A. (, points) A (x )² (x )(x ) A 4x² x + 9 (x² 4x x + ) A 4x² x + 9 x² + 7x A x² x + A x² x + b) Factoriser A. (, points) A (x )² (x )(x ) A (x )[(x ) (x )] A (x )[x x + ] A (x )(x ) A (x )(x ) c) Calculer A pour. (0, point) A ( )² ( ) + A + + A + + A 0 pour x ; A 0 d) Résoudre l équation A 0. ( point) A 0 (x )(x ) 0 Si (x ) 0 ou (x ) 0 x ou x Les solutions de l équation A 0 sont et.
Exercice (, points). Caroline, qui a obtenu à l oral et 7 à l écrit, sera-t-elle reçue à l examen? Justifier. ( point) Pour Caroline x et y 7, donc sa moyenne m est : m 9,4 < 0 donc, Caroline n aura pas son examen. 4 7 m 0 4 0 94 9,4 0. Etienne a obtenu 7 à l oral. a) Quelle note doit avoir Etienne à l écrit pour obtenir exactement 0 de moyenne? Justifier. ( point) Mise en équation : m 0 et x 7 donc : Résolution : y 00 8 y 7 7 y 47 y 0 soit : 8 + y 00 0 y Conclusion : Pour avoir exactement 0 de moyenne à l examen, Etienne devra avoir à l écrit. b) Les parents d Etienne lui ont promis un ordinateur s il obtenait à son examen une moyenne supérieure ou égale à. Quelle note minimale doit-il obtenir à l écrit pour avoir son ordinateur? Justifier. ( point) Mise en inéquation : 47 y m et x 7 donc : 0 Résolution : soit : 8 + y 0 y 0 8 y 0 0 y y 7 Conclusion : Pour avoir plus de de moyenne à l examen, Etienne devra avoir plus de 7 à l écrit.
B. Partie géométrique (sur points) Exercice (4, points) [AC] et [EF] sont deux segments sécants en B. On connaît : AB cm ; BC 0 cm ; EB 4,8 cm et BF 8 cm. a) Les droites (AE) et (FC) sont-elles parallèles? Justifier. (, points) BA Calcul de BC BA 0, BC 0 BE Calcul de BF BE 4,8 0, BF 8 Donc BA BE BC BF On a : Les droites (EF) et (AC) sont sécantes en B ; Les points A, B et C et les points E, B et F sont alignés dans le même ordre ; BA BE. BC BF Or : Selon la réciproque du Théorème de Thalès. Donc : (AE) // (FC). b) Les droites (AF) et (EC) sont-elles parallèles? Justifier. (, points) BA Calcul de BC BF Calcul de BE BA 0, BC 0 Donc BA BF BC BE BF 8 BE 4,8,7 Selon la contraposée du Théorème de Thalès. Les droites (AF) et (EC) ne sont pas parallèles. c) En déduire la nature du quadrilatère AECF. (0, point) On a : AECF quadrilatère non croisé ; (AE) // (FC) ; (AF) et (EC) ne sont pas parallèles. Or : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et les deux autres ne sont pas parallèles, alors c est un trapèze. Donc : AECF est un trapèze.
Exercice ( points) a) Sachant que les yeux de Michel sont à,9 m du sol, calculer la longueur AC (arrondir à 0,0 près). On a : OAB triangle rectangle en B ; OB 88 m ; AO ˆ B 7. Donc : tan AO ˆ AB B OB D où : AB 88 tan7, m et AB OB tan AO ˆ B On a : B [AC] ; AB, m ; BC,9 m Donc : AC AB + BC, +,9 8 AC 8 m. b) De quel monument s agit-il? Michel est en train d admirer Notre-Dame de Paris. Exercice (, points) Pour chacune des questions ci-dessous, donner la valeur exacte puis l arrondi à 0, près. a) Calculer la longueur BC. (, points) On a : EBC triangle rectangle en B ; EC 7 cm ; EB cm. Or : Théorème de Pythagore. Donc : EC² EB² + BC² et BC² EC² EB² D où : BC² 7² ² 49 BC longueur, donc BC > 0 et BC, cm. b) Calculer la longueur EF. (, points) On a : Or : Donc : (CF) et (BG) sécantes en E C, E, F alignés et B, E, G alignés (BC) // (GF). Théorème de Thalès. EB EC BC EG EF GF EB EC 7 EG 8 EF EF EC EG 7 8 7 4 EB EF 8 EF 8 9, cm. c) Calculer la longueur AB. (, points) On a : E [BG] ; EB cm ; EG 8 cm. Donc : BG BE + EG + 8 4 BG 4 cm. (BC) // (AF) et A,G,F alignés donc (BC) // (AG) (BC) (BE) et B,E,G alignés donc (BC) (BG) donc (BC) (BG) et ABG rectangle en G. On a : ABG triangle rectangle en G ; BG 4 cm ; BG Donc : cos AB ˆ BG G AB D où : AB et AB 4 cos0 4,9 cm. A ˆ 0. BG cosabg ˆ 4
C. Problème (sur 4 points) Construire un triangle MNP tel que : PN cm, PM cm et MN cm. (0, point) Première partie (7, points). Prouver que ce triangle MNP est rectangle en M. ( points) PN² ² 9 PM² + MN² ² + ² + 44 9 Donc PN² PM² + MN² D après la réciproque de Pythagore. MNP triangle rectangle en M.. Calculer son périmètre et son aire. ( point) Périmètre de MNP Aire de MNP p PN + MN + PM p + + p 0 cm A A PM MN 0 A 0 cm². Tracer le cercle circonscrit au triangle MNP ; préciser la position de son centre O et la mesure de son rayon. ( points) On a : MNP triangle rectangle en M. Or : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et son diamètre est l hypoténuse. PM Donc : O milieu de [PN] et r, r, cm 4. Calculer la tangente de l angle PN ˆ M ; en déduire une mesure approchée de cet angle à près. ( points) On a : MNP triangle rectangle en M ; PM cm ; MN cm. Donc : tan PN ˆ PM M et tan PN ˆ M MN Avec la calculatrice : PN ˆ M. Deuxième partie (, points). Exprimer MB et AB en fonction de x. ( points) On a : PMN triangle A [PM] et B [PN] (AB) // (PN). Or : Théorème de Thalès. MA MB AB Donc : MP MN PN
MA MB MB Donc : x MP MN et MB x en cm. AB AB MA x PN MP et AB x en cm.. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle AMB. ( point) Périmètre de AMB p MA + AB + BM p x + x + x. Exprimer, en fonction de x, l aire du triangle AMB. ( point) Aire de AMB A AM MB A x x x² x² x² A x² cm² 4. Résoudre l équation : x x x 8 (0, point) x 8 x La solution de l équation «x + x + x 8» est.. Quelle est l aire du triangle AMB lorsque le périmètre du triangle AMB est égal à 8 cm? (0, point) p 8 donc : x + x + x 8 Selon la question précédente : x. A x² 4 pour x, on a : A ² 4 A 0,8 cm² Lorsque le périmètre du triangle AMB est de 8 cm, alors son aire est d environ 0,8 cm².