Secondes 3-6-7-9-10-11 - Mathématiques Durée : 1h30 Correction du devoir sur table de la semaine du bac blanc L usage d une calculatrice est autorisé, mais les échanges de calculatrices sont strictement interdits. Exercice 1 (6 points) Fonction Partie A On donne en annexe la représentation graphique d une fonction f. 1. D après cette représentation graphique, quel est l ensemble de définition de f? Nous lisons graphiquement que l ensemble de définition de f est [ 3;].. Lire graphiquement l image de 0. Nous lisons graphiquement que l image de 0 est 0. 3. Lire graphiquement f (). Nous lisons graphiquement que f () = 1. 4. Lire le ou les antécédents de 1. Nous lisons graphiquement que les antécédents de 1 sont 3, et. 5. Donner un réel ayant un seul antécédent d après cette représentation graphique. Nous lisons graphiquement que le réel 1,1 n a qu un seul antécédent par f sur [ 3;]. L autre valeur possible était 13,1. 6. Résoudre graphiquement l équation f (x) = 6. On donnera des valeurs approchées à 0, 1 près. Nous lisons graphiquement que l équation f (x)=6 possède deux solutions : 1 et 1,7. 7. Dresser par lecture graphique le tableau de variations de f sur [ 3;]. 1,1 x 3, 5 0, 5 13,1 1 f 1 8. Donner le maximum de f sur [ 3; ]. Pour quelle valeur de x est-il atteint? Partie B Nous lisons graphiquement que le maximum de f sur [ 3; ] est 1,6. Il est atteint pour la valeur x =,5. On considère que la fonction précédente est maintenant définie surrtout entier par f (x)=x 3 + 3x 4x. 1. Montrer que pour tout réel x on a f (x)=(x 1)(x + 4x). On développe, pour tout réel x : (x 1)(x + 4x)= x x + x 4x 1 x 14x= x 3 + 4x x 4x= x 3 + 3x 4x= f (x). En choisissant la forme la plus adaptée, calculer f (0) et f (1). On calcule : f (0)=0 3 + 30 40=0 f (1)=(1 1)(1 + 41)=0. Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page 1/ 7
3. A l aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs de f donné en annexe. Vous arrondirez les résultats à 0,01. 4. Compléter la représentation graphique de f sur [ 4; 3], toujours sur l annexe. Exercice (3 points) Un sac de jetons Un sac contient des jetons carrés, ronds ou triangulaires de couleur noire ou verte. Il y a 10 jetons ronds dont 4 noirs. 5 des 15 jetons carrés sont verts. 6 des 5 jetons triangulaires sont noirs. 1. Compléter le tableau donné en annexe.. On tire un jeton au hasard. On suppose qu il y a équiprobabilité. On note : A l évènement «le jeton est rond». B l évènement «le jeton est de couleur verte». C l évènement «le jeton est de couleur noire et n est pas rond». (a) Calculer les probabilités des évènements A, B et C. L évènement A est réalisé par 10 issues et il y a 50 issues au total, donc P(A)= 10 L évènement B est réalisé par 30 issues et il y a 50 issues au total, donc P(B)= 30 L évènement C est réalisé par 16 issues et il y a 50 issues au total, donc P(C )= 16 (b) Exprimer par une phrase l évènement contraire de C. L évènement contraire de C est «Le jeton est vert ou il est rond». (c) Calculer la probabilité de l évènement C. On sait qu on a P(C )=1 P(C )=1 16 50 = 34 (d) Calculer la probabilité de l évènement A B. L évènement A B est réalisé par 34 issues et il y a 50 issues au total, donc P(A B)= 34 Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page / 7
Exercice 3 (7 points) Repérage, Vecteurs Partie A : 1. Construire sur un repère orthonormée et placer les points suivants : A( 5; 1), B(1; 4), C(5; 1), D( 1; ). D A j O i C H B. (a) Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD? ABC D semble être un parallélogramme. (b) Le démontrer à l aide de la méthode de son choix. Première méthode On calcule les coordonnées de AB et DC : AB(1 ( 5); 4 ( 1)) AB(6; 3) Par ailleurs : DC(5 ( 1); 1 ) DC(6; 3) Ainsi AB= DC : par théorème ABC D est un parallélogramme. Deuxième méthode On calcule les coordonnées des milieux de [AC ] et [BD] : Le premier a pour coordonnées ( 5+5 ; 1+( 1) ) c est à dire (0; 1). Le second a pour coordonnées ( 1+( 1) ; 4+ ) c est à dire (0; 1). Les diagonales [AC ] et [BD] ont donc même milieu : par théorème ABC D est un parallélogramme. Il était aussi possible de montrer que AB = C D et AD = BC. 3. (a) Placer le point H( 3; ). (b) L aire du quadrilatère ABCD est donnée par la formule ABDH. Calculer l aire du quadrilatère ABCD. Le repère étant orthonormé on peut calculer ainsi : AB = (1 ( 5)) + ( 4 ( 1)) = 16+9= 5=5 DH = ( 3 ( 1)) + ( ) = 4+16= 0= 45= 5. L aire de ABC D est alors ABDH=5 5= 10 5,4. Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page 3/ 7
Partie B : 1. Soient A(1; ), B(3; 3), C( ; ) et D(4; 1). (a) Démontrer que AB et CD sont colinéaires. On calcule les coordonnées de AB et CD : AB(3 1;3 ) AB(; 1) CD(4 ( );1 ( )) CD(6; 3) On remarque d après les coordonnées que CD=3 AB, par définition ces deux vecteurs sont donc bien colinéaires. (b) Parmi les propositions suivantes, indiquer sans justifier celles qui sont vraies (il peut y en avoir aucune, une ou plusieurs). On recopiera entièrement la ou les proposition(s) vraie(s) sur sa copie ou on indiquera à l aide d une phrase qu aucune proposition n est vraie. i. Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. ii. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. iii. Les points A, B, C et D sont alignés. iv. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. v. On a l égalité AB=3CD. vi. On a l égalité CD=3AB. vii. Les vecteurs AB et CD sont de sens opposés. (c) Montrer que AB+ CA DB= CD. On a : AB+ CA DB= AB+ CA+ BD= CA+ AB+ BD= CB+ BD= CD.. Sur la figure située en annexe : (a) Construire le point D tel que CD= BA. (b) Construire le point N image du point M par la translation de vecteur u+ v. Partie C : On souhaite écrire un algorithme permettant de calculer automatiquement les coordonnées du vecteur AB à partir des coordonnées des points A(x A, y A ) et B(x B, y B ). Variables : Traitement : XA, YA, XB, YB Saisir XA, YA, XB, YB X prend la valeur... Y prend la valeur... Afficher «Les coordonnées du vecteur sont» Afficher X Afficher Y L algorithme ci-dessus permet d effectuer cette tâche mais une partie a été remplacée par des pointillés. Indiquer, sans justifier, laquelle de ces quatre propositions convient en recopiant son numéro sur votre copie : Proposition 1 : Proposition : X prend la valeur XA + YA X prend la valeur XA - XB Y prend la valeur XB + YB Y prend la valeur YA - YB Proposition 3 : Proposition 4 : X prend la valeur XA + XB X prend la valeur XB - XA Y prend la valeur YA + YB Y prend la valeur YB - YA Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page 4/ 7
Exercice 4 (4 points) Un trapèze On rappelle que la formule de l aire d un trapèze est A = h b+b. b h B Une entreprise paysagiste doit créer un espace «jardin et terrasse» sur un terrain ABC D ayant la forme d un trapèze. Le projet présenté aux clients, modifiable à la demande, est schématisé sur la figure ci-contre. La partie «jardin» est formée de deux triangles ADM et MBC (partie colorée). La terrasse occupe le reste du terrain. Le point M peut occuper n importe quelle position sur le segment [AB]. C D A M On donne AB = 0 m, BC = 6 m et AD = 3 m. On pose AM = x. B 1. Calculer l aire du trapèze ABC D. On applique la formule : A ABCD = AB AD+BC = 0 3+6 = 90m.. Dans quel intervalle I le réel x doit il se situer pour respecter le texte de l énoncé? AM ne peut pas être négative car c est une distance, et M doit appartenir à [AB] donc AM ne doit pas dépasser 0. L intervalle dans lequel x doit se situer est I = [0; 0]. 3. Calculer l aire du jardin pour x = 8 m. La partie jardin est formée de deux triangles dont on calcule les aires : A AMD = AMAD = 38 = 1m. Pour le deuxième triangle on utilise le fait que AM+ MB = AB = 0 donc MB = 0 x ce qui donne ici MB = 1 : A MCB = BCMB = 61 = 36m. L aire du jardin est donc de 1+36=48m. 4. On désigne f la fonction qui à tout x de I associe l aire du jardin. Montrer que f peut s écrire sur I : f (x)=60 1,5x On exprime les aires des deux triangles : Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page 5/ 7
A AMD = AMAD = 3x = 1,5x. A MCB = BCMB = 6(10 x) = 60 6x = 30 3x. L aire du jardin peut donc s écrire f (x)=1,5x+ 30 3x= 60 1,5x. 5. Quelle doit être la position du point M afin que l aire du jardin soit égale à 39m? On cherche à déterminer x tel que : f (x)=39 60 1,5x= 39 60=39+1,5x 60 39=1,5x 1=1,5x 1 : 1,5= x 14=x Le point M doit donc se situer à 14 mètres sur AB, en partant de A. 6. On souhaite conserver au minimum la moitié du terrain pour la terrasse. Quelles sont les positions possibles de M? Un quart du terrain représente 90 = 45m. Pour qu un minimum de 45m soit dévolu à la terrasse, il faut que la partie jardin ne dépasse pas 45m, ce qui donne : f (x) 45 60 1,5x 45 60 45+1,5x 60 45 1,5x 15 1,5x 15 : 1,5 x (on divise par un nombre positif donc on n inverse pas le signe) 10 x L ensemble solution est [0;10]. Les positions possibles de x sont donc depuis A jusqu au milieu de [AB], pour lequel on aura x = 10. Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page 6/ 7
NOM : CLASSE : ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie EXERCICE 1 14 1 10 8 6 4-5 -4-3 - -1 0 1 3 - x -4-3,75-3,5-3,5 f (x) 0 4,45 7,88 10,36 EXERCICE Vert Noir Total Carré 5 10 15 Rond 6 4 10 Triangulaire 19 6 5 Total 30 0 50 EXERCICE 3 B u N A C M v D Seconde - D.S.T semaine du bac blanc - Page 7/ 7