Date : 5/03/13 Classes : 1ère S Professeur : M PONS D.S.T. de mathématiques. Durée : 4 heures. Documents autorisés : calculatrice seulement. Le barème (indicatif) est sur 30 points. Exercice 1 : Fonctions. 5 points Etudier les variations de la fonction f définie sur R-{1/} par tableau de variations., puis dresser son Exercice : Produit scalaire. Dans la figure ci-contre, ABCE est un carré de côté a et ECD est un triangle équilatéral. La hauteur [DH) de ce triangle coupe le côté [ AB ] en P. 6 points D 1) En donnant toutes les justifications utiles, préciser la nature du triangle EAD et calculer la mesure de l angle géométrique EAD. ) a) Exprimer la valeur de DH en fonction de a. b) En décomposant l un des vecteurs avec la relation de Chasles, montrer que AD. AE = a 3 ( 1 + ). E H C 3) Montrer que AD = a + 3 4) Exprimer AD. AE en fonction de a et de cos EAD et en déduire : A P B a) La valeur exacte de cos 1 b) La valeur exacte de sin 1. Exercice 3 : Produit scalaire. 3 points ABCD et EFGA sont deux carrés et les points E, A et B sont alignés. Démontrer que les droites ( ED ) et ( AI ) sont perpendiculaires. D C E A B F G I
Exercice 4 : Fonctions. 5 points Dans un repère orthonormé direct ( O, OI, OJ ), on considère un point M appartenant au petit arc IJ du cercle trigonométrique. On note P et R les projetés orthogonaux respectifs de M sur l axe des abscisses et sur l axe des ordonnées. L objet de l exercice est d étudier l évolution de l aire du rectangle RMPO en fonction de la position de M sur l arc IJ ; cette position étant repérée par la mesure principale de l angle orienté ( OI, OM ), exprimée en radians et notée. J R M La position de M sur l arc IJ est repérée par la mesure principale de l angle orienté ( OM, OJ ), exprimée en radians et notée. O P I 1) Quel est l intervalle F décrit par le réel lorsque le point M parcourt l arc IJ dans le sens direct? ) Soit g la fonction qui donne l aire du rectangle RMPO en fonction de. Déterminer l expression de g ( ). 3) Sachant que la dérivée de la fonction sin est la fonction cos et que la dérivée de la fonction cos est la fonction sin, calculer la dérivée g de la fonction g et montrer que : g ( ) = ( cos + sin ) ( cos - sin ) 4) a) Quel est le signe de cos + sin sur l intervalle F? b) A l aide du cercle trigonométrique, résoudre l inéquation cos > sin sur F. c) En déduire le tableau de signe de g ( ) puis le tableau de variation de la fonction g sur F. 5) Préciser la valeur 0 de pour laquelle l aire est maximale et justifier que ce résultat est cohérent avec celui obtenu dans la première partie. Préciser l aire maximale et la nature du rectangle RMPO lorsque = 0. Exercice 5 : 7 points Partie QCM. Pour chaque question, on donne quatre propositions parmi lesquelles une seule est correcte. On demande de préciser laquelle sans justifier, en complétant le tableau donné à la fin du sujet. Chaque question apporte 0,5 points sans pénalité en cas de réponse fausse.. Question 1. Dans un repère orthonormé, si u ( 3 ; 4 ), alors un vecteur de norme 1 orthogonal à u est : a. v ( - 4 5 ; 3 5 ) b. v ( 4 5 ; 3 5 ) c. v ( 4 ; 3 ) d. v ( - 4 ; 3 )
Question. Soient deux vecteurs u et v colinéaires et tels que u. v = - 10 et u =. Alors : a. ( u, v ) b. v = - 5. c. u. v = u v d. v = 5. Question 3. Dans un repère orthonormé, une équation du cercle de centre A ( 3 ; - 5 ) et de rayon 5 est : a. ( x 3 ) + ( y + 5 ) = 5 b. ( x 3 ) + ( y + 5 ) = 5 c. ( x + 3 ) + ( y - 5 ) = 5 d. ( x 3 ) - ( y + 5 ) = 5 Question 4. Sur [ 0 ; ], l ensemble des solutions de l inéquation cos x 1 est : a. [ - 3 ; 3 ] b. [ - 6 ; 6 ] c. [ 0 ; 3 ] [ 5 3 ; ] d. [ 6 ; 5 6 ] Question 5. Dans un repère orthonormé, on considère la médiatrice d un segment [ AB ] de milieu I. On obtient une équation cartésienne de cette médiatrice en écrivant qu un point M ( x ; y ) lui appartient si et seulement si : a. AM. MB b. AM. AB c. BM. IM d. MI. AB Question 6. Dans un repère orthonormé, on donne A ( - ; 1 ) et B ( 5 ; 3 ). Alors la droite perpendiculaire à ( AB ) passant par C ( 1 ; 1 ) a pour équation : a. 7 x + y 9. b. x + 7 y 9 c. x 7 y + 5 d. x + 7 y 5 Question 7. L ensemble des points M du plan tels que AM. BM est : a. La médiatrice du segment [ AB ] b. La droite orthogonale à ( AB ) passant par A. c. Le cercle de diamètre [ AB ]. d. Le cercle de rayon [ AB ]. Question 8. L ensemble des points M du plan tels que AM. AB est : a. La médiatrice du segment [ AB ] b. La droite orthogonale à ( AB ) passant par A. c. La droite orthogonale à ( AB ) passant par B. d. Le cercle de diamètre [ AB ].
Dans les questions 9 à 11, on considère la figure ci contre dans laquelle les points A, B et C sont alignés. ABEF est un carré de côté 1 et F E BCD est un triangle équilatéral de côté 1. D K est le milieu de [ BC ]. G H A B K C Question 9. a. AF. DC = 3 b. AF. DC = - 3 c. AF. DC = 1 d. AF. DC > 0 Question 10. a. AB. BD = - AB BK b. AB. BD = - 1 c. AB. BD = AB BK d. BC. BD = 3 Question 11. a. GF. FE = FE. FE b. BC. BD = BH. BD c. GF. FE = GF. FG d. GF. FE = - 1. Dans les questions 1 à 14, on considère une fonction f définie et dérivable sur IR dont la courbe C f est tracée ci-contre avec sa tangente en son point d abscisse. On note f la fonction dérivée de f. C f Question 1. a. Les solutions de l équation f ( x ) sont environ,4 ; 0,8 et 4,5. b. La fonction dérivée f est positive sur l intervalle [ 1 ; 4 ]. c. Le nombre dérivé de la fonction f en est f ( ) = 3 d. Le nombre dérivé de la fonction f en est f ( ) =, environ
Question 13. Parmi les 4 courbes données ci dessous, une seule représente la dérivée f. Indiquer laquelle. a. b. c. d. Question 14. a. Si on admet que f ( 0 ) = 3, alors l équation de la tangente à la courbe de la fonction f en son point d abscisse 0 est y = 3 x 3 b. Si on admet que f ( 0 ) = 3, alors l équation de la tangente à la courbe de la fonction f en son point d abscisse 0 est y = 3 x 5 6 c. La fonction f est positive sur l intervalle [ 0 ; 3 ]. d. L équation f ( x ) admet trois solutions sur [ - 3 ; 5 ].
Exercice 6: algorithme On cherche à savoir si une équation donnée sous la forme des réels, est une équation ou non d un cercle. 4 points, où a, b et c sont 1) Montrer que l équation est équivalente à : k est un réel à déterminer en fonction de a, b et c. ) On propose pour répondre au problème l algorithme donné à la fin de l énoncé : a) Expliquer le test fait à la ligne 04. b) Recopier et compléter les lignes 05 à 07. c) Recopier et compléter l affichage obtenu à la ligne 1. d) Justifier l affichage obtenu à la ligne 14. 3) Programmer cet algorithme dans votre calculatrice. (On ne demande pas de recopier le programme sur la copie). Que renvoie l algorithme pour a = 013, b = 5 et c 3?
A rendre avec la copie NOM : Tableau de réponses de l exercice 5. Question 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 Réponse Algorithme de l exercice 6. 01 Entrées : a, b, c des réels. 0 03 Traitement : k prend la valeur 04 Si k > 0 alors 05 xi prend la valeur... 06 yi prend la valeur... 07 r prend la valeur... 08 Afficher «l ensemble est un cercle de centre de coordonnées», (xi ;yi) 09 et de rayon «r =», r 10 Sinon 11 Si k alors 1 Afficher «L ensemble est...» 13 Sinon 14 Afficher «L ensemble est vide» 15 Fin Si 16 Fin Si