CESI - FIA12-2015 Harmonisation Mathématiques Intervenant : FDumetz V Les vecteurs I ) LES VECTEURS 1) DEFINITIONS ET REGLES DE CALCUL Définition : Un vecteur de l espace est défini par sa direction, son sens et sa norme Soit u un vecteur de l espace et A un point, il existe un unique point tel que u Ce vecteur a : pour direction celle de la droite (A) ; pour sens celui de A vers ; pour longueur ou norme la distance A ; on note u A A Lorsque A=, le vecteur AA est le vecteur nul, noté 0
Vecteurs égaux : Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu ils ont même direction, même sens et même norme Lorsque les points A,, C et D ne sont pas alignés, A CD équivaut à «ADC est un parallélogramme» Relation de Chasles : Pour trois points A, et C de l espace, AC A C Cette relation définit l addition vectorielle Règle du parallélogramme : Pour trois points A, et C de l espace, A AC AD où D est le quatrième sommet du parallélogramme ADC Coordonnées de vecteurs : Pour A(x A ; y A ; z A ) et (x ; y ; z ), deux points de l espace, le vecteur A a pour coordonnées x A y z Propriétés algébriques : Pour tous vecteurs u et v et pour tous réels k et k, on a : k(u v) ku kv (k k')u k(k'u) (k k')u ku k'u ku 0 k 0 ou u 0 x y z A A A 2) VECTEURS COLINEAIRES Définition : Deux vecteurs (non nuls) ayant la même direction sont colinéaires Ceci s écrit aussi u et v sont colinéaires s il existe un réel k tel que u kv Applications : On utilise les vecteurs colinéaires pour montrer que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés Définition : Soit D une droite de l espace et u un vecteur non nul u est un vecteur directeur de la droite D dès que u et D ont la même direction 3) VECTEURS COPLANAIRES Définition : A,, C et D sont quatre points de l espace Dire que les vecteurs A, AC et AD sont coplanaires signifie que A,, C et D appartiennent à un même plan Pour trois vecteurs u, v et w, on choisit un point O, on définit A, et C tels que u v O et w OC OA, Théorème : u, v et w sont trois vecteurs tels que u et v ne sont pas colinéaires Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que w au bv
II ) ARYCENTRE DE DEUX POINTS 1) THEOREME D EXISTENCE ET DEFINITION Théorème : A et sont deux points, et a et b sont deux réels tels que a + b 0 Il existe un unique point G tel que aga bg 0 Définition : On appelle barycentre du système de points pondérés {(A,a) ; (,b)}, où a + b 0, l unique point G défini par aga bg 0 2) LOCALISATION DU ARYCENTRE a Soit G le barycentre de {(A,a) ; (,b)}, où a + b 0,) alors : AG A a b Cette égalité permet de déduire que si A et sont distincts, G est un point de la droite (A) Exemples : On veut construire le barycentre G de (A,2) et (,3) : 2 + 3 est non nul, donc G existe, et 2GA 3G 0 On en déduit : 3 2GA 3GA 3A 0 5AG 3A AG A 5 Remarques : - Si A =, le barycentre du système {(A,a) ; (,b)}, où a + b 0, est A - Si a = 0, alors G est en, si b = 0, alors G est en A - Si a = b, aga bg 0 devient GA G 0, ce qui signifie que G est le milieu de [A] On dira dans ce cas que G est l isobarycentre de A et, car les coefficients sont égaux - Lorsque les coefficients sont de même signe, G est sur le segment [A] 3) HOMOGENEITE DU ARYCENTRE Propriété : Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu on remplace les deux coefficients par des coefficients proportionnels (non nuls) Autrement dit : si G barycentre du système de points pondérés {(A,a) ; (,b)} alors, avec k 0, G est aussi barycentre du système de points A, ka;, kb Applications : Le barycentre de (A,350) et (,140) est aussi celui de (A,5) et (,2) Le barycentre de (A, 5/3) et (, -3/2) est aussi celui de (A,10) et (,-9) 4) COORDONNEES DU ARYCENTRE Soit (O ; i; j) un repère du plan, et A, et G de coordonnées A(x A ;y A ), (x ;y ) et G(x G ;y G ) Les coordonnées du barycentre G de (A,a) et (,b) sont : axa bx a b G ay A by a b (moyennes pondérées des coordonnées de A et ) Exemple : A(1 ;3) et (4 ;1) G barycentre de (A,2) et (,1) Les coordonnées de G sont G(2 ; 7/3)
III ) PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN 1) Les quatre expressions du produit scalaire : u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u OA et v O Si u et v sont colinéaires de même sens, alors u v OA O Si u et v sont colinéaires de sens contraires, alors u v OA O O A A O Et plus généralement, u v OAO' OA' O, avec A projeté orthogonal de A sur (O) et projeté orthogonal de sur (OA) u v OA O cosoa,o Si, dans un repère orthonormal, u et v ont pour coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ), alors u v xx' yy' Dans le cas où u 0 ou v 0, alors u v 0 Propriétés : Pour tous vecteurs u, v et w et tout réel k, u v v u, ku v ku v u kv, u v w u v u w 2) Orthogonalité et distance : Théorème : Dire que deux vecteurs u et v sont orthogonaux équivaut à dire que u v 0 2 u u u est le carré scalaire de u A l aide des expressions précédentes, on obtient 2 2 2 2 u u u u x y Ainsi pour A et deux points quelconques du plan, 2 2 A A A A
3) Applications du produit scalaire Dans ce qui suit, le plan est muni d un repère orthonormal Définition : Un vecteur non nul n est dit normal à une droite d lorsque sa direction est orthogonale à celle de d Propriété : Une droite d de vecteur normal na;b a une équation de la forme ax by c 0 où c R Et réciproquement, un ensemble d d équation ax by c 0 (avec a et b non nuls en même temps) est une droite de vecteur normal na;b Théorème : distance d un point à une droite : Soit Ax 0;y0 un point du plan et d une droite d équation ax + by + c = 0 La distance de A à d est égale à Théorème : cercle et produit scalaire : ax by c 0 0 a² b² Le cercle de centre I(a ; b) et de rayon R a pour équation 2 2 2 x a y b R Le cercle C de diamètre [A] est l ensemble des points M tels que MA M 0 (vrai dans tout repère) Exemple : On considère la droite d d équation 1 3 y x et le point A(1 ; -2) 2 2 1) Le cercle C de centre A et de rayon 7 coupe-t-il la droite d? 2) Déterminer une équation du cercle de centre A tangent à la droite d IV PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Définition : u et v sont deux vecteurs de l espace A, et C sont trois points de l espace vérifiant u A et v AC Il existe au moins un plan P contenant les points A, et C et le produit scalaire des vecteurs u et v est le produit scalaire des vecteurs A et AC calculé dans le plan P Expression analytique dans un repère orthonormal : Le produit scalaire des vecteurs u x;y;z et v x';y';z' est u v xx' yy' zz' Equation cartésienne d un plan Théorème : Dans un repère orthonormal : Un plan P de vecteur normal na;b;c a une équation de la forme ax +by + cz + d = 0 Réciproquement, a, b,c et d étant quatre réels donnés, avec a, b et c non tous nuls, l ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax +by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal na;b;c Exercice : L espace est muni d un repère orthonormé O, i, j, k Donner une équation cartésienne du plan (P) passant par le point A( 2 ; 1 ; 3) et orthogonal à (C) avec (1 ; 2 ; 2) et C(4 ; 1 ; 1)
Distance d un point à un plan Soit P un plan et A un point de l espace, la distance de A à P est la longueur AH où H est le projeté orthogonal de A sur P (la droite passant par A et orthogonale à P coupe P en H) Théorème : Si, dans un repère orthonormal, le plan P a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, et le point A pour coordonnées (x A ; y A ; z A ), alors la distance de A à P est : axa bya cza d AH a² b² c² A P H Exercice : Calculer la distance du point A(5 ; 2 ; 3) au plan (P) d équation : 3x 2y 5z 1 0 V PRODUIT VECTORIEL DANS L ESPACE
Exemples de produits vectoriels en physique :
VI PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS DANS L ESPACE
Exercices Dans les exercices suivants, le plan P est rapporté à un repère orthonormé O,, i j et l espace est rapporté à un repère orthonormé O, i, j, k Exercice 1 : On considère les points A 4,3 ; 0,5 et C 1,1 Soit I le milieu de Calculer les coordonnées du point J défini par AJ 2AI AC Exercice 2 : On considère les points A 4,3 ; 0,5 et 1,1 Déterminer au degré près la mesure de l angle AC Exercice 3 : On considère les points A 1,4 et 2,5 C Calculer A AC Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre A Exercice 4 : On considère les points A 4,3 ; 0,5 et 1,1 C Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle AC A Exercice 5 : Déterminer une équation de la droite passant par A 2;4 et 1;3 Déterminer une équation de la droite parallèle à A passant par C 2, 3 Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à A passant par 6,5 Calculer la distance du point M 9; 1 à la droite A D Exercice 6 : Déterminer une équation du plan par A1, 1,2 2,0, 1 et 3,2,0 Déterminer une équation de la sphère de centre A et de rayon 3 Exercice 7 : Soit A 1,0,3, 6,1, 5, C 2,1,3 et M 4, 1,8 1) Calculer les coordonnées des vecteurs A et AC 2) Calculer A AC et A AC 3) En déduire une équation du plan AC 4) Déterminer l aire du triangle AC 5) Calculer la distance du point M au plan AC C Exercice 8 :
Réponses des exercices Exercice 1 : J 5;7 Exercice 2 : A AC 16 et AC 48 Exercice 3 : Exercice 4 : 2 2 x y x y 9 18 0 soit 2 2 1 9 5 x y 2 2 2 Le centre du cercle circonscrit au triangle AC a pour coordonnées : Exercice 5 : 1 10 A : y x 3 3 1 11 Parallèle à (A) passant par C : y x 3 3 Perpendiculaire à (A) passant par D : y 3x 13 Exercice 6 : d M, A 22 10 23 23 ; 18 9 Exercice 7 : Equation du plan : 7x 4y z 13 0 2 2 2 Equation de la sphère : x y z 7 A 1 8 Exercice 8 : et 1 AC 1 0 1 1 2 9, A AC 6 et Equation du plan (AC) : x y z 2 0 1 1 K 1,, 2 2, 1 IG,1,0 2, 1 IA,0, 1 2 Aire (IGA) 6, V(AIG) 4 8 A AC 8 8 Aire de (AC) : 4 3 1 6 d où, et on a bien K IG IA 6 d AIG 3 9 d M, AC 3 3 3