Université Sultan Moulay Slimane

Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Année universitaire : 2012/2013 Cours du Module Algèbre I Abdesselam BOUARICH Deuxième version : 14/01/2013

Table des matières 1 Logique mathématique et théorie des ensemble 1 1.1 Logique mathématique............................... 2 1.1.1 Assertions et propositions logiques.................... 2 1.1.2 Les connecteurs logiques.......................... 3 1.2 Théorie des ensembles............................... 5 1.2.1 Ensembles et appartenance........................ 5 1.2.2 Les quantificateurs............................. 7 1.2.3 Opérations sur les ensembles....................... 9 1.2.3.1 L intersection de deux ensembles................ 9 1.2.3.2 La réunion de deux ensembles................. 9 1.2.3.3 Intersection et réunion d une famille d ensembles....... 10 1.2.3.4 La différence de deux ensembles................ 11 1.2.3.5 La différence symétrique de deux ensembles.......... 11 1.2.3.6 Le produit cartésien de deux ensembles............ 12 1.2.4 Notion d applications (ou fonctions)................... 13 1.2.4.1 Défintions et propriétés..................... 13 1.2.4.2 Injection, surjection, bijection................. 15 1.3 Les modes de raisonnement mathématique.................... 19 1.3.1 Raisonnement par déduction dirècte................... 19 1.3.2 Raisonnement par exclusion........................ 20 1.3.3 Raisonnement par contraposition..................... 20 1.3.4 Raisonnement par l absurde........................ 21 1.3.5 Raisonnement par la recherche d un contre-exemple.......... 21 1.3.6 Raisonnement par récurrence....................... 22 2 Arithmétique de l ensemble Z 25 2.1 L ordre dans l ensemble Z............................. 25

2.2 Divisibilité dans Z................................. 26 2.2.1 Généralités sur la divisibilité....................... 26 2.2.2 Le PGCD.................................. 28 2.2.3 L Algorithme d Euclide.......................... 29 2.2.4 Le PPCM.................................. 33 2.2.5 Les nombres premiers........................... 34 3 Structures algébriques fondamentales 38 3.1 Groupes, anneaux et corps............................. 38 3.1.1 Structure de groupes............................ 38 3.1.2 Structure d anneaux............................ 41 3.1.3 Structure de corps............................. 44 3.2 Les congruences dans Z.............................. 44 3.3 Le corps des nombres complexes C........................ 47 3.3.1 Construction algébrique du corps des nombres complexes C...... 47 3.3.2 Représentation classique des nombres complexes............ 48 3.3.3 Représentation géométrique des nombres complexes.......... 49 3.3.4 Expression exponentielle des nombres complexes............ 50 3.3.5 Racine n-ième de l unité.......................... 52 3.3.6 Résolution des équations algébriques de degré 2............. 54 4 Polynômes et fractions rationnelles 56 4.1 L anneau des polynômes K[X]........................... 56 4.1.1 Définition abstraite de l anneau K[X]................... 56 4.1.2 Arithmétique de l anneau des polynômes K[X]............. 59 4.1.3 Factorisation en polynômes irréductibles................. 65 4.1.4 Les zéros d un polynôme de K[X]..................... 66 4.1.5 Dérivation des polynômes de K[X].................... 69 4.1.6 Polynômes irréductibles de C[X] et de R[X]............... 73 4.2 Le corps des fractions rationnelles K(X)..................... 76 4.2.1 Définition du corps K(X)......................... 76 4.2.2 Décomposition en fractions rationnelles simples............. 79 5 Espaces vectoriels sur un corps commutatif : R ou C 89 5.1 Généralités sur les espaces vectoriels....................... 89 5.1.1 Définitions et propriétés.......................... 89 5.1.2 Le K-espace vectoriel des matrices.................... 95 5.2 Sous-espaces vectoriels.............................. 97 5.2.1 Définitions et propriétés.......................... 97

5.2.2 Opérations sur les sous-espaces vectoriels................ 100 5.2.2.1 L intersection de deux sous-espaces vectoriels......... 100 5.2.2.2 La somme de deux sous-espaces vectoriels........... 100 5.2.2.3 Engendrement des sous-espaces vectoriels........... 102 6 Les systèmes lineaires 109 6.1 Généralités sur les systèmes d équations linéaires................ 109 6.1.1 Définitions et exemples.......................... 109 6.1.2 Structure algébrique de l ensemble solution d un système linéaire... 110 6.1.2.1 Le cas d un système linéaire homogène............ 110 6.1.2.2 Espaces affines dans K n..................... 112 6.1.2.3 Le cas d un système linéaire non homogène.......... 116 6.1.3 Opérations élémentaires de Gauss sur les systèmes linéaires...... 118 6.1.3.1 Définition des opérations élémentaires de Gauss....... 118 6.1.3.2 Effets des opérations élémentaires de Gauss sur les systèmes linéaires............................. 119 6.1.4 Expressions matricielles des systèmes linéaires.............. 121 6.2 Résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot........... 123 6.2.1 La méthode du pivot de Gauss...................... 123 6.2.2 L algorithme de Gauss-Jordan...................... 126 6.2.3 Problème de l appartenance d un vecteur à un sous-espace vectoriel.. 133 7 Base et dimension d un espace vectoriel 137 7.1 Bases et dimension d un espace vectoriel..................... 137 7.1.1 Indépendance linéaire........................... 137 7.1.2 Base d un espace vectoriel......................... 141 7.1.3 Dimension d un espace vectoriel..................... 146 7.1.4 Supplémentaire d un sous-espace vectoriel................ 148 7.2 Constructions pratiques des bases......................... 152 7.2.1 Le rang d une famille de vecteurs..................... 152 7.2.2 Les sous-espaces vectoriel des lignes et des colonnes d une matrice.. 156 7.2.3 Bases de l ensemble solution d un système linéaire homogène..... 158 7.2.4 Système d équations linéaires d un sous-espace vectoriel........ 161 7.2.5 Bases de l intersection de deux sous-espaces vectoriels......... 164 7.2.6 Base de la somme de deux sous-espaces vectoriels............ 165 8 Les applications linéaires et les matrices 170 8.1 L algèbre des matrices............................... 170 8.1.1 La structure de K-algèbres........................ 170

8.1.2 L algèbre des matrices........................... 170 8.1.3 Matrices particulières........................... 175 8.1.3.1 Transposé d une matrice.................... 175 8.1.3.2 Matrices symétriques et antisymétriques............ 176 8.1.3.3 Matrice diagonale........................ 178 8.1.3.4 Matrices triangulaires...................... 178 8.1.4 Matrices carrées inversibles........................ 179 8.1.4.1 Définition et propriétés..................... 179 8.1.4.2 Matrices élémentaires de Gauss................. 181 8.1.4.3 Algorithme du calcul de l inverse d une matrice carrée.... 183 8.2 Les applications linéaires.............................. 187 8.2.1 Définitions et propriétés.......................... 187 8.2.2 L espace vectoriel des applications linéaires............... 189 8.2.3 Les matrices et les applications linéaires................. 190 8.2.3.1 Les matrices en tant que applications linéaires........ 190 8.2.3.2 Matrice associée à une application linéaire.......... 191 8.2.4 Noyau et image d une applicaton linéaire................ 194 8.2.4.1 Définitions et propriétés..................... 194 8.2.4.2 Relation entre les applications linéaires et les systèmes linéaires195 8.2.5 Changement de bases........................... 198 8.2.5.1 Changement des coordonnés dans un espace vectoriel.... 199 8.2.5.2 Le cas d une application linéaire................ 202 9 Détérminant d une matrice 206 9.1 Déterminants.................................... 206 9.1.1 Le déterminant d une matrice carrée d ordre deux........... 206 9.1.2 Le déterminant d une matrice carrée d ordre trois............ 207 9.1.3 Le déterminant d une matrice carrée d ordre n 1........... 210 9.1.3.1 Définition et propriétés..................... 210 9.1.4 Applications des déterminants...................... 216 9.1.4.1 Calcul de l inverse d une matrice inversible.......... 216 9.1.4.2 Résolution des systèmes linéaires par la méthode de Cramer 217 10 Espaces et vecteurs propres d un endomorphisme 220 10.1 Vecteurs propres et valeurs propres........................ 220 10.2 Polynôme caractéristique et calcul des valeurs propres............. 222 10.3 Théorèmes de diagonalisation........................... 225

vi TABLE DES MATIÈRES

Chapitre Premier Éléments de logique mathématique et théorie des ensembles En analysant attentivement un cours de mathématique (ou un livre) on constate que son contenu se développe en passant par les trois étapes élémentaires suivantes : 1. La construction des objets mathématiques : nombres, fonctions, ensembles, figures géométriques... C est l étape préliminaire de définition et d introduction d objets mathématiques. 2. La formation de relations entre les objets mathématiques construits en respectant un ensemble de règles et de lois logiques. C est l étape de formulation des propositions et des théorèmes mathématiques. 3. La démonstration des théorèmes. C est l étape de validation des propositions qui sont logiquement vraies. D habitude, l homme construit les objets mathématiques dans le but de comprendre, de décrire, de modéliser, de calculer et de prédire les phénomènes naturelles(physique, économique, sociologique, météorologique...) et par la suite en découvrir les lois qui les gouvernent. Les objets mathématiques sont donc crées par l homme pour résoudre des problèmes vécus au quotidien et non pas pour répondre ou satisfaire un plaisir intellectuel personnel. En mathématique on entend par théorème toute relation entre les objets mathématiques qui soit logiquement vraie. La méthode qui permet de justifier qu un théorème donné est vari s appelle raisonnement mathématique ou démonstration. En général, la démonstration d un théorème se développe en utilisant des notions mathématiques logiquement évidentes (les axiomes) tout en respectant les règles de la logique mathématique. Une démonstration peut faire aussi appel à d autres théorèmes démontrés auparavant, donc considérés comme des notions mathématiques acquises. Grosso modo les théorèmes en mathématique se divisent en quatre types : 1. Le lemme : est un théorème dont la démonstration prépare la démonstration d un autre théorème très important. 2. Le corollaire : est un théorème qu on déduit de façon prèsque immédiate à partir d un

2 Logique mathématique et théorie des ensemble théorème déjà démontré. 3. Théorème d existence : est un théorème qui énonce l existence d un objet mathématique répondant à une certaine question ou possédant une propriété particulière. La démonstration de tels théorèmes se fait soit de façon inductive ou soit de façon constructive. 4. Théorème d unicité : est un théorème qui énonce l existance d un seul objet mathématique vérifiant certaines propriétés ou lois logiques bien déterminées. Dans ce chapitre, on donnera les outils de la logique mathématique nécessaires pour développer les démonstrations rigoureuses des théorèmes proposés. Concernant l apprentissage des méthodes de construction d objets mathématiques et la formulation des théorèmes ce sont des habilités qui se dévelepperont chez l étudiant avec le temps et au fur et à mesure qu en assistant au cours et aux travaux dirigés (ou par fois en participant aux travaux partiques), ces habilités s acquièrent aussi et se perfectionnent en lisant les livres de mathématique écrits par des mathématiciens expérimentés. Dans la première section de ce chapitre on donnera quelques définitions et on fixera les règles de la logique mathématique utiles pour le développement des démonstrations des théorèmes qu on va énoncer dans le reste de ce cours d algèbre et dans les autres cours de mathématique. Dans la deuxième section on va introduire les notions intuitives d ensembles et d appartenance, puis on effectuera quelques opérations sur les ensembles. Dans la dernière section de ce premier chapitre on va exliquer et illustrer les modes de raisonnement mathématiques les plus célèbres. 1.1 Logique mathématique 1.1.1 Assertions et propositions logiques Définition 1. On appelle assertion une phrase (ou un énoncé) mathématique possédant une seule valeur de vérité logique qui soit vraie ou fausse. Noter que le texte de la définition 1 exige qu une assertion logique est nécessairement vraie, sinon il est nécessairement fausse. Ce fait logique s appelle principe du tière exclu. Pour formuler une assertion logique on pourra utiliser des signes (+,,,=, ), des symboles, les mots du langage courant et les phrases qui sont grammaticalement correctes. Dans la suite, si une assertion est reconnue vraie on lui attribue la valeur de vérité V et si elle est reconnue fausse on lui attribue la valeur de vérité F. Exemple 1. On désigne par N = {0,1,2, } l ensemble des entiers naturels. Dans N on a 1 < 2 : est une assertion vraie, donc sa valeur de vérité est V. Dans N on a 1+1 = 3 : est une assertion fausse, donc sa valeur de vérité est F. Définition 2. Un énoncé mathématique qui est formulé par la combinaison de plusieurs asserions ou qui peut contenir des variables s appelle proposition logique. En particulier, toute assertion logique est une proposition.

Logique mathématique 3 Unepropositionlogiquepeutêtredésignéeparunelettremajusculeouminuscule:P,Q,R, ou p,q,r, Lorsque la valeur de vérité d une proposition P est vraie indépendamment des variables de P on dira que la proposition P est une loi logique. Exemple 2. Voici des exemples de propositions logiques : Dans l ensemble N, l enoncé P(x) : x 2 16 > 0 : est une proposition vraie pour les entiers naturels x strictement supérieurs à quatre, et elle est fausse pour les entiers naturels x = 0,1,2,3 et 4. Dans l ensemble N, l enoncé Q(x) : x 0 : est une loi logique car elle vraie pour tous les entiers naturels x éléments de N. 1.1.2 Les connecteurs logiques Dans ce pargraphe, on va introduire des opérations élémentaires sur les propositions logiques. Ces opérations s appellent connecteurs logiques car elles nous permettent de construire de nouvelles propositions logiques à partir d autres propositions logiques dont la valeur de vérité est connue. A) La négation d une proposition P se note (non P) ou P. La proposition P est vraie si P est fausse, elle est fausse si P est vraie. Le tableau suivant s appelle table de vérité de la proposition P. P P V F F V Il est interessant de souligner que puisque une proposition logique P supporte une seule valeur de vérité il s ensuit que P et P ne prennent jamais la même valeur de vérité, autrement dit, une proposition logique P ne peut pas être simultanément varie et fausse. Ce fait logique s appelle principe de non-contradition. B) La conjonction des propositions P et Q se note (P et Q) ou P Q, sa valeur de vérité est donnée par la table de vérité suivante : P Q P Q V V V F V F V F F F F F C) La disjonction des propositions P et Q se note (P ou Q) ou P Q, sa valeur de vérité est donnée par la table de vérité suivante :

4 Logique mathématique et théorie des ensemble P Q P Q V V V F V V V F V F F F D) L implication des propositions P et Q est par définition la proposition logique définie par l expression ( P Q), elle se note (P = Q) et se lit : P implique Q. La valeur de vérité de l implication (P = Q) est donnée par la table de vérité suivante : P P Q P = Q V F V V F V V V V F F F F V F V E) On dira que les propositions logiques P et Q sont équivalentes si P implique Q et si Q implique P à la fois. L équivalence des propositions logiques P et Q sera désignée par l expression (P Q) qui se lit : P est équivalente à Q. Donc, pour trouver les valeurs de vérité de l équivalence logique (P Q) il suffit qu on dresse la table de vérité de la proposition logique (P = Q) (Q = P). P Q P = Q Q = P P Q V V V V V F V V F F V F F V F F F V V V Exercice 1. Soient P et Q des propositions logiques. Trouver la négation des propositions suivantes : P Q, P Q, P = Q, P Q Exercice 2. Si P et Q désignent des propositions logiques vérifier est-ce que les couples de propositions suivantes sont équivalentes ou non. 1. ( P) et P. 2. P Q et Q P. 3. P Q et Q P. 4. (( P) ( Q)) et P Q. 5. (( P) ( Q)) et P Q. 6. P = Q et Q = P. 7. P Q et Q P.

Théorie des ensembles 5 Exercice 3. Soient M, N, P et Q des propositions logiques. a) Dresser la table de vérité des propositions suivantes : 1. (M N) P. 2. (M P) (N P). 3. (M N) (P Q). 4. (M P) (M Q) (N P) (N Q). b) En déduire qu on a les équivalences (1) (2) et (3) (4). c) Calculer la négation de la proposition (M P) (M Q) (N P) (N Q) et en trouver une expression équivalente simplifiée. d) Résoudre les deux systèmes d équations algébriques : { { x(y 1) = 0 x 2 y 2 = 0 et y(x 1) = 0 x 2 +y 2 = 1 Exercice 4. Soient M, N, P et Q des propsoitions logiques. En utilisant la table de vérité, démontrer que les deux propositions suivantes sont des lois logiques. 1. L 1 = [(P = Q) ( P = Q)] Q. 2. L 2 = [(P = Q) (Q = M)] = (P = M). 3. L 3 = [(M = N) (P = Q)] = [(M P) = (N Q)]. 4. L 4 = [(M = N) (P = Q)] = [(M P) = (N Q)]. 1.2 Théorie des ensembles 1.2.1 Ensembles et appartenance On entend par ensemble la donnée d une collection d objets (objets concrets ou notions abstraites). Les ensembles seront désignés par les lettres majuscules A, B, C. Les objets qui constituent un ensemble E s appellent éléments de E. Pour désigner l appartenance d un objet x à un ensemble E on utilise l expression x E qui se lit : x appartient à E. Lorsque l élément x ne figure pas dans l ensemble E on dira que x n appartient pas à l ensemble E et on écrit : x E. Définition 3. Un ensemble qui ne contient aucun élément s appelle ensemble vide et se note, on le désignera aussi par {}. Soient E et F deux ensembles. Si tout élément de l ensemble F appartient aussi à l ensemble E on dira que F est un sous-ensemble (ou une partie) de E et on écrit F E. Le symbole s appelle symbole d inclusion large et l expression F E se lit : F est inclu dans E. L inclusion de l ensemble F dans l ensemble E peut être traduite par la proposition logique : F E (x F = x E)

6 Logique mathématique et théorie des ensemble Notons que si F est un sous-ensemble de E et s il existe un élément x de E qui n appartient pas à F on dira que le sous-ensemble F est strictement inclu dans E et on note F E ou F E. Les symboles et s appellent symboles d inclusion stricte. Dans la suite, étant donné un ensemble E on admet que l ensemble vide est une partie de E, donc on pourra écrire : E. L inclusion large vérifie les propriétés suivantes : 1. Réflexivité : E E 2. Antisymétrie : E F et F E = E = F. 3. Transitivité : E F et F G = F G. Noter que l inclusion stricte ne vérifie pas la réflexivité et l antisymétrie, en revanche vérifie la transitivité. Exemple 3. 1) Considérons les ensembles A = {0,2,3}, B = {2,3} et C = {0,1,3}. a) B est un sous-ensemble de A et on a B A parce que 0 B. b) B n est pas un sous-ensemble de C parce que 2 n appartient pas à C. 2) On désigne par D(R 2 ) la famille de toutes les droites qu on peut dessiner sur le plan R 2, et par D 0 (R 2 ) on désigne la famille constituée par toutes les droites passant par l origine (0,0) du plan R 2. Les familles D(R 2 ) et D 0 (R 2 ) sont donc des ensembles non vides dont les éléments sont des droites du plan R 2. D 0 (R 2 ) est un sous-ensemble de D(R 2 ) et puisqu il existe des droites du plan R 2 qui ne passent pas nécessairement par l origine (0,0) ceci implique qu on a une inclusion stricte D 0 (R 2 ) D(R 2 ). Définition 4. Soit E un ensemble. L ensemble de toutes les parties de E s appelle ensemble des parties de E et il se note P(E). Notons que les éléments de l ensemble des parties de E sont caractérisés par l équivalence X P(E) X E Notons aussi que l ensemble des parties P(E) est toujours non vide. En effet, si l ensemble E = alors l ensemble des parties P( ) = { } est non vide car il contient l ensemble vide comme élément. De même, si l ensemble E est non vide alors l ensemble des parties P(E) possède au moins deux éléments : P(E) et E P(E). Exercice 5. Déterminer l ensemble des parties de E = {0}, de F = {0,1} et de G = {0,1,2}. Exercice 6. Si E = {0} déterminer les ensembles P(P(E)) et P(P(P(E))) et compter le nombre de leurs éléments. Définition 5. Soient E un ensemble et F une partie de E. Le sous-ensemble des éléments de E qui n appartiennent pas à F s appelle partie complémentaire de F dans E. Le complémentaire de F dans E sera désigné par le symbole C F E et s il n y a aucun risque de confusion on le désignera par F.

Théorie des ensembles 7 En appliquant la définition du complémentaire de F dans E on obtient l équivalence : x C F E (x E) et (x F) Le passage au complémentaire sur les parties d un ensemble E vérifie les propriétés suivantes : 1. = E. 2. E =. 3. F = F. Parfois, il est utile de représenter les ensembles par des figures planes appelées diagrammes d Euler ou diagrammes de Venn. En règle générale, si A est un sous-ensemble d un ensemble E on les représentent par un diagramme d Euler-Venn en représentant E par un rectangle et A par un domaine limité par une courbe fermée contenue dans le rectangle représentant E (Voir la figure 1.1). E y A x Figure 1.1 Diagramme d Euler-Venn : A E, x A et y C A E 1.2.2 Les quantificateurs SoientEunensemblenonvideet P(x) uneproposition logique dontla valeur devérité dépend dela variable x élément del ensemblee. La correspondancequi associe à x E la proposition P(x) s appelle fonction propositionnelle et E est son domaine de définition. P : E {V,F} x P(x) Étant donnée une fonction propositionnelle P(x) définie sur un ensemble E on lui associe deux sous-ensembles de E qui sont complémentaires l un de l autre : {x E P(x) est vraie} et {x E P(x) est fausse} En pratique, pour alléger les notations on préfère écrire {x E P(x)} = {x E P(x) est vraie} et {x E P(x)} = {x E P(x) est fausse}

8 Logique mathématique et théorie des ensemble Lorsque le sous-ensemble {x E P(x)} = E on dira que la propriété P(x) est universelle sur l ensemble E. Dans la suite, pour traduire le fait que la propriété P(x) est universelle sur l ensemble E on utilisera l expression suivante : ( x E),P(x) Le symbole s appelle quantificateur universel et l expression x E se lit : pour tout x élément de E ou quelque soit x élément de E. Notons que si la propriété P(x) est universelle sur E il en résulte que le sous-ensemble {x E P(x)} = Notons aussi que si la propriété P(x) n est pas universelle sur E on déduit alors que le sous-ensemble {x E P(x)} E, et donc il existe au moins un élément x de E tel que la proposition P(x) soit vraie. Dans la suite, pour traduire le fait que la propriété P(x) n est pas universelle sur l ensemble E on utilisera l expression suivante : ( x E),P(x) Le symbole s appelle quantificateur existentiel et l expression x E se lit : il existe au moins un x élément de E. Exemple 4. 1) L ensemble {x N x 0} peut être traduit par l expression : ( x N),x 0. 2) Puisque dans l ensemble des entiers N l inégalité x 2 < 9 est vérifiée que par les entiers 0,1,2 on pourra donc traduire ce fait en utilisant l expression : ( x N),x 2 < 9. En appliquant la définition des quatificateurs et on vérifie à titre d exercice que les équivalences suivantes sont vraies : 1. [( x E),P(x)] ( x E), P(x). 2. [( x E),P(x)] ( x E), P(x). 3. [( x E), P(x)] ( x E),P(x). Les quantificateurs et peuvent être combinés pour formuler des propositions logiques dont la valeur de vérité dépend à priori de l ordre des quantificateurs utilisés. Pour comprend l importance de l ordre des quatificateurs et dans une proposition logique nous allons considérer les deux expressions suivantes : ( x R)( y R),x+y = 1 et ( x R)( y R),x+y = 1 La proposition logique ( x R)( y R),x+y = 1 est toujours vraie parce quesi on se donne un réel x 0 alors en posant y = 1 x 0 on aura x 0 +(1 x 0 ) = 1. En revanche, la proposition logique ( x R)( y R),x+y = 1 n est pas vraie parce si on fixe le réel x 1 on en déduit que le réel y = 1 x 1 est constant, et donc l expresion x 1 +y = 1 n est pas valable pour tout y élément de R. Exercice 7. Trouver la valeur de vérité des propositions suivantes :

Théorie des ensembles 9 1. ( x R)( y R),x 2 y 2 = 1. 2. ( x R)( y R),x 2 y 2 = 1. 3. ( x Z)( y Z),x+y = 0. 4. ( x Z)( y Z),x+y = y. 5. ( x N)( y Z),x = y 2. 6. ( y N)( x R),x 2 2xy +y 2 y 0. 7. ( x R)( y R),x y Z. Exercice 8. Soit E un ensemble non vide. Démontrer l équivalence ( x E)( y E)( z E),(x y) [(z = x) (z = y)] E = {x,y} 1.2.3 Opérations sur les ensembles 1.2.3.1 L intersection de deux ensembles Définition 6. Soient A et B deux ensembles. L ensemble des éléments x qui appartiennent en même temps à A et à B s appelle intersection de A et B. L intersection de A et B est un sous-ensemble de A et de B on le désigne par le symbole A B qu on lit : A inter B. Lorsque l intersection A B = on dira que A et B sont disjoints. E A B A x B Figure 1.2 A E, B E et x A B Il est facile de vérifier que les affirmations suivantes sont vraies : 1. A =. 2. A B = B A. 3. A B A et A B B. 4. (x A B) (x A) (x B). 5. (A B) C = A (B C). 1.2.3.2 La réunion de deux ensembles Définition 7. Soient A et B deux ensembles. L ensemble constitué par tous les éléments de A et tous les éléments de B s appelle réunion de A et B, il se note par le symbole A B qu on lit : A union B.

10 Logique mathématique et théorie des ensemble Il est facile de vérifier que les affirmations suivantes sont vraies : 1. A = A. 2. A B = B A. 3. A A B et B A B. 4. (x A B) (x A) (x B). 5. (A B) C = A (B C). 6. (A B) C = (A C) (B C). Exercice 9. Soient A et B deux parties d un ensemble non vide E. Démontrer les affirmations suivantes : 1. P(A) P(E). 2. P(A) P(B) = P(A B). 3. P(A) P(B) P(A B). 4. P(A) P(B) = P(A B) (A B) ou (B A). 1.2.3.3 Intersection et réunion d une famille d ensembles En utilisant les quatificateurs on pourra généraliser l intersection (resp. la réunion) de deux ensembles au cas des familles quelconques d ensembles. Plus précisésent, considérons un ensemble non vide I et une famille d ensembles F = {A i i I} dite indexée par I et que I est son ensemble d indices. On définit alors l intersection des éléments de la famille F par l expression A i := {x i I,x A i } i I De même, on définit la réunion des éléments de la famille F par l expression A i := {x i I,x A i } i I Donc, si on veut prouver qu un élément x appartient à l intersection i (resp. à la réunion i IA A i ) on pourra utiliser l équivalence : i I x i IA i ( i I),x A i resp. x i IA i ( i I),x A i Notons que ces deux équivanleces impliquent qu on a les inclusions suivantes : 1. i I, i IA i A i. 2. i I,A i i IA i.

Théorie des ensembles 11 Exercice 10. On rappelle que pour tout réel a R les éléments du sous-ensemble D a = {(x,ax) R 2 x R} sont les points de la droite du plan R 2 d équation y = ax. La droite D a passe par l origine O = (0,0) et fait un angle avec l axe Ox dont la tangente est égale au nombre réel a. 1) Monter que l intersection généralisée a RD a = {(0,0)}. 2) Montrer que la réunion généralisée a RD a = R 2. Exercice 11. Pour tout entier n N on pose A n = {x R n x n}. Décrire les sous-ensembles : n N A n et n NA n. 1.2.3.4 La différence de deux ensembles Définition 8. Soient A et B deux ensembles. L ensemble des éléments de A qui n appartiennent pas à B s appelle différence de A et B, il se note A\B et on lit : A moins B. E A\B A x B Figure 1.3 A E, B E et x A\B En partant de la définition de la différence de deux ensembles on vérifie facilement que les propositions suivantes sont vraies : 1. A\B A. 2. (A\B) B =. 3. (A\B) B = A B. 4. A\B = C B A B. 5. (A\B) (A B) = A. 6. (A\B) (B\A) =. 7. (A\B) (A B) (B\A) = A B. 1.2.3.5 La différence symétrique de deux ensembles Définition 9. Soient A et B deux ensembles. Le sous-ensemble des éléments x appartenant à la réunion A B et qui appartiennent uniquement à A ou uniquement à B s appelle différence symétrique de A et B, il se note A B et on lit : A delta B.

12 Logique mathématique et théorie des ensemble D après la définition de la différence symétrique on déduit que pour tout couple d ensembles A et B on a les égalités suivantes : A B = (A\B) (B\A) et A B = (A B)\A B Pour finir ce paragraphe on donnera la proposition suivante qui réexprime les opérations ensemblistes définies ci-dessus an moyen des connecteurs logiques. Proposition 1. Soient P(x) et Q(x) des fonctions propositionnelles définies sur un ensemble non vide E. On définit deux sous-ensembles de E par : A = {x E P(x)} et B = {x E Q(x)} Alors les affirmations suivantes sont vraies : 1. A B = {x E P(x) Q(x)}. 2. A B = {x E P(x) Q(x)}. 3. A\B = {x E P(x) Q(x)}. 4. A B = {x (P(x) Q(x)) (Q(x) P(x))}. Exercice 12. Démontrer la proposition précédente. Exercice 13. Soient A, B et C des sous-ensembles d un ensemble E. Démontrer que les propositions sont vraies : 1. A B = A A B. 2. A B = A B A. 3. A B = A A\B B C A E. 4. A (B C) = (A B) (A C). 5. A (B C) = (A B) (A C). 6. C A B E = C A E C B E. 7. C A B E = C A E C B E. 1.2.3.6 Le produit cartésien de deux ensembles Définition 10. Soient A et B des ensembles. Pour tous les éléments a A et b B on désigne par (a, b) la paire ordonnée dans laquelle a (resp. b) s appelle première (resp. deuxième) composante. L ensemble de toutes les paires ordonnées de A et B se note A B et il s appelle produit cartésien et ses éléments s appellent couples de A et B. Puisque les éléments du produit cartésien A B sont des paires ordonnées une égalité des couples de type (a,b) = (a,b ) dans A B entraîne donc que a = a et b = b. Autrement dit, dans A B on a l équivalence (a,b) = (a,b ) (a = a ) (b = b )

Théorie des ensembles 13 Notons aussi que d après la définition du produit cartésien on aura A B est vide si et seulement si A = ou B =. De même, on aura A B = B A sauf si A = B ou bien si A = ou B =. Le produit cartésien de deux ensembles se généralise au cas d une famille quelconque d ensembles F = {A i i I}. Plus précisément, on appelle produit catrésien de la famille d ensembles F l ensemble noté A i dont les éléments sont les familles d éléments notées i I (x i A i ;i I) ou bien (x i ) i I avec x i A i 1.2.4 Notion d applications (ou fonctions) 1.2.4.1 Défintions et propriétés Soient A et B des ensembles non vides. On appelle application (ou fonction) toute correspondance notée, f : A B ou A f B, qui envoie un élément x de A sur un seul élément f(x) de B. Dans la littérature mathématique, étant donnée une application A f B où B est une partie de l un des ensembles numériques R ou C on préfère dire que f est une fonction. Soient A f B et A g B des applications. Si pour tout x A on a f(x) = g(x) on dira que l application f est égale à l application g et on écrit f = g, et s il existe au moins un x A tel que f(x) g(x) on dira alors que f est différente de g et on écrit f g. En pratique, on représente une application f de A dans B par un diagramme de type : f : A B x f(x) L élément x de A s appelle variable de l application f : A B et f(x) s appelle image de x par f. L ensemble A (resp. B) s appelle domaine de définition (resp. codomaine) de f tandis que le sous-ensemble Im(f) = {y B x A,f(x) = y} s appelle image de f. Plus généralement, pour toute partie non vide X A on définit son image dirècte comme un sous-ensemble de B noté f(x) = {f(x) x X}. De même, étant donné un sous-ensemble C B on appelle image réciproque de C par f le sous-ensemble de A noté : f 1 (C) = {x A f(x) C} En particulier, à tout élément y B on peut associer une image réciproque définie par : f 1 ({y}) = {x A f(x) = y} L ensemble des couples (x,y) A B tels que y = f(x) s appelle graphe de l application f et se note Gr(f). Donc, on a Gr(f) = {(x,f(x)) x A}. L application qui envoie un élément x de A sur lui même s appelle l identité de A ou application identique de A, elle se note id A : A A. id A : A A x x

14 Logique mathématique et théorie des ensemble Soient f : A B et g : B C des applications. On appelle application composée de f et g l application notée g f : A C (ou A f B g C) qui envoie un élément x de A sur l élément g(f(x)) de C. L expression g f se lit : g rond f. g f : A f B g C x f(x) g(f(x)) Notons que pour pouvoir composer une application f avec une autre application g il faut que le sous-ensemble image Im(f) soit contenu dans le domaine de définition Dom(g). Exemple 5. Sur l ensemble E = {1,2,3,4} on définit deux applications par les diagrammes suivants : f : E E 1 2 2 1 3 3 4 4 et g : E E 1 1 2 2 3 4 4 3 Les applications composées f g et g f sont données par les diagrammes suivants : f g : E E 1 2 2 1 3 4 4 3 qui nous montrent que f g = g f. et g f : E E 1 2 2 1 3 4 4 3 Si les applications composées g f et f g sont bien définies on ne peut pas dire qu elles sont égales comme on va le montrer dans l exemple suivant. Exemple 6. Sur l ensemble A = {1, 2, 3} on définit deux applications par les diagrammes suivants : f : A A g : A A 1 2 1 1 et 2 1 2 3 3 3 3 2 Notons que puisque g f(1) = 3 et f g(1) = 2 on en déduit que f g g f. Proposition 2. Les propositions suivantes sont vraies : 1. Pour toute application f : A B on a : f id A = f et id B f = f. 2. Pour tout triplet d applications f : A B, g : B C et h : C D on a la relation d associativité : (f g) h = f (g h). Pour finir ce paragraphe on donnera quelques propriétés des applications vis à vis des opérations sur les ensembles :

Théorie des ensembles 15 Proposition 3. Soient f : A B une application et X 1, X 2 et X sont des parties de A. Alors, on a les propositions suivantes : 1. X 1 X 2 = f(x 1 ) f(x 2 ); 2. f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ); 3. f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ). 4. X f 1 (f(x)). De même, si Y 1, Y 2 et Y sont des parties de B les propositions suivantes sont vraies : 1. Y 1 Y 2 = f 1 (Y 1 ) f 1 (X 2 ); 2. f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ); 3. f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ). 4. f(f 1 (Y)) Y. Exercice 14. Démontrer la proposition. 1.2.4.2 Injection, surjection, bijection Ilestcalirquepourtouteapplicationdonnéef : A Bonaural unedesdeuxcaspossibles: 1. f(a) = B. 2. B\f(A). Dans le premier cas pour tout élément y B il existe au moins un élément x A tel que f(x) = y. En revanche, dans le second cas pour un élément y B on aura l une des deux cas possibles f 1 (y) = {x A f(x) = y} = ou bien f 1 (y) = {x A f(x) = y} Lorsque le sous-ensemble f 1 (y) = {x A f(x) = y} est non vide on peut se demander est-ce qu il contient un seul élément ou plusieurs. En pratique cette discussion s impose naturellement lorsqu on cherche à résoudre une équation de type f(x) = y où y B est connu (donné) et x A est inconnu. Ainsi, si par exemple le sous-ensemble f 1 (y) = {x A f(x) = y} est non vide on en déduit que l équation f(x) = y possède au moins une solution, et sinon l équation f(x) = y n aura pas de solution. La définition suivante nous propose un dictionnaire de mots clefs qui nous aiderons dans la suite à discuter la résolution des équations de type f(x) = y avec x l incunnu. Définition 11. Soit f : A B une application. 1. Si l image f(a) = B on dira que f est surjective ou une surjection. Autrement dit, f est surjective si, ( y B)( x A),f(x) = y

16 Logique mathématique et théorie des ensemble 2. On dira que f est injective ou une injection si pour tous les éléments x et x de A on a : f(x) = f(x ) = x = x 3. On dira que f est bijective ou une bijection si elle est à la fois injective et surjective. Avec les mots clefs de cette définition on déduit les faits suivants : 1. Si f : A B est surjective alors pour tout y B l équation f(x) = y possède au moins une solution. 2. Si f : A B est injective et si pour un certain y B l équation f(x) = y possède une solution, alors cette solution est unique. 3. Si f : A B est bijective alors pour tout y B l équation f(x) = y possède une seule solution. Notons aussi que si l application f : A B est bijective on en déduit que pour tout y B l équation f(x) = y possède une seule solution qui dépend uniquement de y, on va la noter x = f 1 (y). Observons que dans ce cas la correspondance y B f 1 (y) A définit une application f 1 : B A que l on appelle application réciproque de f. Il est claire que l application f 1 vérifie les deux relations suivantes : f f 1 = id B et f 1 f = id A En effet, à titre d exercice, on pourra démontrer que s il existe une application g : B A qui vérifief g = id B et g f = id A alors f est bijective et son application réciproquef 1 = g. Exercice 15. Considérons les deux fonctions f et g : N N définies par : n N, f(n) = 2n+1 et g(n) = n 2 1) Montrer que f est injective et que g est surjective. 2) Montrer que f g est ni injective ni surjective. Exemple 7. Soient E un ensemble et A E une partie non vide. On désigne par in A : A E l application qui envoie x A sur in A (x) = x E. L application in A est visiblement injective on l appelle injection canonique. De même, si A et B sont deux ensembles non vides on leurs associe deux applications surjectives définies par : pr A : A B A (x, y) x et pr B : A B B (x, y) y L application pr A (resp. pr B ) s appelle projection canonique sur A (resp. sur B). Proposition 4. Soit f : A B une application. Les équivalences suivantes sont vraies :

Théorie des ensembles 17 1. f est injective ( X 1 A)( X 2 A),f(X 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ). 2. f est surjective ( Y B),f(f 1 (Y)) = Y. Démonstration. 1) a) Supposons que f est injective. Rappelons que pour tous X 1 A et X 2 A on a f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) et démontrons que grâce à l injectivité de f l inclusion inverse f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 X 2 ) est vraie. En effet, si on se donne y f(x 1 ) f(x 2 ) on pourra trouver x 1 X 1 et x 2 X 2 tels que y = f(x 1 ) = f(x 2 ). Donc, x 1 = x 2 car f est injective. D autre part, puisquex 1 = x 2 X 1 X 2 on déduit que y f(x 1 X 2 ) et donc f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 X 2 ). Par conséquent, si f est injective il s ensuit que f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ). b) Supposons que la proposition suivante est vraie ( X 1 A)( X 2 A), f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) et démontrons que f est injective. Soient x et y A tels que f(x) = f(y). Observons que si on pose X 1 = {x} et X 2 = {y} on obtient f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) = {f(x)} {f(y)} = X 1 X 2 = {x} {y} Donc, x = y et par conséquent f est injective. 2) a) Supposons que f est surjective. D abord, rappelonsqued aprèslaproposition 3pourtoute partiey Bonaf(f 1 (Y)) Y. D autre part, observons que si on fixe un point y Y la surjectivité de f implique qu il existe au moins un x A tel que f(x) = y. Ainsi, puisque x f 1 (Y) on en déduit que y f(f 1 (Y)). Donc, comme Y f(f 1 (Y)) on conclut que Y = f(f 1 (Y)). b) Supposons que pour toute partie Y B on a Y = f(f 1 (Y)) et démontrons que f est surjective. En effet, puisque pour tout y B le sous-ensemble {y} = f(f 1 ({y})) est non vide on en déduit que le sous-ensemble f 1 ({y}) est non vide, donc il existe au moins un x A tel que x f 1 ({y}) c est-à-dire on a f(x) = y. Par conséquent, l application f est surjective. Exercice 16. Démontrer qu une application f : A B est injective si et seulement si pour toute partie X A on a f 1 (f(x)) = X. Exercice 17. Soient f : A B et g : B C des applications. 1) Démontrer que si f et g sont injectives (resp. surjectives) alors g f est injective (resp. injective). 2) En déduire que si f et g sont bijectives alors g f est bijective et son application réciproque (g f) 1 = f 1 g 1. 3) Démontrer que si g f est injective alors f est injective. 4) Démontrer que si g f est surjective alors g est surjective.

18 Logique mathématique et théorie des ensemble Exercice 18. On désigne par D O l ensemble de toutes les droites du plan R 2 qui passent par l origine O = (0,0). On considère l application T O : D O D O qui envoie une droite D D O sur son orthogonale D qui passe par l origine O. 1) Vérifier qu on a T O T O = id DO. 2) En déduire que l application T O est bijective. Exercice 19. Étant donné un ensemble non vide E, on se propose de démontrer qu il n existe pas de surjection de E dans l ensemble des parties P(E). Pour cela supposons qu il existe une application f : E P(E) qui soit surjective et posons A = {x E x f(x)}. Noter que A P(E). a) En procédant par l absurde, démontrer qu il n existe aucun élément y de l ensemble E tel que f(y) = A. b) Conclure. Exercice 20. Soit A et B des ensembles non vides. On désigne par F(A,B) l ensemble de toutes les applications de A dans B. C est-à-dire on a f F(A,B) f : A B Dans l ensemble des applications F(A, B) on définit les trois sous-ensembles suivants : I(A, B) est l ensemble des applications injectives. S(A, B) est l ensemble des applications surjectives. B(A,B) = I(A,B) S(A,B) est l ensemble des applications bijectives. Trouver des ensembles non vides A et B pour lesquels on a I(A,B) = ou S(A,B) = ou B(A,B) = Définition 12. Soit f : A B une application. 1. Si X A est une partie non vide l application f X : X B qui envoie tout élément x X sur f(x) s appelle restriction de f sur la partie X. 2. Soit Y un ensemble tel que A Y. S il existe une application g : Y B dont la restriction g A = f on dira que g est un prolongement de f sur Y. Exercice 21. Soit A et B des ensembles non vides. On désigne par F(A,B) l ensemble de toutes les applications de A dans B. C est-à-dire on a f F(A,B) f : A B 1) Soit X A un ensemble non vide. On désigne par Res X : F(A,B) F(X,B) l application qui consiste à restreindre f F(A,B) sur X, c est-à-dire : Res X (f) = f X. Démontrer que l application Res X est surjective. 2) Soit Y B un ensemble non vide. On désigne par Ext Y : F(A,B) F(A,Y) l application qui envoie f : A B sur l application, Ext Y (f) : A Y, définie par : ( a A),Ext Y (f)(a) = f(a). Démontrer que l application Ext Y est injective.

Les modes de raisonnement mathématique 19 3) Étant donné deux applications f : A A et g : B B on leurs associe deux autres applications définies par : L f : F(A,B) F(A,B) h h f a) Démontrer que si g est injective alors R g est injective. b) Démontrer que si f est surjective alors L f est injective. c) Étudier la surjectivité des applications R g et L f. et R g : F(A,B) F(A,B ) h g h Exercice 22. Soit E un ensemble non vide. Pour toute partie A E on définit une application χ A : E {0,1} appelée fonction caractéristique de la partie A définie par : { 1 si x A ( x E), χ A (x) = 0 si x A Démontrer que l application χ : P(E) F(E,{0,1}) qui envoie une partie A E sur sa fonction caractéristique χ A est bijective. Exercice 23. Soient A un sous-ensemble non vide d un ensemble E. Sur l ensemble des parties P(E) on définit deux applications par : R A : P(E) P(E) X X A 1) Démontrer que l image Im(I A ) = P(A). 2) Soit B E une partie. Démontrer les équivalences suivantes : et I A : P(E) P(E) X X A 1. R 1 A ({B}) A B. 2. I 1 A ({B}) B A. 3) Déterminer les images réciproques R 1 A ({B}) et I 1 A ({B}). 4) Démontrer qu il existe une bijection entre l ensemble P(E\A) est l image Im(R A ). 1.3 Les modes de raisonnement mathématique 1.3.1 Raisonnement par déduction dirècte Soient P et Q deux propositions. Dans l énoncé (P = Q) la proposition P s appelle hypothèse tandis que la proposition Q s appelle conclusion. En mathématique, la plus part des théorèmes se présentent sous forme d une implication de type (P = Q) où l hypothèse P est vraie. Lorsque l hypothèse P est vraie et le thèorème (P = Q) est aussi vrai on dira que P implique Q ou bien que P entraîne Q. Notons que si on dresse la table de vérité de l implication (P = Q) P P Q P = Q V F V V F V V V V F F F F V F V

20 Logique mathématique et théorie des ensemble ondéduitdela deuxièmelignedelatabledevéritéquepourdémontrerle théorème(p = Q) est vrai sachant que son hypothèse P est vraie on devrait démontrer que la conclusion Q est vraie. La démonstrations qui suit ce modèle de raisonnement s appelle raisonnement par déduction dirècte, elle se traduit par l expression logique : (P (P = Q)) = Q quisignifie:si l hypothèse P est vraie et si le théorème (P = Q) était vrai alors la conclusion Q est nécessairement vraie. Les deux phrases suivantes sont tirées de la dernière phrase qui exprime le principe du raisonnement par déduction dirècte : P (vraie) est une condition suffisante (C.S) pour Q (vraie). Q (vraie) est une condition nécessaire (C.N) pour P (vraie). Ajoutons que si (P = Q) (vraie) et (Q = P) (vraie) on diraque P (vraie) est unecondition nécessaire et suffisante (C.N.S) pour Q (vraie). Enfin, notons que pour démontrer un théorème de type (P = Q) est vrai on commence par la phrase : Supposons que P est vraie et montrons que Q est vraie. Pour démontrer que la conclusion Q est vraie sous l hyposthèse P varie on ne doit utiliser que des propositions et des théorèmes qui sont déjà démontrés vrais. 1.3.2 Raisonnement par exclusion Rappelons que la l implication (P = Q) est définie par l expression P Q, donc sa négation est la proposition (P Q). Ainsi, pour démontrer que le théorème (P = Q) est vrai il suffit qu on suppose que la proposition (P Q) est fausse, et ainsi comme l hypothèse P est vraie la table de vérité de la conjonction nous montre que la proposition Q est fausse. Donc, la conclusion Q est nécessairement vraie. Ce modèle de démonstrations s appelle : raisonnement par exclusion. 1.3.3 Raisonnement par contraposition En partant de la définition de l implication = on voit que pour tout couple de propositions P et Q on a les équivalences suivantes : (P = Q) ( P Q) ( ( Q) P) ( Q = P) Donc, pour démontrer que le théorème (P = Q) est vrai sachant que l hypothèse P est vraie il suffit qu on démontre que le théorème ( Q = P) est vraie sous l hypothèse Q est vraie. Ce modèle de démonstrations s appelle : raisonnment par contraposition. Exemple 8. Démontrons que pour tout réel a > 0, le cube a 3 = a a a est positif. Supposons que pour un certain réel a R on a a 3 < 0 et observons que si on écrit a 3 = (a 2 ) a < 0 on en déduit que a < 0, car le carré a 2 > 0. Donc, d après le principe du raisonnement par contraposition on déduit que la proposition donnée est varie i.e. ( a R),a > 0 = a 3 > 0

Les modes de raisonnement mathématique 21 1.3.4 Raisonnement par l absurde Soit (P = Q) unthéorème vrai, doncson hypothèsepest varie. Observonsquesi on suppose que la conclusion Q est fausse on en déduit que la proposition (P = Q) ( Q) est vraie, et ainsi si on analyse la table de vérité (voir la dérnière ligne) P Q P = Q (P = Q) ( Q) V V V F V F F F F V V F F F V V on en tire que la proposition P est nécessairement fausse, or ceci contredit le fait que l hypothèse P est supposée varie. Par conséquent, la conclusion Q du théorème (P = Q) est vraie. Ce modèle de démonstrations s appelle : raisonnement par l absurde. Exemple 9. Soient m et n deux entiers naturels. On rappelle que s il existe un entier a tel que n = am on dira que n est un multiple de m. Partons de cette définition démontrons que si n N est un multiple de 6, n est aussi un multiple de 2. Pour démontrer ce théorème on va proceder par l absurde. Donc, il s agit de supposer que n est multiple de 6 et que n n est pas multiple de 2. Notons que sous ces conditions il existe deux entiers m et k N tels que n = 6m et que n = 2k +1. Ainsi, comme on a n = 6m = 2k+1 = 2(3m k) = 1 = 3m k = 1 2 Z Or, ceci est absurde car puisque m et k N on doit avoir 3m k Z. Par conséquent, l entier n est un multiple de 2. 1.3.5 Raisonnement par la recherche d un contre-exemple Considérons l implication ( x R),x > 0 = x x 2 Cette proposition est fausse parce que si on prend x 0 = 1/2 on aura (x 0 ) 2 = 1/4, et donc (x 0 ) 2 x 0. Dans de telles situations, on dira que nous avons démontré la proposition donnée est fausse en donnant un contre-exemple; c est l élément x 0 = 1/2. L exemple précédent se généralise comme suit. Étant donné un ensemble non vide E et une fonction propositionnelle P(x) définie sur E, donc pour démontrer que la proposition ( x E),P(x) est fausse il suffit qu on démontre que sa négation ( x E), P(x)

22 Logique mathématique et théorie des ensemble est vraie. Donc, il suffit qu on trouve (qu on construise) un élément x 0 E qui donne P(x 0 ) fausse. Quand l élément x 0 existe dans E il sera appelé : contre-exemple de la proposition ( x E),P(x). 1.3.6 Raisonnement par récurrence Le principe du raisonnement par récurrence est basé sur le résultat de la proposition suivante: Proposition 5 (Principe de la récurrence). Soit A N un sous-ensemble non vide qui possède les deux propriétés suivantes : 1. 0 A; 2. Si l entier n A entraîne que l entier n+1 A. Alors, le sous-ensemble A = N. Démonstration. Notons que puisque d après l hypothèse 1) 0 A, l hypothèse 2) implique que 0+1 = 1 A. Si on applique de nouveau l hypothèse 2) à l élément 1 on en déduit que 1+1 = 2 A, et donc 3 = 2+1 A. En effet, puisque tout entier n N est égal à la somme } 1+1+ +1 {{ } alors en appliquant n fois l hypothèse 2) n-fois on en déduit que n A, donc N A. Par conséquent, comme A est un sous-ensemble de N on aura A = N. Théorème 1 (Récurrence). Soit P : N {V, F} une fonction propositionnelle. Si 1. P(0) est varie; 2. et si pour tout n N tel que P(n) est vraie entraîne que P(n+1) est vraie alors pour tout entier n N la proposition P(n) est vraie. Démonstration. Observons que si on pose A = {n N P(n) est vraie} on obtient un sousenseble de N tel que : 0 A et ( n A) = (n+1) A Ainsi, d après la proposition précédente on conclut que N = A. Autrement dit, pour tout entier n N la proposition P(n) est vraie. Théorème 2 (Récurrence complète). Soit P : N {V, F} une fonction propositionnelle telle que 1. il existe un entier n 0 N tel que P(n 0 ) est varie; 2. pour tout entier n n 0 tel que P(n) est vraie entraîne P(n+1) est vraie alors pour tout entier n n 0 la proposition P(n) est vraie. Démonstration. À titre d exercice on vérifie que l ensemble {n N P(n) est vraie } contient le sous-ensemble {n N n n 0 }.

Les modes de raisonnement mathématique 23 Exemple 10. Vérifions par récurrence que pour tout entier n 0 on a 1+3+5+ +(2n+1) = (n+1) 2 Pour tout n N on désigne par P(n) la propostion : 1+3+5+ +(2n+1) = (n+1) 2. Notons que la proposition P(0) est varie, et que P(1) est vraie. Supposons donc que la proposition P(n) est vraie et démontrons que l hypothèse de récurrence P(n+1) est vraie. En effet, 1+3+5+ +(2n+1)+(2n+3) = (n+1) 2 +2n+3 = n 2 +4n+4 = (n+2) 2 Donc, d après le principe du raisonnement par récurrence on déduit que pour tout entier n 0 la proposition P(n) est vraie. Exemple 11. Soit E un ensemble. Si le nombre d éléments de l ensemble E est fini on dira que E est un ensemble fini et le nombre d éléments de E s appelle cardinal de E, il se note Card(E). Ainsi, par exemple on a Card( ) = 0 et Card({0,1}) = 2 Soit n N. Démontrons que si le Card(E) = n alors le cardinal de l ensemble des parties P(E) est égal à 2 n. Pour démontrer cette affirmation est vraie nous allons démontrer par récurrence que pour tout n N la proposition suivante est vraie : P(n) : Card(E) = n = Card(P(E)) = 2 n Notons que si E = on aura P(E) = { }, donc Card(P(E)) = 1 = 2 0. De même, on voit que si Card(E) = 1 on aura P(E) = {,E}, donc Card(P(E)) = 2 = 2 1. Supposons que l hypothèse de récurrence P(n) est vraie pour tous les ensembles E dont le cardinal est inférieur ou égal à n et vérifions qu elle est aussi vraie pour les ensembles E n+1 = {a 1,,a n,a n+1 } ayant n+1 éléments. Observons que pour toute partie X E n+1 on aura l une des deux cas possibles : 1. a n+1 X; 2. a n+1 X. Notons que si X vérifie le cas (1) on aura X E n = {a 1,,a n }, donc X P(E n ). Et, si X vérifie le cas (2) il existe donc une partie Y E n telle que X = Y {a n+1 }. Ainsi, comme l ensemble des parties P(E n+1 ) = P(E n ) {Y {a n+1 } Y P(E n )} et puisque d après l hypothèse de la récurrence les ensembles P(E n ) et {Y {a n+1 } Y P(E n )} sont de cardinal 2 n on déduit alors que le cardinal de l ensemble P(E n+1 ) est égal à 2 n +2 n = 2 n+1, donc l hypolthèse de récurrence P(n+1) est vraie. Par conséquent, pour tout ensemble fini E le Card(P(E)) = 2 Card(E).