Introduction : Le problème présente plusieurs résolutions possibles et amène les élèves à prendre l'initiative de résoudre cet exercice avec la méthode de leur choix. Le but est d'optimiser une fonction. Nous allons voir deux résolutions. La première fait intervenir une fonction polynôme de degré et la résolution se fait à l'aide de la propriété de symétrie de ces fonctions. On verra aussi comment vérifier un résultat à l'aide du logiciel Geogebra. La seconde permet de résoudre l'exercice à l'aide d'un tableur et de voir les modifications que l'on pourrait apporter à la feuille de calcul pour améliorer l'étude du problème. Résolution Question 1 : Nous allons proposer une résolution de l'exercice par deux méthodes : Première résolution : Le but de l'exercice est de déterminer le prix du billet pour que la recette soit maximale. La recette est le produit du nombre de billets vendus par le prix de vente d'un billet. Le prix varie en fonction du nombre de baisse effectuée sur le prix. Le nombre de place varie en fonction du nombre de baisse effectuée sur le prix. Donc la recette varie en fonction du nombre de baisse effectuée sur le prix. Soit x le nombre de baisse effectuée sur le prix. Construisons un tableau de valeurs pour quelques valeurs de x : x = 0 : les données de l'énoncé permettent de compléter la première colonne du tableau x = 1 : le nombre de billets vendus est 3 000 + 100 = 3 100 le prix de vente d'un billet est 50 0,60 = 49, 40 la recette est 3 100 49, 40 = 153 140 x = 5 : le nombre de billets vendus est 3 000 + 5 100 = 3 500 le prix de vente d'un billet est 50 5 0,60 = 47 la recette est 3 500 47 = 164 500 x = 0 : le nombre de billets vendus est 3 000 + 0 100 = 5 000 le prix de vente d'un billet est 50 0 0,60 =38 la recette est 5 000 38 = 190 000 x = 60 : le nombre de billets vendus est 3 000 + 60 100 = 9 000 le prix de vente d'un billet est 50 60 0,60 = 14 la recette est 9 000 14 = 16 000 Nombre de baisse x 0 1 5 0 60 Nombre de billets vendus 3000 3100 3500 5000 9000 Prix de vente d'un billet (en ) 50 49,4 47 38 14 Recette (en ) 150000 153140 164500 190000 16000 On remarque que la recette augmente puis baisse. On remarque aussi que pour 60 baisses le nombre de billets vendus est 9000, ce qui est supérieur au nombre de places de la salle de spectacle.
On peut exprimer le nombre N de billets vendus en fonction du nombre de baisse x : N(x) = 3 000 + 100x. On peut exprimer le prix P de vente d'un billet en fonction du nombre de baisse x : P(x) = 50 0,60x. On peut exprimer la recette R en fonction de N et de P, puis en fonction de x : R(x) = N(x) P(x) = ( 3 000 + 100x)(50 0,60x) Calculons le nombre de baisse maximale que l'on peut faire : Il faut que le nombre de billets vendus soit inférieur ou égal à 8000 et que le prix de vente d'un billet soit positif ou nul. N(x) 8000 3 000 + 100x 8 000 x 50. 50 P(x) 0 50 0,60 x 0 x 83,33 x 83 car x prend des valeurs entières. 0,60 Donc x doit être à la fois inférieur ou égal à 50 et à 83, donc x doit être inférieur ou égal à 50 : x est compris entre 0 et 50. Il faut maintenant déterminer le maximum de la recette, il faut donc déterminer pour quel nombre x de baisse la fonction R admet un maximum, on pourra aussi déterminer le prix du billet correspondant à ce nombre de baisse. Etude de la fonction R : R(x) = ( 3 000 + 100x)(50 0,60x) Utilisons la symétrie des fonctions polynômes de degré. Il suffit de trouver abscisses x 1 et x qui ont même image R(x 1 ) = R(x ). L'extrémum de la fonction sera atteint en l'abscisse La fonction R étant sous forme factorisée il est simple de résoudre R(x) = 0 : R(x) = 0 ( 3 000 + 100x)(50 0,60x) = 0 3 000 + 100x = 0 ou 50 0,60x = 0 x 1 +x x 1 = 3000 100 = 30 ou x = 50 0,60 =50 3 30+ 50 Donc R atteint son extrémum en x 1 +x 3 = = 80 3 6,667. Or x ne prend que des valeurs entières il faut chercher entre 6 et 7 quelle est la recette la plus élevée : R(6) = 19640 R(7) = 19660 Et R(7) > R(6), donc x = 7 et R(7) = 19660. En développant la fonction R : R(x) = ( 3 000 + 100x)(50 0,60x) = 150 000 1 800 x + 5 000 x 60 x = - 60 x + 300 x + 150 000 Le terme de plus haut degré est négatif la courbe représentative de la fonction est donc tournée vers le bas, et l'extrémum est un maximum..
Vérification à l'aide du logiciel de géométrie dynamique Geogebra : Calculons le prix du billet pour 7 baisses et le nombre de billets que l'on peut espérer vendre : P(7) = 50 0,60 7 = 33,80 N(7) = 3000 + 7 100 = 5 700. Conclusion : Si le prix du billet est de 33,80, on peut espérer vendre 5 700 places et la recette sera maximale de 19 660. Remarque : En fait, R atteint son maximum en 80. 3 80 80 L'extremum de la fonction est en pour une recette de R( ) 19 666, 667. 3 3 80 Donc si le nombre de baisse n'est pas un nombre entier mais baisses du prix de 0,60, alors la 3 80 recette serait maximale de 19 666,667, pour le prix de vente d'un billet de P( ) = 34. 3
Deuxième résolution : Le but de l'exercice est de déterminer le prix du billet pour que la recette soit maximale. La recette est le produit du nombre de billets vendus par le prix de vente d'un billet. Le prix varie en fonction du nombre de baisse effectuée sur le prix. Le nombre de place varie en fonction du nombre de baisse effectuée sur le prix. Donc la recette varie en fonction du nombre de baisse effectuée sur le prix. La colonne A contient le nombre de baisse, dans A on rentre la valeur initiale 0 : «= 0». La colonne B contient le nombre de billets vendus en fonction du nombre de baisse, dans B on rentre : «= 3000+ 100*A». La colonne C contient le prix de vente d'un billet en fonction du nombre de baisse, dans C on rentre : «= 50 0.6*A». La colonne D contient la recette qui est le produit du prix de vente d'un billet et du nombre de place vendues, dans D on rentre : «=C*D». Puis on sélectionne A, B, C et D et on étire les formules sur un grand nombre de résultats (dans l'exemple une centaine). Pour avoir la recette maximale, sur une case vide on rentre «= MAX(D:D10)», la valeur s'affiche, il suffit de la chercher dans la colonne D et de regarder à quelle valeur du prix du billet ça correspond. Conclusion : On trouve alors pour 7 baisses 5 700 billets vendus pour le prix d'un billet de 33,80 et une recette maximale de 19660. Remarque : L'utilisation de fichier excel permet facilement d'apporter des modifications. Par exemple si on espère 100 spectateurs supplémentaires lorsqu'on baisse le prix du billet de 0,60,
cela signifie qu'on espère 10 spectateurs supplémentaires lorsqu'on baisse le prix du billet de 0,06. La recette est alors de 19666,6 pour un prix de vente d'un billet de 33,98 et assurerait 5670 billets vendus. Il serait donc préférable de vendre un billet 34, on pourrait s'attendre à 5600 places pour une recette maximale d'environ 19000. Généralement : Le nombre de vente ne dépend pas réellement du prix de vente. Cette étude reste théorique, elle fournit simplement un modèle simple de situations de la vie courante. En effet, on ne peut assurer qu'il y a aura exactement 5670 personnes si le prix du billet est de 33,98. Question : Cet exercice est une prise d'initiative dans le sens où il y a plusieurs façons de répondre, donc plusieurs approches. La première résolution permet : modéliser et s'engager dans une activité de rechercher conduire un raisonnement, une démonstration pratiquer une lecture active de l'information, en privilégiant les changements de registre ( graphique, numérique, algébrique) utiliser les outils logiciels adaptés à la résolution d'un problème faire une analyse critique d'un résultat, d'une démarche La seconde résolution permet : modéliser et s'engager dans une activité de recherche pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique utiliser les outils logiciels adaptés à la résolution d'un problème faire une analyse critique d'un résultat, d'une démarche
Question 3 : deux ou trois problèmes avec prise d'initiative Exercice 1 : Soit RST un triangle équilatéral. Son cercle circonscrit a pour rayon cm. Calculer l'aire du triangle équilatéral. Exercice : Une piscine de forme rectangulaire est entourée par une bande de gazon. Cette piscine a pour largeur 5 mètres et pour longueurs 1 mètres. La bande de gazon a toujours la même largeur. On souhaite mettre une clôture autour de la bande de gazon. La clôture s'achète en rouleaux de 10 mètres de longueur. Quelle doit être la largueur de gazon si on souhaite utiliser en totalité les six rouleaux pour la clôture? Exercice 3 : On considère un carré ABCD de côté supérieur à 6, exprimé en cm. E est le point du segment [AB] tel que : EB = 6 cm. Peut-on trouver la longueur du côté du carré pour que l'aire du carré ABCD soit strictement supérieure au triple de l'aire du triangle AED?
Résolution : Exercice 1 : La prise d'initiative résulte dans le choix de la décomposition du triangle équilatéral, et l'insertion de points et de certaines droites remarquables du triangle sur la figure. base hauteur L'aire d'un triangle est Résolution 1 : On va placer le point O centre du cercle circonscrit au triangle RST et tracer les médianes, hauteurs, bissectrices et médiatrices, qui, dans un triangle équilatéral, sont confondues. Pour calculer l'aire du triangle équilatéral RST, on va le décomposer en 6 triangles de même aire, qui est l'aire du triangle OTH, avec H le pied de la hauteur du triangle RST issue de R. En effet, les triangles ROT, ROS et OTS ont même aire car ils ont leurs 3 côtés de même longueur : OS=OT=OR (rayon du cercle circonscrit) et TS=RS=RT (triangle équilatéral). Ensuite, dans chacun des 3 triangles, on peut les décomposer en triangles de même aire : par exemple dans le triangle OST on peut le décomposer en OHT et OHS, ces deux triangles ont même aire car OH est une hauteur du triangle OTS et l'aire du triangle OHT est triangle OHS est du segment TS. Donc HS OH A RST =3 A OST =3 A OHT =6A OHT =6 OH TH et l'aire du avec HS = HT car OH est aussi une médiane et donc H est le milieu TH OH =3 TH OH. Calculons la longueur OH : On considère le triangle OHT rectangle en H. L'angle TOH est la moitié de l'angle TOS qui lui est le double de l'angle TRS car TOS et TRS interceptent le même arc et TOS est l'angle au centre du cercle : c'est le théorème de l'angle inscrit. L'angle TOH = 1 TOH = 1 TRS= TRS =60 car TRS est un triangle équilatéral les angles au 180 sommet sont de même mesure : 3 =60. On utilise la trigonométrie du triangle rectangle dans le triangle TOH, on a : cos(toh )= OH OT cos(60 )=OH 1 = OH OH =1cm.
Calculons la longueur TH : Si on utilise la trigonométrie du triangle rectangle dans le triangle TOH, la calculatrice ne nous donne pas toujours une valeur exacte, on va donc utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle TOH : OT = OH + HT = 1 + HT HT = 4 1 = 3 donc HT = 3 cm Calculons l'aire du triangle RST : A RST =3 TH OH =3 3 1=3 3cm 5, cm. On vérifie à l'aide du logiciel Geogebra en construisant la figure et en calculant l'aire du triangle à l'aide de «tracer un polygone régulier». Résolution : On aurait pu décomposer le triangle RST en deux triangles rectangles RTH et RHS de même aire. TH HR A RST = A RTH = =TH HR Calculons la longueur HR : HR = HO + OR = HO + Calculons la longueur OH : On considère le triangle OHT rectangle en H. L'angle TOH est la moitié de l'angle TOS qui lui est le double de l'angle TRS car TOS et TRS interceptent le même arc et TOS est l'angle au centre du cercle : c'est le théorème de l'angle inscrit. L'angle TOH = 1 TOH = 1 TRS= TRS =60 car TRS est un triangle équilatéral les angles au 180 sommet sont de même mesure : 3 =60. On utilise la trigonométrie du triangle rectangle dans le triangle TOH, on a : cos(toh )= OH OT cos(60 )=OH 1 = OH OH =1cm. Donc HR = 1 + = 3cm. Calculons la longueur TH : Si on utilise la trigonométrie du triangle rectangle dans le triangle TOH, la calculatrice ne nous donne pas toujours une valeur exacte, on va donc utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle TOH : OT = OH + HT = 1 + HT HT = 4 1 = 3 donc HT = 3 cm A RST =TH HR= 3 3=3 3 cm 5,cm.
Exercice : La prise d'initiative est dans la modélisation. Six rouleaux de 10 mètres de longueur permettent de clôturer : 6 10 m = 60 m. Posons x la largueur du gazon. La longueur de la clôture est égale au périmètre P du rectangle qui entoure le gazon. P = ( L + l ) Il reste à exprimer L et l en fonction de x : L = 1 m + x et l = 5 m + x Puisque la longueur x est reporté une fois de chaque côté du petit rectangle représentant la piscine. P = ( 1 m + x + 5 m + x) = ( 17 m + 4x) = 34 m + 8 x. On cherche la longueur x pour que le périmètre soit être égal à 60m : P = 60 m 34 m + 8x = 60 m 8x = 6 m x = 3,5 m La largueur du gazon devra être de 3,5 m. Vérification à l'aide du logiciel Geogebra : Remarque : On aurait pu utiliser un tableur et chercher pour plusieurs valeurs jusqu'à trouver la largeur du gazon pour que le périmètre du rectangle représentant le gazon fasse 60 m.
Exercice 3 : La prise d'initiative dans cet exercice est le fait de poser x pour la longueur du côté du carré, et de factoriser l'expression obtenue afin de résoudre le problème. Résolution : Posons x la longueur du carré ABCD. (x 6) x L'aire du carré est x, l'aire du triangle ADE est. Le but est de trouver x tel que l'aire du carré soit strictement supérieure au triple de l'aire du triangle AED : x >3 ( x 6) x Cette inéquation revient à : x 3 ( x 6) x x 3 (x 6) x >0 >0 x 3 x +18 x>0 x +18 x>0 Ce qui revient à étudier le signe de la fonction f : x - x + 18x. Pour cela il faut factoriser cette expression : - x + 18x = x ( -x + 18) Cette équation s'annule si x=0 ou x =18 Dressons le tableau de signe de la fonction f : D'après l'énoncé on sait que x doit être supérieur à 6 cm. x 6 18 + Signe de x + + Signe de -x + 18 + - Signe de f + - Donc f est de signe strictement positif si x est compris entre 6 et 18, non inclus. La longueur du côté du carré pour que l'aire du carré ABCD soit strictement supérieure au triple de l'aire du triangle AED doit être comprise entre 6 et 18 non inclus. Vérifions le résultat à l'aide du logiciel Geogebra.