OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE ET TEMPS D ARRÊT OPTIMAL ÉCOLE POLYTECHNIQUE CMAP March 7, 2007
Outline 1 Notations 2 Un Problème Classique Objectif. Optimisation de portefeuille. Résolution. 3 Un problème plus Général. Formulation Mathématique. Résolution. 4 Prix d indifférence et nouvelles perspectives.
Notations Les actifs risqués suivent la dynamique: dp i t = Pi t [bi t dt + L actif sans risque est tq: d i=1 σ i,j t dwj t ] dp 0 t = P0 t r0 t dt Le processus de la richesse évolue suivant la dynamique: dx x,π t = r t X x,π t dt + π t σ t(dw t + η t dt) X x,π 0 = x
Objectif L objectif est de résoudre: V(x) = sup π A E(U(X x,π T )) (1) On définit le processus H r,η t = e t 0 (r s+ 1 2 η2 s )ds t 0 η s dw s, H r,η On vérifie que (X x,π t t,s = Hr,η s H r,η t H r,η t ) t est une martingale. Par suite (1) est équivalent au problème avec multiplicateur de Lagrange. sup π A [E(U(X x,π T )) λ(e(xx,π T Hr,η T ) x)] (2)
Résolution La solution s écrit alors: V(x) = E(U(X x, T )) X x, T = I(λ(x, T)H r,η T ) Avec λ l unique réel solution de: E(H r,η T I(λ(x, T)Hr,η T )) = x
Questions: Si T est un temps d arrêt, peut-on appliquer le résultat précédent? Et si le gestionnaire de portefeuille choisit lui même son horizon?
Une gestion de type américain, i.e. une gestion dont le but n est plus de maximiser le flux à une maturité fixée mais celui à des temps variables. Le problème s écrit alors V(x) = sup t τ T sup π A(x) E(U(X x,π τ )) (3)
Résolution: Transformée de Legendre-Fenchel: U(y) = max x>0 (U(x) xy) = U(I(y)) yi(y) U (y) = I(y) U(x) = min y>0 (U(y) + xy)
Approche par Dualité à τ fixé: J(x, π, τ ) = E(U(X x,π τ (x,π) )) X τ (λ) = E(H r,η τ I(λHr,η τ )) (4) V τ (x) = sup π A(x) J(x, π, τ ) J(x, π, τ ) E(U(λH r,η τ )) + λx (5) Avec égalité si et seulement si X x,π τ = I(λH r,η τ ).
Sous les conditions de stricte monotonie et stricte convexité de la fonction d utilité, il est facile de voir que: λ X τ (λ), est continue strictement décroissante de (0, ) dans lui même, elle admet donc un inverse strictement décroissant qu on notera Y τ (x).
Proposition V τ (x) = inf λ>0 [J (λ, τ ) + λx] = J (Y(x), τ ) + Y(x)x V(x) = sup τ T V τ (x) Avec la notation = sup τ T inf λ>0 [J (λ, τ ) + λx] = sup τ T J (Y(x), τ ) + Y τ (x)x J (λ, τ ) = E(U(λH r,η τ ))
On définit l ensemble de finançiabilité: G = λ>0 G λ G λ = {X τ (λ), τ est optimal dans (4)} x G, x représente une richesse qui permet de financer un portefeuille X,x τ. Theorem x G, la valeur de V(x) est atteignable et on a: V(x) = inf λ>0 V(λ) (6) Inversement x (0, ), vérifiant (10) alors x G Avec V(λ) = sup τ T J (λ, τ )
Definition On suppose maintenant, que l agent doit livrer à l instant T un contingent claim, càd il doit payer à cette date une somme Y T, sa richesse est alors décrite par: X x,π T Y T, et sa fonction objective s écrit alors: V(x, Y) = sup π A E(U(X x,π T Y T)) (7) Il est facile de voir que V(x, Y) V(x, 0) = V(x).
Definition Pour un agent de richesse initiale x, on définit le prix d indifférence, comme la plus petite somme qu il investira en plus dans son portefeuille, pour réaliser la même utilité, càd: p(x, Y) = inf{y 0, V(x + y, Y) V(x, 0)
Questions: Peut-on définir un prix d indifférence dans le second problème (avec des temps d arrêts)? Si non, peut-on définir une nouvelle règle de pricing? Quelle dynamique suivra ce prix?
La réponse à la première question, et qui consistera à comparer les deux fonctions suivantes: V(x+p, Y) = sup τ T sup π A(x+p) E(U(X x+p,π τ Y τ )) V(x, 0) = sup τ T sup π A(x) E(U(X x,π τ )) est +/ négative, à cause du signe de la variable X x,π τ Y τ qui peut prendre des valeurs négatives, alors que la plus part des fonctions d utilités sont définies sur R +, sauf si on se permet de hedger uniquement la partie négative de cette variable.
Idée l idée est de regarder le quotient Xx,π T Y T au lieu de X x,π T Y T, ce qui nous permet de garder un signe constant. Remarques & Questions Peut-on utiliser la technique précédente? Si l ensemble des portefeuilles admissibles est linéaire, et si Y est un portefeuille, càd Y = X y,πy alors X x,π T Y T = X x,π T Xy,πY T = X x y,π πy T Dans le premier cas, d après la remarque précédente on est toujours sur le même marché, donc il n est pas question de changer d utilité.
Remarques & Questions 1 Si on considère Xx,π T Y T alors on quelque sorte ça correspond à un changement de numéraire, on n est plus sur le même marché. Doit-on changer d utilité? 2 Quelle est la dimension d une utilité? Exemples: utilité puissance U(x) = x1 α 1 α utilité exponentielle U(x) = 1 1 γ e γx
Réponse à la première question On se donne une fonction d utilité U et on regarde le Pb: V(x, Y) = sup τ T sup π A(x) E(U( Xx,π τ )) Y τ Dans ce cas, la richesse optimale s écrit : X x, τ = Y τ I(λ(x, τ )H r,η τ Y τ )
On définit comme précédemment: J(x, Y, π, τ ) = E(U( Xx,π τ )) Y τ X τ (Y, λ) = E(H r,η τ Y τ I(λH r,η τ Y τ )) (8) V τ (x, Y) = sup π A(x) J(x, Y, π, τ ) J(x, Y, π, τ ) E(U(λH r,η τ Y τ )) + λx (9) Avec égalité si et seulement si Xτ x, = Y τ I(λ(x, τ )H r,η τ Y τ ).
Proposition V τ (x, Y) = inf λ>0 [J (Y, λ, τ ) + λx] = J (Y(x, Y), Y, τ ) + Y(x, Y)x V(x) = sup τ T V τ (x, Y) = sup τ T inf λ>0 [J (Y, λ, τ ) + λx] = sup τ T J (Y(x, Y), Y, τ ) + Y τ (x, Y)x Avec la notation J (Y, λ, τ ) = E(U(λH r,η τ Y τ ))
G Y = λ>0 G Y λ G Y λ = {X τ (Y, λ), τ est optimal dans (8)} Theorem x G Y,la valeur de V(x) est atteignable et on a: V(x) = inf λ>0 V(Y, λ) (10) Inversement x (0, ), vérifiant (10) alors x G Avec V(Y, λ) = sup τ T J (Y, λ, τ )
Pour répondre à la deuxième question, on n a pas grand chose. On est obligé de revenir à la première définition d utilité. Comment un agent définit son utilité, et qu est ce qu il espère de cette fonction? Comment cette utilité décrit-elle son comportement et l ensemble de ses croyances? C est quoi le rôle du risque? Risque absolu ou relatif? C est quoi la relation entre probabilité et utilité?
Quelques notions de base Une fonction d utilité est la valeur associée par un agent à un couple (gain,probabilité), elle décrit en général sa satisfaction au gain, ou encore la sensation de plaisir associée à la consommation d un bien. L utilité est une mesure de bien-être ou de la satisfaction obtenue par la consommation, ou du moins l obtention, d un bien ou d un service. Elle est liée à la notion de besoin.
Quelques notions de base Aversion au risque absolu: ARa(x) = U xx(x) U x (x) Aversion au risque relatif: AR(x) = xu xx(x) U x (x)
On se place dans le cas d un agent de richesse initiale x et une fonction d utilité U, l équivalent de cette même richesse dans un nouveau marché de numéraire y est x y. Supposons que son utilité est notée par U Y dans ce nouveau marché, alors il existe K et C, deux fonctions (aléatoires) tq: x (0, ), U Y ( x y ) = K(y) y U(x) + C(y) y