Géométrie dans l espace Partie 1

Géométrie dans l espace Partie 1 Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016

1 Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans 2 Vecteurs de l espace Définitions et opérations Démontrer un alignement de points d une droite, d un plan Décomposition de vecteurs Vecteurs coplanaires Vecteurs non coplanaires Démontrer que des vecteurs sont coplanaires 3 Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique Terminale d uns plan

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans I) Positions relatives de deux plans Deux plans de l espace sont soit sécants, soit parallèles. P P P= P P D P P et P sont strictement parallèles P et P sont confondus P et P sont sécants suivant la droite D P et P sont parallèles

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans b) Positions relatives d une droite et d un plan Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles. D D P A P P D D et P sont strictement parallèles D est incluse dans P D et P sont sécants en A D et P sont parallèles

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans c) Positions relatives de deux droites de l espace Deux droites de l espace sont soit non coplanaires, soit parallèles (éventuellement confondues) soit sécantes. D P D D et D sont non coplanaires P D D D et D sont parallèles D et D sont est sécantes en A D et D sont coplanaires P D D

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans d) Intersection de plusieurs plans Propriété Soit P 1, P 2 et P 3 trois plans de l espace. Si P 1 et P 2 sont parallèles et si P 1 et P 3 sont sécants alors P 2 et P 3 sont sécants et les droites d intersections sont parallèles. P 3 P 2 P 1 D D

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans Théorème du toit Propriété Etant donné trois plans sécants deux à deux, il n y a que deux configurations possibles: ou les trois droites d intersection sont parallèles entre elle; ou les trois droites d intersection sont concourantes. P 1 P 2 P 3 D 1 D2 Si les droites D 1 et D 2 sont parallèles alors la droite est parallèle au deux autres.

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans Théorème du toit Propriété Etant donné trois plans sécants deux à deux, il n y a que deux configurations possibles: ou les trois droites d intersection sont concourantes. A P 1 P 3 P 2 D 1 D 2 Si les droites D 1 et D 2 sont sécantes en A alors la droite passe par A.

Positions relatives de deux plans dans l espace Positions relatives d une droite et d un plan dans l espace Positions relatives de deux droites dans l espace Intersection de plusieurs plans Démonstration I Les droites D 1 et D 2 sont coplanaires puisqu elles sont incluses dans le plan P 3, il n y a donc que deux possibilités: D 1 et D 2 sont parallèles ou D 1 et D 2 sont sécantes. Si les droites D 1 et D 2 sont parallèles, montrons par l absurde que D 1 et sont parallèles. Pour cela supposons que les droites D 1 et sécantes en A. Le point A appartient à D 1 donc aux plans P 1 et P 3. Le point A appartient à donc aux plans P 1 et P 2. Il est donc commun aux plans P 2 et P 3, il appartient donc à la droite D 2. Les droites D 1 et D 2 ont donc un point commun, ce qui est impossible. Si D 1 et D 2 sont sécantes en A alors le point A est commun aux plans P 1, P 2 et P 3 (même raisonnement que précédemment), il appartient donc à la droite

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs Comme dans le plan, les vecteurs sont des outils pour démontrer. I a) Vecteurs de l espace Définition On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : multiplication par un réel, somme de deux vecteurs. Exercices 1 page 295 ABCDEFGH est un parallélépipède (six faces parallèles deux à deux). I est le milieu du segment [EG] et M est le point tel que MB + 2 MI = 0.

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs II a) Vecteurs de l espace E H I F G M D C A B 1 1 Montrer que 2 MI = ME + MG. 2 En déduire que MB + ME + MG = 0. 2 En déduire que les point D, M et F sont alignés.

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs Correction I 1 1 On a: 2 MI = MI + MI = ME + EI + MG + GI = ME + MG EI + GI = 0 car Iest le milieu de [EG]

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs Correction II 2 On a donc MB + 2 MI = 0 or 2MI = ME + MG MB + ME + MG = 0. 2 Pour prouver que les point D, M et F sont alignés, nous allons prouvé que les vecteurs DM et DF sont colinéaires: MB + ME + MG = 0 MD + DB + MD + DE + MD + DG = 0 3 MD + DA + AB + DA + AE + DC + CG = 0 3 MD + 2 ( DA + AB + BF )= 0 3 MD + 2 DF = 0 DM = 2 DF 3 or AE = CG = BF Les vecteurs DM et DF sont colinéaires donc les points D, M et F sont alignés.

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs d une droite, d un plan Propriété Caractérisation d une droite Soit A un point de l espace et u un vecteur non nul. L ensemble des points M de l espace tels que AM = x u, x R est la droite (AB), où AB = u. On dit que u est un vecteur directeur de la droite (AB). Propriété Caractérisation d un plan Soit A un point de l espace, u et v deux vecteurs non colinéaires. L ensemble des points M de l espace tels que AM = x u + y v, où x R et y R est le plan (ABC), où AB = u et AC = v. On dit que u et v dirigent le plan (ABC). Propriété

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs b) Décomposition de vecteurs I Vecteurs coplanaires Définition On dit que trois vecteurs u, v et w de l espace sont coplanaires lorsqu il existe quatre points A, B, C et D appartenant à un même plan et tels que : Propriété u = AB, v = AC et w = AD. Soient u, v et w trois vecteurs de l espace, tels que u et v ne sont pas colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels x et y tels que: w = x u + y v.

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs Vecteurs non coplanaires I Propriété Soient u, v et w trois vecteurs non coplanaires de l espace, alors pour tout vecteur t de l espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que : t = x u + y v + z w.

Vecteurs de l espace Décomposition de vecteurs Démontrer que des vecteurs sont coplanaires Exercices 3 à 5 page 296

I a) Coordonnées d un point, d un vecteur Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan Théorème et définition Soit O un point de l espace et i, j et k trois vecteurs non coplanaires de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tel que : OM = x i + y j + z k. (x ; y ; z) est le triplet des coordonnées du point M dans le repère ( O; i, j, k ) x s appelle l abscisse, y s appelle l ordonnée et z s appelle lacôte.

II a) Coordonnées d un point, d un vecteur Propriété L espace est muni d un repère ( 0; i, j, k ). Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan Pour deux points A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) on a : AB x B x A y B y A z B z A ( xa + x B Les coordonnées du milieu de [AB] sont: ; y A+ y B ; z A+ z ) B. 2 2 2 Si x u y et v alors u + v et, pour tout réelλ, z λ u λx λy λz. x y z x+ x y+ y z+ z

b) Utiliser un repère pour démontrer Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan Exercices 6 à 15 p 298 sur les vecteurs coplanaires. Exercices 53 à 59 page 308 sur les vecteurs colinéaires et l alignement de points.

Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan c) Représentation paramétrique d une droite Propriété L espace est muni d un repère ( O; i, j, k ). Soit D une droite passant par un point A(x A ; y A ; z A ) et dirigée par le vecteur a u b et soit M un point de l espace de coordonnées (x ; y ; z). c x=x A + at On a l équivalence : M D il existe un réel t tel que : y= y A + bt z=z A + ct Ce système s appelle une «représentation paramétrique» de la droite D. Remarque: Une représentation paramétrique de la droite est une condition sur les coordonnées d un point permettant d affirmer qu il appartient à cette droite, ou qu il n y appartient pas.

Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan d) Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : On détermine les coordonnées (x A ; y A ; z A ) d un point A de la droite et celles d un vecteur directeur u (a ; b ; c) et on obtient la représentation : x = at+ x A y = bt+ y A t R z = ct+ z A

Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan e) Représentation paramétrique et positions relatives : Exercice 109 p 314

Coordonnées d un point, d un vecteur Utiliser un repère pour démontrer Représentation paramétrique d une droite Comment déterminer une représentation paramétrique d une droite : Représentation paramétrique pour l étude des positions relatives Représentation paramétrique d un plan f) Représentation paramétrique d un plan: Propriété L espace est muni d un repère ( O; i, j, k ). Soit P un plan passant par un point A(x A ; y A ; z A ) et dirigée par les vecteurs a u b et a v b et soit M un point de l espace de coordonnées (x ; y ; z). c c On a l équivalence : x=x A + at+ a t M P il existe deux réels t et t tel que : y= y A + bt+ b t z=z A + ct+ c t Ce système s appelle une «représentation paramétrique» du plan P.

III) : I 1 Comment démontrer le parallélisme de deux droites : établir que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ; penser à utiliser des plans parallèles ou le exampleblock du toit. 2 Comment démontrer le parallélisme de deux plans : Montrer, selon les cas, que : un couple de vecteurs non colinéaires de l un dirige aussi l autre ; deux droites sécantes de l un sont parallèles à deux droites sécantes de l autre. 3 Comment démontrer le parallélisme d une droite et d un plan : Montrer qu un vecteur directeur de la droite est un vecteur du plan. 4 Déterminer l intersection entre deux droites : Dans un repère, on montre que le système formé par les représentations paramétriques a une unique solution. Les valeurs des paramètres trouvés permettent d obtenir les coordonnées du point d intersection.

III) : II 5 Comment déterminer l intersection entre deux plans : Si les plans sont sécants suivant une droite : dès que l on connaît deux points communs, on connaît la droite d intersection ; on peut utiliser des propriétés de parallélisme : exampleblock du toit, ou que des plans parallèles sont coupés par un troisième plan selon deux droites parallèles. 6 Comment démontrer un alignement ou un parallélisme: Traduire le problème en termes de colinéarité entre deux vecteurs u et v puis établir l existence d un réel k tel que v = k u en utilisant : une décomposition pertinente (penser à la relation de Chasles) ; les coordonnées dans un repère de l espace. 7 Comment établir que trois vecteurs sont coplanaires: Pour établir que trois vecteurs u, v et w sont coplanaires, on démontre l existence deux réels x et y tels que w = x u + y v en utilisant : une décomposition pertinente ;

III) : III ou les coordonnées dans un repère de l espace. Résoudre pour cela le système d inconnues x et y obtenu à partir des coordonnées de u, v et w. 8 Comment démontrer qu un point M appartient à un plan : Démontrer que M appartient à une droite du plan; Prouver que les vecteurs AM, u et v sont coplanaires, où (A, u, v ) est un repère du plan.