CPST1 2016/2017 Géométrie dans le plan et dans l espace. I. Introduction. On se place ici dans le plan et l espace géométrique usuels munis chacun d un repère orthonormal. Le plan P et = (O, ı, j) un repère orthonormal. L espace E et = (O, ı, j, k) un repère orthonormal. Une fois ce repère fixé, Tout vecteur u de l espace est associée de manière bijective à un triplet (x,y,z) tel que : u = x ı+y j+z k On dit que u est le vecteur de coordonnées (x,y,z) dans la base = ( ı, j, k) Pour faire plus simple quand la base est fixée on pourra parler du vecteur (x,y,z) ou le vecteur x y z On aura alors deux opérations sur 3 compatible avec les opérations sur les vecteurs : (x,y,z)+(x,y,z ) = (x+x,y +y,z +z ) et k(x,y,z) = (kx,ky,kz) Si A(x A,y A,z A ) et (x,y,z ), alors A a pour coordonnées (x x A,y y A,z z A ) 1
A savoir sur les vecteurs : L ensemble des vecteurs du plan (ou de l espace) est un espace vectoriel (voir cours suivant). Soient u, v et w trois vecteurs, a et b deux scalaires, on a alors : 1) ( u + v) + w = u + ( v + w) 2) 0 u + 0 = 0 + u = u 3) u u + u = 0 (on note : v = v ) 4) u + v = v + u 5) a( u + v) = a u + a v 6) (a + b) u = a u + b u 7) (ab) u = a(b u) 8) 0 u = 0 9) 1 u = u - Le vecteur nul est le vecteur de coordonnées (0,0,0). - Un vecteur a une infinité de représentants. On peut représenter un vecteur à partir de tout point de l espace : Quel que soit le vecteur u et le point A, il existe un unique point tel que A = u. - Egalité : A = A équivaut à A A est un parallélogramme. - elation de Chasles. A + C = AC - Généralisation de la relation de Chasles : Exemple. A k 1 A k = A 0 A n A = AM + M Soient A,,C trois points quelconques de l espace, I milieu de [A], J milieu de [C] et G centre de gravité de AC. (On rappelle : GA + G + GC = 0) ➀ Simplifier les sommes suivantes : A + CD + DA + C =... GJ + G + GC =... 2GJ + GA =... ➁ Compléter les égalités suivantes : AJ =... A +... AC AG =... A +... AC Norme d un vecteur Soient A et deux points du plan, la norme du vecteur A est la longueur A. A = A = (x x A ) 2 +(y y A ) 2 Si u est vecteur du plan de coordonnées (x,y) alors : u = x 2 +y 2 Soient A et deux points de l espace, la norme du vecteur A est la longueur A. A = A = (x x A ) 2 +(y y A ) 2 +(z z A ) 2 Si u est vecteur de l espace de coordonnées (x,y,z) alors : u = x 2 +y 2 +z 2 2
II) Vecteurs colinéaires. Définition : Dire que u et v sont colinéaires signifie qu il existe (a,b) (0,0) tel que : a u+b v = 0 emarques : - Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. - u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe k tel que : u = k v ou v = k u - u et v sont non colinéaires si, et seulement si, (a,b) 2, a u + b v = 0 = a = b = 0. Proposition : Dans le plan : Soient u(x,y) et v(x,y ), u et v sont colinéaires si, et seulement si, xy x y = 0 Définition : Soient u(x,y) et v(x,y ), on appelle déterminant de u et v le réel : x x y y = xy x y. Exemples d utilisation du déterminant : Soient A(2,3) et v( 1,2), on note la droite passant par A et dirigée par v. III) Produit scalaire. 1) Définition. Soient u et v deux vecteurs de l espace respectivement de coordonnées (x,y,z) et (x,y,z ) Le produit scalaire des vecteurs u et v est le réel : On remarque que : u 2 = u. u Avec les matrices en posant U = x y et V = z u. v = xx +yy +zz x y z u. v = t UV et u 2 = t UU On définit de la même façon le produit scalaire dans le plan. 3
D autres moyens de calculer le produit scalaire de deux vecteurs. avec les normes : u v = 1 ( u+ v 2 u 2 v 2) 2 A AC = 1 ( A 2 +AC 2 C 2) 2 avec le cosinus : Illustration graphique. Soient u et v sont non nuls, u v = u v cos( u, v) Soient A, et C tels que A et A C, A AC = A AC cos( AC) avec le projeté orthogonal : Illustration graphique. Soient A, et C tels que A, on note H est le projeté orthogonal de C sur (A), si A et AH ont le même sens A AC = A AH sinon A AC = A AH Orthogonalité. Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, u v = 0 Les droites (A) et (DC) sont orthogonales si, et seulement si, A AC = 0. Deux droites sont perpendiculaires si, et seulement si, elles sont sécantes et orthogonales. 2) Propriétés du produit scalaire. Propositions : ➀ u E, u 0 = 0 u = 0 ➁ ( u, v) E 2, u v = v u ➂ (α,β) 2, ( u 1, u 2, v) E 3, (α u 1 +β u 2 ) v = α u 1 v +β u 2 v ➃ ( u 1, u 2, v 1, v 2 ) E 4, ( u 1 + u 2 ) ( v 1 + v 2 ) = u 1 v 1 + u 1 v 2 + u 2 v 1 + u 2 v 2 4
Propositions : ➀ u 0 ➁ u = u. u ➂ u 2 = u. u (aussi noté u 2 ) ➃ u = 0 u = 0 ➄ λ u = λ. u ➅ ( u+ v) 2 = u 2 +2 u v + v 2 ➆ ( u v) 2 = u 2 2 u v + v 2 ➇ ( u+ v) ( u v) = u 2 v 2 Exemples ➀ Développer et simplifier les expressions suivantes. (2 u 3 v).( u v) =... ( ) ( ) A AC. A + AC =... ➁ Factoriser les expressions suivantes : u 2 +3 u v +2 v 2 =... A 2 4AC 2 =... 3) Projection orthogonale d un vecteur sur une droite ou sur un plan. Projection orthogonale d un vecteur sur une droite. (dans le plan ou dans l espace). Projection orthogonale d un vecteur sur un plan. (dans l espace). 5
Définition : Soient u un vecteur (du plan ou de l espace) et une droite de vecteur directeur v. Le projeté orthogonal de u sur est : Proposition 5 : l unique vecteur p ( u) colinéaire à v tel que u p ( u) soit orthogonal à v Le projeté orthogonal de u sur est : p ( u) = u. v v 2 v Définition : Soient u un vecteur (de l espace) et Π un plan de vecteur normal n. Le projeté orthogonal de u sur Π est : Proposition 6 : l unique vecteur p π ( u) dans la direction du plan tel que u p π ( u) soit orthogonal au plan. Le projeté orthogonal de u sur Π est : p π ( u) = u u. n n 2 n Dans le plan, on considère les vecteurs u(2,1) et v(2,3) ➀ eprésenter u et v dans un repère. ➁ Déterminer les vecteurs suivants : - Le projeté orthogonal de u sur une droite dirigée par ı. - Le projeté orthogonal de u sur une droite dirigée par j. - Le projeté orthogonal de u sur une droite dirigée par v. IV. Droites et cercles du plan. Vecteur directeur, représentation paramétrique d une droite. Soient A un point du plan et u un vecteur non nul du plan. La droite D passant par A et dirigée par u est l ensemble : (noté D(A, u) ) { } M P t, AM = t u Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite. Si A et sont deux points distincts du plan alors A est un vecteur directeur de la droite (A). Dans le plan muni d un repère = (O, ı, j), ( ) ( xa a Soit A et u un vecteur non nul de P y A b) { x = xa +at y = y A +bt ( x M y) D(A, u) t, { x = xa +ta y = y A +tb (t ) est une représentation paramétrique de la droite de D(A, u) 6
Droites parallèles, droites perpendiculaires. ( a Soient D passant par A et dirigée par u b) on a les équivalences suivantes : D et D sont parallèles si, et seulement si,... ( ) a et D passant par et dirigée par v b, D et D sont perpendiculaires si, et seulement si,... Equation cartésienne d une droite, vecteur normal. Définition : Soit D une droite passant par le point A, Dire que v est une vecteur normal de D signifie que M D AM. v = 0 emarque : Les vecteurs normaux d une droite du plan sont non nuls. Proposition 6 : ( a ➀ Le vecteur n est un vecteur normal de la droite D d équation cartésienne ax+by = c b) ( ) b ➁ Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite D d équation cartésienne ax+by = c a Droites parallèles, droites perpendiculaires. on a les équivalences suivantes : D et D sont parallèles si, et seulement si,... D et D sont perpendiculaires si, et seulement si,... Equation ( cartésienne ) d un cercle du plan. xω Soient Ω, + et C le cercle de centre Ω et de rayon. y Ω ( x M C (x x y) Ω ) 2 +(y y Ω ) 2 = 2 Exemples ➀ Donner l équation cartésienne du cercle de centre Ω( 2,3) et de rayon 2. ➁ Déterminer l ensemble des points M(x,y) vérifiant : x 2 +y 2 5x+3y = 0 eprésentation paramétrique d un cercle du plan. ( ) xω Soient Ω, + et C le cercle de centre Ω et de rayon. y Ω ( { x x = xω +cos(t) M C t [0;2π[, y) y = y Ω +sin(t) 7
V. Droites et plan dans l espace. Soient A un point de l espace et u un vecteur non nul de l espace. La droite D passant par A et dirigée par u est l ensemble : (noté D(A, u) ) { } M P t, AM = t u Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite. Si A et sont deux points distincts du plan alors A est un vecteur directeur de la droite (A). Dans l espace muni d un repère = (O, ı, j, k), Soient A x A y A et u a b un vecteur non nul. c z A x = x A +at y = y A +bt z = z A +ct M x y z D(A, u) t, x = x A +ta y = y A +tb z = z A +tc (t ) est une représentation paramétrique de la droite D(A, u) ase d un plan. Soient A un point, u et v deux vecteurs non colinéaires de l espace. { Le plan passant par A et dirigée par ( u, v) est l ensemble : M E On notera Π(A, u, v) ce plan. Soient A x A y A, u a b c z A et v a b c t, deux vecteurs non colinéaires. M x y Π(A, u, v) (α,β) 2, z AM = t u+t v x = x A +αa+βa y = y A +αb+βb z = z A +αc+βc x = x A +αa+βa y = y A +αb+βb ((α,β) 2 ) est une représentation paramétrique du plan Π(A, u, v). z = z A +αc+βc } emarques : ( u, v) est une base du plan. pour décrire une droite on utilise un paramètre, pour un plan on en utilise deux. Vecteur normal et équation cartésienne. emarques : Soit P un plan passant par le point A, Dire que n est une vecteur normal de P signifie que M P AM. n = 0 Les vecteurs normaux d un plan de l espace sont non nuls. Si P : ax+by+cx = d alors le vecteur n = a b c Si le vecteur n = a b c est un vecteur normal à P. est un vecteur normal à P alors il existe d tel que P : ax+by+cx = d L équation : ax+by +cz = d est appelée équation cartésienne du plan Π dans le repère. 8
VI. arycentres. 1) Introduction. 2) Définitions. Définition du barycentre de deux points pondérés Soient A et deux points de l espace, et a et b deux réels vérifiant a+b 0. Il existe un unique point G vérifiant : aga +b G = 0 Ce point G est appelé barycentre du système pondéré {(A,a); (,b)}. On note : G = bar{(a,a);(,b)} Démonstration. Dans le plan on considère deux points A et quelconques. Faire une figure et placer les points suivants : G 1 le barycentre du système {(A;2);(;2)}, G 2 le barycentre du système {(A; 1);(;2)} G 3 le barycentre du système {(A;3);(;2)}, G 4 le barycentre du système {(A;3);(; 2)} G 5 le barycentre du système {(A; 1 3 );(; 1 2 )}, G 6 le barycentre du système {(A; 2,1);(; 2)} Proposition : Pour A et deux points distincts, ➀ Tout barycentre de deux points A et est sur la droite (A). ➁ Tout point de la droite (A) est un barycentre des points A et. Dans le plan on considére deux points A et quelconques et les points C, D et M définies par : AC = 3 A AD = 2A AM = λ A λ est un réel quelconque. ➀ Faire une figure avec A,, C et D. ➁MontrerqueC,D etm sontdesbarycentresdespointsaet affectésdecoefficientsquel ondéterminera. Proposition. Le milieu du segment [A] est le barycentre du système {(A;1);(;1)}. On dit aussi que le milieu est l isobarycentre des points A et. Définition du barycentre de trois points pondérés. Soient A, et C trois points de l espace, et a, b et c trois réels vérifiant a+b+c 0. Il existe un unique point G vérifiant aga +b G +cgc = 0 Ce point G est appelé barycentre du système pondéré {(A,a); (,b); (C,c)}. On note : G = bar{(a,a); (,b); (C,c)} Exemples : Dans le plan on considère trois points A, et C quelconques. Faire une figure et placer les points suivants : G 1 lebarycentredusystème{(a;2);(;2);(c;2)}, G 2 lebarycentredusystème{(a; 1);(;2);(C;3)} G 3 lebarycentredusystème{(a;3);(;2);(c;2)}, G 4 lebarycentredusystème{(a;4);(; 2);(C;2)} G 5 lebarycentredusystème{(a; 1 3 );(; 1 2 );(C;1)}, G 6 lebarycentredusystème{(a; 2);(; 2);(C;2)} 9
Proposition : ➀ Le barycentre d un système pondéré de trois points est dans le plan (AC) ➁ Tout point du plan (AC) est un barycentre des points A, et C. ➂ L ensemble des points intérieurs au triangle AC est égal à l ensemble suivant : { bar{(a,a),(,b),(c,c)} (a,b,c) 3 + \{(0,0,0)} } Dans le plan on considére trois points A et C non alignés et les points D, E et M définies par : AD = 3 A +2AC AE = 3A AC AM = x A +yac x et y sont des réels quelconques. ➀ Faire une figure avec A,, C, D et E. ➁ Montrer que D, E et M sont des barycentres des points A, et C affectés de coefficients. Proposition. Le centre de gravité d un triangle AC est le barycentre du système {(A;1);(;1);(C;1)}. On dit aussi que le centre de gravité est l isobarycentre des points A, et C. (ici la définition du centre de gravité est : le point l intersection des 3 médianes) Définition du barycentre de n points pondérés. Soient A 1, A 2... A n n points de l espace, et a 1, a 2... et a n n réels vérifiant : Il existe un unique point G vérifiant : a k GA k = 0 Ce point G est appelé barycentre du système pondéré {(A k,a k )} 1 k n. Démonstration. a k 0. Définition : On appelle l isobarycentre des points A 1, A 2... A n le barycentre du système {(A k,1)} 1 k n Soient ACD un quadrilatère du plan et G l isobarycentre des points A,, C et D. Faire une figure et placer le point G. 3) Dans un repère. Dans le plan avec deux points. Soient A(x A,y A ), (x,y ) et (a,b) 2 tel que a+b 0 les coordonnées du barycentre G du système : {A;a);(;b)} sont x G = ax A +bx a+b y G = ay A +by a+b emarque : Avec des coefficients positifs : les coordonnées de G sont les moyennes pondérées des coordonnées des points A et. 10
Dans le plan avec trois points. Soient A(x A,y A ), (x,y ), C(x C,y C ) et (a,b,c) 3 tel que a+b+c 0 les coordonnées du barycentre G du système : {A;a);(;b);(C;c)} sont x G = ax A +bx +cx C a+b+c y G = ay A +by +cy C a+b+c Dans l espace avec trois points. Soient A(x A,y A,z A ), (x,y,z ), C(x C,y C,z C ) et (a,b,c) 2 tel que a+b+c 0 les coordonnées du barycentre G du système : {A;a);(;b);(C;c)} sont x G = ax A +bx +cx C a+b+c y G = ay A +by +cy C a+b+c z G = az A +bz +cz C a+b+c Généralisation : Soient A 1 (x 1,y 1,z 1 ),...A n (x n,y n,z n ) n points de l espace avec leurs coordonnées dans un repère et (a 1,...,a n ) n tel que a i 0 les coordonnées du barycentre G du système : {(A i,a i )} 1 i n sont x G = 1 a i a i x i y G = 1 a i a i y i z G = 1 a i a i z i Dans l espace, on considère les points A(1,0,2), ( 2,1,1), C(0,0,1), D(1,2,0) et on nomme G le barycentre du système : {(A; 1);(;2);(C; 1) : (D;3)}. Déterminer les coordonnées de G. 4) Compléments. ➊ Homogénéité. On ne change pas le barycentre de plusieurs points en multipliant tous les coefficients par un réel non nul. Proposition : Soient A 1, A 2... A n n points de l espace, a 1, a 2... et a n n réels vérifiant a k 0 Si α un réel non nul, alors bar({(a k,a k )} 1 k n ) =bar({(a k,αa k )} 1 k n ). Soient A, et C trois points du plan et G le barycentre de {(A; 1 6 );(; 1 3 );(C; 1 6 )}. Faire une figure en expliquant la position du point G. 11
➋ Associativité. On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d entre-eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants. Proposition : Dans le cas de trois points : (lorsque α+β +γ 0 et α+β 0) bar{(a,α),(,β),(c,γ)} = bar{(bar{(a,α),(,β)},α+β),(c,γ)} Généralisation : bar({(a k,a k )} 1 k n ) = bar {( bar({(a k, a k )} 1 k p ), ) } p a k,{(a k,a k )} p+1 k n Soient ACD un tétraèdre de l espace et G le barycentre de {(A;2);(;1);(C;1);(D;1)}. Faire une figure en expliquant la position du point G. ➌ éduction. Proposition : Si G est le barycentre de {(A i,a i )} 1 i n alors pour tout point M, ( n ) a k MA k = a k MG Exemples : ➊ Soit AC un triangle, déterminer Γ l ensemble des points M du plan vérifiant : MA + M +2MC = M +3MC ➋ Soient A et deux points du plan, déterminer l ensemble des points M du plan vérifiant : MA = 2M. 12