Vecteurs - Repérage des vecteurs et colinéarité 1 1 Coordonnées d'un vecteur Définition 1 Dans un repère (O ; i ; j ), dire que u a pour coordonnées (x ; y ) signifie exactement que u =x i +y j. Notation avec l'exemple: On note u ( ;1) ou u ( 1) les coordonnées de u, car u = i +1 j Méthode : avec la précision du graphique, si aucune justification autre n'est demandée, on peut lire les coordonnées d'un vecteur graphiquement. Autre définition possible : les coordonnées d'un vecteur u sont celles du point image de O par la translation de vecteur u (ici M) Exemple : AB a pour coordonnées celles de M, c'est à dire (;3) Calculer les coordonnées d'un vecteur Propriété : coordonnées d'un vecteur Dans un repère (O ; i, j ), avec A et B deux points. On note (x A ; y A ) et (x B ; y B ) leurs coordonnées. Les coordonnées de AB sont (x B ; y B ) Preuve : par définition des coordonnées, on a OA=x A i +xb j et OB=xB i + yb j AB = AO + OB (Chasles) = OA+ OB = (x A i +y A j )+( x B i + y B j ) =x B i xa i +yb j ya j =(x B ) i +(y B ) j Méthode : cette propriété permet de calculer les coordonnées d'un vecteur sans les lire graphiquement. Dans un repère (O ; i, j ), avec A(;-3) et B(6;5), AB a pour coordonnées (4;8) (car x B =6 =4 et y B =5 ( 3)=8 : détail du calcul une fois par exercice) v.dujardin 1
3 Traduire une égalité de vecteurs en coordonnées Propriété 3 : égalité de vecteurs Dans un repère du plan, avec u x ; y et v x ' ; y ' deux vecteurs : u = v équivaut à { x = x ' y = y ' Autrement dit : deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales (abscisse et ordonnées). Preuve : par définition des vecteurs, u = v équivaut à dire que l'image de O par la translation de vecteur u est aussi l'image de O par la translation de vecteur v,ce qui se traduit par l'égalité des abscisses et ordonnées de cette image. Méthode : pour retranscrire une égalité vectorielle en coordonnées, la notation sous forme de système est efficace. Exemple : dans un repère (O; i, j ), avec un vecteur u (4;-5), et le point A(1;), quelles sont les coordonnées du point M telles que AM = u? AM a pour coordonnées ( x M 1; y M ) AM = u équivaut à { x M 1=4 y M = 5 { x M =5 y M = 3 Conclusion : M a pour coordonnées (5;-3) 4 Calcul vectoriel et coordonnées 4.1 Produit d'un vecteur par un réel Définition 1 : vecteur k u, k R Dans le plan muni d'un repère O ; i ; j, avec u un vecteur de coordonnées x ; y et k un réel k R. Le vecteur k u est le vecteur de coordonnées (kx ;ky ). Méthode : cette définition permet de justifier l'emploi de coordonnées qui ne sont pas entières. Dans un repère (O ; i, j ), avec u (5;6) et v = 1 3 u, v a pour coordonnées ( 5 3 ; ) v.dujardin
4. Somme et vecteur opposé Propriété 4 : Dans un repère O ; i ; j, avec u x ; y et v x ' ; y ' deux vecteurs, les coordonnées de : a) u v sont (x+x ' ; y+y ' ) b) u sont x ; y Preuve : a) immédiate d'après la propriété 1. b) en notant x ' ; y ' les coordonnées de (- u ), on a u u = 0 { x x ' = 0 x y ' =0 donne le résultat. ce qui Méthode : cette propriété permet de calculer les coordonnées de vecteurs définis par des sommes vectorielles. Dans un repère (O ; i, j ), avec z (;3) et w (-1;5), z + w a pour coordonnées (1;8) - w a pour coordonnées (1;-5) z - w a pour coordonnées (3;-) 5 Coordonnées du milieu d'un segment Propriété 5 : milieu de [AB ] Dans un repère du plan, avec A x A ; y A et B x B ; y B deux points, Un point est milieu de [AB] équivaut à ses coordonnées sont Preuve : I milieu de [AB] équivaut à AI = AB, et en coordonnées à : ( x A +x B ; y + y A B ) { (x I )=x B ( y I y A )= y B { x I =x B + x A y I = y B + y A { x I =x A +x B y I = y A + y B { x I = 1 (x A +x B ) y I = 1 (y A +y B ) Autrement dit : les coordonnées d'un milieu sont la moyenne des abscisse et celles des ordonnées. Méthode : cette équivalence peut-être utilisée dans les deux sens, ainsi que pour montrer qu'un point est ou n'est pas le milieu d'un segment. Dans un repère (O ; i, j ), avec M(1;), N(3;4) et P(;5). Question : P est-il le milieu de [MN]? Les coordonnées du milieu de [MN] sont ( 1+3 ; +4 ), c'est à dire (;3). P n'est donc pas le milieu de [MN] (car ses coordonnées ne sont pas (;3)) v.dujardin 3
6 Norme d'un vecteur Vocabulaire : la norme d'un vecteur AB est la distance AB Notation : AB Propriété 6 : norme d'un vecteur u Dans un repère orthonormal du plan, si un vecteur u a pour coordonnées (x;y), alors u = x + y Preuve : en choisissant deux points A et B tels que AB est un représentant de u, on a u = AB. La propriété correspond a un calcul de distance dans un repère orthonormé. Remarque : on vérifie aussi que AB =BA = x A x B y A y B Méthode : cette propriété permet de calcul la distance entre deux points. Dans un repère orthonormé (O ; i ; j ), si le vecteur AB a pour coordonnées (4;5), alors la distance AB= AB = 16+5= 41 7 Colinéarité de vecteurs 7.1 Définition Définition : colinéarité Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires lorsqu'il existe un nombre réel k tel que v = k u. Par convention, le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur. Méthode : pour montrer que deux vecteurs u et v sont colinéaires, on peut chercher le réel k tels que v =k u. Dans un repère (O ; i, j ), montrer que u (3;-4) est colinéaire à v (-6;8). Rédaction : On remarque que v = 1 u, donc u et v sont bien colinéaires. Remarque : «AB et CD sont colinéaires» est équivalent à «AB et DC sont colinéaires», et à «BA et CD sont colinéaires» et aussi à «BA et DC sont colinéaires.» v.dujardin 4
7. Traduction analytique de la colinéarité Propriété 7 : colinéarité et coordonnées Dans un repère, soient deux vecteurs u x ; y et v x ', y '. Dire que : u et v sont colinéaires (formulation 1) équivaut à dire que : leurs coordonnées sont proportionnelles (formulation ) et à dire que : x y'=x' y (formulation 3) et à dire que : xy' x' y=0 (formulation 4) Preuve : xy ' x ' y =0 équivaut à dire que xy ' =x ' y, c'est à dire que les coordonnées x, y et x ', y ' sont proportionnelles, c'est à dire qu'il existe un réel k (le coefficient de proportionnalité) tel que v =k u. Toutes les formulations sont équivalentes. Méthode : cette propriété permet de traduire la colinéarité par un calcul. Dans un repère (O ; i, j ), u (3,5;4,1) est-il colinéaire à v (4,;4,9) et à w ( ;, 6)? Rédaction : Pour u et v, on calcule 3,5 4,9 = 17, d'une part, et 4,1 4, = 17, d'autre part. On constate l'égalité, donc u et v sont colinéaires (avec la formulation 3) Pour u et w, on calcule 3,5,6 4,1 ( )= 0,9 0, donc u et w ne sont pas colinéaires (avec la formulation 4) 7.3 Alignement et parallélisme Propriété 8 : parallélisme et colinéarité. Soient A,B,C et D quatre points du plan. (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à AB et CD sont colinéaires. Preuve : admise Autrement dit : l'idée de colinéarité entre vecteurs est intimement liée à l'idée de parallélisme entre droites. Conséquence (P8bis) : A,B et C sont alignés équivaut à AB et AC sont colinéaires. Preuve : Il n'existe qu'une seule droite parallèle à (AB) passant par C, donc dire que A,B,C sont alignés équivaut à dire que (AB)//(AC), et aussi à AB colinéaire à AC (P8). v.dujardin 5