CORRECTION DU BREVET BLANC ---- MAI 010 4 points sont attribués pour la qualité de la rédaction, le soin et la présentation. points correspondent au soin et à la propreté, ils sont proportionnels à la longueur du texte écrit par l élève, et points correspondent à la rédaction. 1 PARTIE : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) 1 Exercice : points Entourer la bonne réponse parmi les 3 proposées : 1 4 9 1 11 18 13 4 3 1 9 1 9 18 3 (1 )² 4 144 8 1² ² 4 4 13 0 104 1,41 Pour x 3 (x 3)² 81 9² 1 Pour tout nombre y, 9 y² 100 (9y 10)² (3y 0)² (3y10)(3 y 10) PGCD (48;14) 11 143 f est une fonction linéaire de coefficient 4, l image de 1 par f est : 1 g : x----- x ; l antécédent par g de (-10) est : 8-48 0-0 1 1
Exercice : 7 points Une crèche accueille 70 enfants. Les prix versés par les familles pour une journée de crèche varient entre 8 et 8 selon le revenu, mais personne ne paye le prix maximum. Le nombre d enfants est réparti comme suit : 4 nombre d'enfants 0 1 4 8 1 1 0 4 8 prix en 1- Comment s appelle cette représentation? c est un histogramme - Reporter ces données dans le tableau statistique suivant : Prix d une journée effectifs Effectifs cumulés croissants 8 prix 1 1 prix 1 1 1 prix 0 4 4 0 prix 4 0 4 prix 8 4 70 3- Calculer le prix moyen payé pour un enfant. Il faut raisonner avec les centres des classes : (10x+14x1+18x4+x0+x4) :70 =10 :70 =18 4- Déterminer le pourcentage d enfants pour les quels les familles payent moins de 1 par jour. Arrondir à l unité. On utilise les effectifs cumulés, il y a enfants qui correspondent à ce pourcentage, pour 70 au total : 100 31% 70 - En déduire dans quelles classes se situent la médiane, le premier et le troisième quartile. Il faut aussi utiliser les effectifs cumulés : Il y a 70 enfants. La moitié correspond à 3. La médiane est donc une valeur qui partage la série de prix en groupes de 3. C est un prix compris entre le 3 et le 3. Ici ces prix sont dans la 3 tranche, c'est-à-dire entre 1 et 0. 70 :4 (ou 70 x 0,) = 17, le 1 quartile est donc le 18 prix. Il est compris entre 1 et 1. (70 :4) x3 (ou 70 x 0,7) =, le 3 quartile est donc le 3 prix. Il est compris entre 0 et 4.
PARTIE : ACTIVITES GEOMETRIQUES (1 points) 3 Exercice : points Soit une sphère de centre I et de diamètre [LL ] mesurant 0 cm. H est un point du segment [LL ] tel que IH = 7 cm. Un plan passant par le point H et perpendiculaire à [LL ] coupe la sphère. Voir la figure A sur l autre page. 1- Indiquer sans justification la nature de la section. Question de cours : c est un cercle (et pas un disque) de centre H - Soit un point M appartenant à cette section, indiquer sans justification la nature du triangle IHM. C est un triangle rectangle en H. 3- Tracer en vraie grandeur le triangle IHM. Pas compliqué!!! attention : IM = rayon de la sphère = 0 : = 10 cm 4- Calculer, en montrant la démarche, la valeur de HM au millimètre près. Il faut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle IHM rectangle en H : HM² + IH² = IM² HM² + 7² = 10² HM² = 10² - 7² = 1 HM = 1 valeur exacte HM 7,1 cm valeur bien arrondie au millimètre - Calculer la valeur de l angle HIM arrondie à l unité. Le triangle IHM est rectangle en H, donc on peut utiliser la trigonométrie. On cherche la valeur de l angle HÎM, on connaît la longueur du côté [IH] adjacent et la longueur de l hypoténuse, on utilise le cosinus : IH 7 Cos HÎM = 0,7 à la calculatrice : HÎM 4 bien arrondir à l unité IM 10 FIGURE A attention, les figures ne sont pas en vraie grandeur FIGURE B 4 Exercice : 7 points Dans le parallélépipède rectangle et dans le cylindre, on a placé comme indiqué sur la figure B ci-dessus, boules de rayon cm, tangentes aux surfaces des solides. 1- Quelles sont les dimensions du parallélépipède rectangle et du cylindre? Justifier. Réfléchissez et essayez d imaginer les objets!! Chaque boule mesure 1 cm de diamètre. Le pavé : la longueur HG correspond aux diamètres des boules, soit x 1 cm = 4 cm La largeur et la hauteur correspondent au diamètre d une boule, soit 1 cm On note les dimensions : 4 x 1 x 1 Le cylindre : le diamètre correspond au diamètre d une boule soit 1 cm La hauteur correspond aux diamètres des boules, donc 4 cm - Calculer la valeur exacte du volume occupé par les boules, puis la valeur arrondie à l unité. 3
4 4 4 Apprenez le cours!! Volume d une sphère : 3 3 3 Donc le volume des boules = 88 7 valeur exacte 3 3 3 R 88 3 1810cm valeur arrondie 3- Dans chaque solide, on remplit l espace restant par de l eau. Dans quel solide le volume d eau est-il le plus important? Justifier. Volume du pavé : 4 x 1 x 1 = 34 cm 3 donc volume d eau : 34-1810 14 cm 3 Volume du cylindre : aire de la base x hauteur = R² hauteur = x²x4 714 cm 3 C est bien sûr dans le pavé qu il ya le plus d eau! Donc volume d eau : 714-1810 90 cm 3 3 PARTIE : PROBLEME (1 points) PARTIE 1 : points EFG est un triangle isocèle en E tel que FG = cm et EG = cm. Le cercle C de centre O et de diamètre [EG] coupe [FG] en K. 1- Tracer la figure en vraie grandeur. Ne pas oublier le cercle! - Démontrer que EKG est un triangle rectangle. Théorème : si un triangle est inscrit dans un cercle et si un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle et le côté est l hypoténuse. Donc EKG est un triangle rectangle en K. 3- En déduire que (EK) est la médiatrice du segment [FG] et la mesure de [KG]. D après la question précédente, [EK] est perpendiculaire à [FG], donc c est une hauteur du triangle EFG. Théorème : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane (donc médiatrice) du côté opposé. Donc [EK] est la médiane de [FG], elle le coupe donc en son milieu. Donc KG est la moitié de FG : KG = : =, cm 4- Calculer la valeur exacte de EK, donner ensuite une valeur approchée à 1 mm près. Dans le triangle EKG rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore : EK² + KG² = EG² EK² +,² = ² EK² = ² -,² = 9,7 PARTIE : 7 points EK = 9,7 valeur exacte EK,cm valeur bien arrondie Compléter la figure en plaçant un point P sur [EG] (distinct de O, E et G). Tracer la parallèle à (FG) passant par P. Elle coupe (EF) en R. On nomme x la longueur du segment [EP] exprimée en centimètre. - Préciser sans justifier la nature du triangle EPR. EPR est un triangle isocèle (ça se démontre sans difficulté, mais il faut plus de temps) - Démontrer que PR = x 4
Il faut utiliser le théorème de Thalès : Dans le triangle EFG : le point R est un point de [EF] et le point P est un point de [EG], les droites (PR) et (FG)sont parallèles, donc : ER EP PR EF EG FG x PR PR x 7- Exprimer en fonction de x le périmètre du triangle EPR. On rappelle que, quelque soit la figure, le périmètre est la somme de toutes les longueurs des côtés. Pour EPR, triangle isocèle de sommet principal E Périmètre = ER +EP +PR = x x x C est un calcul de fraction!!! Périmètre = x x x 17 x 8- Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à 7x 17 Dans le trapèze RPGF, les côtés [PG] et [FR] ont la même mesure : PG = RF = x Périmètre= RP+PG+GF+FR x x x 1x 7x ( x) ( x) 17 x 17 17 9- Sur le graphique ci-dessous (DOCUMENT C) est représentée la fonction f : x même document la représentation graphique de la fonction g : x 17 x 7x 17 Construire sur le La fonction g est une fonction linéaire, elle est donc représentée par une droite qui passe par l origine du repère Il suffit donc de connaître les coordonnées d un seul autre point pour tracer cette droite : 17 x gx ( ) 17 La droite passe par le point ( ; 17) Attention ensuite à ne pas inverser les valeurs sur les axes 10- En utilisant le graphique, indiquer pour quelle valeur de x le périmètre du trapèze est égal à celui du triangle (laisser les pointillés apparents). Les périmètres sont égaux pour la valeur de x qui est l abscisse du point d intersection des droites, soit une valeur entre 4 et 4, sur la figure. 11- Retrouver ce résultat par le calcul. Si les périmètres sont égaux, alors : 17 7x 17x 7x 4 x 17 17 x 17 17 4 x 47 x 4, 4