Complément sur la dérivation I- Rappels ) Dérivation en un point Définition Soit f une fonction définie sur I et a un élément de I, soit h un nombre réel différent de 0. f (a+h) f (a) Si le rapport h admet une limite finie L lorsque h tend vers 0, alors : On dit que f est dérivable en a. On appelle nombre dérivé cette limite et on la note f (a) = L. Ainsi,si la fonction est dérivable en a on a f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a) h ) Équation de la tangente Propriété Le nombre dérivé en a de f est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d abscisse a ayant pour équation : y = f (a)(x a) + f (a). (T) Au voisinage de a on a : f (x) f (a)(x a) + f (a) C f a 3) Formules de dérivations f est dérivable sur f (x) = f (x) = R k (constante) 0 R x R mx + p m R x x R x 3 3x R x n, n entier naturel nx n R ax + bx + c ax + b ] ;0[ ]0;+ [ x x ]0; + [ x x Lycée Gustave Eiffel TS3 - M. Herbaut /6
4) Opérations sur les dérivées u et v sont des fonctions si f (x) s ecrit alors f est dérivable sur I définies et dérivables sur I et f (x) est égal à Somme u + v f (x) = u(x) + f (x) = u (x) + v (x) Différence u v f (x) = u(x) f (x) = u (x) v (x) Produit de u par un réel k f (x) = ku(x) f (x) = ku (x) Produit u v f (x) = u(x) f (x) = u (x) + v (x) u(x) Inverse v pour 0 f (x) = f (x) = v (x) ( ) Quotient u v pour 0 u(x) f (x) = f (x) = u (x) v (x) u(x) ( ) : Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ) f (x) = x 3 + x 5 ) g(x) = 7x 3) h(x) = 4x 3x + 4) i(x) = (4x )(3x + 7) 5) j(x) = x + 6) k(x) = 3x + 5x II- Dérivée d une fonction composée ) Composition de fonctions Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et g une fonction définie sur sur un intervalle J tel que pour tout x I, on ait f (x) J. Alors la fonction g f est définie sur I par : g f : I J R f g x f (x) g(f (x)) Compléter le tableau suivant sachant que x est un nombre réel tel que f (x), g(x), g f (x) et f g(x) existent. f (x) 3x + sinx x x x+ g(x) g f (x) = g(f (x)) f g(x) = f (g(x)) x x+4 x x x x Lycée Gustave Eiffel TS3 - M. Herbaut /6
) Dérivée d une fonction composée Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et f une fonction dérivable sur un intervalle J tel que pour tout x I, on ait u(x) J. Alors la fonction x f (u(x)) est dérivable sur I et admet pour fonction dérivée x u (x) f (u(x)). 3) Fonction u admis Soit u une fonction dérivable sur I, telle que u(x) > 0 sur I alors la fonction f définie sur I par f (x) = u(x) est dérivable sur I et f (x) = u (x) u(x). ) Calculer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur R par f (x) = x + 4. ) Soit f (x) = x 3x + 4 a. Déterminer sur quel intervalle f est dérivable. b. Calculer f (x). 4) Fonction u n admis Soit u une fonction dérivable sur I. Si n N, alors la fonction définie par f (x) = ( u(x) ) n est dérivable sur I et f (x) = n u (x) (u(x)) n. Si n Z avec n < 0 et si u(x) 0 sur I alors la fonction définie par f (x) = ( u(x) ) n est dérivable sur I et f (x) = n u (x) (u(x)) n. ( ) x 3 5. ) Soit f la fonction définie et dérivable sur R\{ 4 } par f (x) = 4x + Calculer f (x). ) Soit f (x) = (3x 4x + 7) 3. a. Déterminer sur quel ensemble f est dérivable. b. Calculer f (x). Calculer les fonctions dérivées dans chacun des cas suivants : ) f (x) = (x + ) 5 + x + 5x + 4 ) g(x) = x(x + 5) 3) h(x) = (x + ) x Lycée Gustave Eiffel TS3 - M. Herbaut 3/6
5) Foncion x f (ax + b) admis Soit f une fonction dérivable sur I et soit a et b deux nombres réels tels que pour tout x de J, ax + b I, alors la fonction g définie par g(x) = f (ax + b) est dérivable J et : g (x) = a f (ax + b). Lycée Gustave Eiffel TS3 - M. Herbaut 4/6
III- Exercices Exercice Ci-contre est donnée la courbe représentative d une fonction f ainsi que A et B les tangentes aux points A et B d abscisses respectives et 3. ) Placer A et B puis donner les coordonnées de ces deux points. ) a. Lire graphiquement le coefficient directeur de A et B. b. En déduire f () et f (3). 3) Soit C le point d abscisse 0 de la courbe. On admet que C, la tangente en C, a pour coefficient directeur 8. a. Compléter C( ; ) et f ( ) = Exercice b. Tracer cette tangente. c. Déterminer l équation réduite de C. 3 4 5 6 7 8 9 Sur la figure ci-contre, placer les points A(0; ), B(3; ) et C(5; ). Soit f une fonction définie sur [ ;8] et C f la courbe représentative de f dans le plan repéré. On suppose que les points A, B et C sont sur C f et que f ( ) =, f (8) = 3, f (0) =, f (3) = 0 et f (5) = 4. ) a. Que signifie f (0) =? b. Construire T A, la tangente à C f en A. ) a. Que signifie f (3) = 0? b. Construire T B, la tangente à C f en B. 3) a. Que signifie f (5) = 4? b. Construire T C, la tangente à C f en C. 4) Construire une courbe qui pourrait être celle de f. 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Exercice 3 Ci-contre est donnée la courbe représentative C f d une fonction f définie sur R. On admet que les points A(;3) et E( ; ) sont sur C f. ) On note (T A ) la tangente à C f en A et on admet qu elle passe par le point B(; 6). Construire (T A ). Déterminer l équation réduite de (T A ). En déduire f (). ) On note (T E ) la tangente en E à la courbe C f et on suppose que (T E ) est parallèle à (T A ). Quel est son coefficient directeur? Pourquoi? En déduire f ( ). Construire(T E ) 5 4 3 C f 3 Lycée Gustave Eiffel TS3 - M. Herbaut 5/6
Exercice 4 On donne ci-contre la courbe représentative (C) d une fonction f sur l intervalle [0;6]. On a tracé les tangentes à (C) aux points A et B. Toutes les réponses seront données à l aide du graphique. ) Déterminer les valeurs de f (0), f (), les images de 3 et 5 par f. ) a. Résoudre graphiquement l équation f (x) = 0. b. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) 0. c. Dresser le tableau de signes de f sur [0;6]. d. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) 3. 3) La fonction f admet-elle un maximum et un minimum sur [0;6]? Si oui préciser en quelle(s) valeur(s) ils sont atteints? 4) Dresser le tableau de variation de f sur [0;6] en y indiquant le signe de la dérivée f. 5) Déterminer les nombres dérivés f (3) et f (). Exercice 5 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 6 5 4 3 0 B 0 3 4 5 6 7 A ) f (x) = 7x ) g(x) = 5x 3 4x + 3) h(x) = 5x 9x + 7 4) i(x) = 3 x + 7x 5) j(x) = 3x (5x ) 6) k(x) = (3x + )(4 7x 3 ) 7) l(x) = 5x + 7x 8) m(x) = 9x3 + 5 x 3 Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 3x + 3. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé d unité graphique cm. ) Calculer f (x). ) Remplir le tableau suivant : x - - 0 f (x) f (x) 3) Placer dans le repère les tangentes à C aux points d abscisse ; ;0; et. 4) Tracer C. 5) Calculer l équation de la tangente à C au point d abscisse. Exercice 7 Soit f la fonction définie sur [ 6;8] par f (x) = x 3 3x 45x +. ) Calculer f (x). ) Dresser le tableau de signes de f (x) puis dresser le tableau de variation de f sur [ 6;8]. 3) Déterminer les coefficients directeurs des tangentes à (C) aux points d abscisses -3 et 5. 4) Dresser le tableau de valeurs de f sur [ 6;8] avec un pas de. 5) Représenter la courbe (C) de f sur papier millimétré. Echelle : en abscisse cm pour unité, en ordonnée cm pour 0 unités. On y indiquera les tangentes aux points d abscisses -3 et 5. Lycée Gustave Eiffel TS3 - M. Herbaut 6/6